數(shù)學(xué)知識體系

1、高中數(shù)學(xué)根底知識整合第二局部映射、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分與微積分A中元素在B中都有唯一的象；可一對一映射,也可多對一,但不可一對多*函數(shù)的概念函數(shù)的根本性質(zhì)定義域?qū)?yīng)關(guān)系區(qū)間值域+奇偶性十周期性函數(shù)常見的幾種變換平移變換、對稱變換翻折變換、伸縮變換根本初等函數(shù)分段函數(shù)復(fù)合函數(shù)抽象函數(shù)函數(shù)與方程函數(shù)的應(yīng)用最值列表法解析法圖象法使解析式有意義及實(shí)際意義/常用換元法求解析式J觀察法、判別式法、別離常數(shù)法、單調(diào)性法、最值法、重要不等式、三角法、圖象法、線性規(guī)劃等1.求單調(diào)區(qū)間：定義法、導(dǎo)數(shù)法、用函數(shù)的單調(diào)性.2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減.1.先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,再看f-x=fx還是-fx.+2.奇

2、函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,假設(shè)x=0有意義,那么f0=0.13.偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,反之也成立.+f(x+T)=f(x);周期為T的奇函數(shù)有：f(T)=f(T2)=f(0)=0.二次函數(shù)、根本不等式,對勾函數(shù)、三用函數(shù)有界性、占線性規(guī)劃、導(dǎo)數(shù)、利用單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合等.正反比例函數(shù)、一次二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)定義、圖象、性質(zhì)和應(yīng)用募函數(shù)三角函數(shù)單調(diào)性：同增異減義賦值法,典型的函數(shù)卜零點(diǎn)氣求根法、二分法、圖象法；一元二次方程根的分布卜建立函數(shù)模型上一頁退出第二局部映射、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分與微積分定積分與微積分導(dǎo)數(shù)概念定積分概念函數(shù)的瞬時變化率運(yùn)動的瞬時速度曲線的切線的斜率c0c為常數(shù)；x根本初

3、等函數(shù)求導(dǎo),1.,logx;lnxxlnafX與fXo的區(qū)別S,kfX0nx;sinxcosx;cosx設(shè)fx,gx是可導(dǎo)的,那么有：fxgxfxgxsinx;、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)*fgxfuux導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么產(chǎn)函數(shù)的單調(diào)性研究fx0fx在該區(qū)間遞增,fx0fx在該區(qū)間遞減fxfxgxfxgx(2)fxgxfxgxfxgx(3)gxgx函數(shù)的極值與最值1nr曲線的切線1變速運(yùn)動的速度11生活中最優(yōu)化問題*11.曲線上某點(diǎn)處切線,只有一條；切線不一定只一條,要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo).1 .極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn);2 .閉區(qū)間一定有最值,開區(qū)間不一定有最值.曲邊梯形的面積1.變

4、力所做的功定義及幾何意義用定義求：分割、近似代替、求和、取極限;2.過某點(diǎn)的曲線的kfxdxkfxdx;fxgxdxfxdxgxdx;fL_xdxfxdx;fxdxfxdxfxdx.abc*性質(zhì)一般步驟：1.建模,列關(guān)系式；2.求導(dǎo)數(shù),解導(dǎo)數(shù)方程;3.比擬區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與極值、找到最大最小值.2.用公式.n1和式fixi的極限i_j第三局部正角、負(fù)角、零角象限角任意角與弧度制;單位圓軸線角終邊相同的角區(qū)別第一象限角、銳角、小90.的角弧度制+定義1弧度的角一三角函數(shù)與平面向量任意角三角函數(shù)定義角度與弧度互化；特殊角的弧度段;弧長公式、扇形面積公式_三角函數(shù)線三角函數(shù)噂任意角的三角函數(shù)-十三角函

5、數(shù)的圖象.同角三角函數(shù)的關(guān)系平方關(guān)系、商的關(guān)系L誘導(dǎo)公式奇變偶不變,符號看象號門公式止用、逆用、變,T及“1的代換和差角公式二倍角公式正弦函l=sinx余弦函l=cosx正切函鸚=tanxy=Asin(3+6+b仲作圖象一一化簡、求值、證實(shí)恒等式點(diǎn)描點(diǎn)法五點(diǎn)作圖法幾何作圖法定義域、值域單調(diào)性、奇偶性、周期性對稱性對稱軸正切函6除外經(jīng)過函數(shù)圖象的最高或低點(diǎn)且垂盤軸的直線對稱中央是正余弦函kJ最值|數(shù)圖象的零點(diǎn),正函數(shù)的對稱中央為kC,0kZ圖象可由正弦曲線經(jīng)過平移、伸縮得到,但要注意先平移后伸縮與先伸縮后平移不同;圖象也可以用考點(diǎn)作圖法；用熊|最小正周的=2P對稱鍬=二!三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用調(diào)

6、區(qū)間注叫號；,對稱中央為-,bkZ.+生活中、建筑學(xué)中、航海中、物理學(xué)中等正弦定理一余弦定理sinAsinBsinC2R及變式適用范圍：兩角和任一邊,解三角形;兩邊和其中一邊的對角,解三角形.a2b22c2bccosAb22a2c2accosB2c2ab22abcosC*推論：求角解的個數(shù)是一個?兩個還是無解?解三角形平面向量一面積實(shí)際應(yīng)用*向量的概念線性運(yùn)算適用范圍：三邊,解三角形；兩邊和它們的夾角,解三角形.11Sabc-ah-absinC22abcR是外接圓半徑4R1abcrr是內(nèi)切圓半徑2零向量與單位向量.力口、減、數(shù)乘幾何意義及運(yùn)算律*平面向量根本定理*pxeye?.數(shù)量積向量的應(yīng)用

7、幾何意義夾角公式共線(平行)T共線與垂直垂直*數(shù)列的定義投影廣(1)解三角形時,三條邊和三個角中“知三求二.(2)解三角形應(yīng)用題步驟：先準(zhǔn)確理解題意,然后畫出示意圖,再合理選擇定理求解.尤其理解有關(guān)名詞,如坡角、坡比、仰角和俯角、方位角、方向角等.J表示b在a方向上的投影為|b|cos-a-ba設(shè)a與b夾角為,那么cosLaba/bb10a*y2x2y10a0在平面(解析)幾何中的應(yīng)用；在物理(力向量、速度向量)中應(yīng)用解析法：an=f(n)數(shù)列是特殊的函數(shù)一般數(shù)列特殊數(shù)列一概念通項(xiàng)公式遞推公式an與Sn的關(guān)系qWQanW?常見遞推類型及方法常見的求和方法數(shù)列應(yīng)用表不圖象法列表法通項(xiàng)公式求和公式

8、an1anfnan1fnanan1panqpan1ananan1an1panqnanSnSn1,n2Snamn2a1anananna.amnnn1,dandq1時:a11qnnmamqap常數(shù)aq22amn-2aman1anan常數(shù)apaqaianq21qqamn2逐差累加法逐商累積法構(gòu)造等比數(shù)列an等差中項(xiàng):等比中項(xiàng):構(gòu)造等差數(shù)列a2an1anan2an1anan2M公式法：應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.倒序相加法廠自然數(shù)的乘方和公式:分組求和法裂項(xiàng)相消法,錯位相減法1-nn12n16第五局部第六局部結(jié)構(gòu)柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征一簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體立體幾何與空間向量,平面三公

9、理及推論二視圖直觀圖表側(cè)面積體積二視圖長對正,高平齊,寬相等22rrTi-rr直觀圖斜二側(cè)畫法平行投影和中央投影-s/ss324R；V球sh；R3；J空間點(diǎn)、直線、平面的一位置關(guān)系第六局部立體幾何與空間向量空間的角空間的距離異面直線所成的角二面角點(diǎn)到平面的距離b范圍；00,900直線與平面所成的角范圍；00,900acosasin用b1an；aiin1cosin1n2nd.直線與平面所成的距離相互之間的轉(zhuǎn)化A平行平面之間的距離OB直線與平面所成的角*范圍；00,1800atncos2cos1cos異面直線所成的角射影法共線向量定理a/babR或二面角的大小為cos=S+S第六局部立體幾何與空間

10、向量空間向量及其運(yùn)算空間向量的加減運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算空間向量的共面向量定理空間向量根本定理1OPOAtatR,a為l方向向量p與a,b共面pxayba,b不共線、或APxAByA(COPOAxAByAC、xOAyOBzOC其中xyz1,廠空間任一向量p_xayb_zca,b,c不共面推論：設(shè)OABC是不共面四點(diǎn),那么對任一點(diǎn)P有空間向量與立體幾何數(shù)量積運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算平行與垂.直的條件OPxOAyOBzOCx,y,zRa/bbaa0,R;abab0向量夾角坐標(biāo)表不2向量距離*AB-AB222X2xiy2yiZ2zi幾種常見的直線系:不)共點(diǎn)p4,v.直線系：yy0k(xx0)；特殊地

11、ykxb表不過點(diǎn)(0,b)的直線系,不包括第七局部解析幾何(2)平行直線系：ykxb(k為參數(shù))表不斜率為k的平行直線系；AxAxByC.平行的直線系；BxAy(為參數(shù))表示與Ax(3)過兩直線交點(diǎn)的直線系：為參數(shù)A1xBy1C1A2xBy2C2gxBy2C2AxBy1C10不包括11.幾種常見的圓系:By(為參數(shù))表示與ByC0垂直的直線系.0不包括|2;0D,E為常數(shù),且D2E24F0第七局部解析幾何(2)圓心在x軸上的圓系：x22ayr2a,r為參數(shù)或x22yDxF0D,F為參數(shù),且(3)圓心在x軸上的圓系：x2yb2r2b,r為參數(shù)或x22yEyF0E,F為參數(shù),且(4)過原點(diǎn)的圓系：

12、xa2yb2a2b2或x2y2DxEy0；(5)過兩圓交點(diǎn)的圓系22xyD1xE1yF1x22yD2xE2yF20不含C2；Tx2y2D?xE2yF?22xyD1xyF10不含C1.(其中為參數(shù))(1)同心圓系：xa2yb2r2a,r為參數(shù)或x2y2DxEyFD2E2直線與圓錐曲線的位置關(guān)系:4F4F0；0；jAxByC0,一,、,一、1.直線l：AxByC0,二次曲線C：的位置美系：交點(diǎn)個數(shù)與萬程組有幾組解對應(yīng),fx,y0其交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；2.弦長：|AB|、7k%x?|k為直線l的斜率3.橢圓上M%,y0點(diǎn)處的切線為：=第1；4.雙曲線上M%,義點(diǎn)處的切線為：岑誓1abab圓錐曲線

13、對稱性問題軌跡方程的求法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法x2y2yax2XB點(diǎn)x1,y1與點(diǎn)x2,y2關(guān)于直線AxByC.對稱By1y2C2定義|MF1|MF2|2a常數(shù)2aF1F22c標(biāo)準(zhǔn)方程xy7丁1alyxLk1ab0b0lab時橢圓變J*圓,x2y2a2jab圖形y_M(x0,y0)M(x0,yb0;x個x中央0,00,0頂點(diǎn)a,0,0,b0,a,b,0焦點(diǎn)c,00,c對稱軸x軸,y軸;原點(diǎn)x軸,y軸;原點(diǎn)范圍axa;bybbxb;aya準(zhǔn)線方程xacayc焦半徑|MF1|aex0；|MF2|ae%|MF1aey0;|MF2|aey,離心率ec0e1,其中c2aa2b2e1,橢圓越扁

14、；e0,越圓、LU長軸短軸2a叫做橢圓的長軸,a叫做長半軸長；2b叫做橢圓的短軸,b叫做短半軸長；通徑過焦點(diǎn)垂直于長軸的橢圓的弦.通徑長=2b_a特別提示：1.2a2c時,軌跡是線段；2a2曲,軌跡不存在；2.焦點(diǎn)弦AB|AF1BF1|2aex,x2;3.橢圓的焦點(diǎn)永遠(yuǎn)在長軸上;.圓錐曲線定義|MFi|MF22a常數(shù)2a2c尸尼|標(biāo)準(zhǔn)方程22S_y_1a0,b022,ab22工備1aQbOab圖形1y乙eTM_(x0,y0)中央0,00,0頂點(diǎn)a,00,a焦點(diǎn)c,00,c對稱軸x軸,y軸；原點(diǎn)x軸,y軸;原點(diǎn)范圍1x|a,yRy|a,xR準(zhǔn)線方程axcay一c焦半徑Mffc右支上：|MFjea

15、;MF2M左支上:|MFj(exa);|MF2exa;(e%a)M在上支上|MFjey,a;|MF2|ey,a;M在下支上|MFj(ey0a);|MF(eya)漸近線by-xaayTx實(shí)軸虛軸2a叫做雙曲線的實(shí)軸,a叫做實(shí)半軸長；2b叫做雙曲線的虛軸,b叫做虛半軸長；離心率C4-_P22e-e1,其中caa-2.b,e1,越大,e雙曲線開口越大,e越小開口越小.特別提示：1.2a2c時,M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；2a2c時軌跡不存在；2.雙曲線焦點(diǎn)永遠(yuǎn)在實(shí)軸上；3.等軸雙曲線方程：xya或yxa,其中e中2,漸近線yxx;4.共輾雙曲線：a工1與Lbbxa1,同漸近線,四個焦點(diǎn)共11圓,且一1;5

16、.右直線與雙曲線只有一ee個交點(diǎn),那么直線與雙曲線相切或直線與漸近線平行.定義平面與定點(diǎn)F和一條定直線1的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.即|MFd標(biāo)準(zhǔn)方程2-y2pxp02-y2pxp02-x2pyp02x2pyp0簡圖JzTMx0,y0Mx0,yKf/Mx0,y0lJxxJOxFxOxlOxx/ZFiMx0,y0l焦點(diǎn)2022020,_p20,上2頂點(diǎn)0.00,00,00,0準(zhǔn)線方程x上2xE2y4yg通徑端點(diǎn)p*對稱軸x軸x軸y軸加1范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR焦半徑mfix02lMF|px0|MF|y0?lMFl2y.離心率e1特別提示：1.拋物線定義中定點(diǎn)F不能在定直線

17、l上,否那么軌跡是過定點(diǎn)且垂直于l的直線;2.p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,p越大,拋物線開口越大；3.直線與拋物線只有一個、公共點(diǎn)時,那么直線與拋物線相切或直線與拋物線對稱軸平行或重合.4上一頁退出證實(shí)兩個原理nmCnmm1CnCn一-cm兩個Cn性質(zhì)：pmCn1Nmim2mnNm1?m2?mn推理與證實(shí)圓錐曲線拋物線退出第八局部排列、組合、二項(xiàng)式定理、推理與證實(shí).概率的根本性質(zhì)互斥事件*對立事件+獨(dú)立事件fPABPAPB第九局部概率與統(tǒng)計(jì)古典概型隨機(jī)變量IDYaEXb;a2DX.y.隨機(jī)抽樣_用樣本估計(jì)總體一條件概率PABBAPA,一n次?蟲立重復(fù)試驗(yàn)恰好一、發(fā)生k次的概率：兩點(diǎn)分布離散

18、型隨機(jī)變量的分布列:期望、方差超幾何分布二項(xiàng)分布B1,p；Exp；Dxp1pCW1PXBn,p；Exnp；Dxnp1p正態(tài)分布.密度曲線及3.原那么簡單隨機(jī)抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣產(chǎn)抽簽法隨機(jī)數(shù)表法PXEXXPi；DXXEXp一共同特點(diǎn)：抽樣過程中每個個體被抽到的可能性(概率)相等.knCmCNMc頻率分布表和頻率分布直方圖產(chǎn)樣本頻率分布估計(jì)總體總體密度曲線莖葉圖式樣本數(shù)字特征估計(jì)總體一變量間的相關(guān)關(guān)系一兩個變量的線性相關(guān)期望、方差及標(biāo)準(zhǔn)差.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)散點(diǎn)圖7線性回U3方程：yabx；線性相關(guān)系數(shù):獨(dú)立性檢驗(yàn)XxyyI0時,兩變量正相關(guān),r0,那么負(fù)相關(guān);M越接近1,線性相關(guān)越強(qiáng),越接近0,那么越弱?第十局部復(fù)乙?論:設(shè)1亙i,那么有2231,II2II,21(2)1i2i;1i1i2;一i(3)如果nN,有i4n1;i4n1(4)復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)Z1Z2間距離d|z2Z11X2y2ix1yi|X2x1(5)圓的方程：|zZ0Irr0；(6)線段EF中垂線方程：|zz|zz2；(7)橢圓方程：zzjzz2