第五章向量代數與空間解析幾何

1、第五章向量代數與空間解析幾何這一章在卷面上一般只有4-6分，往往是一個選擇題，兩個填空題或者是兩個選擇題，一個填空題。下面我們就把考試中最易出現的考點給大家小結一下一.向量的數量積與向量積首先要清楚兩種積的定義及常用的運算法則，如:片斗 -I2 4 4 片片片片叫 斗片哺叫;a.b = b.a;a.(b +c )= a.b + a.c.44a.b = a . b .cosT; a.a = aa xb = a . b .si n aMauOiaxbu-b. MaiaHe+cjuaxb+axc.例 1設；=3,一爲=2?一3； 2匚求 a b.k-12-114i 一3 - j3 022 22 -3

2、0-3k = -3i -8j -9k.例 2.設 a 二：2,1, mf ,b 二:n, -2,3，且 a / b，求 m,n.解：由于a / b，因此有例3.求垂直于r晉解得吩匚川“，二2,2,1?與b =4,5,3?的單位向量解：由向量積的定義可知,向量c = a b是既垂直于a又垂直于b的向量，因此所求單位向量即為二c1c.2 1彳2 142 2i -j +5 34 34 5k =i _2j k.2 +(2 2 +22 =3,因此土 gc =12 2-丄，+ 2,_蘭為所求單位向量.3 33例4.求以A 1,2,3 ,B 3,4,5 ,C 2,4,7為頂點的 ABC的面積.解: Sac=

3、1|AB><ACk 斗 斗 扌t T 其中AB AC -2 =4i 6j + 2k, AB 況 AC =756.4.兩向量間關系的判定要知道兩向量間位置關系的判定方法，即a丄a 二a b化 對應分量成比例例5.判定下列各組向量間的關系(1) a 二1, 一2,3打 二_2,4, 一6二(2) a 1,-2,3二b 3,3,1.(3) a Al,-2,3二b1,3,2?.解：(1)注意兩個向量對應分量之間的比例關系可知,IrbIra(2) 所給兩向量的對應分量不成比例，故不平行。再考慮乩0,故a丄b；(3)所給兩向量的對應分量不成比例，故不平行；而:二0,故a也不垂直于b.a=1,b

4、例6設解: (1)由于 cos a,b10 3'咕'280 14 2 '(1)10當 100,即， -10 時3，cos a,b >0,a,b為銳角;(2)10當103' ：0,即咒” 一10時,3cos a,b < 0, a,b 為鈍角;(3)10當10 3 =0,即時,3cos a,b =0, a 丄 b ；=2,且 a 丄 b，求(3a+2b><(2a3b ).解：由于3a 2b i2a -3b6a a -9a b 4b a -6b b = -9a b - 4a b = -13 a b ,故(3；+2齊(2； 3 | =13訥.si

5、n=13"x 2如= 26.a,b為銳角;例7.試確定常數，使得a =1,2,3 b =2,4, J滿足(1)(2) a,b為鈍角；(3)垂直；(4)同向.j彳5冷(5 )當 10+3九=±(280 十14 九，即乙=6, cos a,b=cosO = 1,此時，a / b .例8.問為何值時，以2a b與a b為鄰邊的平行四邊形的面積為6.解：由于2a b j L.a b 2 a a 2a b b a b b = 0 2a b - a b 0 = 2；_ 口 a b ,故(2a +b H(扎a +b卜'2 一 沖a|b .sin a,b= 22-，-6.故 - -

6、1,，2 = 5.例9.已知向量c -2,k, -6?同時垂直于：-2,1,b -1, -1,2?，求k值.解: c同時垂直于a, b，則c / a b。彳4 i又 a Mb = 2=i -5j -3k - ;1,-5, -3：.11 2441-5-3,“c / a 江 b u=二 k = 一102"k-6三.平面方程要熟知平面有三種形式的方程，即:(1 )點、法式方程假設平面二過點M。xo,yo,zo且和非零向量n代B,C/垂直，則其方程。A x- x B y- °y C Zo zgnB,C?稱為平面二的法線向量，簡稱法向量，下面舉一個例子 例10.求過三點M, 2,-1

7、,4 ,M2 -1,3,-2 ,M3 0,2,3的平面方程解：由于 M1M23,4,6?,MiM3 2,3,-1，)I 片 T 呻取 n = M1M2 M1M3 =14i 9j -k.所以，據平面的點法式方程， (代入M2)得:二：14 x 19 y -3 i iz 2 = 0 ,即二：14x 9y - z T5 = 0.問題：若取n = M1M3 M1M2 可以嗎?M1方程的形式一樣嗎?(2)平面的一般式方程Ax By Cz D = 0.注意到任給一個三元方程 Ax+By+Cz + D =0- （2）, （A,B,C不全為零），它一定表示一張平面.注意：特殊位置平面的方程特點：(1)Ax B

8、y Cz =0（ D=0,平面過原點）；(2)By Cz D =0（A=0,平面平行于x軸）；(3)Ax Cz D = 0（B=0,平面平行于y軸）；(4)Ax By D = 0（C=0,平面平行于z軸）；(5)Cz D =0（A-B-0,平面平行于xoy平面）例11.求過x軸及點M0 4,-3,-1的平面方程.解：取n =OM i =0,-1,3?，所以，據平面的點法式方程，（代入O 0,0,0 ）得:二：0x - y 3z =0.例12.設平面二與三個坐標軸的交點分別為P a,00 ,Q 0,b,0 , R 0,0, c abc = 0，求二的方程.解：取n = PQ QR Jbc,ac,

9、ab1，所以，據平面的點法式方程二：be x - a ac y - 0 ab z - 0 =0，( 4)方程（4）兩端同除以abc，并整理，得：x 1 z =1，這就是平面的第三種形式的方程，即截距式方程 abc專升本經常考察兩平面間的位置關系，先回顧一下判斷依據設有兩平面二1: Ax By Gz D0,n1，A, B,G；二2: A2x B2y C2z D2 =0,n2 - A2,B2, C?.（1）相交（設二1,二2的夾角為"cos-|n1 |n2| A A2 * B1B2 * C1C21:A2 B12 G2、A22B22 C22（2）平行二 1 二 2 =n1 / n2 uA旦

10、 _clA2 B2 C2(3)垂直二1 _ ；2 = q _ n2 = A1A2 BiB2 GC2 = 0 ；重合二邑二凹.A2b2C2D2例13.一平面過兩點 M1 1,1,1 ,M2 0,1,-1且垂直于平面 二：x y z二0.求其方程.解：設所求平面的法向量為Irn.據已知,n _ n，n _ M 側2JL（代入 1,1,1）得:故可取n = M1M n2嚴-1,-1?.所以，據平面的點法式方程,二：2x - y -z = 0.記住一個重要公式：點到平面的距離公式點 M 0 x0, y0 ,z0 到二:Ax By Cz= 0 -的距離為| Ax°_By 0_Cz 0_D |&

11、gt; A2 B 2 C 2不用舉例子，同學們自己看在輔導書上找例子 四.空間直線及其方程要熟知空間直線三種形式的方程：（1 ）點、向式方程假設空間直線 L過點M° X。，y°,Z0且和非零向量 s“m, n, p平行，則其方程為x X。y - y。_ z - z°(1)注意:（a）其實，方程（1）是一個方程組，它應該這樣來理解:x_x0y_y°= ,L :m門 ，即L是兩平面之交線j y _y° _ z_z0np .（3稱（1）為直線L的點、向式方程。s -、m,n, p'稱為直線L的方向向量，簡稱 方向；m,n,p叫做直線L的方向數

12、.（c）要注意到直線 L的方向有無數多個，但直線的化簡后方程是唯一的，為什么？ 特別地，s的方向余弦'cos，cos ：, cos .'也是L的一組方向數.（d）又稱（1）式為直線的標準式或對稱式方程（e）要求m, n,p不全為零，但可以部分為零.如：m=0,這時方程（1 ）變?yōu)椋簒x°y y°zz°(2 )式應該理解為:x -'冷=0, y -y。Z -Z。；n p,、，、，x xoy yo z zo又如：m=n=o,這時，(1)式變?yōu)椋簅oo- (3)o o px x = o(3)式應該理解為：o 一'” _ y° =

13、 o.例14求過兩點 M, 1,2, -1 ,M2 -2,3,0的直線方程.解：由于MjM?=；-3,1,1,取 s = M<|M2 - I-3,1,1所以，據直線的點向式方程，(代入M1)得:.x -1 y -2 z 1L :-311問：如果代入的是 m2，方程是否會有所不同?x 4v + 3例15.求過點Mo 3,1,-2且通過直線L :-52=-的平面的方程1解：在直線上取一點 M" 4,-3,0，可取 n=s M0 M“8,-9,-22?，所以，據平面的點法式方程:二：8x-9y - 22z-59 =o。(2).直線的參數式方程設有 l：3=令 x Xo yyoz-Zo

14、p ' mt, p(4)X =Xo mt,則有：L: y =yo nt,I Zpt .稱(4)式為直線L的參數式方程，其中t稱為參數.注意：在直線的參數式方程中，參數的系數是直線的方向數，而常數項則為直 線上點的坐標。(3) .直線的一般式方程空間直線L可看作是過直線 L的兩個不平行平面 :1 : A1xB1y C1z D1 =o 二 2 ： A2x B2y C2z D2 = o 的交線ln1: Ax + By +Gz + U =0,稱L ：i A/f c -（ 5）為直線L的一般式方程|n2: A2X + B2y+C2z + D2 =0.注意：直線的三種形式的方程之間可以互相轉化例1

15、6.將直線L的一般式方程f .“ ： x y z 1 = 0,，.L:化為標準式及參數式方程.| 2 ： 2xy 3z 4=0.解：在直線L上任取一點 M0 1,0, -2，可取s = ni n2 =74,-1,-3?,故 所以，據直線的點向式方程，（代入M。）得：x -1 y -0 z 2L:.4 -1-3x =14t,參數方程為：Ly = t,z = -2 -3t.x_2 y 3 z 4例17.已知直線的方程為：L :.和平面二：2x y z6 = 0,1 1 2求直線與平面的交點.x = 2 t,x = 1,解：化L為參數式方程：L:*y=3+t,，代入平面方程，得：t=-1.故：L&q

16、uot;y = 2,Z = 4+2t.z = 2.所以，交點坐標為 1,2,2 .經常考核兩直線間的位置關系設有兩直線gg,w,n1,p/L2 :(1)相交m1n1P1x -x2y 一 y2m2n2z 亞,勺二伽2, n2, pf；,S>P2（規(guī)定兩直線的夾角為兩直線的方向所夾的銳角.設L1, L2的夾角為;：）m1m2n1n2p1 p2|S1|S2|<m2n1P12 m22n22P22平行 LJ/LqU S1/S2-m1n1 _ P1m2n2p2(3)垂直 l _ 鳥二 s - s2 = mn n,p1 p2 =0.（4）重合mi =21Pl，且J丄2有交點m2n2p2例18 求

17、過點M0 -3,2,5且與兩平面,:x - 4z =3二2 ： 2x - y -5z = 1的交線平行的直線的方程解：可取n24,-3,-1?，所以直線的方程為:x 3 y-2 z-5L : -4-3-1五.空間直線與平面之間的關系設有L:mx-x。 y±=° 及二：ax By Cz D = 0, n pn -'.A,B,C?.（1）相交：當直線 L與平面二垂直時，規(guī)定直線與平面的夾角為2當直線L與平面二不垂直時，規(guī)定直線和它在平面內的投影直線間的夾角為直線與平面的夾角.(7)；p 2 A 2 B 2C 2，sin，阜嘆-|mA nB pC | s | n | Jm

18、2 +n 2 +(2)垂直I二二(3)直線在平面內,mA nB pC = 0且L,二有交點.mA nB pC = 0 ；六.平面束方程設L:Ax B!y Gz DO,，則稱過L的所有平面為平面束，它的方程為: : 2: A2x B2y C2z D2 = 0.Ax +B,y +Gz +D嚴（Ax +B2y +C2z+ D2 ）=0,-二：- （ 8）注意：無論取何值，平面束方程即（8）式不能表示平面二2 : Ax B2y C2z D2 二 0本身.5 : x y - z -1 = 0,例19.求L: 1 y在平面二:x y 0上的投影直線的方程.匹：x_y+z+1 =0.解：過直線L的平面束方程

19、為:x y -z -1 亠x - y z 1 = 0,記 n = 1，,1 - f -1。T令 n.丨 n=1亠八亠1-，-1=0- -1.所以，過L的且與平面7： : x y0垂直的平面的方程為：二：x y - z-1廣 1 x -y z 1 即，二：y z1=0，故所求投影直線的一般式方程為:$ - : x y z = 0,二 2 ： y - z -1 =0.七.點到直線的距離公式點M °到L :的距離為例20.求點M0 1,2,3到d =也世 S|中，M是直線上任取的一點，s為直線的方向.|s|xy4 z-3L:的距離.1-3-2解：在直線上任取一點 M 0,4,3，則-1,2

20、,0?，s=h-3,-2?，由公式（9），點M 0到L :的距離為注意：更一般的作法是：先作過 M。點且以s為法向量的平面 二；再聯(lián)立二的點法式方程和 j直線L的方程，求直線 L與平面二的交點M1 ；最后，d =|M°M1 |，請同學們自己 實現這種做法.八.旋轉曲面（一）.圓錐面（1）定義：動直線I饒另一條與I相交的定直線L旋轉一周，所得曲面叫做 圓錐面.（如圖）（Ji （2）方程：頂點在原點，定直線 L為Z軸，半頂角為a 0 V。 的圓錐面2丿的方程為 z2 二a2 x2 y2 （其中，a 二 etan）.注意： z = a x2 y2稱為上圓錐面；z = -a Jx2 + y2

21、稱為下圓錐面.（二）一般旋轉曲面（1）定義：一條平面曲線繞同一平面內一條定直線旋轉一周所生成曲面稱為旋轉曲面.（2）設平面曲線C:®"0,繞z軸旋轉生成旋轉曲面為f （y,士 Jx2+z2 ）= 0.x =0.例21 .求將雙曲線'2 21 - 1 c ： _ 1,c: a cy =0.分別繞x軸及Z軸旋轉，所生成的旋轉曲面又是什么?2x 解：（i）xa2 , 2 2,22y z ,x y z ,1 ； ( 2) 22=1.ca c例22,下列方程所表示的曲面，哪些是旋轉曲面？它們是怎么產生的?(1)x2(2)X2(3)2x2 y2 2z2 =5.解：（1 ）、（2）不是.(3 )是，由 C : 1y 2z "5,繞Y軸旋轉生成；或者由C： y 2x "5,x = 0. z = 0.繞Y軸旋轉生成九.常見簡單的曲面）球面：2 2 2 2XfyZ-Z°R，其中，M° X0,y°,z0稱為球面的球心，R稱為半徑.