鮮大權(quán)高等數(shù)學(xué)B2期末考試復(fù)習(xí)輔導(dǎo)

1、1期末考試復(fù)習(xí)輔導(dǎo)期末考試復(fù)習(xí)輔導(dǎo)2 一、考試說明一、考試說明考試性質(zhì)：學(xué)科合格考試?？荚囆再|(zhì)：學(xué)科合格考試?？荚嚪绞剑簳骈]卷，統(tǒng)一命題統(tǒng)一閱卷?？荚嚪绞剑簳骈]卷，統(tǒng)一命題統(tǒng)一閱卷?？荚嚂r(shí)間：考試時(shí)間：120分鐘。分鐘。卷面分?jǐn)?shù)：卷面分?jǐn)?shù)：100分分(按按70%合成合成)?？荚嚾掌冢涸敿?xì)考試日期：詳細(xì)2015年年7月月11日日13:30-15:30 (第第18周星期六周星期六)3二、主要試題類型二、主要試題類型1、選擇題、選擇題2、填空題、填空題(選擇與填空題不超過選擇與填空題不超過20%）3、計(jì)算題、計(jì)算題(重點(diǎn)重點(diǎn))4、證明題、證明題4直直 線線曲面曲面曲線曲線平平 面面參數(shù)方程參數(shù)方

2、程旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程參數(shù)方程參數(shù)方程一般方程一般方程對稱式方程對稱式方程 點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程一般方程一般方程空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系空間解析幾何空間解析幾何三、各章知識結(jié)構(gòu)三、各章知識結(jié)構(gòu)5平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運(yùn)運(yùn) 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念多元函數(shù)多元函數(shù)6全微分全微分的應(yīng)用的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性微分法在微分法在幾何上的應(yīng)用幾何

3、上的應(yīng)用方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微分全微分概念概念偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念7定定 義義幾何意義幾何意義性性 質(zhì)質(zhì)計(jì)算法計(jì)算法應(yīng)應(yīng) 用用二重積分二重積分定定 義義幾何意義幾何意義性性 質(zhì)質(zhì)計(jì)算法計(jì)算法應(yīng)應(yīng) 用用三重積分三重積分重積分重積分8曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分對坐標(biāo)的對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標(biāo)的對坐標(biāo)的曲線積分曲線積分定義定義計(jì)算計(jì)算定義定義計(jì)算計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分9常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)三

4、角級數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)0)(xRn為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為為函函數(shù)數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級數(shù)與數(shù)級數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 1nnu無窮級數(shù)無窮級數(shù)10 (一一)主要概念主要概念 : 1. 多元函數(shù)：多元函數(shù)：(1)鄰域、重極限、連續(xù)；鄰域、重極限、連續(xù)；(2)偏導(dǎo)數(shù)、全微分；偏導(dǎo)數(shù)、全微分；(3)極值與最值、條件極值。極值與最值、條件極值。 2. 重積分重積分 、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)。、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)。 3.對

5、弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分對弧長的曲線積分、對坐標(biāo)的曲線積分 、區(qū)域、區(qū)域邊界的方向、曲線積分與路徑無關(guān)。邊界的方向、曲線積分與路徑無關(guān)。 4.對面積的曲面積分、對坐標(biāo)的曲面積分對面積的曲面積分、對坐標(biāo)的曲面積分 。 5. 無窮級數(shù)：無窮級數(shù)：(1)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 、一般項(xiàng)、部分和、收斂、發(fā)散。、一般項(xiàng)、部分和、收斂、發(fā)散。(2)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、 冪級數(shù)、收斂點(diǎn)、收斂半徑、冪級數(shù)、收斂點(diǎn)、收斂半徑、收斂域。收斂域。四、重要知識點(diǎn)四、重要知識點(diǎn)11(二二)主要定理主要定理1.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理：閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理：()有界性與最值定理有界性與最值定理;(3)介

6、值定理。介值定理。2.混合偏導(dǎo)數(shù)相等定理、全微分存在定理混合偏導(dǎo)數(shù)相等定理、全微分存在定理 、復(fù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)定理、隱函數(shù)求導(dǎo)定理合函數(shù)求導(dǎo)定理、隱函數(shù)求導(dǎo)定理 。3.極值存在的必要條件和充分條件。極值存在的必要條件和充分條件。4.重積分性質(zhì)定理重積分性質(zhì)定理: (1)估值定理；估值定理；(2) 中值定理。中值定理。5.無窮級數(shù)收斂的判定定理。無窮級數(shù)收斂的判定定理。12(三三)重要公式重要公式1.全微分公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和隱函數(shù)求導(dǎo)公式。全微分公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和隱函數(shù)求導(dǎo)公式。2.Green公式、公式、Gauss公式。公式。3.泰勒公式，常用函數(shù)的馬克勞林展開式。泰勒公式，常用函數(shù)的馬克勞

7、林展開式。(四四)主要法則、準(zhǔn)則主要法則、準(zhǔn)則1.多元函數(shù)極限運(yùn)算法則。多元函數(shù)極限運(yùn)算法則。2.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則。多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則。3.收斂級數(shù)運(yùn)算法則。收斂級數(shù)運(yùn)算法則。4.冪級數(shù)在收斂區(qū)域內(nèi)的運(yùn)算法則。冪級數(shù)在收斂區(qū)域內(nèi)的運(yùn)算法則。 13(五五)重要思想方法重要思想方法1.重極限計(jì)算法和判定多元函數(shù)極限不存在的方法。重極限計(jì)算法和判定多元函數(shù)極限不存在的方法。2.微分法在幾何上的應(yīng)用：空間曲面切平面與法線計(jì)算法、空間曲微分法在幾何上的應(yīng)用：空間曲面切平面與法線計(jì)算法、空間曲線法平面與切線計(jì)算法。線法平面與切線計(jì)算法。3.偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算法。偏導(dǎo)數(shù)、高

8、階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算法。4.多元函數(shù)極值、條件極值求法。多元函數(shù)極值、條件極值求法。5.二重積分計(jì)算：直角坐標(biāo)法、極坐標(biāo)法。二重積分計(jì)算：直角坐標(biāo)法、極坐標(biāo)法。三重積分計(jì)算：直角坐標(biāo)法、柱坐標(biāo)法、球坐標(biāo)法。三重積分計(jì)算：直角坐標(biāo)法、柱坐標(biāo)法、球坐標(biāo)法。基本思想基本思想:化簡、化歸為兩次或三次定積分?；啞⒒瘹w為兩次或三次定積分。6.曲線積分計(jì)算法：代換后化為定積分、閉曲線積分化為二重積分。曲線積分計(jì)算法：代換后化為定積分、閉曲線積分化為二重積分。7.曲面積分計(jì)算法：投影代換后化為二重積分、閉曲面積分化為三曲面積分計(jì)算法：投影代換后化為二重積分、閉曲面積分化為三重積分。重積分。8.級數(shù)審斂法級數(shù)審斂法(

9、定義法、比較法及極限形式、比值法及根值法、定義法、比較法及極限形式、比值法及根值法、Leibniz法法)、收斂級數(shù)求和法。、收斂級數(shù)求和法。9.冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間求法。冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間求法。1、打*號的內(nèi)容不作要求；第八章不單獨(dú)出題；2、第九章二元函數(shù)的極限和連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算，高階到二階偏導(dǎo)數(shù)；全微分；復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)；微分學(xué)的幾何應(yīng)用；方向?qū)?shù)與梯度；多元函數(shù)的極值(無條件)；3、第十章二重積分與三重積分的計(jì)算；交換積分次序；4、第十一章曲線積分與曲面積分計(jì)算，Green公式和Gauss公式，二元函數(shù)全微分求積與第7節(jié)不要求；5、第十二章常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法；冪級數(shù)收斂

10、半徑與收斂域。14五、主要知識點(diǎn)五、主要知識點(diǎn)(考試范圍考試范圍)151.1.求多元函數(shù)的極限求多元函數(shù)的極限206000limsinlimsin(2)limlim1 1x yxyaxyxyxyxyxyxyyxyxy 2x105期末(2分).求二元函數(shù)的極限(1+).x06期末(10分).求二元函數(shù)的極限.07期末(10分).求二元函數(shù)的極限.08期末(7分).求二元函數(shù)的極限.六、期末考題分類介紹六、期末考題分類介紹162.2.求偏導(dǎo)數(shù)或全微分求偏導(dǎo)數(shù)或全微分222222,.yzffffdtxyxy222222xy-t05期末(10分).設(shè)z=xyf(x +y ,x -y ),f可微，求dz

11、.x06期末(10分).求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)z=lntan.y07期末: 1(5分).設(shè)z=f(x,y)是由方程xyz+ x= 2確定的,則在點(diǎn)(1,0,-1)處，求dz.2(10分).設(shè)f(x,y)e求08期末: 1220,.zzexyzx(4分).f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)是f(x,y)在該點(diǎn) 可微分的條件。2(7分).設(shè)求170,1,()( , )(DF u vF xa000000yxz0 x0 y0 z000yxz00000007期末(5分).若曲面F(x,y,z)=0在點(diǎn)(x ,y ,z )的切平面經(jīng)過原點(diǎn)，那么，在點(diǎn)(x ,y ,z )有( )。FFF (A)x F +y F +

12、z F(B)=xyzFFF (C)+ (x ,y ,z )=(0,0,0).xyz07半期(分)設(shè)可微，證明：曲面,)0( ,)z ybzxyza bab上任意點(diǎn)處的切平面與直線平行。為常數(shù)3.3.向量的運(yùn)算、微分法在幾何中的應(yīng)用：研究空向量的運(yùn)算、微分法在幾何中的應(yīng)用：研究空間曲面切平面和法線，或空間曲線法平面和切線。間曲面切平面和法線，或空間曲線法平面和切線。183,()dxdyDxy(0,0)07半期(4分).設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(,)附近有定義， 且f(0,0)=3,f(0,0)=1,則有( )。 (A)dz| (B)曲面z=f(x,y)在點(diǎn)(0,0,f(0,0)的法向量為3,1,1

13、z=f(x,y) (C)曲線在點(diǎn)(0,0,f(0,0)的切向量為1,0,3y=0z=f(x,y) 曲線在y=0點(diǎn)(0,0,f(0,0)的切向量為3,0,1.19222120yzxyz 208期末：1(7分).已知三點(diǎn)A(1,0,-1)、B(1,-2,0)、C(-1,2,-1),求|AB AC|。 2(7分).求橢球面x上平行于平面的切平面方程。202222220( , )(2 )0( , )(2 )056109xxf x yexyyf x yexyyzxyxy6半期(10分)求函數(shù)的極值。半期(8分)求函數(shù)的極值。期末(7分)求函數(shù)的極值。5.5.求解極值、最值或條件極值問題。求解極值、最值或

14、條件極值問題。4.4.方向?qū)?shù)或梯度計(jì)算方向?qū)?shù)或梯度計(jì)算216.6.二重積分計(jì)算或性質(zhì)判定。二重積分計(jì)算或性質(zhì)判定。0000000( , )( , )()( )( , ),( )( , ),( )( , ),()( , ).,axayaayayaaaxf x ydxf x y dyAdyf x y dxBdyf x y dxCdyf x y dxDdxf x y dyD D0期末： 1(5分).設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則= 2(10分).計(jì)算二重積分xcos(x+y)d其中 是頂點(diǎn)分別為(0,0)、( ,0)和()的三角形閉區(qū)域。3(2112220()xdxxydy08分).把下列積分化為極坐標(biāo)形式，

15、并計(jì)算積分值：222222122214002211220002120()( , )( cos , sin )()( )( , ),( )( , ),( )( , ),()xxxxxyydxxydyf x ydf rrrdrAdxf x y dyBdxf x y dyCdyf x y dxD006期末(10分)把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：06半期：1(4分)設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于 2212002222( , ).( , )|1,0,11yDdyf x y dxDx yxyxxyIdxdyxy 2(10分)設(shè)區(qū)域計(jì)算二重積分。23999123321132312071).1200ln()(

16、)sin(),()( ),( ),( ),(),DDDxyxyxyxydxdyxydxdyxydxdyA IIIB IIIC IIID III123半期: 1(4分 設(shè)平面區(qū)域D由直線、與兩坐標(biāo)軸、圍成，若I、I、I則它們之間的大小順序?yàn)?。 2(4分)02122( , )1ydyf x y dxxyax ydxdy-12D交換二次積分次序：。 3(4分)D是閉區(qū)域+,則I ( +)。242221(),41xyax ydxdyxy dDyxy2DD208期末: 1(4分).D是閉區(qū)域+,則I ( +)。2(7分).(07半期8分).計(jì)算二重積分其中 是由 y=x 、及所圍成的閉區(qū)域。22220

17、()axdxxydyDa007期末：1(10分).計(jì)算二重積分(3x+2y)d , 其中D是由兩坐標(biāo)軸與直線x+y=2所圍成的閉區(qū)域。 2(8分).把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：25206)20)08)yzzxy2222 32222223期末(10分 .利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分(x +y )dv，其中 是由曲面x及平面z=2所圍成的閉區(qū)域。期末(8分 .計(jì)算三重積分xy z dxdydz ，其中 是由曲面與平面y=x、x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域。zln(x +2y +3z +1)期末(7分 .計(jì)算三重積分dxdydz ，(x +2y +3z +1)其中 是由球面224yz2x所圍成

18、的閉區(qū)域。7.7.三重積分計(jì)算或性質(zhì)判定。三重積分計(jì)算或性質(zhì)判定。2605).0610).GreenGreen2222LL期末(8分 利用公式計(jì)算下列積分： (x +y )dx+(y -x )dy其中L是由y=0,x=1,y=x所組成的閉回路的正向。期末: 1( 分 利用公式，計(jì)算下列曲線積分：(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy=0其中L為三頂點(diǎn)分別為(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向邊界。( )2( )(0)( ),(1) 1,( )lyf x dxxf xx dyxf xff x 2(選作題，5分).設(shè)曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，其中可導(dǎo)且求。8.8.曲線積分、曲

19、面積分的計(jì)算，曲線積分、曲面積分的計(jì)算，GreenGreen公式公式和和GaussGauss公式的應(yīng)用。公式的應(yīng)用。270).0).cos(sin),xGreenydxeyx dyABCDAxL22期末(8分 利用公式計(jì)算下列積分：dx+dy |x|+|y|其中ABCDA是以A(1,0)、B(0,1)、C(-1,0)、D(0,1)為頂點(diǎn)的正方形圍線。期末(7分 計(jì)算 eL為圓(x-1) +y =1的上半圓周從A(2,0)到(0,0)。281115(21)2 sin361()2nnnnnnnn n05期考：1(5分).級數(shù)的斂散性是。 2(8分).用比較判別法判定級數(shù)的斂散性。 06期考(10分

20、）用比較審斂法或極限審斂法判別法判別下 列級數(shù)的收斂性111 2 53(n+1)(n+4)0期考(8分).判定級數(shù)的斂散性。08期考(7分).判定級數(shù)1006 tan2007nnn的斂散性。 9.9.數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判定與收斂級數(shù)求和。數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判定與收斂級數(shù)求和。292232311( 1)21 33323nnnnxxxnxnx 2n223nnxx05期考(8分).求冪級數(shù)1-x+的收斂區(qū)間。n06期考(10分).求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間。xxxx 23n 307期考(8分).求冪級數(shù)的收斂區(qū)間。08期考(7分).求冪級數(shù)在收斂區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)。 10.10.求冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，在收