第五章向量代數(shù)與空間解析幾何

1、第五章向量代數(shù)與空間解析幾何這一章在卷面上一般只有4-6分，往往是一個選擇題，兩個填空題或者是兩個選擇題，一個填空題。下面我們就把考試中最易出現(xiàn)的考點給大家小結(jié)一下一.向量的數(shù)量積與向量積首先要清楚兩種積的定義及常用的運算法則，如:片斗 -I2 4 4 片片片片叫 斗片哺叫;a.b = b.a;a.(b +c )= a.b + a.c.44a.b = a . b .cosT; a.a = aa xb = a . b .si n aMauOiaxbu-b. MaiaHe+cjuaxb+axc.例 1設(shè)；=3,一爲(wèi)=2?一3； 2匚求 a b.k-12-114i 一3 - j3 022 22 -3

2、0-3k = -3i -8j -9k.例 2.設(shè) a 二：2,1, mf ,b 二:n, -2,3，且 a / b，求 m,n.解：由于a / b，因此有例3.求垂直于r晉解得吩匚川“，二2,2,1?與b =4,5,3?的單位向量解：由向量積的定義可知,向量c = a b是既垂直于a又垂直于b的向量，因此所求單位向量即為二c1c.2 1彳2 142 2i -j +5 34 34 5k =i _2j k.2 +(2 2 +22 =3,因此土 gc =12 2-丄，+ 2,_蘭為所求單位向量.3 33例4.求以A 1,2,3 ,B 3,4,5 ,C 2,4,7為頂點的 ABC的面積.解: Sac=

3、1|AB><ACk 斗 斗 扌t T 其中AB AC -2 =4i 6j + 2k, AB 況 AC =756.4.兩向量間關(guān)系的判定要知道兩向量間位置關(guān)系的判定方法，即a丄a 二a b化 對應(yīng)分量成比例例5.判定下列各組向量間的關(guān)系(1) a 二1, 一2,3打 二_2,4, 一6二(2) a 1,-2,3二b 3,3,1.(3) a Al,-2,3二b1,3,2?.解：(1)注意兩個向量對應(yīng)分量之間的比例關(guān)系可知,IrbIra(2) 所給兩向量的對應(yīng)分量不成比例，故不平行。再考慮乩0,故a丄b；(3)所給兩向量的對應(yīng)分量不成比例，故不平行；而:二0,故a也不垂直于b.a=1,b

4、例6設(shè)解: (1)由于 cos a,b10 3'咕'280 14 2 '(1)10當(dāng) 100,即， -10 時3，cos a,b >0,a,b為銳角;(2)10當(dāng)103' ：0,即咒” 一10時,3cos a,b < 0, a,b 為鈍角;(3)10當(dāng)10 3 =0,即時,3cos a,b =0, a 丄 b ；=2,且 a 丄 b，求(3a+2b><(2a3b ).解：由于3a 2b i2a -3b6a a -9a b 4b a -6b b = -9a b - 4a b = -13 a b ,故(3；+2齊(2； 3 | =13訥.si

5、n=13"x 2如= 26.a,b為銳角;例7.試確定常數(shù)，使得a =1,2,3 b =2,4, J滿足(1)(2) a,b為鈍角；(3)垂直；(4)同向.j彳5冷(5 )當(dāng) 10+3九=±(280 十14 九，即乙=6, cos a,b=cosO = 1,此時，a / b .例8.問為何值時，以2a b與a b為鄰邊的平行四邊形的面積為6.解：由于2a b j L.a b 2 a a 2a b b a b b = 0 2a b - a b 0 = 2；_ 口 a b ,故(2a +b H(扎a +b卜'2 一 沖a|b .sin a,b= 22-，-6.故 - -

6、1,，2 = 5.例9.已知向量c -2,k, -6?同時垂直于：-2,1,b -1, -1,2?，求k值.解: c同時垂直于a, b，則c / a b。彳4 i又 a Mb = 2=i -5j -3k - ;1,-5, -3：.11 2441-5-3,“c / a 江 b u=二 k = 一102"k-6三.平面方程要熟知平面有三種形式的方程，即:(1 )點、法式方程假設(shè)平面二過點M。xo,yo,zo且和非零向量n代B,C/垂直，則其方程。A x- x B y- °y C Zo zgnB,C?稱為平面二的法線向量，簡稱法向量，下面舉一個例子 例10.求過三點M, 2,-1

7、,4 ,M2 -1,3,-2 ,M3 0,2,3的平面方程解：由于 M1M23,4,6?,MiM3 2,3,-1，)I 片 T 呻取 n = M1M2 M1M3 =14i 9j -k.所以，據(jù)平面的點法式方程， (代入M2)得:二：14 x 19 y -3 i iz 2 = 0 ,即二：14x 9y - z T5 = 0.問題：若取n = M1M3 M1M2 可以嗎?M1方程的形式一樣嗎?(2)平面的一般式方程Ax By Cz D = 0.注意到任給一個三元方程 Ax+By+Cz + D =0- （2）, （A,B,C不全為零），它一定表示一張平面.注意：特殊位置平面的方程特點：(1)Ax B

8、y Cz =0（ D=0,平面過原點）；(2)By Cz D =0（A=0,平面平行于x軸）；(3)Ax Cz D = 0（B=0,平面平行于y軸）；(4)Ax By D = 0（C=0,平面平行于z軸）；(5)Cz D =0（A-B-0,平面平行于xoy平面）例11.求過x軸及點M0 4,-3,-1的平面方程.解：取n =OM i =0,-1,3?，所以，據(jù)平面的點法式方程，（代入O 0,0,0 ）得:二：0x - y 3z =0.例12.設(shè)平面二與三個坐標(biāo)軸的交點分別為P a,00 ,Q 0,b,0 , R 0,0, c abc = 0，求二的方程.解：取n = PQ QR Jbc,ac,

9、ab1，所以，據(jù)平面的點法式方程二：be x - a ac y - 0 ab z - 0 =0，( 4)方程（4）兩端同除以abc，并整理，得：x 1 z =1，這就是平面的第三種形式的方程，即截距式方程 abc專升本經(jīng)?？疾靸善矫骈g的位置關(guān)系，先回顧一下判斷依據(jù)設(shè)有兩平面二1: Ax By Gz D0,n1，A, B,G；二2: A2x B2y C2z D2 =0,n2 - A2,B2, C?.（1）相交（設(shè)二1,二2的夾角為"cos-|n1 |n2| A A2 * B1B2 * C1C21:A2 B12 G2、A22B22 C22（2）平行二 1 二 2 =n1 / n2 uA旦

10、 _clA2 B2 C2(3)垂直二1 _ ；2 = q _ n2 = A1A2 BiB2 GC2 = 0 ；重合二邑二凹.A2b2C2D2例13.一平面過兩點 M1 1,1,1 ,M2 0,1,-1且垂直于平面 二：x y z二0.求其方程.解：設(shè)所求平面的法向量為Irn.據(jù)已知,n _ n，n _ M 側(cè)2JL（代入 1,1,1）得:故可取n = M1M n2嚴(yán)-1,-1?.所以，據(jù)平面的點法式方程,二：2x - y -z = 0.記住一個重要公式：點到平面的距離公式點 M 0 x0, y0 ,z0 到二:Ax By Cz= 0 -的距離為| Ax°_By 0_Cz 0_D |&

11、gt; A2 B 2 C 2不用舉例子，同學(xué)們自己看在輔導(dǎo)書上找例子 四.空間直線及其方程要熟知空間直線三種形式的方程：（1 ）點、向式方程假設(shè)空間直線 L過點M° X。，y°,Z0且和非零向量 s“m, n, p平行，則其方程為x X。y - y。_ z - z°(1)注意:（a）其實，方程（1）是一個方程組，它應(yīng)該這樣來理解:x_x0y_y°= ,L :m門 ，即L是兩平面之交線j y _y° _ z_z0np .（3稱（1）為直線L的點、向式方程。s -、m,n, p'稱為直線L的方向向量，簡稱 方向；m,n,p叫做直線L的方向數(shù)

12、.（c）要注意到直線 L的方向有無數(shù)多個，但直線的化簡后方程是唯一的，為什么？ 特別地，s的方向余弦'cos，cos ：, cos .'也是L的一組方向數(shù).（d）又稱（1）式為直線的標(biāo)準(zhǔn)式或?qū)ΨQ式方程（e）要求m, n,p不全為零，但可以部分為零.如：m=0,這時方程（1 ）變?yōu)椋簒x°y y°zz°(2 )式應(yīng)該理解為:x -'冷=0, y -y。Z -Z。；n p,、，、，x xoy yo z zo又如：m=n=o,這時，(1)式變?yōu)椋簅oo- (3)o o px x = o(3)式應(yīng)該理解為：o 一'” _ y° =

13、 o.例14求過兩點 M, 1,2, -1 ,M2 -2,3,0的直線方程.解：由于MjM?=；-3,1,1,取 s = M<|M2 - I-3,1,1所以，據(jù)直線的點向式方程，(代入M1)得:.x -1 y -2 z 1L :-311問：如果代入的是 m2，方程是否會有所不同?x 4v + 3例15.求過點Mo 3,1,-2且通過直線L :-52=-的平面的方程1解：在直線上取一點 M" 4,-3,0，可取 n=s M0 M“8,-9,-22?，所以，據(jù)平面的點法式方程:二：8x-9y - 22z-59 =o。(2).直線的參數(shù)式方程設(shè)有 l：3=令 x Xo yyoz-Zo

14、p ' mt, p(4)X =Xo mt,則有：L: y =yo nt,I Zpt .稱(4)式為直線L的參數(shù)式方程，其中t稱為參數(shù).注意：在直線的參數(shù)式方程中，參數(shù)的系數(shù)是直線的方向數(shù)，而常數(shù)項則為直 線上點的坐標(biāo)。(3) .直線的一般式方程空間直線L可看作是過直線 L的兩個不平行平面 :1 : A1xB1y C1z D1 =o 二 2 ： A2x B2y C2z D2 = o 的交線ln1: Ax + By +Gz + U =0,稱L ：i A/f c -（ 5）為直線L的一般式方程|n2: A2X + B2y+C2z + D2 =0.注意：直線的三種形式的方程之間可以互相轉(zhuǎn)化例1

15、6.將直線L的一般式方程f .“ ： x y z 1 = 0,，.L:化為標(biāo)準(zhǔn)式及參數(shù)式方程.| 2 ： 2xy 3z 4=0.解：在直線L上任取一點 M0 1,0, -2，可取s = ni n2 =74,-1,-3?,故 所以，據(jù)直線的點向式方程，（代入M。）得：x -1 y -0 z 2L:.4 -1-3x =14t,參數(shù)方程為：Ly = t,z = -2 -3t.x_2 y 3 z 4例17.已知直線的方程為：L :.和平面二：2x y z6 = 0,1 1 2求直線與平面的交點.x = 2 t,x = 1,解：化L為參數(shù)式方程：L:*y=3+t,，代入平面方程，得：t=-1.故：L&q

16、uot;y = 2,Z = 4+2t.z = 2.所以，交點坐標(biāo)為 1,2,2 .經(jīng)?？己藘芍本€間的位置關(guān)系設(shè)有兩直線gg,w,n1,p/L2 :(1)相交m1n1P1x -x2y 一 y2m2n2z 亞,勺二伽2, n2, pf；,S>P2（規(guī)定兩直線的夾角為兩直線的方向所夾的銳角.設(shè)L1, L2的夾角為;：）m1m2n1n2p1 p2|S1|S2|<m2n1P12 m22n22P22平行 LJ/LqU S1/S2-m1n1 _ P1m2n2p2(3)垂直 l _ 鳥二 s - s2 = mn n,p1 p2 =0.（4）重合mi =21Pl，且J丄2有交點m2n2p2例18 求

17、過點M0 -3,2,5且與兩平面,:x - 4z =3二2 ： 2x - y -5z = 1的交線平行的直線的方程解：可取n24,-3,-1?，所以直線的方程為:x 3 y-2 z-5L : -4-3-1五.空間直線與平面之間的關(guān)系設(shè)有L:mx-x。 y±=° 及二：ax By Cz D = 0, n pn -'.A,B,C?.（1）相交：當(dāng)直線 L與平面二垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為2當(dāng)直線L與平面二不垂直時，規(guī)定直線和它在平面內(nèi)的投影直線間的夾角為直線與平面的夾角.(7)；p 2 A 2 B 2C 2，sin，阜嘆-|mA nB pC | s | n | Jm

18、2 +n 2 +(2)垂直I二二(3)直線在平面內(nèi),mA nB pC = 0且L,二有交點.mA nB pC = 0 ；六.平面束方程設(shè)L:Ax B!y Gz DO,，則稱過L的所有平面為平面束，它的方程為: : 2: A2x B2y C2z D2 = 0.Ax +B,y +Gz +D嚴(yán)（Ax +B2y +C2z+ D2 ）=0,-二：- （ 8）注意：無論取何值，平面束方程即（8）式不能表示平面二2 : Ax B2y C2z D2 二 0本身.5 : x y - z -1 = 0,例19.求L: 1 y在平面二:x y 0上的投影直線的方程.匹：x_y+z+1 =0.解：過直線L的平面束方程

19、為:x y -z -1 亠x - y z 1 = 0,記 n = 1，,1 - f -1。T令 n.丨 n=1亠八亠1-，-1=0- -1.所以，過L的且與平面7： : x y0垂直的平面的方程為：二：x y - z-1廣 1 x -y z 1 即，二：y z1=0，故所求投影直線的一般式方程為:$ - : x y z = 0,二 2 ： y - z -1 =0.七.點到直線的距離公式點M °到L :的距離為例20.求點M0 1,2,3到d =也世 S|中，M是直線上任取的一點，s為直線的方向.|s|xy4 z-3L:的距離.1-3-2解：在直線上任取一點 M 0,4,3，則-1,2

20、,0?，s=h-3,-2?，由公式（9），點M 0到L :的距離為注意：更一般的作法是：先作過 M。點且以s為法向量的平面 二；再聯(lián)立二的點法式方程和 j直線L的方程，求直線 L與平面二的交點M1 ；最后，d =|M°M1 |，請同學(xué)們自己 實現(xiàn)這種做法.八.旋轉(zhuǎn)曲面（一）.圓錐面（1）定義：動直線I饒另一條與I相交的定直線L旋轉(zhuǎn)一周，所得曲面叫做 圓錐面.（如圖）（Ji （2）方程：頂點在原點，定直線 L為Z軸，半頂角為a 0 V。 的圓錐面2丿的方程為 z2 二a2 x2 y2 （其中，a 二 etan）.注意： z = a x2 y2稱為上圓錐面；z = -a Jx2 + y2

21、稱為下圓錐面.（二）一般旋轉(zhuǎn)曲面（1）定義：一條平面曲線繞同一平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所生成曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.（2）設(shè)平面曲線C:®"0,繞z軸旋轉(zhuǎn)生成旋轉(zhuǎn)曲面為f （y,士 Jx2+z2 ）= 0.x =0.例21 .求將雙曲線'2 21 - 1 c ： _ 1,c: a cy =0.分別繞x軸及Z軸旋轉(zhuǎn)，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面又是什么?2x 解：（i）xa2 , 2 2,22y z ,x y z ,1 ； ( 2) 22=1.ca c例22,下列方程所表示的曲面，哪些是旋轉(zhuǎn)曲面？它們是怎么產(chǎn)生的?(1)x2(2)X2(3)2x2 y2 2z2 =5.解：（1 ）、（2）不是.(3 )是，由 C : 1y 2z "5,繞Y軸旋轉(zhuǎn)生成；或者由C： y 2x "5,x = 0. z = 0.繞Y軸旋轉(zhuǎn)生成九.常見簡單的曲面）球面：2 2 2 2XfyZ-Z°R，其中，M° X0,y°,z0稱為球面的球心，R稱為半徑.