初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑴

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第1講數(shù)論的方法技巧(上)數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問(wèn)題敘述簡(jiǎn)明，“很多數(shù)論問(wèn)題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來(lái)，并且僅用三言兩語(yǔ)就能向一個(gè)行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說(shuō)：“用以發(fā)現(xiàn)大才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒(méi)有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)，并勸他將來(lái)從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國(guó)內(nèi)外各級(jí)各類的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，數(shù)論問(wèn)題總是占有相當(dāng)大的比重。數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：1 .帶余除法：若

2、a,b是兩個(gè)整數(shù)，b>0,則存在兩個(gè)整數(shù)q,r,使得a=bq+r(0<r<b),且q,r是唯一的。特別地，如果r=0,那么a=bq。這時(shí)，a被b整除，記作b|a,也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。2 .若a|c,b|c,且a,b互質(zhì),則ab|c。3 .唯一分解定理：每一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即理內(nèi)(D其中pi<p2<,<pk為質(zhì)數(shù)，ai,a2,ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。(1)式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。4 .約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為(1),則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為：d(n)=(a1+1)(a2+1),(ak+1)。5 .整數(shù)

3、集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x<y與x<y-1是等價(jià)的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來(lái)分類講解。一、利用整數(shù)的各種表示法對(duì)于某些研究整數(shù)本身的特性的問(wèn)題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問(wèn)題的解決。這些常用的形式有：1 .十進(jìn)制表示形式：n=an10n+an-110n-1+,+a。；2 .帶余形式：a=bq+r；3 .標(biāo)準(zhǔn)分解式：耳。4 .2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt,其中t為奇數(shù)。例1紅、黃、白和藍(lán)色卡片各1張，每張上寫有1個(gè)數(shù)字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成1個(gè)四位數(shù)，并計(jì)算這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明

4、發(fā)現(xiàn)，無(wú)論白色卡片上是什么數(shù)字，計(jì)算結(jié)果都是1998。問(wèn)：紅、黃、藍(lán)3張卡片上各是什么數(shù)字？囹國(guó)回國(guó)解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是a3,a2,ai,30,則這個(gè)四位數(shù)可以寫成：1000a3+i00a2+i0ai+a。，它的各位數(shù)字之和的10倍是10(as+a+ai+a。)=i0a3+ioa2+ioai+10a0,這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的i0倍的差是：990a3+90a2-9a0=i998,110a3+3-a0=222。比較上式等號(hào)兩邊個(gè)位、十位和百位，可得a0=8,a2=i,a3=2o所以紅色卡片上是2,黃色卡片上是1,藍(lán)色卡片上是8。例2在一種室內(nèi)游戲中，魔術(shù)師請(qǐng)一個(gè)人隨意想

5、一個(gè)三位數(shù)abc(a,b,c依次是這個(gè)數(shù)的百位、十位、個(gè)位數(shù)字),并請(qǐng)這個(gè)人算出5個(gè)數(shù)acb,bac,bca,cab與麗的和N,把N告訴魔術(shù)師，于用|術(shù)師就可以說(shuō)出這個(gè)人所想的數(shù)abc0現(xiàn)在設(shè)N=3194,請(qǐng)你當(dāng)魔術(shù)師，求出數(shù)abc來(lái)。解：依題意，得acb十bac十bcm+c虱b十cba=3194c等號(hào)兩邊同時(shí)加上說(shuō)，將|222(a+b+c)=3194+abc3222(a+b+c)=222X14+26+痂由此推知詼+36是222的倍數(shù)，且氐+b+c>凡設(shè)abc+86=222n,考慮到北溪三位數(shù)，依次取n=l,2.五4,分別得出撫的可能值為136,353,580,802,再結(jié)合a+b+c&

6、gt;14力.口說(shuō)明：求解本題所用的基本知識(shí)是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡(jiǎn)單的不定方例3從自然數(shù)1,2,3,1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被18整除？解：設(shè)a,b,c,d是所取出的數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，則a+b+c=18ma+b+d=18n,其中m,n是自然數(shù)。于是c-d=18(m-n)。上式說(shuō)明所取出的數(shù)中任意2個(gè)數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為r,則a=18ai+r,b=18bi+r,c=18ci+r,其中ai,bi,ci是整數(shù)。于是a+b+c=18(ai+bi+ci)+3r。因?yàn)?8|(a+b+c),所以1813r,即

7、6|r,推知r=0,6,12。因?yàn)?000=55X18+10,所以，從1,2,1000中可取6,24,42,一996共56個(gè)數(shù)，它們中的任意3個(gè)數(shù)之和能被18整除。例4求自然數(shù)N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個(gè)約數(shù)。解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式：N=2ai父3a2M5a3M7a4”父限由于N能被5和72=49整除，故a3>1,a4>2,其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有(ai+1)(a2+1),(an+1)=10。由于a3+1>2,a4+1>3,且10=2X5,故ai+1=a2+1=a5+1=,=a>+1=1,即ai=a2=a5=,

8、an=0,N只能有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)5和7,因?yàn)閍4+1>3>2,故由（a3+1）（a4+1）=10知，a3+1=5,a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2,a4+1=5,即N=5X75=5X7=12005。例5如果N是1,2,3,1998,1999,2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？解：因?yàn)?10=1024,211=2048>2000,每一個(gè)不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個(gè)數(shù)不多于10個(gè)，而1024=2。，所以，N等于10個(gè)2與某個(gè)奇數(shù)的積。說(shuō)明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問(wèn)題迎刃而解。二、枚舉法

9、枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類），然后對(duì)各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問(wèn)題。運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾诸惖脑瓌t是不重不漏。正確的分類有助于暴露問(wèn)題的本質(zhì)，降低問(wèn)題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例6求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。分析與解：三位數(shù)只有900個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為x,y,z0由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10,所以X2+y2+Z2<10,從而10X&3,0

10、<y<3,0<z<3o所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：100,101,102,103,110,111,112,120,121,122,130,200,201,202,211,212,220,221,300,301,310。不難驗(yàn)證只有100,101兩個(gè)數(shù)符合要求。例7將自然數(shù)N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352）,如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問(wèn)：小于2000的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？解：設(shè)P為任意一個(gè)自然數(shù)，將魔術(shù)數(shù)N（N<2000=接后得PN,下面對(duì)N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。?當(dāng)N為一位數(shù)時(shí)，PN=10P+

11、N依題意N|PN,則N|10P,由于需對(duì)任意數(shù)P成立，故N|10,所以N=1,2,5;?當(dāng)N為兩位數(shù)時(shí)，PN=100P+N依題意NPN,則N|100P,故N|100,所以N=10,20,25,50;?當(dāng)N為三位數(shù)時(shí)，PN=1000P+N依題意N|雨，則N|1000P,故N|1000,所以N=100,125,200,250,500;?當(dāng)N為四位數(shù)時(shí)，同理可得N=100Q1250,2000,2500,5000。符合條件的有1000,1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)。說(shuō)明：（1）我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。(2)這里將問(wèn)題分成幾種情況去討論，對(duì)每一種情況都增加了一個(gè)

12、前提條件，從而降低了問(wèn)題的難度，使問(wèn)題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13,15,23。問(wèn)：這3張牌的數(shù)字分別是多少？解：13+15+23=51,51=3X17。因?yàn)?7>13,摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌數(shù)字之和是17,可能的情況有下面15種：1,6,101,7,91,8,82,5,102,6,92,7,83,4,103,5,93,6,83,7,7(11)4,4,9(12)4,5,8(13)4,6,7(14)5

13、,5,7(15)5,6,6只有第種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13;3+3+9=15;5+9+9=23這3張牌的數(shù)字分別是3,5和9。例9寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過(guò)程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90,91,92,93,94,95,96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。解法1:用篩選法可以求得在113與127之間共有12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126。分析二：如果12個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第1個(gè)是2的倍數(shù)，第2個(gè)是3的倍數(shù)，

14、第3個(gè)是4的倍數(shù),，第12個(gè)是13的倍數(shù)，那么這12個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。又m+2m+3-m+13是12個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2,3,13的公倍數(shù)，這12個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法2:設(shè)m為2,3,4,13這12個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2m+3m+4-m+1吩另J是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù),，13的倍數(shù)，因此12個(gè)數(shù)都是合數(shù)。說(shuō)明：我們還可以寫出13!+2,13!+3,13!+13(其中n!=1X2X3X,Xn)這12個(gè)連續(xù)合數(shù)來(lái)。同樣，(m+1!+2,(m+1!+3,(m+1!+m+1是m個(gè)連續(xù)的合數(shù)。三、歸納法當(dāng)我們要解決一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，可以先分析這個(gè)問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)

15、并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問(wèn)題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例10將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字用，依次完成以下5項(xiàng)工作叫做一次操作：(1)將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字用的最右邊；(2)從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)；(3)劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；(4)所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個(gè)，其余劃去；(5)所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的數(shù)字用。問(wèn)：經(jīng)過(guò)1999次操作，所得的數(shù)字用是什么？解：第1次操作得數(shù)字用711131131737;第2次操作得數(shù)字用11133173;第3次操作得數(shù)字用111731;第4次操作得數(shù)字用1173;第5次操作得

16、數(shù)字用1731;第6次操作得數(shù)字用7311;第7次操作得數(shù)字用3117;第8次操作得數(shù)字用1173。不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4X499+3,所以第1999次操作所得數(shù)字用與第7次相同，是3117。例11有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來(lái)的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的第幾張？分析與解：可以從簡(jiǎn)單的不失題目性質(zhì)的問(wèn)題入手，尋找規(guī)律。列表如下：卡片總敝1234567891D11121314

17、15171IB剩下第幾強(qiáng)12242468246810121416設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為N,觀察上表可知：(1)當(dāng)N=2a(a=0,1,2,3,)時(shí)，剩下的這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的一.a.最后一張，即第2張；(2)當(dāng)N=2+m(nK2a)時(shí)，剩下的這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的第2m張。取N=10Q因?yàn)?00=26+36,2X36=72,所以剩下這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的第72張。說(shuō)明：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問(wèn)題：傳說(shuō)古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號(hào)碼1,2,3,然后把1號(hào)殺了，把3號(hào)殺了，總之每隔一個(gè)人殺一個(gè)人，最后剩下一個(gè)人，這個(gè)人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，

18、那么約瑟夫斯的號(hào)碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克、3克,，40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)整碼？這些整碼的重量分別是多少？分析與解：一般天平兩邊都可放整碼，我們從最簡(jiǎn)單的情形開始研究。(1)稱重1克，只能用一個(gè)1克的整碼，故1克的一個(gè)整碼是必須的。(2)稱重2克，有3種方案：增加一個(gè)1克的整碼；用一個(gè)2克的整碼；用一個(gè)3克的整碼，稱重時(shí)，把一個(gè)1克的整碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的整碼放在整碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。(3)稱重3克，用上面的兩個(gè)方案，不用再增加整碼，因此方案淘汰。(4)稱重4克，用上面的方案，不用再增加整碼，因此方案也被淘汰?？傊?克、3克兩個(gè)整碼

19、就可以稱出(3+1)克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。(5)接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時(shí)可以利用：9-(3+1)=5,即用一個(gè)9克重的整碼放在整碼盤內(nèi)，1克、3克兩個(gè)整碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)整碼，其重為：14+13=27（克），可以稱到1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重?？傊?，整碼的重量為1,3,32,33克時(shí)，所用整碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。這個(gè)結(jié)論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放整碼時(shí)，使用1,3,3工，克】克硅碼可以稱出1,2,3,，1（3.）克重的重量口這是使用整碼最少、稱重最大的整

20、碼重量設(shè)計(jì)方案。練習(xí)11 .已知某個(gè)四位數(shù)的十位數(shù)字減去1等于其個(gè)位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字加2等于百位數(shù)字，這個(gè)四位數(shù)的數(shù)字反著順序排列成的數(shù)與原數(shù)之和等于9878。試求這個(gè)四位數(shù)。2 .痂是四位數(shù)，a,b,c,d均代表1,2,3,4中的某個(gè)數(shù)字，但彼此不同，例如2,1,3,五請(qǐng)寫出所有滿足關(guān)系a<b,b>c,c<d的四位數(shù)嬴舔,3 .設(shè)n是滿足下列條件的最小自然數(shù)：它們是75的倍數(shù)且恰有75個(gè)自然數(shù)因數(shù)（包括1和本身），求赤瓦4 .不能寫成兩個(gè)奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)是多少？5 .把1,2,3,4,999這999個(gè)數(shù)均勻排成一個(gè)大圓圈，從1開始數(shù):過(guò)1劃掉2,3,隔過(guò)4,劃掉5,6,這

21、樣每隔一個(gè)數(shù)劃掉兩個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。問(wèn)：最后剩下哪個(gè)數(shù)？為什么？6 .圓周上放有N枚棋子，如下圖所示，B點(diǎn)的一枚棋子緊鄰A點(diǎn)的棋子。小洪首先拿走B點(diǎn)處的1枚棋子，然后順時(shí)針每隔1枚拿走2枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過(guò)A當(dāng)將要第10次越過(guò)A處棋子取走其它棋子時(shí)，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子。若N是14的倍數(shù)，則圓周上還有多少枚棋子？7 .用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)中均沒(méi)有重復(fù)數(shù)字（如1023,2341）,求全體這樣的四位數(shù)之和。8 .有27個(gè)國(guó)家參加一次國(guó)際會(huì)議，每個(gè)國(guó)家有2名代表。求證：不可能將54位代表安排在一張圓桌的周圍就座，使得任一國(guó)的2位代表之間都夾有9個(gè)人

22、。練習(xí)1答案:1. 1987。解：設(shè)所求的四位數(shù)為原，則abed+acba=9878,(a+d)x1000+(b+c)x110+(a+d)=9878。比較等式兩邊，并注意到數(shù)字和及其進(jìn)位的特點(diǎn)，可知：a+d=8,b+c=17o已知c-1=d,d+2=b,可求得：a=1,b=9,c=8,d=7。即所求的四位數(shù)為1987。2. 1324,1423,2314,2413,3412,共5個(gè)。3. 432。解：為保證n是75的倍數(shù)而又盡可能地小，因?yàn)?5=3X5X5,所以可設(shè)n有三個(gè)質(zhì)因數(shù)2,3,5,即n=2"X3'x5'其中A0,p>1,T>2,并且(a+1)(B+

23、1)(丫+1)=75。易知當(dāng)a=B=4,丫=2時(shí)，符合題設(shè)條件。此時(shí)n=24X34X52,巴=432754. 38。解：小于38的奇合數(shù)是9,15,21,25,27,33。38不能表示成它們之中任二者之和，而大于38的偶數(shù)A,皆可表示為二奇合數(shù)之和：A末位是0,則A=15+5n；A末位是2,則A=27+5n；A末位是4,則A=9+5n；A末位是6,則A=21+5n；A末位是8,則A=33+5n。其中n為大于1的奇數(shù)。因此，38即為所求。5. 406。解：從特殊情況入手，可歸納出：如果是3n個(gè)數(shù)(n為自然數(shù))，那么劃1圈剩下3n-1個(gè)數(shù)，戈ij2圈剩下3n-2個(gè)數(shù),，戈ij(n-1)圈就剩3個(gè)數(shù)

24、，再劃1圈，最后剩下的還是起始數(shù)1。36<999<37,從999個(gè)數(shù)中劃掉(999-36=)270個(gè)數(shù)，剩下的(36=)729個(gè)數(shù),即可運(yùn)用上述結(jié)論。因?yàn)槊看蝿澋舻氖?個(gè)數(shù)，所以劃掉270個(gè)數(shù)必須劃135次，這時(shí)劃掉的第270個(gè)數(shù)是(135X3=)405,則留下的36個(gè)數(shù)的起始數(shù)為406。所以最后剩下的那個(gè)數(shù)是406。6. 23枚。解：設(shè)圓周上余a枚棋子。因?yàn)閺牡?次越過(guò)A處拿走2枚棋子到第10次將要越過(guò)A處棋子時(shí)小洪拿走了2a枚棋子，所以，在第9次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有3a枚棋子。依此類推，在第8次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有32a枚棋子,在第1次將要越過(guò)A處棋子時(shí)，圓周上有39a枚棋子，在第1次將要越過(guò)A處棋子之前，小洪拿走了2(39a-1)+1枚棋子，所以N=2(39a-1)+1+39a=310a-1。若N=310a=59049a-1是14的倍數(shù)，則N就是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；若N=（7X8435+4）a-1=7X8435a+4a-1是7的倍數(shù)，貝U4a-1必須是7的倍數(shù)，當(dāng)a=21,25,27,29時(shí)，4a-1不是7的倍數(shù)，當(dāng)a=23時(shí)，4a-1=91=7X13,是7的倍數(shù)。當(dāng)N是1