第六章 數(shù)值積分zyl

1、第六章第六章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分6.0 引言引言 我們知道我們知道,若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)且其原上連續(xù)且其原函數(shù)為函數(shù)為F(x),則可用則可用Newton-Leibnitz公式公式baaFbFdxxf)()()(求得定積分求得定積分求定積分的值求定積分的值 , Newton-Leibnitz公式公式 無論在理論上無論在理論上還是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不還是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問題，因?yàn)榉e分學(xué)涉及的能完全解決定積分的計(jì)算問題，因?yàn)榉e分學(xué)涉及的實(shí)際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計(jì)算中實(shí)際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，

2、在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：經(jīng)常遇到以下三種情況： (1) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的并不一定能夠找到用初等函數(shù)的 有限形式表示的原函數(shù)有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如：，例如： Newton-Leibnitz公式就無能為力了公式就無能為力了dxedxxxx10102sin和(2) 還有被積函數(shù)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示， 但表達(dá)式太復(fù)雜，例如函數(shù)但表達(dá)式太復(fù)雜，例如函數(shù) 32)(22xxxf 并不復(fù)雜，并不復(fù)雜， 但積分后其表達(dá)式卻很復(fù)雜但積分后其表達(dá)式卻很復(fù)雜, 積分后其原函數(shù)積分后其原函數(shù)F(x)為：為： )

3、322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF(3) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式?jīng)]有具體的解析表達(dá)式, 其函數(shù)其函數(shù) 關(guān)系由表格或圖形表示。關(guān)系由表格或圖形表示。 對于這些情況對于這些情況, 要計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分要計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。由此可見困難的。由此可見, 通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它的通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它的局限性局限性, 因而研究一種新的積分方法來解決因而研究一種新的積分方法來解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題公式所不能或很難解決的積分問題, , 這時需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計(jì)算方法。這時需要用

4、數(shù)值解法來建立積分的近似計(jì)算方法。 將積分區(qū)間細(xì)分將積分區(qū)間細(xì)分, ,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)發(fā)用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)發(fā)f(x)f(x)進(jìn)行積分進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。 6 6.1 .1 數(shù)值積分概述數(shù)值積分概述 6 6.1.1 .1.1 數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想 積分值積分值 在幾何上可以解釋為由在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)y=

5、f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如圖形面積。如圖4-14-1所示，而這個面積之所以難于計(jì)所示，而這個面積之所以難于計(jì)算是因?yàn)樗幸粭l曲邊算是因?yàn)樗幸粭l曲邊y=f(x) y=f(x) badxxfI)( y= f(x) a b 圖圖6 6-1 數(shù)值積分的數(shù)值積分的幾何意義幾何意義 建立數(shù)值積分公式的途徑比較多建立數(shù)值積分公式的途徑比較多, 其中最常用的其中最常用的有兩種：有兩種：（1）由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)）由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，在，在積分區(qū)間積分區(qū)間a,b內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為即所求的曲邊梯

6、形的面積恰好等于底為(b-a)，高為，高為 的矩形面積。但是點(diǎn)的矩形面積。但是點(diǎn)的具體位置一般是未知的的具體位置一般是未知的, 因而因而 的值也是未知的的值也是未知的, 稱稱 為為f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上上的平均高度。那么只要對平均高度的平均高度。那么只要對平均高度 提供一種算法，提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(f三個求積分公式三個求積分公式 梯形公式梯形公式y(tǒng)=f(x)yxab)()()(21)(bfafabdxxfbay=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形公式中矩形公式)2()()(b

7、afabdxxfba按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。例如例如 分別取分別取 和和則分別得到中矩形公式和梯則分別得到中矩形公式和梯形公式。形公式。)(f)2()(baff2)()()(bfaffy=f(x)ababy=f(x)yab Simpson公式公式(a+b)/2)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfbaf( )的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。 中矩形公式把中矩形公式把a(bǔ),b 的中點(diǎn)處函數(shù)值的中點(diǎn)處函數(shù)值 作為作為平均高度平均高度f( )的近似值而獲得的一種數(shù)值積的近似值而獲得的

8、一種數(shù)值積分方法。分方法。 )()(21bfaf)2(bafab(a+b)/2 在這三個公式中在這三個公式中, 梯形公式梯形公式把把f(a), f(b)的加權(quán)平均值的加權(quán)平均值 作為平均高度作為平均高度 Simpson公式是以函數(shù)公式是以函數(shù)f(x)在在a, b, (a+b)/2這三點(diǎn)的函這三點(diǎn)的函數(shù)值數(shù)值f(a), f(b), 的加權(quán)平均值的加權(quán)平均值 似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。1()4()( )62abfaffb)2(baf作為平均高度作為平均高度f( )的近的近（2）先用某個簡單函數(shù)）先用某個簡單函數(shù) 近似逼近近似逼近f(x), 用用 代替原被積函數(shù)代替

9、原被積函數(shù)f(x)，即，即 )(x)(xbabadxxdxxf)()(以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計(jì)算的角度考慮以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計(jì)算的角度考慮,函數(shù)函數(shù) 應(yīng)對應(yīng)對f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易計(jì)算其積分。并且容易計(jì)算其積分。由于多項(xiàng)式能很好地逼近連續(xù)函數(shù)由于多項(xiàng)式能很好地逼近連續(xù)函數(shù),且又容易計(jì)算積且又容易計(jì)算積分分,因此將因此將 選取為插值多項(xiàng)式選取為插值多項(xiàng)式, 這樣這樣f(x)的積分就的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來近似代替可以用其插值多項(xiàng)式的積分來近似代替 )(x)(x6.1.2 6.1.2 插值求積公式插值求積公式 設(shè)已知設(shè)已知f(x)f(x)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)

10、有函數(shù)值有函數(shù)值, ,作作n n次拉格朗日插值多項(xiàng)式次拉格朗日插值多項(xiàng)式 ), 1 , 0(nkxk)(kxfnkkkxlxfxP0)()()()()()()(0kknkjjjkjkxxxxxxxxxl式中式中 )()()(10nxxxxxxx這里這里 多項(xiàng)式多項(xiàng)式P(x)P(x)易于求積易于求積, ,所以可取所以可取 作為作為 的近似值，即的近似值，即 badxxP)(badxxf)(knkkbaknkkbaknkkbabaAxfdxxlxfdxxlxfdxxPdxxf 000)()()()()()()(bakkbakkdxxxxxdxxlA)()()()(其中其中 稱為求積系數(shù)。給出如下定

11、義稱為求積系數(shù)。給出如下定義。 定義定義6.1 6.1 求積公式求積公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(其系數(shù)其系數(shù) 時，則稱求積公式為插值時，則稱求積公式為插值求積公式。求積公式。 bakkdxxlA)(6.1)(6.1)設(shè)插值求積公式的余項(xiàng)為設(shè)插值求積公式的余項(xiàng)為 , ,由插值余項(xiàng)定理得由插值余項(xiàng)定理得 )(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()() 1(ba,其中其中 當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)是次數(shù)不高于是次數(shù)不高于n n的多項(xiàng)式時，有的多項(xiàng)式時，有 =0,=0,求積公式求積公式(6.1)(6.1)能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉區(qū)間區(qū)間a,

12、ba,b上的連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式逼近，上的連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式逼近，所以一所以一個求積公式能對多大次數(shù)的多項(xiàng)式個求積公式能對多大次數(shù)的多項(xiàng)式f(x)f(x)成為準(zhǔn)確等成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)，式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)，為此給為此給出以下定義。出以下定義。 0)()1(xfn)( fR定義定義 （代數(shù)精度）（代數(shù)精度） 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（6.1）對于一）對于一 切次數(shù)小于等于切次數(shù)小于等于m的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式( (mxxxxf, 1)(2mmxaxaxaaxf2210)(是準(zhǔn)確的，而對于次數(shù)為是準(zhǔn)確的，而對于次數(shù)為m+1m+1的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確的，的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確

13、的，則稱該求積公式具有則稱該求積公式具有m m次代數(shù)精度（簡稱代數(shù)精度）次代數(shù)精度（簡稱代數(shù)精度） 由定義可知，若求積公式（由定義可知，若求積公式（6.16.1）的代數(shù)精）的代數(shù)精度為度為n n，則求積系數(shù)，則求積系數(shù) 應(yīng)滿足線性方程組：應(yīng)滿足線性方程組： kA或或)1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn這是關(guān)于這是關(guān)于 的線性方程組，其系數(shù)矩陣的線性方程組，其系數(shù)矩陣kAnnnnnnxxxxxxxxx102212010111是范得蒙矩陣是范得蒙矩陣, 當(dāng)當(dāng)互異時非奇異互異時非奇異, 故故 有唯一解。有唯一解。 ), 1 ,0(nkxk

14、kA定理定理4.1 n+1個節(jié)點(diǎn)的求積公式個節(jié)點(diǎn)的求積公式 為插值型求積公式的充要條件是公式為插值型求積公式的充要條件是公式 至少具有至少具有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(證證: :必要性必要性 設(shè)設(shè)n+1n+1個節(jié)點(diǎn)的求積公式個節(jié)點(diǎn)的求積公式 為插值型求積公式為插值型求積公式, ,求積系數(shù)為求積系數(shù)為 又又 當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)為不高于為不高于n n次的多項(xiàng)式時次的多項(xiàng)式時, ,f(x)=P(x),f(x)=P(x),其余項(xiàng)其余項(xiàng)R(f)=0R(f)=0。因而這時求積公式至少。因而這時求積公式至少具有具有n n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。充分性充分性 若求積公式

15、至少具有若求積公式至少具有n n次代數(shù)精度次代數(shù)精度, ,則對則對n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 nkkkbaxfAdxxf0)()(dxxlAbakk)()()()(xRxPxfnkjjjkjkxxxxxl0)(), 1 , 0(nk必要性：必要性： 若求積公式至少具有若求積公式至少具有n n次代數(shù)精度次代數(shù)精度, ,則對則對n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式精確成立精確成立, ,即即njjkjbakxlAxxl0)(d )(jkjkxlkjjk01)(而而取取 時時)()(xlxfknjjkjbakbaxlAxxldxxf0)(d)()(所以有所以有 , ,即求積公式為插值型求積公式即求積公式為插值型求積公式

16、 dxxlAbakk)(例例6.1 設(shè)積分區(qū)間設(shè)積分區(qū)間a, b為為0, 2，取時，取時 時時, , 分別用梯形和辛卜生公式分別用梯形和辛卜生公式 xexxxxxf, 1)(43220( )(0)(2)f x dxff20)2() 1 (4)0(31)(fffdxxf計(jì)算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較計(jì)算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較解解: :梯形公式和辛卜生的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比梯形公式和辛卜生的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比 較如下表所示較如下表所示 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式計(jì)算值梯形公式計(jì)算值 2 2 4 8 16 8.3

17、89 辛卜生公式計(jì)算值辛卜生公式計(jì)算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 從表中可以看出從表中可以看出, ,當(dāng)當(dāng)f(x)是是 時時, ,辛辛卜生公式比梯形公式更精確卜生公式比梯形公式更精確 432,xxx 一般說來，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。一般說來，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有梯形公式和中矩形公式具有1 1次代數(shù)精度，辛卜生公次代數(shù)精度，辛卜生公式有式有3 3次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證 babfafabdxxf)()(2)(取取f(x)f(x)=1時，時， abababdxba) 11 (2,1兩端相等

18、兩端相等 取取f(x)=xf(x)=x時時, , )(21)(2),(212222abbaababxdxba取取f(x)=xf(x)=x2 2 時時, , baabbabaababdxx)(21)(2),(312222332兩端不相等兩端不相等 所以梯形公式只有所以梯形公式只有1 1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 兩端相等兩端相等 例例6 6.2 試確定一個至少具有試確定一個至少具有2次代數(shù)精度的公式次代數(shù)精度的公式 40)3()1()0()(CfBfAfdxxf例例6 6.2 試確定一個至少具有試確定一個至少具有2次代數(shù)精度的公式次代數(shù)精度的公式 40)3()1()0()(CfBfAfdxxf解解

19、: : 要使公式具有要使公式具有2 2次代數(shù)精度次代數(shù)精度, ,則對則對f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。 3649834CBCBCBA920,34,94CBA解之得，解之得， ) 3(20) 1 (12)0(491)(40fffdxxf所求公式為：所求公式為： 例例6 6.3 試確定求積系數(shù)試確定求積系數(shù)A,B,C A,B,C 使使 具有最高的代數(shù)精度具有最高的代數(shù)精度解解: :分別取分別取f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 使求積公式準(zhǔn)確成立使求積公式準(zhǔn)確成立, ,即即 得如下方程組。得如下方程組

20、。所得求積公式為：所得求積公式為：11) 1 ()0() 1()(CfBfAfdxxf3202CACACBA對于對于f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2,x,x3 3都準(zhǔn)確成立都準(zhǔn)確成立, ,對于對于f(x)=xf(x)=x4 4 就不就不準(zhǔn)確了，所以此求積公式準(zhǔn)確了，所以此求積公式 3 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。) 1 (31)0(34) 1(31)(11fffdxxf 由于由于n+1節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有n次代數(shù)精次代數(shù)精度，所以構(gòu)造求積公式后應(yīng)該驗(yàn)算所構(gòu)造求積公式度，所以構(gòu)造求積公式后應(yīng)該驗(yàn)算所構(gòu)造求積公式的代數(shù)精度。例如的代數(shù)精度。例如 插值求積公

21、式插值求積公式 有三個節(jié)點(diǎn)至少有有三個節(jié)點(diǎn)至少有2次代數(shù)精度，是否有次代數(shù)精度，是否有3次代數(shù)次代數(shù)精度呢？將精度呢？將f(x)=x2代入公式兩端，左端和右端都代入公式兩端，左端和右端都等于等于(b4-a4)/4,公式兩端嚴(yán)格相等，再將公式兩端嚴(yán)格相等，再將f(x)=x4代代入公式兩端，兩端不相等，所以該求積公式具有入公式兩端，兩端不相等，所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba 的代數(shù)精度的代數(shù)精度可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證, 對于對于f(x)=1, x時公式兩端相等時公式兩端相等, 再將再將f(x)=x2代入公式代入公式 左端左端) 1 ()

22、0(2) 1(21)(11fffdxxf例例6.4 考察求積公式考察求積公式兩端不相等兩端不相等, 所以該求積公式具有所以該求積公式具有 1 次代數(shù)精度次代數(shù)精度.三個節(jié)點(diǎn)不一定具有三個節(jié)點(diǎn)不一定具有2次代數(shù)精度，次代數(shù)精度，因?yàn)椴皇遣逯敌偷囊驗(yàn)椴皇遣逯敌偷?231113112xdxx11121) 1 () 0(2) 1(21fff右端右端例例6.5 給定求積公式如下：給定求積公式如下： 4322141231)(10fffdxxf試證此求積公式是插值型的求積公式試證此求積公式是插值型的求積公式 例例6.5 給定求積公式如下：給定求積公式如下： 4322141231)(10fffdxxf試證此求

23、積公式是插值型的求積公式試證此求積公式是插值型的求積公式 證證: :設(shè)設(shè) , ,則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的 LagrangeLagrange插值基函數(shù)為插值基函數(shù)為 43,21,41210 xxx4321843412141/4321)(0 xxxxxl43411643214121/4341)(1xxxxxl2141821434143/2141)(2xxxxxldxxxdxxxdxxl102101008345843218)(3223882318832145318dxxxdxxxdxxl10210101163)16(4341)16()(3136161636116163213116

24、）（）（dxxxdxxxdxxl102101028143821418)(32238812143318由插值型求積公式的定義知，所給的求積公由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。式是插值型求積公式。 4322141231)(10fffdxxf插值型求積公式為插值型求積公式為 ) 1 () 0(2) 1(21)(11fffdxxf例例6.6 求證求證不是插值型的不是插值型的證明證明: 設(shè)設(shè) x0 = -1, x1 =0, x2 =1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2 則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值插值 基函數(shù)為基函數(shù)為 120010

25、2202110121022021112011()()(1)1( )(1)()()1( 11)2()()(1)(1)( )(1)()()1( 1)()()(1)1( )(1)()()(11)21112( )()2223xxxxx xlxx xxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx xlxx xxxxxlx dxxx dx 1121111122111102324( )(1)233111211( )()0222323lx dxxdxlx dxxx dx 012012( )0,1, 214133311A =,A =1,A = 22bkkaAlx dxkAAA插 值 型 求 積 系 數(shù) 為，與 原

26、 求 積 公 式 系 數(shù) 不 一 致（ 原 求 積 公 式 系 數(shù)若 與 原 求 積 系 數(shù) 一 致 ， 則 是 插 值 型 的 ）原 求 積 公 式 不 是 插 值 型 的 。證 畢 。 例例6.7 給定求積公式給定求積公式試確定求積系數(shù)試確定求積系數(shù)A-1, A0 ,A1, 使其有盡可能高的代使其有盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度)()0()()(10221hfAfAhfAdxxfhh解：令求積公式對解：令求積公式對f(x)=1, x, x2準(zhǔn)確成立，則有準(zhǔn)確成立，則有312121110131604hAhAhhAhAhAAA)(2)0()(234)(38,342

27、2110hffhfhdxxfhAAhAhh解之得解之得其代數(shù)精度至少為其代數(shù)精度至少為2,將將f(x)=x3代入求積公式兩端相代入求積公式兩端相等等,而將將而將將f(x)=x4代入求積公式兩端不相等代入求積公式兩端不相等,所以其所以其代數(shù)精度為代數(shù)精度為3次次 例例 6.8 確定求積公式確定求積公式使其具有盡可能高的代數(shù)精度使其具有盡可能高的代數(shù)精度)()()()(321afAbfAafAdxxfba32223221312hhAhAhAhAA解：不妨設(shè)解：不妨設(shè)a=0, b=h, b-a=h, 設(shè)所求公式的代數(shù)設(shè)所求公式的代數(shù) 精度為精度為2,則當(dāng)則當(dāng)f(x)=1,x,x2時公式變成等式時公式

28、變成等式,即即解：不妨設(shè)解：不妨設(shè)a=0, b=h, b-a=h, 設(shè)所求公式的代數(shù)設(shè)所求公式的代數(shù) 精度為精度為2,則當(dāng)則當(dāng)f(x)=1,x,x2時公式變成等式時公式變成等式,即即)()(2)(46)(32,6,31232afhbfafhdxxfhAhAhAba其中其中h=b-a, 令令f(x)=x3代入上式代入上式, 兩端不等兩端不等, 說明求積說明求積公式只有公式只有2次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。解之得：解之得：構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：復(fù)雜函數(shù)復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分 求積系數(shù)求積系數(shù)Ak只只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)與積

29、分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)xk有關(guān)有關(guān)，而與被，而與被積函數(shù)積函數(shù)f(x)無關(guān)，可以不管無關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出如何，預(yù)先算出Ak的值的值 n+1個節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有個節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度 求積系數(shù)之和求積系數(shù)之和 可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性 abAnkk0 abAnkk0例例 6.9 求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個時個時, 插值求積系數(shù)之和為插值求積系數(shù)之和為 abAnkk000001()()()1,()1nbbkkaaknbbkaaknkknfx d xpx d xAfxnfx d xd xAbaAbaAAAban證 ：

30、當(dāng) 節(jié) 點(diǎn) 為個 時 ， 插 值 求 積 公 式 有 n 次 代數(shù) 精 度 , 對 于 f ( x ) = x上 式 嚴(yán) 格 相 等 , 所 以取 f ( x ) = 1 時 ， 上 式 也 嚴(yán) 格 相 等 ， 因 此 有即例例 6.9 求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個時個時, 插值求積系數(shù)之和為插值求積系數(shù)之和為 (1) (1) 在積分區(qū)間在積分區(qū)間a,ba,b上選取節(jié)點(diǎn)上選取節(jié)點(diǎn)x xk k (2) (2) 求出求出f(xf(xk k) )及利用及利用 或解關(guān)于或解關(guān)于A Ak k的線性方程組求出的線性方程組求出A Ak k，這樣，這樣 就得到了就得到了(3) 利用利用f(x)=xn,驗(yàn)算

31、代數(shù)精度驗(yàn)算代數(shù)精度 構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟bakkdxxlA)()()(0kbankkxfAdxxf例例6.10 對對 構(gòu)造一個至少有構(gòu)造一個至少有3次代數(shù)精次代數(shù)精度的求積公式度的求積公式30)(dxxf例例6.10 對對 構(gòu)造一個至少有構(gòu)造一個至少有3次代數(shù)精次代數(shù)精度的求積公式度的求積公式30)(dxxf解解: 3次代數(shù)精度需次代數(shù)精度需4個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn), 在在0,3上取上取0,1,2,3四個四個 節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式) 3()2() 1 ()0()(321300fAfAfAfAdxxf確定求積系數(shù)確定求積系數(shù)Ak(k=0,1,2,3),利用求積系數(shù)公式

32、利用求積系數(shù)公式302330083) 6116(61) 30)(20)(10 () 3)(2)(1(dxxxxdxxxxA)3()2(3)1 (3)0(83)(83,89,89)31)(21)(01 ()3)(2)(0(3032301ffffdxxfAAdxxxxA因?yàn)榍蠓e公式有因?yàn)榍蠓e公式有4個節(jié)點(diǎn)，所以至少具有個節(jié)點(diǎn)，所以至少具有3次代數(shù)精次代數(shù)精度，只需將度，只需將f(x)=x4代入來驗(yàn)證其代數(shù)精度。將代入來驗(yàn)證其代數(shù)精度。將f(x)=x4代入兩端不相等，所以只有代入兩端不相等，所以只有3次代數(shù)精度次代數(shù)精度(1)0( ) ( )( ) d()d . (1.7)(1)!nnbbnjaaj

33、fR ff xL xxxxxn插值型求積公式它的余項(xiàng)為6.1.5、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性若中在求積公式 ,(1.3) 定義2定義200 lim()( )d ,nbkkankhA f xf xx.(1.3),(max11是收斂的則稱求積公式其中iinixxh0, ( )d, (1.3).nbkkakf xxA f一般地求積公式通常稱為積機(jī)機(jī)械械求求公公式式0(), () (0,1, ), |( )( )| ().kkkkknnnkkkkf xf xfknIfIfAf xf設(shè)有誤差即則有0 0,0,() (0, ), |( )( )| ()(),(1.3).kknnnk

34、kkkf xfknIfIfA f xf x 義若只要就有則稱求積公式是穩(wěn)定的定定3 3 (1.3)0 0,1, ),.kn若求積公式中系數(shù)A（則求積公式是穩(wěn)定的定定理理2 200, () (0, ), |()()() .kknnnkkkkkkf xfknRA f xf xAba這是因?yàn)?當(dāng)時 有6.2 牛頓牛頓柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求積公式求積公式 在插值求積公式在插值求積公式nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中,當(dāng)所當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)是等距時取節(jié)點(diǎn)是等距時稱為牛頓稱為牛頓-柯特斯公式柯特斯公式其中其中 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 求積系數(shù)求積系數(shù) )()()(0nkk

35、kxfxlxPbakkdxxlA)(這里這里 是插值基函數(shù)。即有是插值基函數(shù)。即有 )(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(將積分區(qū)間將積分區(qū)間 a,b 劃分為劃分為n等分等分, 步長步長求積節(jié)點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)為 為了計(jì)為了計(jì)算系數(shù)算系數(shù)Ak, 由于由于 , 所以所以nabh), 1 ,0(nkkhaxkhikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110作變量代換作變量代換 當(dāng)當(dāng) 時時,有有 ,于是可得于是可得 xathbax,nt, 0dxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dthhntktkttthkn

36、knnnkn0)() 1)(1() 1()!( !) 1(dtitknnkabnnkiikn 00) )()!( !) 1()()00(1)()!()!knknnniikCtidtnknk ( k=0,1,n ) 代入插值求積公式代入插值求積公式( (4.1)有有 ( )0( )d()()knbnkakf xxbaCf x稱為牛頓稱為牛頓- -柯特斯求積公式柯特斯求積公式,C,Ck k稱為柯特斯系數(shù)稱為柯特斯系數(shù)引進(jìn)記號引進(jìn)記號( )()knkAba C ( k=0,1,n ) 則則容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 10nkkC bakkkkdxxlAAabC)(1 nkbaknkkdxxlabC00)(11

37、11)(10 babankkdxabdxxlab顯然顯然, , C Ck k是不依賴于積分區(qū)間是不依賴于積分區(qū)間a,ba,b以及被積函數(shù)以及被積函數(shù)f(x)f(x)的常數(shù)的常數(shù), ,只要給出只要給出n,n,就可以算出柯特斯系數(shù)就可以算出柯特斯系數(shù), ,譬譬如當(dāng)如當(dāng)n=1n=1時時 1011002121) 1(! 1! 011tdtCdttC當(dāng)當(dāng)n=2=2時時 202061)2)(1(!2!02)1(dtttC201132)2(! 1! 12) 1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttC課本表課本表6-16-1給出了給出了n從從1 18 8的柯特斯系數(shù)的柯特斯系數(shù)。 當(dāng)當(dāng)n =

38、8n = 8時，出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和時，出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性，因此實(shí)用的只是低階公式。收斂性，因此實(shí)用的只是低階公式。 Newton-Cotes公式 柯特斯系數(shù)n1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 下面分別考慮幾種特殊請況。)()()(0)(xCjbanjnjfabdxxf幾個低階求積公式幾個低階求積公式 在牛頓在牛頓- -柯特斯求積公式中柯特斯求積公式中n=1,2,4=1,2,4時，就分別時，就分別得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。得到下面的梯形公式

39、、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)(1) 梯形公式梯形公式 當(dāng)當(dāng)n=1=1時，牛頓時，牛頓- -柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 )()()(21)(bfafabdxxfba定理定理4.2 （梯形公式的誤差）設(shè)（梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在在 a,b 上具有上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項(xiàng)）為連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項(xiàng)）為),()(12)()(31bafabfR 證證: :由插值型求積公式的余項(xiàng)由插值型求積公式的余項(xiàng) 其中其中 可知梯形公式的誤差為可知梯形公式的誤差為 dxxnffRbann)()!1()()()1()()()(),(10nxxxxxxxba

40、badxbxaxffR)()(21)(1由于由于(x-a)(x-b)(x-a)(x-b)在在a,ba,b中不變號中不變號, , 在在a,ba,b上上連續(xù)連續(xù), ,根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的積分中值定理根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的積分中值定理 , ,在在a,ba,b上上存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)，使，使 )(f )(6)()()()()(3fabdxbxaxfdxbxaxfbaba ),()(12)()(31bafabfR 因此因此 （2 2） 辛卜生公式辛卜生公式 當(dāng)當(dāng)n=2=2時，牛頓時，牛頓- -柯特斯公式就是辛卜生公式（或柯特斯公式就是辛卜生公式（或 稱拋物線公式）稱拋物線公式） )()2(4)()(61)(bfbaf

41、afabdxxfba定理定理4.34.3（辛卜生公式的誤差）設(shè)在（辛卜生公式的誤差）設(shè)在a,ba,b上具有連上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差為續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差為 55(4)(4)21()( )( )( )( , )9022880b ab aR fffa b定理證明從略。定理證明從略。 （3 3） 柯特斯公式。柯特斯公式。 當(dāng)當(dāng)n=4=4時，牛頓時，牛頓- -柯特斯公式為柯特斯公式為 )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba定理定理4.44.4（柯特斯公式的誤差）設(shè)在（柯特斯公式的誤差）設(shè)在a,ba,b上具有上具

42、有連續(xù)的連續(xù)的6 6階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為 ),()(49458)()6(74bafabfR定理的證明從略。定理的證明從略。 例例4.11 分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式計(jì)算定積分公式計(jì)算定積分 的近似值的近似值 ( (計(jì)算結(jié)果取計(jì)算結(jié)果取5 5位有效數(shù)字位有效數(shù)字) ) 15 . 0dxx例例4.11 分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式計(jì)算定積分公式計(jì)算定積分 的近似值的近似值 ( (計(jì)算結(jié)果取計(jì)算結(jié)果取5 5位有效數(shù)字位有效數(shù)字) ) 15 . 0dxx(1) (1

43、) 用梯形公式計(jì)算用梯形公式計(jì)算 10.51 0.5d (0.5)(1)0.25 0.70711 10.42677670.4267772x xff(2) (2) 用辛卜生公式用辛卜生公式 /).(.d.xx10.70711 4 0.86603 10.430934030.4309312 (3) (3) 用柯特斯公式計(jì)算，系數(shù)為用柯特斯公式計(jì)算，系數(shù)為 , 17875. 03275. 012625. 0325 . 07 905 . 01d15 . 0 xx14.9497525.2982210.3922329.9332670.43096180積分的準(zhǔn)確值為積分的準(zhǔn)確值為 43096441. 032d

44、15 . 02315 . 0 xxx可見，三個求積公式的精度逐漸提高?？梢?，三個求積公式的精度逐漸提高。 例例4.12 4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分3123d)572(xxxx的近似值的近似值, ,并估計(jì)其誤差并估計(jì)其誤差( (計(jì)算結(jié)果取計(jì)算結(jié)果取5 5位小數(shù)位小數(shù)) ) 例例4.12 4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算定積分3123d)572(xxxx的近似值的近似值, ,并估計(jì)其誤差并估計(jì)其誤差( (計(jì)算結(jié)果取計(jì)算結(jié)果取5 5位小數(shù)位小數(shù)) ) 解解: : 辛卜生公式辛卜生公式 322036225941

45、613)(24)(6bfbafafabS由于由于 由辛卜生公式余項(xiàng)由辛卜生公式余項(xiàng) 572)(23xxxxf0)()4(xfbafabfR,),(2880)()()4(5知其誤差為知其誤差為 0)(fR解解:柯特斯公式柯特斯公式 知其誤差為知其誤差為 0)(fR322097812532912835327451) 3 (7) 5 . 2 (32) 2 (12) 5 . 1 (32) 1 (79013fffffC 該定積分的準(zhǔn)確值該定積分的準(zhǔn)確值 ,這個例子告訴我這個例子告訴我們，對于同一個積分，當(dāng)們，對于同一個積分，當(dāng)n2時，公式卻是精確的，時，公式卻是精確的，這是由于辛卜生公式具有三次代數(shù)精度

46、，柯特斯公這是由于辛卜生公式具有三次代數(shù)精度，柯特斯公式具有五次代數(shù)精度，它們對被積函數(shù)為三次多項(xiàng)式具有五次代數(shù)精度，它們對被積函數(shù)為三次多項(xiàng)式當(dāng)然是精確成立的。式當(dāng)然是精確成立的。 3220I6.3復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項(xiàng)可知，由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項(xiàng)可知，隨著隨著求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，對應(yīng)公式的精度也會相應(yīng)求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，對應(yīng)公式的精度也會相應(yīng)提高。但由于提高。但由于n88時的牛頓時的牛頓柯特斯求積公式開始柯特斯求積公式開始出現(xiàn)負(fù)值的柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值的柯特斯系數(shù)。根據(jù)誤差理論的分析研究，。根據(jù)誤差理論的分析研究，當(dāng)積分公式出現(xiàn)負(fù)系數(shù)時，可能導(dǎo)致

47、舍入誤差增大，當(dāng)積分公式出現(xiàn)負(fù)系數(shù)時，可能導(dǎo)致舍入誤差增大，并且往往難以估計(jì)。因此不能用增加求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的并且往往難以估計(jì)。因此不能用增加求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的方法來提高計(jì)算精度。在方法來提高計(jì)算精度。在實(shí)際應(yīng)用中，通常將積分實(shí)際應(yīng)用中，通常將積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低階區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果加起來求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果加起來得到整個區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)化求積公式得到整個區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想。的基本思想。常用的復(fù)化求積公式有復(fù)化梯形公式常用的復(fù)化求積公式有復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛卜生

48、公式。和復(fù)化辛卜生公式。 6.3.1 復(fù)化梯形公式及其誤差復(fù)化梯形公式及其誤差將積分區(qū)間將積分區(qū)間 a,b 劃分為劃分為n等分等分, ,步長步長求積節(jié)點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)為 在每個小在每個小區(qū)間區(qū)間 上應(yīng)用梯形公式上應(yīng)用梯形公式 nabh), 1 , 0(nkkhaxk)1, 1 ,0(,1nkxxkk)()(2)(11kkxxxfxfhdxxfkk求出積分值求出積分值I Ik,k,然后將它們累加求和然后將它們累加求和, ,用用作為所求積分作為所求積分I I的近似值。的近似值。 10nkkI)()(2)()(110101kkbankxxnkxfxfhdxxfdxxfIkk)()(.)()(2)(212

49、10nnxfxfxfxfxfh)()(2)(211bfxfafhnkk)()(2)(211bfxfafhTnkkn記記 (4.5)(4.5)(4.5)(4.5)式稱為復(fù)化梯形公式。式稱為復(fù)化梯形公式。 當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)在在a,ba,b上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù), ,在子區(qū)間在子區(qū)間 上梯形公式的余項(xiàng)已知為上梯形公式的余項(xiàng)已知為 1,kkxx13,)(12 kkkkTxxfhRk在在a,ba,b上的余項(xiàng)上的余項(xiàng) 10310)(12nkknkTTfhRRk設(shè)設(shè) 在在 a,b 上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在存在 ，使，使 )(xf ba,)()

50、(110ffnnkk ba,因此因此, ,余項(xiàng)余項(xiàng) )(12)()(1223fhabfnhRT ba,復(fù)化梯形求積算法實(shí)現(xiàn)復(fù)化梯形求積算法實(shí)現(xiàn) （1 1）復(fù)化梯形公式計(jì)算步驟）復(fù)化梯形公式計(jì)算步驟 確定步長確定步長h=(b-a)/N ( N h=(b-a)/N ( N 為等分?jǐn)?shù)為等分?jǐn)?shù) ) ) 對對k=1,2,k=1,2,N,N，計(jì)算，計(jì)算T=T+f(a +kh)T=T+f(a +kh) T= h T= h f(a)+ 2T + f(b) f(a)+ 2T + f(b) /2/2（2 2）復(fù)化梯形公式的流程圖）復(fù)化梯形公式的流程圖 開 始 定 義f(x ) 輸 入a , b , N (b -a

51、 )/N h , 0 T 對k = 1 ,2 , , N -1 T + f (a + k * h ) T h * f (a )+ 2 T + f(b ) / 2 T 結(jié) 束 6.3.2 復(fù)化辛卜生公式及其誤差復(fù)化辛卜生公式及其誤差將積分區(qū)間將積分區(qū)間 a,b 劃分為劃分為n等分等分, ,記子區(qū)間記子區(qū)間 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為 在每個小區(qū)間上應(yīng)用辛卜生在每個小區(qū)間上應(yīng)用辛卜生公式，則有公式，則有 1,kkxxhxxkk2121)()(4)(6)()(11010211kkkbankxxnkxfxfxfhdxxfdxxfIkk)()(2)(4)(61101121bfxfxfafnknkkk121101(

52、 )4()2()( )6nnnkkkkhSf af xf xf b記記 (4.6)(4.6)稱為復(fù)化辛卜生公式稱為復(fù)化辛卜生公式 類似于復(fù)化梯形公式余項(xiàng)的討論，復(fù)化辛卜類似于復(fù)化梯形公式余項(xiàng)的討論，復(fù)化辛卜生公式生公式 (4.6) 的求積余項(xiàng)為的求積余項(xiàng)為 4(4)4(4)( )( )18022880sbahbaRfh f ba,如果把每個子區(qū)間如果把每個子區(qū)間 四等分四等分, ,內(nèi)分點(diǎn)依次記內(nèi)分點(diǎn)依次記 1,kkxx432141,kkkxxx同理可得復(fù)化柯特斯公式同理可得復(fù)化柯特斯公式 1010)(12)(32)(7902141nknkkknxfxfafhC)(7)(14)(32111043

53、bfxfxfnkknkk)(4945)( 2)6(6fhabRc求積余項(xiàng)為求積余項(xiàng)為 ba, 復(fù)化求積公式的余項(xiàng)表明，只要被積函復(fù)化求積公式的余項(xiàng)表明，只要被積函數(shù)發(fā)數(shù)發(fā)f(x)f(x)所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在 a,b 上連續(xù)，上連續(xù)，那么復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛卜生公式與復(fù)化那么復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛卜生公式與復(fù)化柯特斯公式所得近似值柯特斯公式所得近似值的余項(xiàng)和步長的關(guān)系依次為的余項(xiàng)和步長的關(guān)系依次為 、 。因此當(dāng)。因此當(dāng)h0 (即即n)時時, ,都收斂于積分真值，且收斂速度一個比一個都收斂于積分真值，且收斂速度一個比一個快?？臁?nnnCST,)(2h)(4h)(6hnnnCST,復(fù)

54、化辛卜生求積算法實(shí)現(xiàn)復(fù)化辛卜生求積算法實(shí)現(xiàn)（1 1）復(fù)化辛卜生公式計(jì)算步驟復(fù)化辛卜生公式計(jì)算步驟 確定步長確定步長h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0 ( N 為等分?jǐn)?shù)為等分?jǐn)?shù) ) 對對k=1,2,=1,2, ,N-1，計(jì)算，計(jì)算 S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh) S = h f ( (a) +4S1+ 2 S2+ f ( (b) ) /6/6 （2 2）復(fù)化辛卜生公式流程圖）復(fù)化辛卜生公式流程圖 開 始 定 義f(x ) 輸 入a , b , N (b - a ) / N h , a + h /2 x f(x ) S1 , 0

55、S2 對k = 1 ,2 , , N -1 S1 + f (a + k * h + h /2 ) S1 S2 + f (a + k * h ) S2 h * f (a )+ 4 S1 + 2 S2+ f(b ) / 6 S2 結(jié) 束 例例6.13 6.13 依次用依次用n=8n=8的復(fù)化梯形公式、的復(fù)化梯形公式、n=4n=4的復(fù)化的復(fù)化 辛卜生公式計(jì)算定積分辛卜生公式計(jì)算定積分 10dsinxxxI例例6.13 6.13 依次用依次用n=8n=8的復(fù)化梯形公式、的復(fù)化梯形公式、n=4n=4的復(fù)化的復(fù)化 辛卜生公式計(jì)算定積分辛卜生公式計(jì)算定積分 10dsinxxxI解解: :首先計(jì)算出所需各節(jié)點(diǎn)

56、的函數(shù)值首先計(jì)算出所需各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,n=8,n=8時，時， 125. 081h由復(fù)化梯形公式由復(fù)化梯形公式(6.5)(6.5)可得如下計(jì)算公式：可得如下計(jì)算公式： 9456909. 0) 1 ()875. 0(2)75. 0(2)625. 0(2) 5 . 0(2)375. 0(2)25. 0(2)125. 0(2) 0(1618fffffffffT由復(fù)化辛卜生公式由復(fù)化辛卜生公式(6.6)(6.6)可得如下計(jì)算公式可得如下計(jì)算公式9460832.0)875.0()625.0()375.0()125.0(4) )75.0()5 .0()25.0(2)1 ()0(2414fffffffffS（

57、積分積分準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值I=0.9460831I=0.9460831） 這兩種方法都需要提供這兩種方法都需要提供9個點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)個點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分的準(zhǔn)算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分的準(zhǔn)確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比較，復(fù)化梯形法只有兩位有效數(shù)字較，復(fù)化梯形法只有兩位有效數(shù)字(T(T8 8=0.9456909),=0.9456909),而復(fù)化辛卜生法卻有六位有效數(shù)字。而復(fù)化辛卜生法卻有六位有效數(shù)字。例例6.13 6.13 依次用依次用n=8n=8的復(fù)化梯形公式、的復(fù)化梯形公式、n=4n=4

58、的復(fù)化的復(fù)化 辛卜生公式計(jì)算定積分辛卜生公式計(jì)算定積分 10dsinxxxI例例6.14 用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分 才能使誤差不超過才能使誤差不超過 10dxeIx51021解解: :取取 , ,則則 , ,又區(qū)間長度又區(qū)間長度b-a=1b-a=1，對，對復(fù)化梯形公式有余項(xiàng)復(fù)化梯形公式有余項(xiàng) xexf)(xexf )(52210211121)(12)( enfhabxRT即即 ,n212.85,n212.85，取，取n=213n=213，即將區(qū)間，即將區(qū)間0,10,1分為分為213213等份時，用復(fù)化梯形公式計(jì)算誤差等份時，用復(fù)化梯形公式計(jì)算誤差不超過不超過 。 521

59、06en51021問區(qū)間問區(qū)間0,10,1應(yīng)分多少等份應(yīng)分多少等份6.3.3 6.3.3 誤差的事后估計(jì)與步長的自動選擇誤差的事后估計(jì)與步長的自動選擇 復(fù)化求積方法對于提高計(jì)算精度是行之有效的復(fù)化求積方法對于提高計(jì)算精度是行之有效的方法，但復(fù)化公式的一個主要缺點(diǎn)在于要先估計(jì)出方法，但復(fù)化公式的一個主要缺點(diǎn)在于要先估計(jì)出步長。若步長太大，則難以保證計(jì)算精度，若步長步長。若步長太大，則難以保證計(jì)算精度，若步長太小，則計(jì)算量太大，并且積累誤差也會增大。在太小，則計(jì)算量太大，并且積累誤差也會增大。在實(shí)際計(jì)算中通常采用變步長的方法，即把步長逐次實(shí)際計(jì)算中通常采用變步長的方法，即把步長逐次分半，直至達(dá)到某

60、種精度為止。分半，直至達(dá)到某種精度為止。 變步長的梯形公式變步長的梯形公式 變步長復(fù)化求積法的基本思想是在求積過程中，變步長復(fù)化求積法的基本思想是在求積過程中，通過對計(jì)算結(jié)果精度的不斷估計(jì)，逐步改變步長通過對計(jì)算結(jié)果精度的不斷估計(jì)，逐步改變步長（逐次分半），直至滿足精度要求為止。即按照給（逐次分半），直至滿足精度要求為止。即按照給定的精度實(shí)現(xiàn)步長的自動選取。定的精度實(shí)現(xiàn)步長的自動選取。 設(shè)將積分區(qū)間設(shè)將積分區(qū)間 a,b n等分，即分成等分，即分成n個子區(qū)間，個子區(qū)間，一共有一共有n+1個節(jié)點(diǎn)，即個節(jié)點(diǎn)，即x=a+kh, , k=0,1,，n，步，步長長 。對于某個子區(qū)間。對于某個子區(qū)間 , ,