塑性加工力學__第10章_上限法

1、n概述 n虛功原理與基本能量方程 n最大散逸功原理 n上、下限定理 n上限法的解題步驟和應用實例 第10章 上限法10.1 概述n基于虛功原理和變分原理的極限分析法或界限基于虛功原理和變分原理的極限分析法或界限法：下限法和上限法法：下限法和上限法n用下限法計算極限載荷時，只假設塑性變形區(qū)用下限法計算極限載荷時，只假設塑性變形區(qū)內(nèi)的應力狀態(tài)為靜可容應力場內(nèi)的應力狀態(tài)為靜可容應力場*ij1）、滿足平衡微分方程*0ijix2）、滿足力邊界條件*iij jiTlT3）、不違背屈服準則*22iiiiK依據(jù)此應力場所求得的極限載荷總是小于真實載荷，故稱為下限法*22iiiiK1123sK證明對屈雷斯加，1

2、2sKMises，13sK10 xyzJ221()0 xyzJ 2 2 22()xyzxyyzzx 2222 2 2 2222()12xyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxJ 2 2 2222ijijxyzxyyzzx11 =+ +2 +2 +222212ijijJ (1)(2)(3)xxmyymzzm = - = - = - 2 2 222222222222222222222222222212121322221321 1222222 3xyzxyyzzxxmymzmxyyzzxxyzmxmymzmxyyzzxxyzmxyyzzxxyzxyJ 2222222222166yzzxxyyzzx

3、xyyzzxxyyzzx (4)(5)根據(jù)Mises屈服準則22JK2212ijijJK *22iiiiK(6)(7)上限法 假設塑性變形區(qū)的位移狀態(tài)為動可容速度場*iu 1）、滿足速度（位移）邊界條件*iiiiuuuu2）、變形體內(nèi)保持連續(xù)性，不發(fā)生重疊和開裂3）、滿足體積不變條件*00iiii由于所設的速度場只要求滿足動可容條件，而不考慮應力方面的條件，因此，該速度場不一定是真實速度場。所求得的載荷總是大于真實載荷，故稱為上限法1、由于上限法所求得的載荷總是大、由于上限法所求得的載荷總是大于真實載荷，因此對設備和模具比較于真實載荷，因此對設備和模具比較安全安全2、上限法是利用能量平衡原理，

4、不必解、上限法是利用能量平衡原理，不必解復雜的偏微分方程復雜的偏微分方程10.2 虛功原理與基本能量方程界限法的力學基礎是虛功原界限法的力學基礎是虛功原理理如對載荷作用下處于平衡狀如對載荷作用下處于平衡狀態(tài)的變形體給予一符合約態(tài)的變形體給予一符合約束條件的微小虛位移時，束條件的微小虛位移時，則外力在虛位移上所作的則外力在虛位移上所作的虛功，必等于變形體內(nèi)應虛功，必等于變形體內(nèi)應力在虛應變上所作的虛功力在虛應變上所作的虛功（虛應變能）（虛應變能） iiijijsVTdu dsddV虛功方程或基本能量方程(1)虛功方程的證明n已知力邊界條件為jij iiij jTlTliiij jissxxxyy

5、xzzsyxxyyyzzzxxzyyzzTdu dsl du dsdududuldududumdududun ds (1-1)n利用曲面積分與體積積分的關系sVPQRPlQmRn dsdVxyzxxxyyxzzdududul()()()()()()xyxxziixyzsVyxzxxyxzyxyyzxyzyxzyxyyzzyzxzxyzTdu dsdududuxxxdududuxxxdududuyyydududuyyydududuzzz()()()yxzzxzyzdudududVzzz0iijx()()12jiijjidududxx2()iisxxyyzzxyxyyzyzzxzxVijijVTd

6、udsdddddddVddV虛功原理得證利用求利用求和約定和約定證明證明sVPQRPlQmRn dsdVxyz()()()ijiiiij jijssVijiiijjjVduTdu dsl du dsdVxdududVxxii iisVPPl dsdVx()()1()2()0iiijjjiijjdududujdxxxxiiijijsVTdu dsddViiijijsVTdu dsddViiijijsVTdu dsddV應力球張量應力球張量不做功不做功 (2) (3)速度間斷12tttVuu12() DDttDtDSSuu dSV dS DiiijijtDsVSTdu dsddVV dS（5）為存

7、在速度間斷的虛）為存在速度間斷的虛功方程。由于速度間斷面實功方程。由于速度間斷面實質(zhì)上是最大切應力平面，故質(zhì)上是最大切應力平面，故K (4) (5)10. 3最大散逸功原理 n對剛塑性體一定的應變增量場而言，在所有滿對剛塑性體一定的應變增量場而言，在所有滿足屈服準則的應力場中，與該應變增量場符合足屈服準則的應力場中，與該應變增量場符合應力應變關系的應力場所做的塑性功增量為最應力應變關系的應力場所做的塑性功增量為最大大*()0ijijijVddV符合應力應變關系的應力偏量和應變增量滿足同一屈服準則的任意應力偏量場 (6)最大散逸功原理的證明1230dddOQ一定在 平面上ijijdwdOPPQ*

8、ijijdwdOPPQ*()()cos( )ijijijdwdwdOPOPPQP PPQP PPQ (7) (8)3dijd1d2dijij32OQ主軸空間內(nèi)的應力、應變矢量平面上的偏應力矢量和應變矢量ijdij*ij*PM231Q由于屈服軌跡是外凸的曲線*()0ijijijdwdwd對上式進行整體積分得*()0ijijijVddV*()0ijijijVddV同樣對于虛擬應變增量場 (9)ijdij*ij*PM231Q*()0()0ijijijVijijijVddVddV物體在塑性變形時，總是要物體在塑性變形時，總是要導致最大的能量散逸導致最大的能量散逸對于一定的應變增量場，對于一定的應變增量

9、場，在所有滿足屈服準則的應在所有滿足屈服準則的應力場中，與該應變增量場力場中，與該應變增量場長符合應力應變關系的應長符合應力應變關系的應力場所做的塑性功增量為力場所做的塑性功增量為最大。最大。 (10)除以dtijdij*ij*PM231Q10 . 4上、下限定理 n下限定理iiijijsVTdu dsddVTuiiTiiuijijSSVTdu dSTdu dSddV剛塑性體，應力球張量不做功 (11)虛功原理*TuiiTiiuijijSSVT du dST du dSddV*()()()TuiiiTiiiuSSijijijVTTdu dSTTdu dSddV設有一應力場，滿設有一應力場，滿足

10、靜可容條件足靜可容條件*ij與虛擬應力場相對與虛擬應力場相對應的表面力應的表面力 (12)(11) 減減 (12)得得 (13)*()()()TuiiiTiiiuSSijijijVTTdu dSTTdu dSddV*iiTT在力面上由最大逸散功原理*()0ijijijVddV*uuiiuiiuSSTdu dST du dS在位移面在位移面 上，由任一靜可容應力上，由任一靜可容應力場引起的表面力場引起的表面力 所做的功增量總所做的功增量總是小于真實表面力是小于真實表面力 所做的功增量所做的功增量可得到真實載荷的下限解可得到真實載荷的下限解 (14)滿足力平衡uS*iTiT上限法n從動可容位移增量

11、（速度）從動可容位移增量（速度）場，并不要求相應的應力場，并不要求相應的應力場滿足靜可容條件場滿足靜可容條件現(xiàn)設有一動可容位移場*idu*DS*uij速度間斷面位移增量間斷值*TuDiiTiiuijijDSSVSTdu dSTdu dSddVu dS (15)參照虛功方程（參照虛功方程（5）得）得*ijijijijVVddVddV在uS*iidudu最大逸散功原理得最大逸散功原理得按屈服準則K面上得*uTDiiuijijDiiTSVSSTdu dSddVK u dSTdu dS剪切功虛位移功真實力虛功真實力功*uuuiiuiiuiiuSSSTdu dST du dST du dS*uiiuST

12、 du dS (17)為上限定理的數(shù)學表達式，在位移面為上限定理的數(shù)學表達式，在位移面 上，與任一上，與任一動可容位移增量場動可容位移增量場 對應的表面力對應的表面力 所做的功增所做的功增量，總是大于或等于真實表面力量，總是大于或等于真實表面力 在真實位移增量在真實位移增量場場 上所做的功增量。上所做的功增量。uS*idu*iTiTidu*uTDiiuijijDiiTSVSSTu dSdVK u dSTu dS若用若用 分別代替分別代替 和和 ，則式（，則式（16）中的各項變?yōu)橄鄳墓β?，因而得中的各項變?yōu)橄鄳墓β?，因而?u *ij*idu*ijd (18)由由 上上 所確定的載荷所確定的

13、載荷 ，總是大于或大于，總是大于或大于或等于真實表面力或等于真實表面力 所確定的載荷所確定的載荷 PuS*iT*PiT*uuSuSudS*0TiiTSTu dS 存在外摩擦時存在外摩擦時要計入摩擦功要計入摩擦功為自由表面時為自由表面時TS0iT 對于真實應變場來說，真實應力場與虛擬應力場相比，對于真實應變場來說，真實應力場與虛擬應力場相比，真實應力場所消耗的功（或功率）最大真實應力場所消耗的功（或功率）最大。但是，真實應。但是，真實應力場總是力圖力場總是力圖引起最小的變形引起最小的變形。因此，對真實應力場來。因此，對真實應力場來說，真實應力場與虛擬應變場相比，真實應變場消耗的說，真實應力場與虛

14、擬應變場相比，真實應變場消耗的功最小。真實應力狀態(tài)具有最大的性質(zhì)，而真實應變狀功最小。真實應力狀態(tài)具有最大的性質(zhì)，而真實應變狀態(tài)具有最小的性質(zhì)，這就是剛塑性體的態(tài)具有最小的性質(zhì)，這就是剛塑性體的極值原理極值原理。10 . 5上限法的解題步驟和應用實例n一、解題步驟一、解題步驟n根據(jù)金屬流動模式（變形規(guī)律）和解題要求（如缺陷根據(jù)金屬流動模式（變形規(guī)律）和解題要求（如缺陷分析），設計動可容速度場；分析），設計動可容速度場；n利用塑性理論中的幾何方程，由該速度場確定應變速利用塑性理論中的幾何方程，由該速度場確定應變速率場和等效應變速度場；率場和等效應變速度場；n計算各項上限功率計算各項上限功率n利用

15、最優(yōu)化原理確定使總功率消耗為最小的準獨立變利用最優(yōu)化原理確定使總功率消耗為最小的準獨立變量。量。n求解上限載荷，并進行各變量間相互關系的分析，從求解上限載荷，并進行各變量間相互關系的分析，從中得出用以指導工藝變形的參數(shù)的結論。中得出用以指導工藝變形的參數(shù)的結論。選擇合量的流動模式和設計盡可能接近實際情況的選擇合量的流動模式和設計盡可能接近實際情況的動可容速度場，是關鍵。動可容速度場，是關鍵。上限法中的動可容速度場主要有三種模式n平面應變問題，參照相關的滑移線場，把變形體簡化成速度間斷面分隔的若干三角形剛性塊。n含有連續(xù)速度場的上限流動模式，即把塑變區(qū)設計為連續(xù)速度場，如平行速度場、各種形式的向心速度場等，只在剛-塑性邊界產(chǎn)生速度間斷。此外，還有用流函數(shù)求得的連續(xù)速度場?？捎糜谄矫鎽儐栴}，也可用于軸對稱變形問題。n上限單元技術。將變形體的單元劃分和速度場的確定規(guī)范化，進而計算各單元內(nèi)部的功率消耗