第十九章《一次函數(shù)》內(nèi)容分析與教學建議

1、第十九章一次函數(shù)內(nèi)容分析與教學建議廣州市真光中學 蘇國東一、教材分析（一）本章地位和作用 函數(shù)知識在中學數(shù)學教學中占有極為重要的地位，既是教學的重點，也是教學的難點之一。本章學生第一次接觸函數(shù)，是初中函數(shù)部分的起始章，是后續(xù)學習二次函數(shù)和反比例函數(shù)的基礎(chǔ)。對函數(shù)概念和函數(shù)圖像的理解貫穿于整個函數(shù)的教學中，隨著具體函數(shù)的學習而不斷加深認識，同時對函數(shù)概念中體現(xiàn)的變化與對應(yīng)思想的理解又決定了具體的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的學習能否順利地進行。一次函數(shù)是學生接觸的第一類具體函數(shù)形式，由具體實例抽象出統(tǒng)一的函數(shù)形式、利用函數(shù)圖像歸納函數(shù)性質(zhì)、利用函數(shù)圖像和性質(zhì)解決實際問題，這種由特殊到一般再到特

2、殊的研究方法是研究函數(shù)的基本方法。變化對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等思想方法貫穿函數(shù)學習的始終，要盡可能地使學生加深認識。（二）新版教材的變動一次函數(shù)在舊版教材中是在初二上學期學習的內(nèi)容，反比例函數(shù)是在初二下學期學習的內(nèi)容。而在新版教材中一次函數(shù)移至初二下學期，反比例函數(shù)移至初三下學期，使學生學習函數(shù)的難點后移。新舊教材本章內(nèi)容與課時安排有所調(diào)整，“用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式”并入“一次函數(shù)”一節(jié)，題目作了修改。19.1節(jié)是基礎(chǔ)部分，19.2節(jié)是重點內(nèi)容，19.3節(jié)是拓展提高部分。具體如下：新教材舊教材位置初二下學期初二上學期章節(jié)內(nèi)容及課時安排共17課時19.1變量與函數(shù)（6課時）19.2一次函數(shù)（6課

3、時）19.3課題學習 選擇方案 （3課時）數(shù)學活動、小結(jié) （2課時）共17課時14.1變量與函數(shù)（5課時）14.2一次函數(shù)（5課時）14.3用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式（3課時）14.4 課題學習 選擇方案（2課時）數(shù)學活動、小結(jié) （2課時）另外，細節(jié)也作出了調(diào)整，如87-88頁例1兩小問各補充了2個函數(shù)的作圖，從而歸納得出k的性質(zhì)顯得更為妥當。現(xiàn)實問題中變量間相互聯(lián)系建立數(shù)學模型課題學習選擇方案應(yīng)用函數(shù)一次函數(shù)再認識一元一次方程一元一次不等式二元一次方程組圖象性質(zhì)二、本章知識結(jié)構(gòu)框圖三、內(nèi)容分析（一）函數(shù)的相關(guān)概念1理解函數(shù)的概念及對應(yīng)關(guān)系：兩個變量相互聯(lián)系，一個變量發(fā)生變化時另一個變量也

4、隨之變化；函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)值是唯一確定的。2能根據(jù)實際問題列出解析式，寫出自變量的取值范圍（使解析式有意義、實際問題有意義），給出自變量的一個值，會求出相應(yīng)的函數(shù)值（學生對函數(shù)與函數(shù)值可能混淆）。3能較準確地畫出簡單函數(shù)的圖象，學會利用圖象分析變量之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)圖象直觀反映變量間的單值對應(yīng)關(guān)系，提供了數(shù)形結(jié)合地研究問題的方法。對一些無法用解析式表達的函數(shù)，圖象充當重要角色。（二）一次函數(shù)1理解正比例函數(shù)的概念和特征，能正確地畫出正比例函數(shù)的圖象，掌握正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意。解析式（k為常數(shù)，且）自變量取值范圍全體實數(shù)圖象形狀過原點和（1，k）點

5、的一條直線k的取值位置經(jīng)過一、三象限經(jīng)過二、四象限趨勢（從左向右）上升下降函數(shù)變化規(guī)律y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小（1）對正比例系數(shù)k的理解：，與小學學過的正比例關(guān)系一致，只是小學的比值不涉及負數(shù)。（2）對增減性的研究除了通過觀察圖象，對有條件的學生可給出證明方法：對任意，根據(jù)k的正負得出的大小。從數(shù)形兩方面加深對這個性質(zhì)的理解。（3）有條件的學?？裳a充k對直線傾斜程度的影響。越大，圖像越靠近y軸，函數(shù)變化速率越大。對k的研究可采用右圖方式。2理解一次函數(shù)的概念和特征，能正確畫出圖象，注意一次函數(shù)的解析式、圖象、性質(zhì)等方面與正比例函數(shù)的異同，從特殊到一般地認識問題。理解、對一次函數(shù)的影

6、響。解析式（k為常數(shù)，且）自變量取值范圍全體實數(shù)圖象形狀過（0，b）和（，0）點的一條直線k、b的取值位置經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過一、二、四象限經(jīng)過二、三、四象限趨勢（從左向右）上升下降函數(shù)變化規(guī)律y隨x的增大而增大y隨x的增大而減?。?）k決定直線的趨勢（傾斜程度），b決定它與y軸交點位置，k、b共同決定直線經(jīng)過哪幾個象限。注意看圖識性，體現(xiàn)數(shù)與形的互化。（2）對于和，從數(shù)來看，常數(shù)項有區(qū)別，其余部分相同，因此對x的任一值，兩函數(shù)值的差恒為一常數(shù)；從形來看，兩圖象上橫坐標相同的點縱坐標總相差同一值，一圖象總比另一圖象高出同一高度。這就把以前學習的圖象平移與函數(shù)圖象聯(lián)系起來

7、。（3）建議補充：兩條直線：和：的位置關(guān)系與系數(shù)的關(guān)系：與相交；，且與平行； ，且與重合。3能用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，體現(xiàn)形（兩點確定一直線）與數(shù)的聯(lián)系。 （1）常見的直接條件：對于正比例函數(shù)，根據(jù)除原點外的一點（，）確定k。對于一次函數(shù)，根據(jù)兩點(，)和(，)，解方程組確定k、b。（2）間接條件：圍成圖形的面積、平行關(guān)系等。4用函數(shù)觀點看方程（組）和不等式能直觀地用函數(shù)的圖象來反映方程（組）的解和不等式的解集，并解決簡單的實際問題。反之，能利用解方程（組）、解不等式來解決一次函數(shù)相關(guān)問題。對不等式問題關(guān)鍵是找出分界點（即“=”時的點）。（1）一次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標一元一次方

8、程的解。（2）一次函數(shù)與兩圖象的交點（公共點）二元一次方程組的解（公共解）。（3）使一次函數(shù)的函數(shù)值（或）的x的取值范圍一元一次不等式（或）的解集。（4）（，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量x取值范圍直線在直線的上方對應(yīng)的點的橫坐標的范圍。5一次函數(shù)的應(yīng)用（1）在數(shù)學中的應(yīng)用：會求某個一次函數(shù)的圖象和兩坐標軸圍成的三角形面積；兩個一次函數(shù)的圖象和坐標軸圍成的三角形面積或四邊形面積等。（2）在實際中的應(yīng)用：如分段函數(shù)問題、方案問題等。四、教學建議（一）重視概念的形成和發(fā)展，逐步深化學生對函數(shù)的認識1對于函數(shù)的初步認識變量與函數(shù)的教學是學生從初等數(shù)學向高等數(shù)學學習的轉(zhuǎn)變的初始階段，為了便于

9、學生的接受，可先借助生活中的實例，逐漸抽象到數(shù)學中的概念，讓學生認識并理解函數(shù)的概念中最主要的基本要素 2對于函數(shù)的再認識引導學生認識到：研究的問題是有在一定條件下進行的，即變量是有取值范圍的，自變量和函數(shù)和人們研究的目的有關(guān)；變量之間是相互制約、相互依存的，它們之間的對應(yīng)關(guān)系是客觀存在的（包括那些只能用圖象或列表方法才能表示的函數(shù)關(guān)系）3對于函數(shù)的深化認識給出不同形式的數(shù)量關(guān)系，緊扣函數(shù)定義，讓學生判斷它們是否為的函數(shù)。例：判斷哪些是的函數(shù)：； ； ； ； ； ； ； （二）滲透數(shù)學思想方法，落實基礎(chǔ)知識和基本技能本章涉及到的主要數(shù)學思想方法有：變化對應(yīng)的思想、數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學建模思想、從

10、特殊到一般的思想等。本章中自變量取值范圍、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)、解析式的確定是所有學生必須掌握的基礎(chǔ)知識，描點作圖是最基本的技能，要反復練習，配備系列題組，使學生熟練掌握。例1：函數(shù)的定義系列題組：1已知y=(k-3)x+1是一次函數(shù)，則k_。2已知y=(2-m)x+2m-3，當m為何值時，（1）此函數(shù)為正比例函數(shù)；（2）此函數(shù)為一次函數(shù)。3若函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，求該函數(shù)解析式。例2：圖像和性質(zhì)系列題組：1有下列函數(shù)：y=3x7 y=2x8 y=3x y=68x，其中過原點的直線是_；函數(shù)y隨x的增大而增大的是_；函數(shù)y隨x的增大而減小的是_；圖象在第一、二、三象限的是_

11、。2某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,2),且y隨x的增大而減小,請寫出一個符合條件的函數(shù)關(guān)系式： 。3已知一次函數(shù)y=(m-2)x+4-m ,當m為何值時,（1）直線經(jīng)過第一、三象限。（2）直線經(jīng)過第一、二、三象限。（3）直線與y軸的交點不在x軸的下方。4點A(-3，y1）、點B（2，y2)都在直線y= 4x+3上，則與的關(guān)系是（ ）A B C D 5一次函數(shù)y=mx+n與y=mnx（mn0）在同一坐標系中的圖象可能是（ ） A B C D例3：確定函數(shù)解析式的系列題組：1若是關(guān)于的一次函數(shù)，且當時，；當時，求函數(shù)的解析式。2若與成正比例關(guān)系，且時，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系。3已知一次函數(shù)的圖象過點（3，

12、5）與（，），求這個一次函數(shù)的解析式。4已知直線與直線平行，且與軸的交點是（0，），求函數(shù)解析式。5直線圖象如右圖，求和的值。6一次函數(shù)y=kxb的自變量的取值范圍是3x6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是5y2，求這個一次函數(shù)的解析式。7求經(jīng)過點（2，0）且與坐標軸圍成的三角形面積為2的直線解析式。8在實際問題中求解析式（略）。2看圖象直接寫出：（1）ax+b=7的解是 。（2）ax+b0時，ax+b 。1看圖象直接寫出:（1）ax+b=0的解是 。（2）ax+b0的解集是 。（3）x-5時，ax+b 。例4：函數(shù)與方程、不等式的系列題組：3已知直線y1=ax+b和y2=mx+n的圖象如圖所示，根據(jù)圖

13、象填空（1）當x_ _時，y1y2；當x _時，y1=y2；當x_ _時，y1y2。（2）方程組的解為 。（三）加強對新舊知識之間內(nèi)在聯(lián)系的認識首先函數(shù)知識與坐標系聯(lián)系密切，又如對和的異同，把以前學習的圖象平移與函數(shù)圖象聯(lián)系起來；待定系數(shù)法與解方程組聯(lián)系起來；“一次函數(shù)與方程、不等式”一節(jié)在更高的角度（變化和對應(yīng)的角度），用一次函數(shù)把以前學習的方程和不等式等概念統(tǒng)一起來。此外一次函數(shù)還能與三角形、面積、勾股定理等知識相聯(lián)系產(chǎn)生綜合性問題。五、易錯題型1利用函數(shù)定義判斷函數(shù)關(guān)系時，不理解“單值對應(yīng)”含義。例:下列關(guān)于x和y 的關(guān)系式y(tǒng)=x，y2 =x，y=2x2，y =|x|。其中y是x 的函數(shù)

14、的有 （填序號）。錯因：學生易把認為y是x的函數(shù)，而把認為不是函數(shù)關(guān)系。學生不理解函數(shù)定義中“對于x 的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應(yīng)”。2利用一次函數(shù)定義易忽視k0的條件。例:y=（1-m）x2-m2+m+3是一次函數(shù)，則m的值是 。錯因：學生易錯解為2-m2 =1，得m=1或-1。忽視了1-m0的條件，實際上m=-1。3對于正比例函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)系不明確，易忽視正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。例:已知一次函數(shù)y=(3-m)x+m-2的圖象不經(jīng)過第二象限，則m的取值范圍為（ ）A、m2 B、m3 C、2m3 D、m2錯因：學生易錯解為：因為一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限，則經(jīng)過第一、三

15、、四象限，故3-m0，且m-20，解得m2。教學時要引導學生注意正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例的情形。當m-2=0時為正比例函數(shù)，此時圖象也不經(jīng)過第二象限，故選D。4實際意義下一次函數(shù)作圖易忽視范圍要求。例:某校辦工廠現(xiàn)在年產(chǎn)值是15萬元，計劃今后每年增加2萬元。（1）寫出年產(chǎn)值y（萬元）與年數(shù)x 之間的關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象。錯因：由題意可知問題中x0，畫出的圖象應(yīng)是一條射線，而學生易忽視題目中有實際意義確定的自變量的范圍要求，而把圖象習慣畫成一條直線。5體會不到“數(shù)形結(jié)合思想”是解決函數(shù)問題的有效途徑。例：一次函數(shù)y=kx+b過點（1，1）、（-3，2），則此函數(shù)圖象不經(jīng)過第 象限。錯因

16、：學生習慣用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再畫圖象確定經(jīng)過第幾象限，從而得出不經(jīng)過第三象限。實際上，利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出函數(shù)的大致圖象，就能立即得出函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限。而學生一般不會想到利用數(shù)形結(jié)合的方法快捷地找到答案。初二下學期第十九章一次函數(shù)測試卷一、 選擇題（每小題2分，共20分）1下列函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是（ ） Ay=-2x+1 By=2x2 C D2直線y=2x+2與x軸的交點坐標是（ ） A（0，2） B（2，0） C.（-1，0） D.（0，-1）3若點A（2，4）在函數(shù)ykx2的圖象上，則下列各點在此函數(shù)圖象上的是（ ）A（0，2）B（1.5，0） C（8,20）

17、D（0.5，0.5）4要從y=2x的圖像得到直線y=2x+3，就要把直線y=2x（ ）A向上平移3個單位 B向下平移3個單位C向上平移2個單位 D向下平移2個單位 S（米） 18 （分） 第5題5晚飯后小紅從家里出發(fā)去散步，右圖描述了她散步過程中離家s（米）與散步所用的時間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系下面描述符合小紅散步情景的是（ ）A從家出發(fā),到了一個公共閱報欄,看了一會報后,就回家了.B從家出發(fā),一直散步(沒有停留),然后回家了.C從家出發(fā),到了一個公共閱報欄,看了一會報后,繼續(xù)向前走了一會,然后回家了.D從家出發(fā),散了一會步,就找同學去了,18分鐘后才開始返回.6函數(shù)y=k（xk）（k0）的圖

18、象不經(jīng)過（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7點A（-2，y1）和B（5，y2）都在直線y=x+2上，則y1與y2的關(guān)系是（ ） A、y1y2 B、y1y2 C、y1y2 D、y1y28若函數(shù)y=2x+3與y=3x2b的圖象交x軸于同一點，則b的值為( )第9題A3BC9D9如圖，直線與y軸的交點是（0，3）,則當x0時，( ) A. y0 B. y0 D. y310兩個一次函數(shù)y=ax+b和y=bx+a，它們在同一坐標系中的圖象大致是（ ） ） A B C D二、填空題（每題3分，共18分） 11若點（3，）在一次函數(shù)的圖像上，則 。12直線y=3x1與兩坐標軸圍成的三角

19、形的面積為 。13已知油箱中有油25升，每小時耗油5升，則剩油量P(升)與耗油時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為 。第16題14以下函數(shù)：y=2x2+x+1y=2ry=y=(1)xy=(a+x)(a是常數(shù))。其中是一次函數(shù)的有 。(填序號)15已知函數(shù)是一次函數(shù)，則m ；此圖象經(jīng)過第 象限。16. 函數(shù)y=ax+b的圖像如圖所示，則x-5時，ax+b 。三、解答題（共6大題，共62分）17（10分）求下列函數(shù)的自變量的取值范圍。（1） （2）18.（10分）已知一次函數(shù)y=(m-2)x+4-m ,當m為何值時,（1）直線經(jīng)過第一、二、三象限。（2）直線與y軸的交點不在x軸的下方。（3）直線與y=

20、3x-2交于點(a,4)。19（10分）已知一個正比例函數(shù)和一個一次函數(shù)的圖像交于點P（-2、2），且一次函數(shù)的圖像過點（1，5）。（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）在同一坐標系中，分別畫出這兩個函數(shù)的圖像；（3）若一次函數(shù)與y軸的交點為Q，求PQO的面積。20.（10分）網(wǎng)絡(luò)時代的到來，很多家庭都接入了網(wǎng)絡(luò)，電信局規(guī)定了撥號入網(wǎng)的兩種收費方式，用戶可以任選其一：A：計時制：3元/小時；B：全月制：54元/月（限一部個人住宅電話入網(wǎng)），此外B種上網(wǎng)方式要加收通信費1.2元/小時（1）某用戶某月上網(wǎng)的時間為x小時，兩種收費方式的費用分別（元）、（元），寫出、與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）在上網(wǎng)時間

21、相同的條件下，請你幫該用戶選擇哪種方式上網(wǎng)更省錢？21.（10分）北京某廠和上海某廠同時制成某大型機器若干臺，北京該廠可支援外地10臺，上海該廠可支援外地4臺，現(xiàn)在決定給重慶8臺，漢口6臺如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是400元/臺、800元/臺，從上海運往漢口、重慶的運費分別是300元/臺、500元/臺求：（1）設(shè)上海運往漢口x臺，總運費為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若要求總運費不超過8000元，共有幾種調(diào)運方案？（3）求出總運費最低的調(diào)運方案及最低總運費是多少元？22.（12分）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=x的圖象l是第一、三象限的角平分線。（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)

22、于直線l的對稱點A的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5）關(guān)于直線l的對稱點B、C的位置，并寫出它們的坐標：B 、C ；（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內(nèi)任一點P（m，n）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對稱點P的坐標為 ；（3）已知兩點D（0，-3）、E（-1，-4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標。初二下學期第十九章一次函數(shù)測試卷參考答案一、 選擇題（每小題2分，共20分）12345678910DCAACACDDB二、填空題（每題3分，共18分）11、10 12、 13、 14、 15、；一、二、四 16、0三、解答題（共6大題，共62分）17（10分）（1） （2）18.（10分）（1） （2） （3）19（10分）解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，將（-2，2）代入可得k=-1，正比例函數(shù)解析式為y=-x.設(shè)