第6章__水力壓裂力學

1、 郭建春 副教授、博士 Tel13980785559E-mail: 2003.8 成都 壓裂原理、設計與實施：壓裂原理、設計與實施： 第第6章：水力壓裂力學章：水力壓裂力學 第第7章：壓裂液化學和支撐劑章：壓裂液化學和支撐劑 第第8章：壓裂材料的性能章：壓裂材料的性能壓裂設計（第壓裂設計（第10章）章）壓裂施工（第壓裂施工（第11章）章）碳酸鹽巖酸化設計（第碳酸鹽巖酸化設計（第17章）章）碳酸鹽巖酸化技術（補充）碳酸鹽巖酸化技術（補充） 6.1 引言 6.2 早期水力壓裂模擬 6.3 三維和擬三維模型 6.4 濾失 6.5 支撐劑鋪置 6.

2、6 熱傳遞模型 6.7 縫端效應 6.8 裂縫彎曲以及其它近井筒效應 6.11 泵注程序設計 6.10 多層壓裂 6.9 酸壓裂 6.12 壓裂歷史擬合水力壓裂力學是對壓裂工藝和壓裂機理的簡單描述。 6.1 引引 言言水力壓裂力學流體力學固體力學斷裂力學熱力學描述單相、兩相或三相流體在裂縫中的流動描述由于流體壓力變化引起的巖石變形或張開描述與水力裂縫端部附近發(fā)生的破壞和裂開描述壓裂流體與地層之間的熱交換所有的響應是耦合的，相互影響開發(fā)和利用水力壓裂施工的重要原因 進行經(jīng)濟優(yōu)化 （確定多大施工規(guī)模得到最高回報率） 施工評估 模擬特定的泵注程序得到相應 的裂縫幾何形狀和支撐劑鋪置 泵注程序優(yōu)化一

3、裂縫延伸二維模型l卡特模型 Carter， 1957年lGDK 模型 Christianovich、Geertsma、Deklerk lPKN 模型 Perkins和Kern 提出, Norgren完善裂縫延伸三維模型l擬三維模型 三維擴展，一維流體流動l真三維模型 三維擴展，至少二維流體流動模型分類： 6.2.1 基本的壓裂模擬基本的壓裂模擬22)(1)1 (8)(RrEpRrw 橢圓裂縫的體積為：netpERV311632）（ 半徑為R的靜態(tài)扁平裂縫的寬度： 半徑為R的裂縫擴展的壓力：REpFnet212Sneddon 和 Elliot（1946）（6.1）（6.2）（6.3）對于縫高hf

4、不變和無限大（即平面應變）裂縫其最大寬度為： Ehpwfnet212裂縫的形狀為橢圓，平均縫寬 ww4。定義平面應變模量E更為方便：21EE（6.5）（6.4）Perkin 和 Kern （1961） 徑向裂縫擴展的壓力： 5122233132VEpFnet 泵注排量qi保持不變，裂縫中的流體摩擦阻力不計，沒有濾失時： 5122233321323116tqEERqiFi整理得到R：51222211289tqtEqRii（6.6）（6.7）（6.8） 6.2.2 水力壓裂二維模擬水力壓裂二維模擬o PKN模型 假設每一垂向截面獨立作用，即假設截面的壓力是由 高度控制的而非由縫長控制的。在縫長遠大

5、于縫高的條件下成立沒有考慮斷裂力學和縫端的影響，而主要考慮了縫內(nèi)流體的流動以及相應的壓力梯度的影響圖6.1 PKN裂縫o KGD模型 假設每一水平截面獨立作用，即假設裂縫面任一點處裂縫寬度沿垂向變化遠比水平方向的變化慢。在縫高遠大于縫長或者儲積層邊界產(chǎn)生完全滑移的條件下成立縫端區(qū)域起著很重要的作用，而縫內(nèi)壓力可以估算圖6.2 KGD 裂縫6.2.2.1 垂向裂縫的Perkins 和 Ken模型的推導 流動的基本方程：364whqdxdpf將縫寬方程并用注入速度的一半代替q，并假設流速沿縫不變得到：代入上式dxhEqdppfinetnet4334414316LhEqpfinet沿裂縫半長L對上式

6、積分，并利用邊界條件pnet=0 得到：（6.9）（6.4）（6.10）（6.11）4/13)(ExLqxwi 實際的裂縫寬度：重要發(fā)現(xiàn)： 垂向平面應變特性的假設 斷裂韌性可忽略（裂縫延伸所需的能量遠比流體沿 縫長方向流動所需的能量最?。?縫中流體濾失和存儲或者體積變化可以忽略的假設 固定縫高的假設 沒有直接給出作為解的一部分（6.12）6.2.2.2 模型中考慮流體濾失 裂縫任一點處的濾失速度：expttCuLLCL濾失系數(shù) t當前時間texp該點濾失速率 uL持續(xù)的時間 質(zhì)量平衡方程：fLiqqqqL 整個裂縫的濾失速度 qf 縫內(nèi)流體存儲體積流速Cater（1957）（6.13）（6.1

7、4）假設裂縫在空間和時間上都保持恒定，上式變?yōu)椋?tAffLiftAwdAuq02即：tAwdAAtuqffftli02利用拉普拉斯變換得到： 12422SerfceCwqAsLif 壓裂設計是通過由Carter的方法得到與時間有關的縫長與由Kern模型確定的縫寬之間反復迭代，直到得到相容解（6.15）（6.16）（6.17）Nordgren（1972） 連續(xù)性方程（即質(zhì)量守恒）：0tAqxqLq 流體通過某一橫截面的體積流速A 裂縫的橫截面積（對于PKN模型為whf/4）qL單位長度上濾失體積流速 LfLuhq2其中：uL由方程（6.13）得到，橫截面面積不是裂縫面的面積Af（6.18）壓力

8、用縫寬表示代替，方程（6.18）寫為： twxttCxwhELfexp2428128以無量綱形式對該方程數(shù)值求解，得到與時間有關的縫寬和縫長。方程解中的無量綱時間定義如下：tqhECtffLD3223564（6.19）（6.20）6.2.2.3 Khristianovich-geerssma-de Klerk 模型的導出 Khristianovich 和 Zheltov（1995）導出了縫高遠大于縫長，即離開井筒任意距離時縫寬與垂向位置無關這種水力裂縫延伸的解。 通過假設縫內(nèi)流速恒定；除縫端沒有流體穿透（即沒有壓力）外，縫中的壓力大部分處的壓力以定壓近似?？捎媒馕龇ń庠搯栴}。 流體滯后的概念一

9、直是縫端力學的中的重要組成部分，已經(jīng)在現(xiàn)場得到證明（Warpinski，1985）。如果縫端無流體穿透區(qū)很?。s為總縫長的百分之幾），他們發(fā)現(xiàn)裂縫主體中沿整個縫的壓力幾乎等于井中的壓力，只是在靠近縫端劇減。 Geertsma 和 de Klerk（1969）對于縫端區(qū)域很小這個問題給出了解。 對于矩形橫截面，流動的基本方程為：312whqdxdpf 可以積分形式寫為：Lfinetwdxhqp036（6.21）（6.22） 應用Barenblatt縫端條件，意味著應力集中系數(shù)為零。 裂縫寬度方程：netwLpEw4 0102LnetLxdxxp圖6.3 Barenblatt 的縫端狀況（6.23

10、）（6.24） 通過解方程（6.22）至方程（6.24）三個方程，得到Perkins和Kern（1961）給出的表達形式。4132,6421ELhqpfiwnet（6.25）41284fiwhELqw 井壁裂縫寬度：（6.26） 在沒有濾失的情況下，解得縫長和縫寬: 32613338. 0thqEtLfi（6.27）31613348. 1thEqwfiw（6.28） 假設流體濾失對裂縫形態(tài)或壓力分布沒有影響，將模型推廣到包括流體濾失的情況下：一個兩翼KGD裂縫的體積為：wffLwhV2運用體積平衡和與Carter相似的解法，得到： 12642SerfcehCwqLsfLwi其中：wLwtCS8

11、（6.29）（6.30） 為了包括瞬時濾失Sp的影響，應該以ww+(8/)Sp代替ww 。6.2.2.4 PKN 和 KGD 模型的假設平面裂縫（裂縫沿最小主應力垂直方向擴展）流動沿縫長一維流動流體為牛頓流體濾失特性由濾失理論（6.13）得到的簡單表達式所控制地層巖石為連續(xù)、均勻、各向同性的線彈性體裂縫被認為縫高不變，完全在某一給定的地層中擴展PKN模型假設縫長遠大于縫高，忽略了有關斷裂力學的影響KGD模型假設縫高遠大于縫長，包括了縫端動態(tài)過程控制裂縫延伸的假設6.2.2.45 PKN 與GDK 模型比較 1. 模型差異 裂縫幾何形態(tài): PKN:垂直剖面為橢園形狀;GDK:垂直剖面為矩形 PK

12、N：水平剖面為(2n+2)次拋物線形;GDK:水平剖面為橢園形 PKN：裂縫長而窄;GDK:裂縫短而寬 應變: PKN:平面應變發(fā)生于垂直剖面，層間無滑動;GDK:平面應變主要發(fā)生于水平剖面，層間有滑動. PKN：裂縫張開在垂直剖面求解;GDK:裂縫張開在水平剖面求解. 壓力行為: 井底壓力隨時間增加而升高，隨縫長增加 井底壓力隨施工時間逐漸降低，隨縫長增加而遞減 2.選擇的一般原則 根據(jù)井底壓力的變化趨勢。 壓裂層的埋藏深度：淺層選用GDK，深層選用PKN。 壓裂層與上下巖層的地應力差：上下巖層的地應力大于壓裂層且差值大于13.8MPa, PKN和GDK都適用。上下巖層的地應力小于壓裂層且差

13、值小于13.8MPa,薄層選PKN，塊狀厚層或射孔段長的井選GDK。 施工參數(shù)：PKN用于低粘高濾失壓裂液小排量注液施工規(guī)模大；GDK用于高粘低濾失壓裂液大排量注液施工規(guī)模小。3.實例比較 參數(shù)地 層 參 數(shù)工 程 參 數(shù)油層中部深度 2590m滲透率 0.015*10-3um2有效厚度 46m油層壓力 29.3Mpa閉合壓力 40Mpa油層溫度 107 C供油半徑 805m裂縫高度 161m壓裂液濾失系數(shù) 3.0*10-4 m/min1/2總用液量 1336m3前置液百分數(shù) 36.3%總加砂量 284m3泵注排量 4.0m3/min平均砂比 33%計 算 結 果PKNGDK動態(tài)縫半長，m支撐

14、縫半長,m動態(tài)縫寬,mm支撐縫寬,mm井眼附近支撐劑濃度,kg/m2穩(wěn)定狀態(tài)下壓后日產(chǎn)量,104m36334075.843.304.305.323932449.965.547.324.22 計算結果支撐半長項 目模型229457686PKN56818003785用液量,m3GDK66220804353支撐劑量,m3施工費用,104元導流能力,um2.cm無因次導流能力壓后累計產(chǎn)量 （3 年） ,104m3凈現(xiàn)值,104元PKNGDKPKNGDKPKNGDKPKNGDKPKNGDKPKNGDK5371507525752541233456645735106230175225295615267434

15、849639443217740835047532691123920410195516563前面簡單模型的局限性： l 需要給定縫高或假設產(chǎn)生的是徑向縫原因： l 不能斷定裂縫是否被限制在某一特定的地層中 l 由井筒（壓力最高處）至縫端的過程中縫高是變化的解決辦法： l 利用平面三維3D和擬三維（P3D）模型來彌補包括縫高增長的三種主要水力壓裂模型o 普通三維模型 l 沒有對裂縫方位作假設l 計算量大，需要專人對結果作解釋l 模型適合于研究水力裂縫起裂的細節(jié)以及 近 井筒的復雜情況，而非裂縫整個延伸過程 在此不對該模型作進一步的討論。o 平面三維模型 l 假設裂縫是平面的，并且其方向與最小主應力

16、方向垂直，沒有考慮由于偏離平面引起的復雜狀況l 這種模型的模擬軟件也需大量的計算，一般不用于常規(guī)壓力設計l 模型用于研究裂縫的主體在裂縫起裂地層以外或者壓裂液垂向流動比水平流動更強烈的情況這種模型在6.3.1節(jié)介紹o 擬三維模型 l 主要類型有塊體和單元體兩種 l 塊體（橢圓）模型中，假設垂向剖面由中心相連的兩個半橢圓組成，每一時間步長計算出水平裂縫和井筒中裂縫縫端的垂向延伸，假設的裂縫形態(tài)也要擬合到這些位置；采用固有的假設條件，分析得到：流體沿射孔到橢圓邊緣的流線流動，而且流線有專門的形狀。l 單元體模型將裂縫視為一系列相連的單元對待，不需要對裂縫形態(tài)進行假設，但一般假設為平面應變，流體垂向

17、流動計算與裂縫幾何形狀之間沒有做完全耦合。 這種模型在 6.3.2 和 6.3.3 節(jié)介紹 6.3.1 平面三維模型平面三維模型定義：縫內(nèi)流體的二維流動與巖石三維彈性響應耦 合的模型。 任意水力壓裂模型求解的復雜性在于不同過程裂縫的幾何形狀和流體流動的密切耦合。在求解過程中應考慮的問題：已知形態(tài)和壓力的裂縫的寬度剖面裂縫形態(tài)已知形態(tài)和寬度（已知幾何形狀）的裂縫內(nèi)的流體流動Hirth 和Lother（1968）以及Bui（1977）裂縫中壓力和縫寬的關系式：ydxdyxyxpyyxxfyxw,（6.31）式中：應力 f 彈性影響函數(shù)，一般情況下只有對于均質(zhì)線彈性材料，才可以導出該方程的可用的形式

18、（見旁注6E）。在實際應用中，一般假設巖石為各向同性。o 壓力和縫寬的關系簡單的裂縫形態(tài)和縫內(nèi)壓力分布如定壓下的橢圓形裂縫，破裂準則：方程（6.3） 復雜的裂縫形態(tài)和壓力分布，破裂準則用縫端附近的縫寬和臨界應力集中系數(shù)或斷裂韌性KIC表示： xEKxwIC24（6.32）式中：x距離縫端的距離 裂縫的形態(tài)隨時間不斷演化，假設該過程用線彈性斷裂力學描述。o 質(zhì)量守恒方程（描述流體流動）：02Lyxuwtywuxwu（6.32） 可以寫為矢量形式：02Luwtuw（6.33） 上式中的前兩項與質(zhì)量流量的矢量的變化有關， 后兩項分別表示由寬度增加和濾失引起的流體存儲。 方程（6.34）的左邊為動量改

19、變速率；右邊分別為壓力、粘滯力和重力，它可解釋為小的流體單元在力的作用下而加速。該方程可以擴展并根據(jù)壓裂地層的不同形狀而簡化（見旁注6F）。o 動量守恒方程：gpDtuD（6.34）式中：剪應力 g 重力加速度應力與流速之間的本構方程：對于x分量 方程（6.34）變?yōu)椋簒zxyxxxxgzyxxpDtDuzuxzxxzzuyzyyz方程（6.34可寫為）：xxxgzuxpDtDu22（6.35）（6.36）（6.37）假設流動為穩(wěn)定流動，得到：xxgzuxp22（6.38）6F 水力壓裂中的動量守恒水力壓裂中的動量守恒方程（6.34）實矢量方程，其分量形式可以寫為：iziyixiiigzyxx

20、pdtdu（6F.1）上式的左邊為物質(zhì)導數(shù)，它可與偏導數(shù)建立關系：zuyuxutdtdzyx（6F.2）因此方程（6F.1）可擴展為：iziyixiiiziyixigzyxxpzuuyuuxuutup（6F.3） 對于非滲透介質(zhì)，z方向分量可以忽略不計；并假設為穩(wěn)態(tài)流，（6F.3）簡化為：iziyixiiiyixgzyxxpyuuxuup（6F.4）式中：i = 1或2 對于滲透介質(zhì)，也可采用方程（6F.4），在這種情況下，濾失作為插入項包括在質(zhì)量平衡中，但假設不影響與壓力、應力和流體流速有關的方程。牛頓流體對于牛頓流體，僅含有粘度參數(shù)，應力分量為：uxuxxx32uyuyyy32uzuzzz

21、32xuyuyxyxxyyuzuzyzyyzzuxuxzxzzx（6F.5） 對于不可壓縮流體，正應力方程中的第三項為零 在平行板間一維流動，如不考慮濾失，兩個速度分量全部為零質(zhì)量守恒意味著第三個方程不能隨位置而改變。所以全部的正應力方程為零。上面的方程可以簡化為剪切流動方程 原因應力分量：zuxzxzuyzy（6F.6）將方程（6F.6）代入（6F.4）得到：ixxyxxzuxpyuuxuup22gzuxpyuuxuupiyyyyx22（6F.7）如為沿縫長一維流動，方程（6F.7）可簡化為：xpzux122（6F.8）如不存在滑移（裂縫面處流體流速為零），方程（6F.8）的解為：22221

22、wzxpux（6F.9）對上式積分，得整個通道上的平均流速：xpwux122（6F.10） 單位高度的流速可以通過平均流速乘以縫寬w得到。 在二維流動的情況下，如果慣性可以忽略，方程（6F.7）左邊為零。在這種情況下可按方程（6F.10）寫出y方向的方程只是多了重力項。6G 非牛頓流體的動量平衡和本構方程非牛頓流體的動量平衡和本構方程牛頓流體的應力和速度之間的關系，用張量表示：ifif（6G.1）式中：形變張量的速率，其分量為：iiiiifxuxu（6G.2） 對于非牛頓流體寫出與（6G.1）相似的方程：ijafi（6G.3）式中：a的函數(shù) a可能僅是的函數(shù)，而且兩者之間存在某種函數(shù)關系： 2

23、laa（6G.4）式中：l2 二級張量變量：ijijijl2（6G.5）如：冪律流體的函數(shù)a為：122nalK（6G.6） 賓漢塑性的函數(shù)a為：2200la（6G.7） 稠度指數(shù)K取決于流形，并與流體基本性質(zhì)綜合稠度系數(shù)K有關。對于平板流動，關系為：nnnKK312（6G.8） 對于管流關系式為：nnnKK413（6G.9） 平板間一維流動的冪律流體，平均流速：nnnnxwnnxpKu1112211（6G.10） 對當n=1時，上式轉(zhuǎn)化牛頓流體方程，其中K被粘度代替，表6G.1對不同流形下的表達式作了總結。6G 非牛頓流體的動量平衡和本構方程 方程（6.31）到（6.38）總結了牛頓流體的平面

24、模型，非牛頓流體也可得到相似的結果（見旁注6G）。這些方程一般不適合分析解，需要數(shù)值模擬這些方程也很難得到高效穩(wěn)定的數(shù)值解 原因 解的不同部分相互耦合得很緊密 （如流體流動與固體變形） 縫寬與壓力之間存在非線性關系以及移動邊界問題的復雜性o 平面模型的數(shù)值模擬 由Clifton 和AbouSayed首次進行的數(shù)值模擬方法 將由射孔孔眼起裂的一條裂縫分成數(shù)個相同的單元（一般為16方格）然后開始對方程求解。隨著邊界延伸，單元要變形以符合新的幾何形狀。這種解法的一種困難就是單元可能變得高寬比大、角度變小，如圖6.5所示，這種數(shù)值方法一般用來解對于這種幾何形狀有問題的那些方程。圖6.5 平面3D裂縫

25、分成矩形單元 Barree給出的另外一種數(shù)值模擬方法 這種方法通過將分層油藏劃分為具有相同大小的矩形單元網(wǎng)格的方法避免了網(wǎng)格扭曲的問題，這些單元網(wǎng)格的邊界在裂縫可能產(chǎn)生的區(qū)域內(nèi)。 在這種情況下，網(wǎng)格不移動，而是超過破裂準則時，裂縫破裂縫端前面的單元被打開，允許流體流動而成為裂縫的一部分，如圖6.6所示。圖6.6 表示隨裂縫延伸單元打開的固定網(wǎng)格解這種方法的局限性：隨著數(shù)值模擬的進行，單元數(shù)在逐漸增加，所以最初的單元數(shù)少，導致誤差大。在模擬前要估計裂縫的大致規(guī)模以確保采用合理的單元數(shù)。專門的計算過程的假設條件： 用一個簡化的方法代表模量差異。 用抗張強度準則代替裂縫擴展而不是斷裂力學影響。 靠近

26、縫端裂縫誘導的應力隨與距縫端距離的平方根而變化，因此，破裂準則取決于網(wǎng)格劃分的精度。 該準則用所有邊界單元中心的應力與材料抗張強度相比，如果超過了該強度，那么假定單元張開。 6.3.2 以單元為基礎的擬三維模型以單元為基礎的擬三維模型 在以單元劃分的模型中，縫長被分為數(shù)個離散的單元。這與平面模型相似，不過是沿一個方向離散而不是兩個方向。假設： 流體流動是沿縫長的方向 固體力學簡化為任意截面內(nèi)的平面應變 這個假設對于縫高得到控制的裂縫是合理的，與縫高相比這種裂縫是長裂縫。 這個假設使得可將固體力學和斷裂力學解與流體流動分開： 平面應變暗指每一橫截面獨立作用與其他橫截面無關。 一維流動的假設暗指橫

27、截面內(nèi)的壓力始終為：gyppcp（6.39）式中：pcp沿射孔中心水平線上的壓力 y 到射孔中心的垂直距離 上面的方程僅對裂縫延伸相當緩慢，由垂向流動引起的壓力梯度可以忽略不計時才是有效的。這種裂縫垂向縫端基本處于靜態(tài)的假設稱為平衡高度假設。6.3.2.1 固體力學解 Simonson等（1978）導出了對稱的具有三個地層的解 Fung等（1978）導出了更具有普遍性非對稱多重底層的解。 在高度平衡的假設條件下，固體力學解簡化為確定裂縫橫截面形狀與靜壓力或pcp的函數(shù)關系。 根據(jù)Fung等的方法 頂部和底部縫端的應力集中系數(shù)KIu和KIl可以分別以射孔中心的壓力pcp和各層中的應力i表示ifi

28、fiffniiiffcpfncpfIlhhhhhhhhhhgphK2cos22 4121111ifififfniiiffcpfncpfIuhhhhhhhhhhgphK2cos22 4321111（6.40）（6.41）式中： pf 流體密度 hcp 射孔中心高度 hi 由底部縫端至第i 層底層頂部的高度，如圖 6.7所示圖6.7 控制縫高增長問題中的變量定義 通過迭代求解該非線性方程，如果pcp取某一值時的解（兩個垂向縫端的位置以及壓力）已知，假設縫高增量，則兩個垂向的縫高就可以計算出來而且滿足方程（6.40）和（6.41），裂縫端達到這些位置所需的pcp可計算出來。最后與該解相關的縫寬剖面也

29、可得到。 fiffiififiiniiifncpcphhhyhyhyhhhhhyyyhEyhyyhpEyw2cos 2cosh 4411111（6.42）式中： y 距底部縫端的高度現(xiàn)如考慮如圖6.8所示的一個對稱的三個地層的情況忽略重力分量的影響，問題就簡化為對稱的情況，裂縫向兩個遮擋層的延伸是相同的。此時方程（6.40）可簡化，得到：fpaypaycpfIlIuhhphKK22（6.43）式中： 產(chǎn)層與隔層的應力差 hpay和i產(chǎn)層的厚度和應力圖6.8 簡單的三層地層中縫高增長問題圖6.9為由（6.43）計算得到的縫高和凈壓力的關系曲線 盡管（6.43）是一個特例，但它表明了兩個有實用意義

30、的結論。 在某一臨界壓力條件下，裂縫會突破邊界進入隔層fIccritnethKp2,2（6.44） 凈壓力不會達到產(chǎn)層與隔層的凈壓力差值，因為那種情況會產(chǎn)生無限縫高圖6.9 上、下遮擋層對稱情況的縫高與凈壓力關系曲線（hs=進入遮擋層）6.3.2.2 流體力學解流體力學解平面3D與P3D模型間的主要區(qū)別：流體流動計算；大多數(shù)P3D模型中的流體流動模型與Nordgren（1972）的相同（即一維形式用于描述平面三維模型中）。一般的P3D模型不能代表幾方面的特征： 垂向縫寬變化對流體速度的影響 局部失水，是用整個縫高同時失水估算的 端部脫砂（TSOs）后的流體濾失，流體流過支撐劑充填層時，忽略了流

31、體的濾失 由于對流或重力引起的支撐劑沉降采用平均流速和寬度（寬度以橫截面積除以高度代替）質(zhì)量守恒方程簡化為：iLLhutAxAu2（6.45）式中： u 平均橫截面 ul 每層的濾失速度 hl 每層的濾失高度動量守恒方程簡化為：zxpxz（6.46）對于具有性質(zhì)n和K的冪律流體：nxxzzuK（6.47） 結合無滑移邊界條件，解方程（6.46）得到通道中的平均流速：nnnxwnnkxpxpu11221sgn（6.48）式中： sgn 量值標志對于牛頓流體，n=1、=K；上式變?yōu)椋簒pwux122（6.49）求沿縫高方向的所有橫截面的總流速 將方程（6.45）中換成平均流速 將方程（6.48）從

32、橫截面的縫底到縫頂積分 dyyuywqx（6.50）平均流速：nnfhAKxpxpAqu/112sgn（6.51）式中： 通道函數(shù)： dyywhnnAhnnhfnnff2121142（6.52）6.3.2.2.1 層流和紊流層流和紊流流體在平板間以低速無濾失流動，除入口較小區(qū)域外，任意流體元與流道的壁之間保持固定的距離，即層流流動，雷諾數(shù)NRe 2100即為紊流6.3.2.2.2 壓裂液的流變性壓裂液的流變性壓裂液常為冪律流體；冪律模型中的有效參數(shù)K和n是剪切速率在以一定范圍內(nèi)通過室內(nèi)實驗導出的；實際中要考慮到剪切速率只會在有限范圍內(nèi)。壓裂液的性質(zhì)隨時間和溫度而改變。高溫下流體粘度降低；交聯(lián)劑

33、可能引起流體粘度下降前初始粘度增加；模擬軟件中通過K和n在不同溫度下隨時間變化表而考慮進了溫度和時間的影響。6.3.2.3 模型的數(shù)值解模型的數(shù)值解 描述縫高增長的力學（壓力縫寬縫高關系），質(zhì)量守恒和動量守恒（速度壓力相互關系）的三個基本解是相互耦合的，需要同時解。解這些耦合方程的方法：網(wǎng)格點隨流體移動的顯式有限差分法網(wǎng)格點隨流體移動的隱式有限差分法 在開始做裂縫演化模擬前，要先按照在第6.3.2節(jié)中介紹的“固體力學解”，計算得到壓力縫高縫寬的關系（右平衡高度解）表。 顯式有限差分方法顯式有限差分方法 任意時刻的裂縫中流體被分為n個單元；每個單元的橫截面積為Aj；其在xi和xi+1處的兩個邊界

34、面分別以ui和ui+1。如圖6.10所示（網(wǎng)格以數(shù)字編號i=1代表端部，如果有必要它可以用于井筒中的新的單元）。A4A3A2A1x5x4x3x2x1u5u4u3u2u1圖6.10 裂縫分成位置和速度由網(wǎng)格點定義的單元質(zhì)量守恒方程：xAuhtAuiiLL2（6.53）將導數(shù)以中心有限差分近似代替得到：xtuuAVxhAAiitiLtitti1（6.54）式中：VL 時間步長為內(nèi)，整個單元流體的濾失體積 速度為網(wǎng)格點處的計算得到的，并假設每個單元的面積是恒定的，這樣橫截面面積可以由速度和上一時間步長的面積更新。這樣壓力梯度：2111iiiiixxppxp（6.55） 由方程（6.51）得到新的速度

35、后，網(wǎng)格位置的更新方程： tttutxttxiii（6.56） 這就是拉格朗日動坐標方法，它的局限性在于： l 網(wǎng)格點坐標隨流體移動，濾失引起每個單元收縮甚至隨著深入裂縫中而消失。 l 井筒必須有新的單元不斷加入，這就使得控制任意時刻運用多少單元或單元的大小很困難。另外的方法： 引入平面三維模型中討論的固定網(wǎng)格；它的優(yōu)點在于模擬初始階段不需要精度很高時，所需要的單元數(shù)相對較小，而隨著模擬的進行單元數(shù)要增加。 引入移動網(wǎng)格，網(wǎng)格點以一定的速度移動，如裂縫始終被分成一定數(shù)量大小的單元（即采用拉伸坐標，見旁注6H）。6H.1 坐標系拉伸坐標系拉伸如果：（6H.3） x在0L(t)之間變化時，X一直在

36、01之間。網(wǎng)格劃分簡化了，但差分方程卻更復雜了。導數(shù)：6H 坐標系拉伸和穩(wěn)定分析坐標系拉伸和穩(wěn)定分析 tLxX XLx1（6H.2）XdtdLLXtt（6H.1）方程（6.53）變?yōu)椋篖qXqLXAdtdLLXtA1（6H.4） 假設壓力梯度為：（6H.5） 對于PKN模型，縫高是固定的，Cp=hf,，其中定義為：（6H.6） 將方程(6H.5)代入(6.53)，并運用鏈規(guī)則：（6H.7）6H.1 穩(wěn)定分析穩(wěn)定分析xACxppwp22211111xAAnxAAxAAAnDtAnnnn 為了進行誤差分析，所有變量必須為絕對值，D定義為： 導數(shù)擴展為中心差分近似，Ai中的項變?yōu)椋簄nfnpKhCD

37、1112 方程(6H.7)中的最高項為：221111xAAxAAAnDnnnnnAxAxnD131122（6H.10）（6H.9）（6H.8） 為將A用A（1+）代替， A（1+）可近似為（對于小量）：nAxAxnDnn131213112（6H.11） 如取一時間步長，那么增加為：nAxAxnDtEnn131213112（6H.12） 為了減小誤差，它必須小于A, 僅當下式成立：vpCACxt22（6H.13）式中：Cv粘度濾失控制系數(shù)213nxpvnCv（6H.14） 顯式有限差分的一個主要局限：在計算中所用的時間步長不能超過某一臨界值，以確保穩(wěn)定性。隱式有限差分方法沒有時間步長的限制顯式差

38、分和隱式差分的區(qū)別： 顯式差分法僅在上一時間步的基礎上，求當前步長的解 隱式差分法只用當前值。要得到當前時間步長的所有變量值，就需要建立一組方程并解方程。 隱式差分法 對于線性問題，可用高斯消去法得到解；對于一維流動問題，從隱式有限差分法得到三角方程組。但對非線性問題，這些方法可能比較復雜。 積分或分析元法：既沒有時間步長的限制，又能避免形成一組方程。商業(yè)時間共享方法PKN模型當在縫端x =的基本方法：Ehpwfnet2364whqdxdpf將方程（6.58）中的p代入方程（6.57）得：（6.57）（6.58）3642whqdxdwhEff（6.59）用 uhfw/4代替q上式變?yōu)椋簎wEh

39、dxdwf232（6.60）或：udxEhdwwf322（6.61）在距離x上積分得： 3/1396 xxxfudxEhxwxxw（6.62）積分項假設為常數(shù)，它進一步簡化為： 3/1396xuEhxwxxwf（6.63） 對于高度不固定，非牛頓流體，用冪律流變參數(shù)寫出與此相似的方程： xuEKhnAAnnnfntiti3212式中： dywywnhnnnhff2142（6.64）（6.65）每一時間步長求解的方法：1、估算縫端速度2、對于從縫端至井筒的每一單元 在單元內(nèi)邊確定速度，這樣時間步長中的流體濾失和體積變化達到質(zhì)量平衡。 根據(jù)方程（6.64）估算流體流速確定單元內(nèi)部的橫截面積。 根據(jù)

40、單元外邊界速度和估算的單元內(nèi)部的速度計算平均流速（第一次迭代中，假設內(nèi)、外流體流速相同）3、將流入裂縫的實際流速遇上一步迭代計算的井筒流體流速作比較。4、用NewtonRaphson方法對估算的縫端速度進行修正直到達到體積平衡，該過程要24步6.3.2.4 非平衡高度解非平衡高度解 如果裂縫延伸至高滲層或隔層應力不足以遮擋裂縫，裂縫垂向延伸很快的情況下，由于流體垂向流動形成的壓力梯度會變得較大，平衡高度假設不再成立。 對于非平衡高度增長，壓力梯度要根據(jù)縫高增加速度估算。 根據(jù)縫端分析解（Lenoach 1994），得到凈壓力：nnnnnfnetnnnnhEKnnEp2112112sin1cos

41、 2222（6.67）式中：utip 端部速度 = 2 /（2+n） 常壓下的裂縫，應力集中系數(shù)與凈壓力的關系：2fIcnethKp（6.68） 將上兩式合并， Lenoach 法可求解由于端部速度非零時的表觀斷裂韌性，這種影響可以納入實際的巖石斷裂韌性中，將兩者的和代替實際巖石斷裂韌性用于方程（6.40）和（6.41）來確定縫高增長。 在一時間步長中，由一對垂向縫端位置移到另一相應位置的方法：估算單元頂和底部的縫端速度用估算的速度計算該時間步長結束時的新的縫端位置由方程（6.40）和（6.41）計算應力集中系數(shù)確定應力集中系數(shù)（即計算值減去巖石斷裂韌性）用方程（6.67）和（6.68）計算產(chǎn)

42、生該附加應力集中系數(shù)所需的速度將該速度與估算的速度對比，繼續(xù)迭代直到得到正確的速度6.3.2.5 橫向耦合橫向耦合 在固體力學解中的一個假設條件是：每一橫截面獨立作用，它隱含在任意一點的壓力和寬度是對應的假設條件中。 實際上，任一點的壓力不僅與局部縫寬有關，而且它與縫寬在整個裂縫的分布有關。 除非半縫長小于縫高，否則這種橫向的耦合一般不是很重要；如果忽略橫向耦合，裂縫幾何形狀不會有很大區(qū)別，然而估算的壓力偏低。 在泵注過程中橫向耦合的影響就是增加井筒與近井筒壓力而減小縫端壓力。圖6.11表示的就是KGD、PKN和橫向耦合的PKN模型模擬的縫高控制的壓裂施工中的壓力變化曲線。圖6.11 有、無水

43、平方向耦合情況下的壓力由圖看出：橫向耦合模型預測的壓力總比其他兩個模型預測的壓力高橫向耦合模型預測的寬度比其他兩個模型小橫向耦合模型的最低壓力點（KGD和PKN模型此時壓力相等）對應于正方形，即縫長等與縫高的一半；此時由橫向耦合模型計算得到的壓力比其他兩個模型計算得到的壓力高約40%。 6.3.3 塊體擬三維模型塊體擬三維模型塊體模型的本質(zhì)： 它是非常簡單的模型 該模型能否成功的運用取決于分析問題中系數(shù)的恰當選擇描述水力壓裂過程的方程： 質(zhì)量守恒方程 方程（6.33） 張開裂縫的分布情況以及凈壓力分布 xdxwxxIxpLLnet,（6.69） 動量守恒方程 pwqqmnm1241（6.69）

44、式中： 流道系數(shù) m 冪律流體系數(shù)， 用于紊流 n 既考慮牛頓流體，又涵蓋紊流假設：裂縫形態(tài)自相似 由兩個水平延伸相同而垂相延伸不同的半圓裂縫組成。利用：空間平均法將上述方程化為：與時間有關的普通微分方程塊體方程用于KGD模型質(zhì)量平衡方程：dtLwdLqwqL3（6.72）式中：LEpwnet1 2225Lwwqnmmm而：1425Errm（6.71）（6.70）（6.73） 這些方程非常簡單，但系數(shù)值不一定確定，而且還不一定是 常數(shù)。模型精度的高低主要取決于確定系數(shù)時的工作細致程度。 凈壓力曲線凈壓力曲線 是判斷裂縫延伸模式的依據(jù)：是判斷裂縫延伸模式的依據(jù)： 線段線段1壓力的斜率在壓力的斜率

45、在0.1250.2之間。說之間。說明裂縫在預期的縫高和綜合濾失系數(shù)下向地層深明裂縫在預期的縫高和綜合濾失系數(shù)下向地層深處延伸。處延伸。 線段線段2壓力的斜率不變?？赡茴A示著注入壓力的斜率不變?？赡茴A示著注入量等于濾失量，也可能是裂縫在長度上已停止延量等于濾失量，也可能是裂縫在長度上已停止延伸，或裂縫高度即將失控，或縫內(nèi)即將出現(xiàn)堵塞。伸，或裂縫高度即將失控，或縫內(nèi)即將出現(xiàn)堵塞。 壓裂模型的識別壓裂模型的識別 線段線段3壓力的斜率為壓力的斜率為1。反映了縫內(nèi)。反映了縫內(nèi)發(fā)生堵塞，裂縫在長度上已停止延伸，注入發(fā)生堵塞，裂縫在長度上已停止延伸，注入的液體只能增加裂縫的寬度。的液體只能增加裂縫的寬度。

46、線段線段4壓力的斜率為負值。說明裂縫壓力的斜率為負值。說明裂縫在高度上已失去控制，延伸到非壓裂目的層在高度上已失去控制，延伸到非壓裂目的層段，或又壓開了新的裂縫，或裂縫在延伸過段，或又壓開了新的裂縫，或裂縫在延伸過程中遇到了規(guī)模較大的天然微裂隙體系。程中遇到了規(guī)模較大的天然微裂隙體系。 壓裂施工設計中的一個關鍵問題是準確了解流體經(jīng)裂縫濾入地層的速度，沒有這方面的知識而要得到一定裂縫幾何形狀的施工設計是不可能的。小型壓裂施工用于估算濾失系數(shù)。 Carter、Williams 和 Settari 對濾失的劃分提供了三種不同的標準。將濾失劃分為三個不同的濾失過程： 油藏流體的移位和壓縮 濾液或壓裂液

47、的地層侵入 外部濾餅的形成將濾失劃分為三個時間段： 初始階段 未形成濾餅 第二階段 外部濾餅逐漸形成 最后階段 動態(tài)濾失濾餅與初濾失 濾餅: 壓裂液的造壁性和降濾劑共同作用的結果 初濾失: 形成濾餅前的濾失PwPvPcPs 一般濾失模型： 油藏流體的位移和壓縮 濾液和壓裂液的地層侵入 低滲透巖石外部或高滲巖石內(nèi)部濾餅的形成 濾餅區(qū)的流動濾餅控制過程 侵入?yún)^(qū)的流動壓裂液粘度控制過程 地層流體的壓縮地層流體粘度及壓縮性控制過程室內(nèi)定壓條件下的濾失實驗的假設條件： 沉積的濾餅量與單位面積穿過的流體體積VL成正比。 濾餅滲透率K餅與厚度無關。 流經(jīng)濾餅遵從達西定律。 通過濾餅的壓力降P餅保持不變 (6

48、.74) LfiltLVpKddV餅餅Lu 其中fil為濾液的粘度，假設濾餅厚度L餅與濾液的流體體積成正比，即VL=L餅。對VL積分可以看出： (6.75)由此導出通過井壁濾餅的流體濾失系數(shù)為： (6.76) filwPKC2餅餅tCw/uLCarter 認為濾失的流體體積可按下式確定： (6.77) 式中，SP為沒有形成濾餅情況下的濾失體積。更恰當?shù)慕忉尳Y果為： (6.78) 式中，tsp為初損時間。PWLStCV 2pspWLSttCV 2 油藏中的初始帶被稱為濾失帶或侵入帶，它假設： 通過該帶的壓力降 P是常數(shù)。 濾液完全取代了地層的流動相，造成了似柱塞式位移以及100%濾液飽和。 流體

49、和巖石是不可壓縮的。表達式為： (6.79) 式中，Kfil與濾液有關的滲透率 Lv 侵入帶長度。LpKdtdVfilfilLLu 對上式積分并假設： (6.80) 其中 為孔隙度，從而得到： (6.81) 此時粘度控制濾失系數(shù)Cv為： (6.82) 任意時刻的濾失體積為： (6.83)dtVLLLu1/tCLufilfilpKC2tCVL2 未受濾液侵入的油藏不含有壓裂液，要將油藏流體由裂縫面驅(qū)替需要一定的壓力，假設： 濾液/油藏界面與遠場油藏間存在固定壓差Pc 。 可壓縮流體具有不變的總體壓縮系數(shù)Ct。 侵入流體的前緣推進較慢。 無限油藏。 侵入流體前緣可視為無限孔隙介質(zhì)面，可由分析解（C

50、ollins，1961）得到： (6.84)其中壓縮性控制的濾失系數(shù)Cc為： (6.85)式中，Kr油藏巖石的滲透率； 油藏流體粘度。CrtrcPCKCtCLur 實際上，三個過程是同時發(fā)生的，方程（6.74）（6.79）和（6.84）中的濾失速度必須相同，壓力降之和也要與油藏壓力和破裂壓力之間的總壓力差相等： (6.86) (6.87)式中，Ct總濾失系數(shù)； 縫中壓力與遠場油藏壓力pr間的壓力差。crtrfilfilspfiltpCKtpKttpKtC22餅餅總餅ppppr總p 如果忽略初損體積和初損時間，這些方程綜合（Williams等，1979）得到總濾失系數(shù)： (6.88)其中系數(shù)Cw

51、、Cc和Cv是由總壓力差計算得到的。 方程（6.88）僅當濾餅滲透率與壓力無關時才成立，如果濾餅壓縮性強，其滲透率近似于1/p成正比，Nolte（1988）研究表明流體濾失受濾餅或油藏限制。2222242wvcvWwvwvcwcvtCCCCCCCCCCCC 在這種情況下，流體濾失速率是方程（6.75）的最小值，其中壓力降為總壓力降，或： (6.89)其中綜合濾失系數(shù)為： (6.90)其中系數(shù)Cc和Cv也是用總壓力差計算得到的。tCcvLu2242cvvvccvCCCCCC 如果將侵入流體的壓縮性以及油藏流體移動邊界等一些更詳細的特性考慮在內(nèi)的話，在濾失模型中可以加入很多復雜因素。當在水力壓裂施

52、工中的其他已知參數(shù)精度給定的情況下，沒有必要再將上述這些影響考慮在內(nèi)。本節(jié)討論將壓力差變化和流體性質(zhì)改變這兩種影響包括在內(nèi)的模型修正。 Settari（1985）發(fā)現(xiàn)侵入帶的流體濾失可以用與Cv相當?shù)牧?代替Cv來描述： (6.91)式中，Cv用當前所有濾液的平均粘度和平均相 對滲透率計算； VL在這之前濾失到地層的體積。vCLvvVtCC22 Settari還發(fā)現(xiàn)以相當值替換當前流體濾餅形成系數(shù)，即可解釋壓裂施工中不同流體濾失特性的區(qū)別。在這種情況下，該當量值為 (6.92) 此時先前濾失的流體體積VL也會影響到濾餅的形成。LwwVtCC22 影響濾餅形成的關鍵流體成分是膠體和/或流體濾失添

53、加劑的濃度。Settari模型的擴展可以在方程（6.74）基礎上導出，在該模型 中假設濾餅厚度不再與通過的流體體積成正比而是與沉積膠體體積成正比，這樣濾餅不是與時間積分的速度成正比，而是與整個時間段中膠體濃度和流體速度的乘積的積分成正比。這時方程（6.92）由下式代替： (6.93)式中 Cgel 流體中膠體質(zhì)量濃度； Mgel膠體相對密度。 上式中隱含著CgelCW2為常數(shù)這個假設條件，該假設條件與Mayerhofer等（1991）的室內(nèi)研究結果是一致的。水的粘度隨溫度的升高而降低，其對濾失系數(shù)的影響應包括在壓裂模型中。gelWgelWMtCCC22 施工中壓力演化 對壓力敏感的濾失 孔隙彈

54、性和背應力 水力壓裂的目的是在地層中鋪置支撐劑從而形成一條油氣生產(chǎn)通道，支撐劑在水力裂縫中的出現(xiàn)對流體的性質(zhì)產(chǎn)生三個主要影響： 支撐劑對流體流變性的影響 對流或重力流 支撐劑輸送 一般來講攜砂液的粘度slurry比僅有壓裂液時的粘度slurry要高，對于牛頓流體兩者之間的關系已通過實驗建立，。Nolte（1988）發(fā)現(xiàn)對于冪律流體這種相互關系可以用牛頓流體的關系： (6.94)式中， fv 支撐劑體積百分數(shù)； fvM 流動砂漿最大百分比。nvMvbaseslurryrff5 . 2/11 流體間密度的差異可能是由于密度較大的流體在密度較小的流體下流動，或密度較小的流體在密度較大的流體上流動造成

55、的。在水力壓裂中，當高密度砂漿泵注在前面泵入階段的流體中或前置液下流動時，以及如Clifton和Wang（1988）考慮的流體流動的其他二維問題就是這種情況。牛頓流體的流動方程可寫為： (6.95) (6.96)以及（對于不可壓縮流體情況下的方程（6.32）： (6.97)將方程(6.95)、(6.96)代入方程(6.97)得： (6.98)xp12u2x0u2yuxuLyxtygtypxp3L232232121u2121gtp12u 2y 方程（6.98）中右端最后一項是對流項，正如其他兩項由于縫寬變化或濾失造成的存儲或沉降項一樣。Baree和Conway（1994），Vnwin和Hammo

56、nd（1995）以及Smith和Klein（1995）發(fā)現(xiàn)如果泵入過量前置液，泵注結束后流體流動可能會引起對流直至前置液濾失掉。方程（6.98）同時表現(xiàn)出了對流對縫寬相當敏感，如果縫寬較大，對流可能更關鍵。值得慶幸的是低楊氏模量的地層一般是高滲的，這種情況下端部脫砂設計和停泵后濾失快有效地避免了對流。l水力壓裂的核心是形成滿足導流能力要求的填砂裂縫，支撐劑在裂縫的沉降影響到填砂裂縫幾何尺寸和裂縫導流能力。l內(nèi)容： 支撐劑的沉降特性 沉降布砂設計 懸浮布砂設計l自由沉降： 指單個顆粒在無限流體介質(zhì)空間內(nèi)的沉降。l干擾沉降：顆粒群在有限流體空間內(nèi)的沉降。一、 支撐劑的沉降特性（一）、 單顆粒自由沉

57、降速度固體顆粒在流體中沉降時的受力）固體顆粒的重力）流體對固體顆粒的浮力）固體顆粒在流體中運動時所產(chǎn)生的阻力重力：浮力：阻力：gdFPPg36gdFfPb362228 21PPfDPfDdUdCAUCF213)(4fDfPpPCgdU F=Fg-Fb當FFd時，可得： CD與雷諾數(shù)有關，雷諾數(shù)與UP有關fPpUdNRe18)(2gdUfPPP 當NRe2時，斯托克斯區(qū)域，Re24NCD43.029.044.171.0)(34.20fPfPPdU 當2NRe500時，過渡區(qū)，6 .0Re5 .18NCDfPfPPdgU)(74.1 當NRe500時，牛頓區(qū)域，44.0DCl支撐劑濃度的影響l壁面

58、的影響l顆粒形狀的影響l支撐劑濃度對沉降速度的影響（存在粒間干擾，UHUP） 當NRe2時， UH/UP=5.5 當 2Nre 500時， UH/UP=3.5 當 NRe 500時， UH/UP=2)1(10/ .82.12PHUU)1 ( 9 . 5)/ln( .PHUU)1 (88. 611/ .PHUUl壁面的影響 UH=FWUP FW壁面拉拽系數(shù) 當 NRe1時，5430644. 0131. 0147. 06526. 01wdwdwdwdfw當 NRe100時，23)2(1WdPFW當 1NreKIc時，裂縫向前延伸。其中： (6.105)式中，KIc臨界應力集中系數(shù)的材料臨界值； F

59、比裂縫表面能。該理論的優(yōu)點： 能將復雜的破裂過程用一個參數(shù)代表； 假設KIc是與楊氏模量或強度相似的材料常數(shù)212FIcEK Irwin（1957）發(fā)現(xiàn)二維張性裂縫的縫端附近區(qū)域應力分布存在奇異性： （6K.1） （6K.2） （6K.3）式中，在裂縫中心線測得的夾角； r至縫端的距離； KI應力集中系數(shù)。) 2/3sin() 2/sin() 2/cos(2) 2/3sin() 2/sin(1) 2/cos(2) 2/3sin() 2/sin(1) 2/cos(2rKrKrKxyyx 通過對由方程（6K.2）和（6K.3）得到的應力場與從-L到L二維裂縫縫端應力場得比較，Rice發(fā)現(xiàn)KI可由下

60、式計算： （6K.4）式中，p（x）縫中壓力分布。 對于縫中壓力為常壓的情況，方程（6K.4）簡化為方程（6.104）。 對于徑向裂縫，相應方程為： （6K.5） 對于常壓情況，上式簡化為方程（6.105）。dxxLxLxpLKLLI)(1drrRrrpRKRI022)(2 假設KIc為材料常數(shù)，不考慮尺寸效應，對方程（6K.4）積分，將斷裂韌性加入二維或平面三維模型中得到應力集中系數(shù)KI。對于計算得到的KI值： KI大于KIc，裂縫可以繼續(xù)向前延伸； KI小于或等于KIc，裂縫會維持在其當前位置； KI為負值，裂縫會后退直到KIc0.在水力壓裂中，實測的凈壓力偏高的原因： 縫高延伸控制比預計