高中必修5解三角形習題與答案

1、解三角形【知識點】1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，那么有abc2R.sinsinsin C2、正弦定理的變形公式:ab a 2Rsin,b2Rsi n, c2Rs inC； sinsinfl2R 2Rcsin C -2R a:b: c sin:sin:sin C :abcabcsinsinsin C sinsinsin C3、三角形面積公式：SC - bcsi n1abs in C1 . acsi n2224、余弦定理：在 C 中，有 a2 b2 c2 2bccos , b2 a2 c2 2accos2 2 2cab 2ab cosC .2 2 2 2

2、 2.2 2.2 25、余弦定理的推論：b c aaccosCa b厶 ccos, cos2bc2ac2ab6、設 a、b、c 是C的角、C的對邊，那么：假設2 ab2 c2，那么C90 ；假設a2 b22 . 2 2c ,那么C 90 ；假設a bc2，那么C90 .【例題講解】例1.在厶ABC中,假設b 2asinB，那么A等于A 30 或 60B 450 或 60C 1200或600D 300或1500例2.在厶ABC中，假設a2 b2 bc c2,那么A .2 2 2例3 在厶ABC中，假設cos A cos B cos C 1,那么厶ABC的形狀是 例 4 在厶 abc 中，/ C

3、是鈍角，設 x si n C, y si nA si n B, z cos A cosB,那么x, y, z的大小關系是-例5 在厶ABC中，假設b2ac，那么cos(A C) cosB cos2B的值是例 6 在銳角 ABC 中，求證：sin A si nB si nC cos A cosB cosC例7在 ABC中，設a c 2b，A C -,求sinB的值4cos2osBcosC2 2 2例8在銳角厶ABC中，求證：tan A tanB tanC 1例 9在 ABC 中，求證：si nA si nB si nC【課堂練習】1.在厶ABC中，角 代B均為銳角，且 cos A sinB,那么

4、厶ABC的形狀是A 直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形2 在厶ABC中，假設a137,b 8,cosC，那么最大角的余弦是141111ABCD5678a b3 在厶ABC中，假設C900,那么三邊的比等于c- AB- AB- AB- ABA 、 2 cosB 2 cosC 、2 sinD . 2 sin2 2 2 24.在厶ABC中, C 900，00 A 450，那么以下各式中正確的選項是A sin A cos A B sinB cosA C sin A cosB D sin B cosBA 900 B 600 C 1200D 150tan A a26 在厶ABC中，假設2，那么

5、 ABC的形狀是tan B bA 直角三角形 B 等腰或直角三角形C 不能確定D 等腰三角形7 在厶ABC中，AB J6 V2, C 300，那么AC BC的最大值是 8在 ABC中，假設a cos A bcosB ccosC，那么 ABC的形狀是什么？9 在厶ABC中，假設si nA2cosBcosC,那么 tan B tanC10 在銳角 ABC中，假設a 2,b 3，那么邊長c的取值范圍是 -11.在厶ABC中，假設 A B 1200，那么求證:12.如果 ABC內接于半徑為2R的圓，且2R(sin Asin2 C) ( . 2a b)sinB,求 ABC的面積的最大值13(c4 在厶

6、ABC 中，假設(a b c)(a b c)3ac，且 tan A tanC3-3， AB邊上的高為，求角A,B,C的大小與邊a,b,c的長【課后作業(yè)】1.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是2在 Rt ABC 中，C 900，貝y sin Asin B的最大值是3.在厶ABC中,假設sin A :sin B : sinC7 : 8 :13，那么 C4在厶ABC中，A: B:C 1:2:3，那么 a: b: c等于A1: 2:3B 3:2:1C 1: ,3:2D 2:,3:15在厶ABC中，假設角B為鈍角，那么sinBsin A的值 A大于零B小于零C 等于零D不能確定6在厶ABC中

7、，假設A 2B，那么a等于A2bsin AB 2b cosAC 2bsin BD 2bcosB7在厶ABC中，假設a bc)(b c a)3bc,那么 A()A900B600 C1350 D 1500A 90 B 1200 C 1350D 1500在厶ABC中,假設sin B,那么A一定大于B，對嗎？填sin A8.對或錯9 假設在 ABC中,A 60,b 1,Sabc.3,那么sin A sin B sinC10 假設A, B是銳角三角形的兩內角，貝U tan AtanB1填或11 在厶ABC中，假設a 9,b10, c 12,那么厶ABC的形狀是 12.在 ABC中，A 1200,c b,

8、a 21,S ABC3，求 b,ca b13心ABC中，求證：b bSBcosAa【例題答案】例 1. D b 2asin B,sin B解三角形答案12sin Asin B,si nA , A 300 或 150021A 120-398例8證明： ABC是銳角三角形，二A B2,即2A訂0,2 2 2例 2.120b c a cos A2bc1 2例3直角三角形(1 cos2A 1 cos2B) cos2(A B) 1,Cos2A+cos2B+cos2(A+B)+1=0Cos2A+cos2B+cos2Acos2B-s in 2Asi n2B+ 仁0 (cos2A+1)(cos2B+1=s i

9、n 2Asi n2B cosAcosB(cosAcosB-si nAsi nB)=0 cosAcosBcos(A+B)=0所以 cosAcosBcosC=0例 4. x y z A B , AB,si nA cosB,si nB cosA, y z2 2c a b,sinC sin A sin B, x y, x y z22例 5. 1 b ac,sin B sinAsinC,cos(A C) cosB cos2Bcos A cosCsin AsinCcosB122sin2 BcosAcosCsin AsinCcosB12sin Asin CcosAcosCsin AsinCcosB1cos(

10、A C) cosB 11例 6.證明： ABC是銳角三角形，- AB,即AB 022 2sin Asin(2B),即 sin AcosB ；同理 sin B cosC ； sin C cosA sin Asin Bsin CcosAcosBcosC例 7.解:由題可得：2 A B,C B -，由ac 2b3232得sinA sin C 2sinB,sin(2 旦)sin(-旦)2sin B,展開，整理得323 2廠 BB B 曰 B J3.3cos 4sin cos ,可得 sin, cosB 5/8,sin B22224 sin A si n(B)，即 si nA cosB ；同理 si n

11、B cosC ； si nC cosA sin Asin BsinCsin Asin BsinC / cosAcosBcosC,1cosAcosBcosC二 tan A tan B tanC 1C例9.由 coscos(2 2 2 ABCA A . A4cos cos cos4 cos sin cos222 2 2sin A(1 cosB) sin B(1 cosA)si nA si nB sin(A B) sin AA BA B、)si n(匸-)2旦2 sin Asin B.ABA . B 半 x 坐-sin cos cos sin ,帶入等式 222 2, B . B 2 A 4cos

12、sin cos2 2sin B si nA cosBsin C,得證2cos As in B【課堂練習答案】1.CcosA sin( A) si nB,2 2A, B都是銳角，那么三 AB, A2. C2 2a b 2abcosC 9,c3， B為最大角，cosB3. Bsin A sin B . A . _ sin A sinB4. D7.8解:si nCsin A cosB 、2cos(AA B 900 那么 si nAsin A cosA， 45sin Acos Asin 2Ab2cosBsin Bbc, b2又_4A B,代入,可得cosB,sin BB900,sinsin2 A co

13、sB2 ,sin B cos Asin 2B,2 A 2B或2ABC AB AC sin B si nA sin C si nBAC2c(sin A sin B) 2csin Accos A (2所以，最大值、3)si nAc (一 6acos A bcosB0cosA， 0B cosBbc,cosA450,2，a1200sin A,sin Acos Asin B2BBCsin A-, AC si nCsin BcosBBC ,5sin(6c(.62)si n(A).2)4A) 2csin A cos(?A)ccosC,s in A cos A si n BcosB sin C cosCsin

14、2A sin2B sin2C,又sin2Csin(2A 2B)sin 2Acos2B cos2Asin2B sin2A sin2B得：sin2A(1 cos2B) sin2B(cos2A 1)04sin AcosAcos B 4sin BcosBcos A 0即 si nA cosB cosAsi nB 0,s in (A B) 0, C 90。所以 ABC是直角三角形9.2 tanB tanCsin B sinCcosBsin BcosC cosBcosCsi nCsin(B C) 2sinAcosBcosC1 .八 sin A2b21310. 、5, ,13對三個角用余弦定理sin Ab2

15、b2,2a9,5c213, . 5 c J311.:要證一Jb c，只要證a2acb2ab bebcac c即a2b2c2ab而 A1200, C60eosCa2b2c22ab,a2 b22abcos60ab，二原式成立12.解：2Rsi n A si nA 2Rsi nC si nC (、. 2a b)sin B,a sin Acsin C (、2a b)sin B, a2, 2ab b2,a2 b2c22 ,2 a b 2ab,cosC -2ab遼,C 4502csinC2R,c2Rsi nC 、.2R,a2 b22R2, 2ab,2R2、2aba2 b22ab, ab2R22 2S ab

16、sinC2fab2 _2R24,Smax2 ,2】R22另法：S absinC ab 2Rsin A 2RsinB2442Rsin A2Rsin B.2R2sin Asin B2R2sin AsinC3-4A) 、2R2(sin AcosA2 si n2A)22R21sin(2A -) R22442SmaxR2此時A B取得等號22 2 2 1 013.解：(a b c)(a b c) 3ac,a c b ac,cosB , B 60tan(A C)tan A tan C 翻1 tan AtanC 3,31 tan AtanCtan AtanCta n A2ta nC 1750,C450,C7

17、50,B450,B【課后作業(yè)答案】1. B設中間角為1223.12002-.3, 聯合tan Ata n C3.3tan AtanC450 時,750 時,600,C600,CA 75A或CC 4504507504.3sin A4.3sin A450 時,750 時,，那么 cos52824(3 V .6), c4.6, c8,b8,b724(324、6,c21sin AsinB sin AcosA sin2A2 2a : b : c sin A : sin B : sinC令 a 7k,b 8k, c 13k cosCa28(1),a1),a-6),c4(8(、31)0 0 060 ,180 6013,1),1200為所求b2 c22ab12004.CA一,B -,C,a : b: c sin A:sin B :sin C一:6322 2 25AAB,AB，且A,B都是銳角，sin Asi n(B)6Dsin Asi n2B2sinB cos B, a 2bcosB7B(abc)(b ca)3bc,(b c)2 a2 3bc,1sin B2 1:3:2b2 c22 2 22b c a 10a 3bc,cos A, A 60 22bc8.對 sin AasinB,那么 2Rb2R2、39 9.31S ABC bc