低速空氣動(dòng)力學(xué)理論及計(jì)算：第四章

1、低速空氣動(dòng)力學(xué)理論與計(jì)算第四章：低速平面位勢(shì)流1本章主要內(nèi)容一平面不可壓縮位勢(shì)流的基本方程 流函數(shù)二簡(jiǎn)單的二維位勢(shì)流l基本的二維位勢(shì)流l基本位勢(shì)流的迭加三鏡像法概述l直壁的干擾l地面效應(yīng)l圓壁的干擾l洞壁干擾四鱗片布源法五保角變換法2引言本章開始低速空氣動(dòng)力學(xué)的核心內(nèi)容研究對(duì)象是低速不可壓縮理想流體假定來流有勢(shì)求解求解速度位勢(shì)滿足的方程線性疊加原理 保角變換研究對(duì)象的選擇研究方法數(shù)學(xué)工具基本結(jié)論3平面不可壓縮位勢(shì)流的基本方程位勢(shì)流是無旋流，在無旋條件下存在速度勢(shì)。按照Kalvin定理，流動(dòng)原來無旋，后來必然無旋。這個(gè)假設(shè)在流場(chǎng)大部分區(qū)域內(nèi)滿足，只是物面附近不成立，用此假設(shè)可以建立流場(chǎng)的初步解。

2、平面流是二維流動(dòng)，是真實(shí)情況的一個(gè)極大簡(jiǎn)化。4平面不可壓縮位勢(shì)流的基本方程流動(dòng)的基本方程已經(jīng)推導(dǎo)過了，對(duì)于平面流動(dòng)只要令z方向?qū)?shù)全部為0即可考慮無旋條件存在位勢(shì)函數(shù)5流函數(shù)平面不可壓縮的連續(xù)方程這是微分式 是全微分的必要和充分條件存在一個(gè)函數(shù)流函數(shù)：6流函數(shù)=Const.的曲線是流線（極容易證明）一系列常數(shù)Const.對(duì)應(yīng)一系列流線流線不能穿越（與位勢(shì)函數(shù)一樣，其絕對(duì)值沒有意義，差值有意義）流函數(shù)可以代表流量7流函數(shù)是點(diǎn)的函數(shù)在同一流線上的值都相同等流量差的作一系列曲線，可以看出流速大小流線一般不相交，可以分叉8位勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)無旋條件，就有位勢(shì)函數(shù)。對(duì)于平面流動(dòng) 總是成立的。將位勢(shì)函數(shù) 帶

3、入上式，有必然遵守的方程：9位勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)流函數(shù)是根據(jù)不可壓縮平面流的連續(xù)性方程導(dǎo)出的，而連續(xù)性方程總是成立，所以凡是平面流動(dòng)必然存在流函數(shù)平面流動(dòng)必然存在流函數(shù)如果附加無旋條件：將前式帶入無旋條件，得到滿足的方程10位勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)不可壓縮的平面無旋流必然同時(shí)存在位勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)滿足相同的微分方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程是線性方程，比起流動(dòng)的基本方程（非線性）簡(jiǎn)單很多線性方程線性迭加原理要描述一個(gè)不可壓縮平面流場(chǎng)，找到其中一個(gè)函數(shù)即可（找到一個(gè)，另一個(gè)自然得出），等位線和流線都可以畫出來11位勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)等位線和流線正交沿流線有 流線的斜率是沿等位線有 或由此比較兩式 12

4、位勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)說明：另外一種證明方法不論哪種證明方法，在速度為零處都不成立13例子求流場(chǎng)上的速度分布、壓力分布；畫流線和等位線14幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)將幾種簡(jiǎn)單函數(shù)表示的位勢(shì)流動(dòng)，它們是最基本的流動(dòng)，許多的流動(dòng)可以用它們組合而成 思想：線性迭加原理的應(yīng)用線性迭加原理的應(yīng)用15幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：直勻流速度不變，彼此相等的平行流動(dòng)位勢(shì)函數(shù)：流速：流線考慮平行于x軸的直勻流16幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)源描述：從流場(chǎng)某一點(diǎn)有一定流量向四面八方的流動(dòng)（有正負(fù)匯）把源放在坐標(biāo)原點(diǎn)，使用極坐標(biāo)，只有徑向速度，沒有角速度設(shè)半徑為r處的流速是vr，源的總流量流速與半徑成反比流函數(shù)：位勢(shì)函數(shù)：積分速度

5、特例：源不在坐標(biāo)原點(diǎn)的情況17幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)源受擾點(diǎn)P（x，y）至源的距離為r，有18幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：偶極子描述：等強(qiáng)度的一個(gè)源和一個(gè)匯，放在x軸上，源放在（-h，0），匯放在（0，0）處，從源出來的流量都進(jìn)入?yún)R應(yīng)用迭加原理，按照上頁(yè)公式，位勢(shì)函數(shù)為：流函數(shù)：上述兩個(gè)角度分別是流場(chǎng)點(diǎn)P與源和匯連線與正x軸的夾角19幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：偶極子考慮當(dāng)h0但Q增大，使Qh/2Qh/2=M=M保持不變的極限情況，此時(shí)的位勢(shì)函數(shù)：這種極限情況并不是把有限強(qiáng)度的源和匯放在一起，彼此對(duì)消，什么也沒有，而是h0，Q的一種極限情況偶極子流等位線是圓心在x軸上的圓，且過原點(diǎn)20幾種簡(jiǎn)單的基

6、本二維流動(dòng)：偶極子流函數(shù)可以從位勢(shì)函數(shù)推導(dǎo)，也可以對(duì)非極限情況的流函數(shù)求極限，有流線也是一些圓，圓心都在y軸上，且過原點(diǎn)速度公式：21幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：偶極子說明：偶極子是極限情況，它是有軸線方向的，原來的源和匯放在哪條直線上，那條直線就是軸線偶極子軸與x軸成角偶極子位于其他點(diǎn)，軸線與x軸平行22幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)渦位于原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)渦流動(dòng)，圖案很想點(diǎn)源，只是流線和等位線對(duì)調(diào)，流線是同心圓，等位線是過圓心的射線；流動(dòng)只有角速度，沒有徑向速度位勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)是23幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)渦上述公式中的0是個(gè)常數(shù)，稱為點(diǎn)渦強(qiáng)度速度：這個(gè)速度與離中心的距離r成反比。對(duì)此速度繞封閉圓圈做

7、環(huán)量計(jì)算，有這個(gè)點(diǎn)渦強(qiáng)度就是環(huán)量的值，不論沿哪個(gè)回路積分其結(jié)果都一樣24幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)渦如圖，沿圖中路徑積分沿BC，DE等徑向線段的環(huán)量都是零，沿AB，CD，EF等弧線的速度積分等于各段弧對(duì)的圓心角乘以0/2所以25幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)渦再繼續(xù)推廣，沿任何形狀的圍線積分計(jì)算環(huán)量都一樣（只要點(diǎn)渦在圍線內(nèi)如圖沿ABCDEFA仍等于0，沿HIGH積分環(huán)量為026幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)渦如果點(diǎn)渦在（，），不在原點(diǎn)，流函數(shù)和位勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式27幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)渦這種點(diǎn)渦其實(shí)應(yīng)該看作是一根在z方向無限長(zhǎng)的直渦線，除渦心，其余地方無旋點(diǎn)渦的速度分布不可能一直用到核心上去，當(dāng)r

8、0時(shí)v，壓強(qiáng)28幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)渦上述的情況是不真實(shí)的，按照點(diǎn)渦的速度分別規(guī)律，速度在半徑方面的變化率是當(dāng)r很小時(shí)，這個(gè)變化率極大，這時(shí)黏性必然起作用（黏性力與時(shí)代的法向變化率的關(guān)系參考前幾次課的內(nèi)容），結(jié)果導(dǎo)致渦有一個(gè)核，核內(nèi)的流體v不是與r成反比，而是與r成正比；核外流速與r成反比，如圖29幾種簡(jiǎn)單的基本二維流動(dòng)：點(diǎn)渦結(jié)論：點(diǎn)渦有渦核核內(nèi)是有旋流，核外是無旋流渦核的尺寸？做外部計(jì)算可以忽略，看作很微小即可渦對(duì)外部流場(chǎng)是產(chǎn)生誘導(dǎo)（擾動(dòng)、感生）速度的，其值與至中心的距離成反比，但對(duì)它自己的核心并無誘導(dǎo)速度。30基本位勢(shì)流的迭加對(duì)于平面位勢(shì)流動(dòng)，方程變?yōu)橐运俣任粍?shì)或流函數(shù)為變量的線性方

9、程對(duì)于任意物體（二維）的繞流問題如何處理？無法直接求解，而是利用基本位勢(shì)流動(dòng)或奇點(diǎn)的迭加構(gòu)筑物體外形（流場(chǎng)幾何），其速度位勢(shì)是各基本位勢(shì)流動(dòng)之和（線性迭加原理），構(gòu)筑出滿足要求的流場(chǎng)，問題即可解出對(duì)于壓力場(chǎng)可以使用Bernulli積分獲得31基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加點(diǎn)源一個(gè)平行于x軸由左向右的直勻流里面加入一個(gè)強(qiáng)度為Q的點(diǎn)源速度位勢(shì)分速度32基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加點(diǎn)源X軸上存在駐點(diǎn)vxA=0，可以得到駐點(diǎn)坐標(biāo)： 在駐點(diǎn)流速為0，點(diǎn)源的速度與直勻流的速度抵消流線如圖經(jīng)過駐點(diǎn)的流線BAB是 一條特殊的流線圍墻與直勻流里面放置一個(gè)半無限長(zhǎng)物體造成的流動(dòng)等效 （為何是半無限長(zhǎng)？）33基本位勢(shì)流的

10、迭加：直勻流加點(diǎn)源半無限體在+x無限遠(yuǎn)處的寬度D（y方向的尺寸）流線BAB可以根據(jù)流函數(shù)=0畫出，也可以從流量關(guān)系計(jì)算出來BAB流線上的其他點(diǎn)的坐標(biāo)的確定流場(chǎng)上的壓強(qiáng)用速度得到，可以表示為無量綱的壓強(qiáng)系數(shù)Cp，其定義為34基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加點(diǎn)源按照壓強(qiáng)系數(shù)的定義，沿半無限長(zhǎng)體的外表面，壓強(qiáng)系數(shù)的分布是： 代入后，有Cp沿x軸的分布曲線A駐點(diǎn)Cp一定為+1，與物體形狀無關(guān)經(jīng)過駐點(diǎn)Cp迅速下降至Cp=0，該點(diǎn)流速已達(dá)到遠(yuǎn)前方來流速度，此后氣流沿物面加速，經(jīng)過一段距離達(dá)到速度最大值（Cp最小），一般物體也有類似規(guī)律，地點(diǎn)或早或遲經(jīng)過速度最大點(diǎn)流動(dòng)開始減速，減速很慢，到無窮遠(yuǎn)恢復(fù)到來流速度35

11、基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子直勻流加源得到半無限長(zhǎng)體流動(dòng)，物形不會(huì)收口；如需收口需要加負(fù)源，當(dāng)正源和負(fù)源的總強(qiáng)度為零時(shí)，物形才能收口直勻流加偶極子可以得到封閉的物形直勻流平行于x軸，由左向右，一個(gè)軸線指向負(fù)x的偶極子放在坐標(biāo)原點(diǎn)，位勢(shì)函數(shù)36基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子流動(dòng)圖案：直勻流繞圓圓的半徑a由駐點(diǎn)A確定根據(jù)a的表達(dá)式，位勢(shì)函數(shù)可以寫成流函數(shù)=0是一條特殊的流線，此時(shí)=0或，這就是x軸；還有r=a，這是一個(gè)半徑為a的圓37基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子速度分量：在r=a的圓上繞圓的流動(dòng)在圓表面上只有圓周的速度v，而沒有徑向速度vr，38基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子壓強(qiáng)系數(shù)壓

12、強(qiáng)系數(shù)分布如圖：駐點(diǎn)，來流速度點(diǎn)，最大速度點(diǎn)，后駐點(diǎn)流動(dòng)上下、左右對(duì)稱不考慮流體的黏性，任何封閉物體的阻力為零（達(dá)朗貝爾佯謬）研究無黏流的意義分析流動(dòng)的各個(gè)因素翼型升阻比的提高39基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子和點(diǎn)渦上述流動(dòng)中再在圓心處加一個(gè)強(qiáng)度為-的點(diǎn)渦（順時(shí)針為負(fù)）位勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)：40基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子和點(diǎn)渦在極坐標(biāo)下的速度分量r=a仍舊是一條流線，在這個(gè)圓上駐點(diǎn)位置的確定：0在第三四象限，前后駐點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱。駐點(diǎn)0離開和0的多少?zèng)Q定于環(huán)量與半徑速度之積的比值，環(huán)量越大，駐點(diǎn)越下移41基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子和點(diǎn)渦流動(dòng)左右對(duì)稱，上下不對(duì)稱，y方向合力不為零用Be

13、rnulli積分計(jì)算合力：按照速度在圓上的分布，根據(jù)Bernulli方程計(jì)算壓力，然后沿圓周積分，最后計(jì)算出壓強(qiáng)系數(shù)用動(dòng)量定理計(jì)算合力：控制面S包括圓面和鏈接割線，S上的壓力積分是物體所受的合力，無X，只需計(jì)算Y42基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子和點(diǎn)渦Y向力的表達(dá)式： 庫(kù)塔庫(kù)塔茹科夫斯基定理（升力）茹科夫斯基定理（升力）這是作用在單位長(zhǎng)度柱體上的升力只要是一個(gè)封閉物體，代表這個(gè)物體作用的正負(fù)源強(qiáng)度總和必須為零正負(fù)源放在一起，遠(yuǎn)離物體，其作用與偶極子沒有區(qū)別環(huán)量是升力存在的最根本因素43基本位勢(shì)流的迭加：直勻流加偶極子和點(diǎn)渦帶環(huán)量的壓力分布有環(huán)量與無環(huán)量壓力分布的對(duì)比：升力來自于“吸力”44鏡

14、像法直壁的干擾固體表面是流線，不可逾越（特殊的流線可以視為壁面，反之流場(chǎng)中的壁面可以設(shè)法產(chǎn)生與固壁一樣的流線） 45如何用流函數(shù)表達(dá)直壁？鏡像法對(duì)于直壁，在直壁的另一側(cè)對(duì)稱的點(diǎn)上放置一個(gè)同一強(qiáng)度的源，這兩個(gè)源在直壁位置上產(chǎn)生的速度必然大小相等，一個(gè)上斜，一個(gè)下斜，斜角相等，結(jié)果合速度必然恰好與直壁一致直壁上一半為真實(shí)流動(dòng)，下一半是認(rèn)為配的，這種方法稱為鏡像法鏡像法的流函數(shù)：46鏡像法y=0時(shí)，=0，x軸是流線之一。沿y軸只有vy鏡像源的作用分析0ya：鏡像產(chǎn)生的速度與實(shí)有點(diǎn)源的速度同一方向，增大速度（設(shè)想點(diǎn)源自由移動(dòng)）在直壁上：坐標(biāo)原點(diǎn)O左右|x|a，流速逐漸增大，壓強(qiáng)逐漸下降在原點(diǎn)附近：高壓

15、區(qū)（氣墊船）47鏡像法一個(gè)強(qiáng)度為的點(diǎn)渦放在一個(gè)直壁旁邊，直壁的作用也用鏡像法分析：在直壁另一側(cè)布置等強(qiáng)度反向鏡像點(diǎn)渦流函數(shù)：48鏡像法直壁上任何一點(diǎn)P受到兩個(gè)渦的作用，合速度vx，和沒有直壁的情況對(duì)比，直壁的存在把實(shí)有點(diǎn)渦原來的下一半的流動(dòng)擠到一起，流速增大單個(gè)渦的存在，自己對(duì)自己無誘導(dǎo)速度，所有渦不會(huì)移動(dòng)。直壁的作用等于鏡像，鏡像渦會(huì)對(duì)實(shí)有渦產(chǎn)生誘導(dǎo)速度，使實(shí)有渦以4a的速度向右移動(dòng)49鏡像法一對(duì)實(shí)有渦在彼此的作用下會(huì)平行向前，同時(shí)直壁的作用又使二者向x方向運(yùn)動(dòng)（二者分開向外移動(dòng)）兩個(gè)鏡像渦對(duì)每一個(gè)實(shí)有渦都起作用，而且二者所產(chǎn)生的x方向的誘導(dǎo)速度方向恰好相反，但并不恰好對(duì)消一個(gè)渦在互相垂直的

16、兩直壁間情況與圖類似50地面效應(yīng)飛機(jī)的地面效應(yīng)地面效應(yīng)的計(jì)算方法地面效應(yīng)對(duì)飛機(jī)飛行的影響地面效應(yīng)的利用51地面效應(yīng)飛行器52圓壁的干擾點(diǎn)源強(qiáng)度Q，坐標(biāo)（a,0）；半徑R的圓，Ra，圓心在原點(diǎn)如何布置鏡像點(diǎn)源，得到有圓壁存在時(shí)的點(diǎn)源流動(dòng)？（圓是一條流線）53例子位于(a,0)、(-a,0)強(qiáng)度為+Q的兩個(gè)點(diǎn)源和位于(0,a)、(0,-a)強(qiáng)度為-Q的兩個(gè)點(diǎn)源構(gòu)成的流場(chǎng)中有一條流線是半徑為a的圓54洞壁干擾風(fēng)洞有限的尺度與飛機(jī)在大氣中飛行存在較大差別，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)必須經(jīng)過修正才能使用，這種修正稱為洞壁干擾修正低速風(fēng)洞的洞壁干擾又兩種效應(yīng)模型對(duì)氣流的堵塞效應(yīng)（通道變窄，流速提高，相當(dāng)于改變了來流速

17、度）洞壁的限制改變氣流的下洗角（三維機(jī)翼的迎角有所改變）第一種效應(yīng)在低速風(fēng)洞中往往修正不大，主要考慮第二種問題的修正55洞壁干擾圓形洞壁的修正一個(gè)有限機(jī)翼的渦系可以用兩個(gè)翼尖渦代替，則在圓外反演點(diǎn)上放兩個(gè)同強(qiáng)度反向點(diǎn)渦就行圓心不必放，未增加環(huán)量計(jì)算這兩個(gè)鏡像渦在翼展的中點(diǎn)（圓心）所產(chǎn)生的下洗速度（負(fù)值，實(shí)為上洗速度）模型吹風(fēng)角等于安裝角加上這個(gè)上洗角56洞壁修正矩形洞壁的修正鏡像渦非常復(fù)雜：鏡像的鏡像，無窮無盡平壁和豎壁分開考慮，結(jié)合后如右圖需要計(jì)算兩個(gè)無窮多渦系對(duì)機(jī)翼翼展中心的上洗速度，并雙重求和如果風(fēng)洞是開敞的，情況簡(jiǎn)單很多57鱗片布源法前面講的基本位勢(shì)流迭加太簡(jiǎn)單，沒有實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值，需

18、要理解的重點(diǎn)是：直勻流繞流的基本特點(diǎn)和研究方法理解源、渦這些基本解能起的作用：源源把來把來流撐開；渦流撐開；渦產(chǎn)生升力產(chǎn)生升力鱗片布源法是一種實(shí)用的求解繞流問題的方法，其應(yīng)用不限于二維無升力問題，可以求解三維問題，也可以有升力問題。 本章先用無升力問題介紹此法，掌握要領(lǐng)58鱗片布源法問題的提出：點(diǎn)源可以起到撐開流體的作用，那么如何布置點(diǎn)源可以得到我們需要如何布置點(diǎn)源可以得到我們需要的物體的形狀的物體的形狀？例如，若想使駐點(diǎn)成為一條豎壁，如何布置點(diǎn)源？答案：在半無限長(zhǎng)體駐點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在上下位置多布置幾個(gè)同強(qiáng)度源逐步增加點(diǎn)源數(shù)目，看看能達(dá)到什么效果。59鱗片布源法60鱗片布源法表面分布的一系列源產(chǎn)

19、生的擾動(dòng)速度把源分得極碎，均勻分布在一條直線上，分布強(qiáng)度是是單位線長(zhǎng)的流量如果布置的合適，可以得到任意外形的繞流的流場(chǎng)61鱗片布源法擾動(dòng)速度公式： 如果=1，則擾動(dòng)速度為62鱗片布源法根據(jù)擾動(dòng)速度公式畫出速度的分布曲線根據(jù)這些結(jié)果可以模擬 豎壁豎壁 需要布置什么樣的源了63鱗片布源法根據(jù)上述結(jié)果可以確定布源的原則：在物面上布置分布源，源引起物面上在物面上布置分布源，源引起物面上的擾動(dòng)速度要保證沒有法向分量，只的擾動(dòng)速度要保證沒有法向分量，只有切向分量，從而物線恰好成為流線有切向分量，從而物線恰好成為流線對(duì)于豎線段應(yīng)該布j =2v，從而擾動(dòng)速度對(duì)消來流速度，沿該線沒有法向速度，只有切向速度。64

20、鱗片布源法上述辦法可以用來計(jì)算任意形狀物體的無升力流動(dòng)：確定離散外形“鱗片”上的點(diǎn)源強(qiáng)度，所有問題就有答案了65鱗片布源法：求解思路把物體的周線分成m段，0,1,2m-1,m各分點(diǎn)稱為“邊界點(diǎn)”，第m個(gè)邊界點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)0重合。各分段長(zhǎng)度不一定相等（曲率半徑小分段可長(zhǎng)；反之分段短）。在每個(gè)分段上各布一種等強(qiáng)度j。布置了源的分段就是“鱗片”，每一片的中點(diǎn)稱為“控制點(diǎn)”。在控制點(diǎn)上滿足邊界條件，即在該點(diǎn)上的合速度的法向分量為零，此處的合速度包括來流速度，本片的源分布在控制點(diǎn)產(chǎn)生的法向速度（0.5 j ）以及其他m-1個(gè)片在此控制點(diǎn)產(chǎn)生的法向速度。在每個(gè)控制點(diǎn)上按照邊界條件建立了一個(gè)代數(shù)方程，其中在每個(gè)

21、控制點(diǎn)上按照邊界條件建立了一個(gè)代數(shù)方程，其中包括包括m m個(gè)待定的源強(qiáng)個(gè)待定的源強(qiáng)j j，一共，一共m m塊，建立了塊，建立了m m個(gè)線性方程，個(gè)線性方程，求解該方程得到各片上的點(diǎn)源強(qiáng)度，問題就求解出來了。求解該方程得到各片上的點(diǎn)源強(qiáng)度，問題就求解出來了。66鱗片布源法：求解步驟1.在整個(gè)流場(chǎng)上先確定一個(gè)坐標(biāo)系x,y；2.計(jì)算某一個(gè)鱗片的源對(duì)另一個(gè)鱗片的作用時(shí)，規(guī)定起作用的片為第j片，受到擾動(dòng)的片是第i片；3.給第j片設(shè)置一個(gè)局部坐標(biāo)系x，y；這個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)O放在第j片的中點(diǎn)，其x軸與第j片一致4.最原始的數(shù)據(jù)是圍線各分點(diǎn)在總坐標(biāo)系上的坐標(biāo)值(x1,y1),(x2,y2)(xm,ym)，分點(diǎn)

22、號(hào)碼順時(shí)針排列5.各控制點(diǎn)坐標(biāo)取中點(diǎn)6.確定各片的法線方向余弦7.確定第i片的控制點(diǎn)在第j片局部坐標(biāo)上的坐標(biāo)值8.列代數(shù)方程組，并求解67例子使用鱗片布源法計(jì)算直勻流繞二維圓柱：68保角變換法復(fù)變函數(shù)可以用來描述平面流動(dòng)，但只能描述平面流動(dòng)（這是它的缺點(diǎn)），但使用復(fù)變函數(shù)方法描述平面流動(dòng)非常簡(jiǎn)潔基本思路：使用變換關(guān)系，將一個(gè)平面上的圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)平面上的圖形，將一個(gè)復(fù)雜的、位勢(shì)函數(shù)寫不出來的繞流問題變?yōu)橐粋€(gè)簡(jiǎn)單的、已知位勢(shì)函數(shù)的流動(dòng)，間接解決二維復(fù)雜繞流。69保角變換法復(fù)變函數(shù)的相關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí)解析函數(shù)復(fù)位勢(shì)函數(shù)保角變換70解析函數(shù)解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（微分）解析函數(shù)的的性質(zhì)

23、：CauchyRiemann條件解析函數(shù)的積分：Cauchy積分定理Cauchy殘值定理71復(fù)位勢(shì)函數(shù)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部可以構(gòu)成位勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)，組成復(fù)位勢(shì)函數(shù)代表平面不可壓縮無旋流，速度分量和模復(fù)速度并不是速度向量本身，而是在x軸另一邊的鏡像，它是速度向量的共軛復(fù)數(shù)72復(fù)位勢(shì)函數(shù)復(fù)位勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)繞角的流動(dòng)在基本解中并未提及，真實(shí)意義不大，局部特性具有普遍意義凹角凸角73復(fù)位勢(shì)函數(shù)其它幾個(gè)簡(jiǎn)單流動(dòng)的復(fù)位勢(shì)函數(shù)74布勞休斯定理計(jì)算物體上所受力和力矩有布勞休斯定理可用。這個(gè)定理是根據(jù)動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用復(fù)位勢(shì)函數(shù)導(dǎo)出的兩個(gè)公式75布勞休斯定理布勞休斯定理：如果流動(dòng)存在位勢(shì)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)平方的一次

24、極點(diǎn)系數(shù)滿足 實(shí)部為物體x方向受力，虛部位y方向受力； 其導(dǎo)數(shù)平方與z乘積的一次極點(diǎn)系數(shù)滿足 實(shí)部是力對(duì)原點(diǎn)的力矩例：帶環(huán)量的繞圓流動(dòng)76保角變換z平面和平面， 也是復(fù)變數(shù)二者之間規(guī)定一個(gè)關(guān)系z(mì)平面圖形與平面圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系：除了個(gè)別點(diǎn)之外，相應(yīng)的圖形上兩線段之間的夾角和原圖形上兩對(duì)應(yīng)線段之間的夾角相等 -保角變換77保角變換如果z平面上的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)平面上的同一個(gè)點(diǎn)，如z=0點(diǎn)變換不保角，角度增大一倍|d/dz|=0或無窮，奇點(diǎn)，變換不保角不保角點(diǎn)上的角度變換規(guī)律78保角變換利用邊界上的奇點(diǎn)進(jìn)行變換：把圓變成機(jī)翼79流型的變換在z平面上的一個(gè)位勢(shì)流動(dòng)（比如繞某封閉曲線C的流動(dòng)），等位線與流線正交

25、。經(jīng)過變換，在平面上，C變成C，等位線和流線變成另外兩族曲線，仍舊正交。變換變換后的兩族曲線仍舊可以看作等位線和流線后的兩族曲線仍舊可以看作等位線和流線。經(jīng)過一個(gè)給定的變換，z平面上繞C的位勢(shì)流變成平面上繞C的另一個(gè)位勢(shì)流。80流型的變換在平面上，流動(dòng)的復(fù)位勢(shì)函數(shù)導(dǎo)自為W(z)W=W(z), =f(z)，可有W=W()平面上的復(fù)速度一般的地方，|d/dz|是有限值，但在奇點(diǎn)處此值可以是零或無限大的速度。 在在z z平面上本來是有限的速度，到了平面上本來是有限的速度，到了平面上可能變成無限大的平面上可能變成無限大的速度速度 通過保角變換圓可以變成翼型通過保角變換圓可以變成翼型81流型的變換直勻流

26、繞圓周變成流過平板（與來流平行）的流動(dòng)82流型的變換繞圓的流動(dòng)的復(fù)位勢(shì)函數(shù)是給定變換關(guān)系此式稱為茹科夫斯基變換，其特點(diǎn)為：將z平面上半徑為a的圓以外的域變成整個(gè)平面不改變來流83流型的變換在平面上的復(fù)速度：在遠(yuǎn)前方Z平面上繞圓的流動(dòng)經(jīng)過變換變成：這是流速為v平行于軸的直勻流物體變成和來流平行的無厚度的平板 不考慮黏性，平板自然是一條流線，對(duì)流動(dòng)無擾動(dòng) 84流型的變換這個(gè)變換的導(dǎo)數(shù)是 因而存在z=a兩個(gè)奇點(diǎn)，將在z0=a展開 85流型的變換直勻流從負(fù)i軸繞過一塊總長(zhǎng)4a的橫板在平板兩頭 z=a的地方速度無限大實(shí)際情況不同，不存在無限大速度，但z=a是速度最大點(diǎn)黏性的效應(yīng)，以后會(huì)介紹86流型的變換與圖中平板相應(yīng)的物形在z平面上