(完整版)高數(shù)中需要掌握證明過程的定理(二)

1、希望對大家有所幫助。高數(shù)中的重要定理與公式及其證明 (二) 在第一期的資料內(nèi)我們總結(jié)了高數(shù)前半部分需要掌握證明過程的定理， 由于最近 比較忙，所以一直沒來得及寫。現(xiàn)將后半部分補上 1)泰勒公式(皮亞諾余項)設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 點 x0 處 存 在 n 階 導 數(shù) ，則在x0 的 某鄰域內(nèi)成立2' x x0''f(x) f (x0) x x0 f '(x0)2!0 f ''(x0) .nx0f ( n) (x0) o x x0 n!點評】：泰勒公式在計算極限、高階導數(shù)及證明題中有很重要的應(yīng)用。對于它們，我們首要的任務(wù)是記住常見函數(shù)( sin

2、 x,cos x,ln(1 x), ex,(1 x)a)在 x 0處的泰勒公式，并能利用它們計算其它一些簡單函數(shù)的泰勒公式，然后在解題過程中加以應(yīng)用。在復習的前期， 如果基礎(chǔ)不是很好的話， 兩種不同形式的泰勒公式的證明可以先不看。 用到的方法還是很常用的。因此把它寫在這里。證明：但由于證明過程中所令 R(x) f (x)f ( x0) x x0f (x0 )2x x02!f (x0 ) .nx x0n!f (n)(x0 )則我們要證明 R( x) o x x0 n由高階無窮小量的定義可知，需要證明limx x0 xR(x)nx00。這個極限式的分子分母都趨于零，并且都是可導的，因此用洛必達法則

3、得f '( x) f '(x0)x x0f ( x0 )x x0n1f (n) (x0)lximxR(x) nx x0 x x0 nlimx x0n1n x x0再次注意到該極限式的分子分母仍趨于零， 則。不難驗證該過程可以一直進行下去，運用過 n 1次洛必達法則后我們可以得到并且也都是可導的，因此可以再次運用洛必達法R(x)lim n limx x0 x x n x x0(n 1)( n 1)limx x0x x0 f (n) (x0) n! x x0 f (n) (x0)n!(x) f (n 1)(x0)(x) f (n 1)(x0) n! x x0(n由于 f (x) 在

4、點 x0 處存在 n 階導數(shù)，由導數(shù)的定義可知 lim x x01) (x) fx x0(n 1)(x0)f(n)(x0)代入可得 lim R( x) nx x0 x x0 n0。證畢注：這個定理很容易得到如下錯誤的證明：直接用 n 次洛必達法則后得到lximx R(x) n x x0 x x0 nlim f (n)(x) f (n)(x0) 0x x0(n)錯誤的原因在于定理條件中僅告知了f (x) 在點 x0處存在 n階導數(shù)， 并沒有說明在其它點處的 n 階導數(shù) 是否 存在 。就算 其 它點 處的 n 階 導數(shù)也存 在 ， f (n)(x) 也 不一 定連 續(xù)，(n)lim f (n)(x

5、) f (n)(x0) 0也不一定成立。 x x0希望大家注意。 2)泰勒公式(拉格朗日余項)設(shè)函數(shù) f (x) 含有點 x0的某個開區(qū)間(a,b) 內(nèi)有直到 n 1階導數(shù)，則對 (a, b) 內(nèi)任意一點x，都成立f (x) f (x0 ) x x0 f (x0 )x2!2x0nx x0f (x0 ) .n!f ( n)( x0) Rn(x)其中 Rn (x)n1x x0【點評】： 證明：(n同上。1)!(n 1) (，其中介于 x 和 x0之間。令 R( x)f(x)f ( x0 )x x0f (x0 )2x x0''0 f '' (x0) .2! 0nx x

6、0n!f (n)(x0 )Pn 1( x)x x0則我們需要證明R(x)Pn 1(x)(n 1)( ) 。(n 1)!由于 R(x0) Pn 1(x0) 0 ，因此 R( x)Pn 1( x)R(x) R( x0)Pn 1(x) Pn 1 (x0)易知， R(x), Pn 1(x) 滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，x 和 x0 之間存在一點 1使得 R(x) R(x0)R''(1) R'( 1)1Pn 1(x) Pn 1(x0) Pn' 1( 1)n 1 Pn( 1)n1而 R'(x) f ' (x)f '(x0) x x0

7、 f ''(x0 ) .x x0 f (n) (x )f( x0 )(n 1)! 0因此，此時仍然有R'(x0) Pn(x0) 0 。則R' ( 1)1 R'( 1) R'(x0) 。n1 Pn( 1 )(n 1) Pn( 1) Pn(x0)易知， R'(x),Pn(x)仍滿足柯西中值的條件。 因此，由柯西中值定理可知， 在 1和 x0之間存在一點2使得1 R' ( 1) n 1 Pn ( 1)R'(x0)Pn(x0)1 R''( 2 )(n 1) Pn'( 2)R''( 2 )n

8、1 nPn 1 ( 2)由于 1在x和x0之間，因此 2也在 x和x0之間。容易檢驗，上述過程可以一直進行下去，使用過 n 1 次柯西公式后即可得到R(x) f(n 1)( )。Pn 1(x) ( n 1)!證畢 注：在計算極限或確定無窮小量的階時， 一般用到皮亞諾余項的泰勒公式； 在做證明題時用 拉格朗日余項比較多。 兩種泰勒公式的條件是不同的， 其中拉格朗日余項的條件更強， 結(jié)論 也更強。 這兩個定理的證明，如果基礎(chǔ)不太好一時接受不了的話可以先跳過，到下一階段再看。3)定積分中值定理設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 a, b上連續(xù)，則在積分區(qū)間 a,b上至少存在一點使得下式成立：ba f (x )d

9、x f ( )( b a)a 【點評】：積分中值定理是定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理的推論，它在是 證明微積分基本定理的基礎(chǔ)， 在整個微積分中具有極大的理論意義。 同時， 證明題中對該定 理的應(yīng)用也比較常見， 通常會和微分中值定理結(jié)合使用， 考生首先應(yīng)該熟記該定理的條件和 結(jié)論。 另外，考試中還出現(xiàn)過與該定理證明方法類似的證明題。因此， 該定理的證明過程也 是需要掌握的。 該定理的證明過程教材上有， 因為比較重要， 也為了方便大家，在這里寫一 下我的證明過程證明：由于 f (x) 在區(qū)間 a, b上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理可知：f(x) 在區(qū)間 a,b 上 可以取到最大與

10、最小值。設(shè)最大值為 M ，最小值為 m。則有 m f(x) M ,x a,bb則有 mdxbf (x)dxbMdx ，也即bm(b a)f ( x)dx M (b a)aaabaf ( x) dx兩邊同時除以(b a) 可得maM。bab f ( x) dx 可知 a 是介于函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b上的最大值 M 和最小值為 m 之間的一個數(shù)。 ba使得： f ( )bf ( x) dx aba由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知， f (x) 能取到 m, M 上的一切數(shù)。因此在積分區(qū)間 a,b 上存在一點b也即 f (x)dx f ( )(b a) 。a證畢附：下面是 02 年數(shù)三的一

11、道證明題，證明方法與本定理很類似，大家可以試一試?！?2 年數(shù)三 6分】：設(shè)函數(shù) f(x),g(x)在 a,b 上連續(xù)，且 g(x)0 。試利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存bb在一點 a,b ，使得 f (x) g(x)dx f ( ) g(x)dx 。aa4)積分上限函數(shù)的導數(shù)x如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則變積分上限函數(shù) (x) f (t)dt在a,b 上可導， a并且它的導數(shù)是' d x'(x) f (t)dt f (x),a x b dx a【點評】：這個定理的重要性不用強調(diào)了，考試中也直接考到過它的證明。由于是對定理的證明，因此要證明 (x) 的導

12、數(shù)等于f ( x) 只能用定義，對于大家強化導數(shù)的定義是一個很 好的訓練。 證明：x a, b由導數(shù)的定義可知，本定理等價于證明lim (x x) (x)x 0 xf ( x) 。而 limx(x x) (x) lim a0 x x 0xxf (t)dt a f (t )dtaxlixm0xxf (t) dt由于f (x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，因此由定積分中值定理可知：存在介于 x 與 x x 之間的xx使得f ( t) dtxf ( ) ，x則 lim (x x) (x) lim f ( )。x 0 x x 0由于 介于 x與 xx之間，因此當x 0 時，x。又由于 f (x) 在區(qū)間

13、a,b 上連續(xù)，可知lixm0 f ( )x0lim f ( ) f ( x) 。0也即 lim (x x) (x) f(x) 。 x 0 x由導數(shù)的定義可知 '( x) ddxxf (t)dt f (x),aa證畢5)牛頓 萊布尼茲公式果 函 數(shù) F(x) 是 連 續(xù) 函 數(shù) f (x) 在 區(qū)間 a,b 上 的 一 個 原 函 數(shù) ， 則f (x)dx F (b) F(a)是因為它用一個簡單的公式就成功地聯(lián)它是微積分a【點評】：牛頓 -萊布尼茲公式又名微積分基本定理， 系起了微積分中最重要的兩個概念： 微分和積分， 極大地簡化了定積分的計算。 最核心的定理之一， 其簡潔明了的形式也

14、使它被認為是微積分幾百年研究歷史中最漂亮的結(jié) 論之一！ 該定理和上一個定理實際上是等價的， 只需要用到一個函數(shù)在同一區(qū)間上的不同原 函數(shù)間僅相差一個常數(shù)。大家不妨自己推證。6)柯西 施瓦茲不等式設(shè)函數(shù) f (x),g(x) 都在區(qū)間 a,b 上可積且平方可積(注意：這里沒有說連續(xù))則有bf (x) g( x) dx af 2( x)dx g2(x)dx aa點評】：這個公式是教材上的習題，在考試時可以直接用。該公式在 f (x), g(x) 連續(xù)時也成立，但證明方法有區(qū)別， 通過這個例子可以說明應(yīng)用牛頓 萊布尼茲 公式時檢驗被積函數(shù)是否連續(xù)的重要性。證明：法一： 令 F (x)f (t)g (

15、t)dtx 2 x 2a f 2(t)dt a g2(t)dt, x aaa,b則 F (a) 0 。而' x 2 x 2 2 x 2 F'(x) 2f(x)g(x)a f(t)g(t)dt f2(x) ag2(t)dt g2(x) a f2(t)dt a a a2f(x)g(x)f(t)g(t) f 2(x)g2(t) g2(x)f 2(t)dt2f(x)g(t) g(x)f(t) 2dt 0因此 F(x) 在區(qū)間 a,b 上單調(diào)遞減。則有 F(b) F (a) 0。整理即得所需不等式。證畢注：就本題來說，這個證明過程是錯的。因為本題沒有說 f (x),g(x)連續(xù)，因此 不

16、能用變上限積分求導公式，也就是說對 F ' ( x)的計算是不合法的。把這個證明過程而且利用函數(shù)單調(diào)性的方法在放在這里是因為在考研范圍內(nèi)我們遇到的函數(shù)大多是連續(xù)的， 積分不等式的證明中也是很有代表性的。b2法二： 易知，t R，有f (x) tg(x) dx 0 。將括號打開可得b2f ( x) tg( x) dx at2a g2 (x)dx2tf (x)g(x)dx f 2 (x)dx aa將該式看作變量t 的二次函數(shù)， h(t) ?？芍?h(t) 0 對任意的實數(shù) t 都成立。由二次函數(shù)的相關(guān)理論可知，該二次函數(shù)的判別式小于或等于零b 2 b 2 b 2也即 2 f ( x) g

17、( x)dx 4 g 2( x)dx f 2 (x)dx 0 a a a整理即得所需不等式。證畢注：由于這種證明方法所用到的條件比 f(x),g(x)連續(xù)弱，因此當 f(x), g(x)連續(xù) 時，該證明過程也成立。 但這個證明過程所用到的方法不具有代表性， 大家了解 一下即可。7)二元函數(shù)偏導數(shù)存在與可微的關(guān)系如果函數(shù) z f (x, y) 在點 (x, y) 可微，則函數(shù)在該點連續(xù)且兩個偏導數(shù)均存在，并且z z x z y o x2 y2 xy【點評】：學到多元函數(shù)時第一個困擾我們的就是多元函數(shù)的可微與可導不再等 價，它們與連續(xù)性的關(guān)系也變得更為復雜了。 下面希望能通過幾個定理與反例來 將這

18、個關(guān)系說清楚。證明：由可微的定義可知存在只與(x,y)有關(guān)而與 x, y實數(shù) A,B使得z A x B y ox2 y2 在點 (x, y) 附近成立?，F(xiàn)證明 A z ，由偏導數(shù)定義可知，這等價于證明 A lim f(x x,y) f (x,y) x x 0 x由于 z A x B y ox2 y2 成立，因此 f(x x, y) f(x, y) A x o x則 limx0f (xx,y) f (x,y) xA x o x limx0ox lim x0由高階無窮小的定義可知o lim x 0 x0 。因此，有l(wèi)im f(x x,y) f (x,y)。 x0也即 A同理，可證 B證畢z y也就是說： 偏導數(shù)連續(xù)的函數(shù)必然可微， 可微的函數(shù)必然連續(xù)并且存在偏導數(shù)， 但連續(xù)和偏 導數(shù)存在這兩個概念本身是互不包含的 (也就是說連續(xù)的函數(shù)不一定存在偏導數(shù)， 偏導數(shù)存 在的函數(shù)也不一定連續(xù)) 。注二： 例如：1)函數(shù) f (x, y)y ，在 (0,0) 連續(xù)，但偏導數(shù)不存在。2)又如函數(shù) f (x, y)因為 fx'(0,0)xy 2,x22xy220, x2 y2 lim f(x,0) f (0,0) x0，在( 0，