2017年用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式

1、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式是高考重點考查的內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列-等差數(shù)列等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應(yīng)用各自的通項公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用例1： (06年XX高考題)數(shù)列an中，a1 i,an1 2an 1則an()A. 2nB. 2n 1C. 2n 1D. 2n 1解法 1 ： an 1 2an 1an 1 1 2an 2 2(an 1)又21 12an 112an 1an 1是首項為2公比為2的等比數(shù)列an 12 2n 12n, an 2n 1,所以選 C解法2歸納總結(jié)：若數(shù)列an滿足an p

2、an q(p 1,q為常數(shù))，則令anp(an)來構(gòu)造等比數(shù)列,并利用對應(yīng)項相等求的值，求通項公式。例 2：數(shù)列 an 中，a1 1, a2 3,an 2 3an 1 2an,貝U an解：an 2 an 12（an 1an）a2 a1 2an an 1為首項為2公比也為2的等比數(shù)列。n 1, 一a n an 12）（n>1）n>1時an(an an 1) (an 1 an 2)(a2a1) a1?n 12n 2n1 2 on 211 2顯然n=1時滿足上式2n 1小結(jié)：先構(gòu)造an 1an等比數(shù)列，再用疊加法，等比數(shù)列求和求出通項公式,例3：已知數(shù)列an中a15, a22, an2

3、an13an2,(n3)求這個數(shù)列的通項公式。解：an2an 1 3a n 2an 1 3(an 1 an 2)又a1a27, an an形成首項為7,公比為3的等比數(shù)列,則 an an 17 3n 2又 an 3an 1(an 13an 2 ) ，a2 3a113 ) an3an 1形成了一個首項為一13,公比為一1的等比數(shù)列則 an 3am ( 13) ( 1)n 2 3 4an 7 3n 1 13 ( 1)n 17 on 113 n 1an 7 3( 1)44小結(jié)：本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，屬于構(gòu)造方面比較級，最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的 通項公式。例4：設(shè)數(shù)列an的前項和為Sn,若2

4、an 2nSn成立，(1)求證：an n 2n 1是等比數(shù)列。(2)求這個數(shù)列的通項公式證明：(1)當(dāng) n 1,b a1 2 (b 1)a1, a12又 b an 2n (b 1) Snb an 12n 1 (b 1) Sn 1一 b an 1 b an 2n (b 1) an 1an 1 b an 2當(dāng) b 2時，有 an 12an 2nan 1 (n 1) 2n2an 2n (n 1) 2n2 (a0n 2n 1)又 a121 11n 1an n 2為首項為1,公比為2的等比數(shù)列，(2)n 1on 1n 1an n 22 , an (n 1) 2小結(jié)：本題構(gòu)造非常特殊，要注意恰當(dāng)?shù)幕喓吞?/p>

5、取公因式，本題集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價值與魅力，同時也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。例5：數(shù)列an滿足a1 3,an 1 2an 3 2n 1,則小A. (3n 1) 2nB. (6n 3) 2n 1C. 3(2n 1) 2n 1 D. (3n 2) 2n 1解：an 1 2an 3 2n 1,會2n 1an 1 an 3 乂 a132n 12n ,22包3 2nan-構(gòu)成了一個首項這3 ,公差為2n23的等差數(shù)列,an33- (n 1) 3 3n -2n223an 2 2n 1 (3n -) (6n 3) 2n 1 所以選 B。小結(jié)：構(gòu)造等比數(shù)列，注意形 包，當(dāng)n n 1時，變?yōu)榘投?/p>

6、2n)2“ 1例6 ：已知函數(shù)f(x) (JX J2)2,(x 0),又?jǐn)?shù)列an中a12 ,其前n項和為Sn, (nN ),對所有大于1的自然數(shù)n都有Snf(Sn1),求數(shù)列an的通項公式。解：f(x) (.X .2)2,Sn f(Sn1)( . Sn 1.2)2,S； .Sn；2, &Sn；2Sa1.2岳是首項為<2 ,公差為J2的等差數(shù)列。商五(n !)及 <2n, Sn 2n2。22_n 2時，an Sn Sn 1 2n 2(n 1) 4n 2且當(dāng)n 1時，a12 4 1 2符合條件通項公式為an 4n 2例7: (2006XX高考題)已知a1 2,點(an,an1)

7、在函數(shù)f (x) x2 x的圖象上，其中n 1,2,3, 求數(shù)列an 的通項公式。解： f (x) x2 2x又(an ,an 1)在函數(shù)圖象上2an 1 an2anan 1 1 an2an 1 (an 1,lg(an 1 1)21g(an 1)1g(an 1 1)-2, lg(a1 1) lg31g(an 1)1g(an 1)是首項為1g3公比為2的等比數(shù)列n 12n 11gan 12n 11g3 1g322n 1an 1 3n n 1an321小結(jié)：前一個題構(gòu)造出7Sn為等差數(shù)列，并且利用通項與和的關(guān)系來確定數(shù)列的通項公式,后一個題構(gòu)造1g an 1為等比數(shù)列，再利用對數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函

8、數(shù)的綜合運用是當(dāng)今高考的重點與熱點，因此我們在解決數(shù)列問題時應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識，以它的概念與性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁 揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。例 8: (2007XX 高考題)已知數(shù)列 an 滿足 a1 2,an 1ann 1 (2) 2n , ( n N* )其中 0,求數(shù)列的通項公式方法指導(dǎo)：將已知條件中的遞推關(guān)系變形，應(yīng)用轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列形式，從而為求an的通項公式提供方便，一切問題可迎刃而解。解：an 1ann1 (2) 2n,(n N*,0)an 1an, 2、n 1, 2、n/F-(-)(-)1an 1/2、n1 anz 2 x n.F(-)(-)1

9、,。an 12 x n 1an2na12所以 F (-) (-)1, 0所以ann(2)n為等差數(shù)列，其首項為 0,公差為1;(2)n1,an (n1)2n例9:數(shù)列an中,a12a,則3ana42A.19B.1615C.解:an3an3anan 1-13a n是首項為a4a1an1乙1公差3的等差數(shù)列。2(n1)3n6n 5an6n 5219所以選變式題型:數(shù)列 an中,a12, an 12an3an求an解：an2an3anan 11 3an2anan，則32,an 12(an13),又上 a1是首項為an5 一一公比為2的等比數(shù)列5/1、n1 155/1、nl(), 32 2an2 2an小結(jié)：an 115(1)n 12(2f (an)且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列，發(fā)散之后，兩種構(gòu)