解析幾何中的定點(diǎn)和定值問題

1、精品文檔文檔解析幾何中的定點(diǎn)定值問題考綱解讀：定點(diǎn)定值問題是解析幾何解答題的考察重點(diǎn)。此類問題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結(jié)合，深入考察直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)。考察數(shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。一、 定點(diǎn)問題解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線系、曲線系來解決。AByOx例1、A、B是拋物線y2=2px (p0)上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且+=時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求

2、出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。例2橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切求橢圓C的方程；設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；在的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)1】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和求軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,。1設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；2設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；3設(shè),求證：直線MN

3、必過x軸上的一定點(diǎn)其坐標(biāo)與m無關(guān)?！踞槍?duì)性練習(xí)3】橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，短軸長為求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)例3、橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率，過橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)。I求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍； 設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線？假設(shè)存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。二、 定值問題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，

4、解決這類問題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變中尋求定值的“不變性，一種思路是進(jìn)展一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過考察極端位置，探索出“定值是多少，用特殊探索法特殊值、特殊位置、特殊圖形等先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時(shí)有許多定值問題，通過特殊探索法

5、不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比擬奏效。例4、橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，共線。1求橢圓的離心率；2設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。例5、，橢圓C過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為1，0，1，0。1求橢圓C的方程； 2E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。將第二問的結(jié)論進(jìn)展如下推廣：結(jié)論1.過橢圓上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，那么直線EF的斜率為定值常數(shù)。結(jié)論2.過雙曲線上任一點(diǎn)任意作兩條

6、斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，那么直線EF的斜率為定值常數(shù)。結(jié)論3.過拋物線上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，那么直線EF的斜率為定值常數(shù)。例6、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是6.()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；()假設(shè)為焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.例7、拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，P(2，0)為定點(diǎn)()假設(shè)點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；()假設(shè)動(dòng)圓M過點(diǎn)P，且圓心M在拋物線C上運(yùn)

7、動(dòng)，點(diǎn)A、B是圓M與軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？假設(shè)存在，求這個(gè)定值；假設(shè)不存在，說明理由例8、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為求橢圓的方程；過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，為定值？假設(shè)存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由三、 定直線問題例9、設(shè)橢圓過點(diǎn)，且焦點(diǎn)為求橢圓的方程；當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上例10、橢圓C的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，。求橢圓C的方程；設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在

8、一條定直線上？假設(shè)是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；假設(shè)不是，請(qǐng)說明理由。四、 其它定值問題例11、雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為求雙曲線的方程；設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.例12、己知橢圓 ab0,過其中心O的任意兩條互相垂直的直徑是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求證：以兩條直徑的四個(gè)端點(diǎn)所成的四邊形P1Q1P2Q2與一定圓相切。探索定圓：取橢圓長軸和短軸為兩直徑，那么的方程為，原點(diǎn)O到直線的距離為，那么與菱形內(nèi)切的圓方程為。例13、P是雙曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于P1、P2兩點(diǎn)異于P點(diǎn)

9、，求證：直線P1P2的方向不變。探索定值：取P，過P點(diǎn)且互相垂直的直線中有一條過原點(diǎn)，那么這一條直線xPP1P2yO與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，其斜率 PP2的方程為把代入解得定值 證明：設(shè)PP1的斜率為，那么PP2的斜率為，PP1的方程為PP2的方程為，與拋物聯(lián)立解得、 ，從而定值 EX：過拋物線y2=2pxP0上一定點(diǎn)x0,y0作兩條直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，滿足直線PA、PB斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，那么AB的斜率為定值。推廣：拋物線推廣到橢圓或雙雙曲線均可。五、練習(xí)1、橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，三角形ABM的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中M點(diǎn)為1，1，且直線MA、MB的斜率之和為0。1

10、求橢圓的方程。2求證：直線AB的斜率是定值。分析：1x2+2y2=3 22、定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).假設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.分析：M，0 3、不垂直于x軸的動(dòng)直線l交拋物線y2=2mxm0于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)A、B兩點(diǎn)滿足AQP=BQP，假設(shè)其中Q點(diǎn)坐標(biāo)為-4，0，原點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)。1證明：A、P、B三點(diǎn)線；2當(dāng)m=2時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以PA為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在求出l的方程。分析：設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)2l：x=3.4、 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短

11、軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形。1求橢圓的方程。2假設(shè)C、D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MDCD,連結(jié)CM交橢圓于點(diǎn)P，證明：為值。3在2的條件下，試問x軸上是否存在異于C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓過直線DP，MQ的交點(diǎn)，假設(shè)存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。分析：12由O、M、P三點(diǎn)共線，得，所以=43設(shè)Q點(diǎn)a，0，由，得a=0.5、設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點(diǎn)，假設(shè)的最小值是-1，雙曲線的離心率是。1求雙曲線C的方程；2過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，過作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，求證：直線AC恒過定點(diǎn)。分析：1 2先

12、猜再證：，0換掉x1代入韋達(dá)定理得證。方法二：設(shè)AB：代入方程得：故AC：=又2my1y2=-y1+y2然后代入韋達(dá)定理得。6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,RtABC的斜邊BC恰在x軸上，點(diǎn)B(2,0)，C2，0，且AD為BC邊上的高。(I)求AD中點(diǎn)G的軌跡方程； (II)假設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線l與(I)中G的軌跡交于兩不同點(diǎn)P、Q，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E(m,0)，使恒為定值？假設(shè)存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。分析：1 2m= 定值為 不容易先猜出，只能是化簡求出。7、直線l過橢圓E：的右焦點(diǎn)F,且與E相交于P，Q兩點(diǎn)。（1） 設(shè)，求點(diǎn)R的軌跡方程。（2） 假

13、設(shè)直線l的傾斜角為60，求的值。當(dāng)l的傾斜角不定時(shí)，可證是定值。分析： 2可先猜再證:解析幾何中的定點(diǎn)定值問題考綱解讀：定點(diǎn)定值問題是解析幾何解答題的考察重點(diǎn)。此類問題定中有動(dòng)，動(dòng)中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結(jié)合，深入考察直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)?？疾鞌?shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。四、 定點(diǎn)問題解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線系、曲線系來解決。AByOx例1、A、B是拋物線y2=2px (p0)上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直

14、線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且+=時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解析： 設(shè)A，B，那么，代入得 1又設(shè)直線AB的方程為，那么，代入1式得直線AB的方程為直線AB過定點(diǎn)-說明：此題在特殊條件下很難探索出定點(diǎn)，因此要從出發(fā)，把所求的定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求直線AB，再從AB直線系中看出定點(diǎn)。例2【2021東城一?！繖E圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切求橢圓C的方程；設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；在的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)解析：由題意知，所以，即，又因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為：由題意知直

15、線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或設(shè)點(diǎn)，那么，直線的方程為，令，得，將代入整理，得 由得代入整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)1】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和求軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn)解：點(diǎn)到，的距離之和是，的軌跡是長軸為，焦點(diǎn)在軸上焦中為的橢圓，其方程為 將，代入曲線的方程，整理得，因?yàn)橹本€與曲線交于不同的兩點(diǎn)和，所以 設(shè)，那么， 且，顯然，曲線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，所以，由，得將、代入上式，整理得所以，即或經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件，當(dāng)時(shí)

16、，直線的方程為顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)即直線經(jīng)過點(diǎn)，與題意不符當(dāng)時(shí)，直線的方程為顯然，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)，且不過點(diǎn)綜上，與的關(guān)系是：，且直線經(jīng)過定點(diǎn)點(diǎn)【針對(duì)性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,。1設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；2設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；3設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)其坐標(biāo)與m無關(guān)?！窘馕觥?本小題主要考察求簡單曲線的方程，考察方直線與橢圓的方程等根底知識(shí)?？疾爝\(yùn)算求解能力和探究問題的能力。解：1設(shè)點(diǎn)Px，y，那么：F2，0、B3，0、A-3，0。由，得 化簡得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。

17、2將分別代入橢圓方程，以及得：M2，、N，直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。3點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。方法一當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：。此時(shí)必過點(diǎn)D1，0；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D1，0。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D1，0。方法二假設(shè)，那么由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D1，0。假設(shè)，那么，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)1，0?！踞槍?duì)性練習(xí)3】2021年石景山期末理18橢圓C中

18、心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，短軸長為求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)解: 設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸長為，半焦距為，那么 解得 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分由方程組 消去，得 6分由題意， 整理得：7分設(shè)，那么， 8分由， 且橢圓的右頂點(diǎn)為， 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均滿足 11分當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過定點(diǎn)，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過定點(diǎn)， 故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為 13分例3、橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率，過橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不

19、垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)。 I求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍； 設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線？假設(shè)存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。解法一： I設(shè)橢圓方程為，由題意知故橢圓方程為 由I得，所以，設(shè)的方程為代入，得 設(shè)那么,由，當(dāng)時(shí)，有成立。在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。依題意知，直線BC的方程為， 令，那么的方程為、在直線上，在軸上存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線。解法二：由I得，所以。設(shè)的方程為 代入，得設(shè)那么當(dāng)時(shí)，有成立。 在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。 設(shè)存在使得、三點(diǎn)共線，那么， 即，存在，使得三點(diǎn)共線。五、 定值

20、問題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變中尋求定值的“不變性，一種思路是進(jìn)展一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過考察極端位置，探索出“定值是多少，用特殊探索法特殊值、特殊位置、特殊圖形等先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三

21、角形式，證明該式是恒定的。同時(shí)有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比擬奏效。例4、橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，共線。1求橢圓的離心率；2設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。解析：1設(shè)橢圓方程為 ab0，A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB的中點(diǎn)為N(x0,y0)，兩式相減及得到，所以直線ON的方向向量為，即，從而得2探索定值 因?yàn)镸是橢圓上任意一點(diǎn)，假設(shè)M與A重合，那么，此時(shí)，證明 ，橢圓方程為，又直線方程為又設(shè)Mx，y，那么由得，代入橢圓方程整理

22、得又，例5、，橢圓C過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為1，0，1，0。（1） 求橢圓C的方程； （2） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。解析：1由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，舍去所以橢圓方程為。 2設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以， 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得， 所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 將第二問的結(jié)論進(jìn)展如下推廣：結(jié)論1.過橢圓上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，那么直線EF的斜率為定值常數(shù)。證明：直線AE的方程為，那

23、么直線AF的方程為， 聯(lián)立和，消去y可得結(jié)論2.過雙曲線上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，那么直線EF的斜率為定值常數(shù)。結(jié)論3.過拋物線上任一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點(diǎn)，那么直線EF的斜率為定值常數(shù)。例6、【2021巢湖市第一學(xué)期期末質(zhì)檢】橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是6.()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；()假設(shè)為焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.解析：()設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由得.

24、 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 離心率 (),設(shè)由得化簡得，即故存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為例7、【2021湖南師大附中第二次月考】拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，P(2，0)為定點(diǎn)()假設(shè)點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；()假設(shè)動(dòng)圓M過點(diǎn)P，且圓心M在拋物線C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B是圓M與軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？假設(shè)存在，求這個(gè)定值；假設(shè)不存在，說明理由解析：() 設(shè)拋物線方程為，那么拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由，即，故拋物線C的方程是 ()設(shè)圓心()，點(diǎn)A，B. 因?yàn)閳A過點(diǎn)P(2，0)，那么可設(shè)圓M的方程為. 令，得.那么，. 所以. ，設(shè)拋物線

25、C的方程為，因?yàn)閳A心M在拋物線C上，那么. 所以. 由此可得，當(dāng)時(shí)，為定值故存在一條拋物線，使|AB|為定值4. 例8、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為 求橢圓的方程； 過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，為定值？假設(shè)存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由解析：I設(shè)橢圓E的方程為,由得：。2分橢圓E的方程為。3分法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，那么：。5分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，那么由得7分所以9分對(duì)于任意的值，為定值，所以，得，所以；11分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線由得綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為13分

26、法二：假設(shè)存在點(diǎn)，又設(shè)那么：=.5分當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得7分9分設(shè)那么11分當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線，由得：綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為。13分六、 定直線問題例9、設(shè)橢圓過點(diǎn)，且焦點(diǎn)為求橢圓的方程；當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上解析：(1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 1 2由于在橢圓C上，將1，2分別代入C的方程整理得 3 (4)(4)(3) 得 ，即點(diǎn)總在定直線上例10、橢圓C的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，。求橢圓C的方程；設(shè)直線與橢圓C交于P

27、、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？假設(shè)是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；假設(shè)不是，請(qǐng)說明理由。解法一：設(shè)橢圓的方程為。1分，。4分橢圓的方程為。5分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分,假設(shè)，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為假設(shè)點(diǎn)在同一條直線上，那么直線只能為。8分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，那么。9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得10，12分，即與重合，這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分解法二：取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為假設(shè)交點(diǎn)在同一條直線上，那么直線只能為。8分以下證

28、明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，那么。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。解法三：由得即。記，那么。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分五、 其它定值問題例11、雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為求雙曲線的方程；設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.解析：此題主要考察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等根底知識(shí)，考察曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的根本思想方法，考察推理、運(yùn)算能力由題意，得，解得，所求雙曲線的方

29、程為.點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么，的大小為.例12、己知橢圓 ab0,過其中心O的任意兩條互相垂直的直徑是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求證：以兩條直徑的四個(gè)端點(diǎn)所成的四邊形P1Q1P2Q2與一定圓相切。探索定圓：取橢圓長軸和短軸為兩直徑，那么的方程為，原點(diǎn)O到直線的距離為，那么與菱形內(nèi)切的圓方程為。證明：設(shè)直徑P1P2的方程為 那么Q1Q2的方程為 解得 同理OQ22=，作OHP2Q2 那么 又四邊形P1Q1P2Q2是菱形，菱形P1Q1P2Q2必外切于圓.例13、P是雙曲線上

30、的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于P1、P2兩點(diǎn)異于P點(diǎn)，求證：直線P1P2的方向不變。探索定值：取P，過P點(diǎn)且互相垂直的直線中有一條過原點(diǎn)，那么這一條直線xPP1P2yO與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，其斜率 PP2的方程為把代入解得定值 證明：設(shè)PP1的斜率為，那么PP2的斜率為，PP1的方程為PP2的方程為，與拋物聯(lián)立解得、 ，從而定值 EX：過拋物線y2=2pxP0上一定點(diǎn)x0,y0作兩條直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，滿足直線PA、PB斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，那么AB的斜率為定值。推廣：拋物線推廣到橢圓或雙雙曲線均可。五、練習(xí)1、2021唐山三模橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，三角形ABM的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中M點(diǎn)為1，1，且直線MA、MB的斜率之