西南科技大學(xué)-材料力學(xué)64-6

1、第六章第六章 彎曲變形彎曲變形綿陽綿陽“第一樓第一樓”新益大廈新益大廈Fq qCCxw撓度撓度 w w 橫截面形心在垂直軸線方向的線位移。橫截面形心在垂直軸線方向的線位移。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。一、撓度和轉(zhuǎn)角一、撓度和轉(zhuǎn)角由于小變形，橫截面形心的軸向位移由于小變形，橫截面形心的軸向位移x忽略不計(jì)。忽略不計(jì)。wx6-16-1 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程FxwCq qC二、撓曲線二、撓曲線撓曲線方程：撓曲線方程：( )wf x撓度和轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓度和轉(zhuǎn)角關(guān)系為： tandwfxdxq由于小變形，橫截面形心的軸向位移忽略不計(jì)。由于小變形，橫截面形心的軸向

2、位移忽略不計(jì)。 tandwfxdxw三、撓曲線的近似微分方程三、撓曲線的近似微分方程推導(dǎo)純彎曲正應(yīng)力公式時，推導(dǎo)純彎曲正應(yīng)力公式時，得到：得到：z zEIEIM M1 1對橫力彎曲，忽略剪力對變形的影響對橫力彎曲，忽略剪力對變形的影響zEIxMx)()(1 1.1.忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響由數(shù)學(xué)知識可知：由數(shù)學(xué)知識可知：222 311 () d wdxdwdx 略去高階小量，得略去高階小量，得221d wdx 所以所以22( )zd wM xdxEI2. 2. 曲率計(jì)算的近似曲率計(jì)算的近似 由彎矩的正負(fù)號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲由彎矩的正負(fù)號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階

3、導(dǎo)數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方線的二階導(dǎo)數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：程為：22( )zd wM xdxEI 由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。和撓度。6-2 6-2 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：撓曲線的近似微分方程為：22( )zd wM xdxEI積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：( )zzdwEIEIM x dxCdxq22( )zd wEIM xdx再積分一次得撓度方程為：再積分一次得撓度方程為：( )zEI wM x dxdxCxD 積分常數(shù)積分常數(shù)C C、D D 由梁的位

4、移邊界條件和光由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。滑連續(xù)條件確定。AAAAAAAAAAAAAAAAAA0Aw 0Aw 0AqAw 位移邊界條件位移邊界條件 彈簧變形彈簧變形CCww左右CCqq左右v積分法解題步驟積分法解題步驟1. 用整體平衡條件用整體平衡條件求出求出梁的梁的支座反力支座反力；2. 用截面法求出梁的用截面法求出梁的彎矩方程彎矩方程；3. 對撓曲線近似微分方程對撓曲線近似微分方程積分兩次積分兩次；4. 利用邊界等條件利用邊界等條件確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)；5. 確定確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程轉(zhuǎn)角方程和撓度方程；6. 求出求出指定截面指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。例例6-1 6

5、-1 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的和最大撓度，梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整體平衡分析可得：）由梁的整體平衡分析可得：0,AxF( ),AyFF()AMFl2 2）寫出）寫出x x截面的彎矩方程截面的彎矩方程( )()()M xF lxF xl 3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分22( )()d wEIM xF xldx21()2dwEIEIF xlCdxq31()6EIwF xlCxD積分一次積分一次再積分一次再積分一次BqA AB BxwxlF FBw4 4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)

6、）由位移邊界條件確定積分常數(shù)0,0Axw0,0Axq2311,26CFlDFl 代入求解代入求解5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度2211()22EIF xlFlq323111()626EIwF xlFl xFl23maxmax,23BBFlFlxlwwEIEIqqBqA AB BxwxlF FBw例例6-2 6-2 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的和最大撓度，梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：0,A

7、xAyByFbFaFFFll2 2）彎矩方程）彎矩方程 1,0AyFbMxF xxxalAC AC 段：段： 2()(),AyFbMxF xF xaxF xaaxllCB CB 段：段：maxwabxxACDFxAyFByFAqBqwB3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分2112( )d wFbEIMxxdxl211( )2dwFbEIEIxxCdxlq31116FbEIwxC xDlAC AC 段：段：0 xa2222( )()d wFbEIMxxF xadxl2222( )()22dwFbFEIEIxxxaCdxlq33222()66FbFEIwxxaC xDlC

8、B CB 段：段：axlmaxwabxxACDFxAyFByFAqBqwB4 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)2,( )0 xlw l10,(0)0 xw代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件12,( )( )xaaaqq12,( )( )xaw aw a312166FbCCFbll 120DDmaxwabxxACDFxAyFByFAqBqwB5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程2221()26FbFbEIxlbllq3221()66FbFbEIwxlbxllAC AC 段：段：0 xa22222()()226FbFFbEI

9、xxalbllq33222()()666FbFFbEIwxxalbxllCB CB 段：段：axlmaxwabxxACDFxAyFByFAqBqwB6 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令令 得，得，0ddxqmax,()()6BFabxlEIll aqq令令 得，得，0dwdx22322max(),()39 3DFblblbxwwEIl maxwabxxACDFxAyFByFAqBqwBv例例6-3 變截面懸臂梁受力如圖，用變截面懸臂梁受力如圖，用直接積直接積分法分法求自由端處的撓度和轉(zhuǎn)角。求自由端處的撓度和轉(zhuǎn)角。l/2l/2BFI2IACwx例例6-3 計(jì)算自由端的撓度和轉(zhuǎn)

10、角。計(jì)算自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。解解1 1）彎矩方程）彎矩方程 1, 02lMxFxx AC AC 段：段： 2,2lMxFxxl CB CB 段：段：2 2）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分2112( )d wEIMxFxdx 21112dwFEIEIxCdxq 31116FEIwxC xD AC AC 段：段：02lxCB CB 段：段：2lxl22222( )d wEIMxFxdx 2222222dwFEIEIxCdxq 322226FEIwxC xD l/2l/2BFI2IACwx解解3 3）邊界條件）邊界條件2,0 xlwl/2l/2BFI2IACwx2,0q12,

11、2lxqq12,ww21516CFl2212CFl31316DFl 3213DFl 4 4）確定方程）確定方程例例6-3 計(jì)算自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。計(jì)算自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。2215216FEIxFlq 32315361616FEIwxFl xFl AC AC 段：段：02lxCB CB 段：段：2lxl2221222FEIxFlq 3232112623FEIwxFl xFl 5 5）自由端撓度、轉(zhuǎn)角）自由端撓度、轉(zhuǎn)角 10,0Axww2516FlEI 10,0Axqq3316FlEI v直接積分法的直接積分法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)可以得到任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角可以得到任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角v直接積分法的直接積分

12、法的缺點(diǎn)缺點(diǎn)計(jì)算復(fù)雜計(jì)算復(fù)雜得到某特定截面的撓度和轉(zhuǎn)角方法不直接得到某特定截面的撓度和轉(zhuǎn)角方法不直接v直接積分法的直接積分法的關(guān)鍵關(guān)鍵彎矩方程彎矩方程邊界條件邊界條件1,niiqq1niiww 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨(dú)作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是個載荷單獨(dú)作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎計(jì)算彎曲變形的疊加原理曲變形的疊加原理。v解題思路解題思路把梁上的載荷分解成幾個簡單載荷分解成幾個簡單載荷，查表查表得到指定截面上各載荷單獨(dú)作用時的撓度和轉(zhuǎn)角，再按代數(shù)和疊加代數(shù)和疊加，即得到梁在復(fù)雜載荷作用下產(chǎn)生的撓度

13、和轉(zhuǎn)角。v解題步驟解題步驟6-3 6-3 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形例例6-4 6-4 已知已知簡支梁受力如圖示，簡支梁受力如圖示，q q、l、EIEI均為已知。均為已知。求求C C 截面截面的撓度的撓度w wC C ；B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角q qB B1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解123CCCCwwww321BBBBqqqq2 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C C截面的截面的撓度和撓度和B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。EIqlB2431q3216BqlEIqEIqlB333q415384CqlwEI 4248CqlwEI 4316CqlwEI解解wxwC1wC

14、2wC3www3 3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和作用時的結(jié)果求和 12344445384481611()384CCCCwwwwqlqlqlEIEIEIqlEI 12333332416311()48BBBBqlqlqlEIEIEIqlEIqqqq wC1wC2wC3wwww例例6-5 6-5 已知：已知：懸臂梁受力如懸臂梁受力如圖示，圖示，q q、l、EIEI均為已知。均為已知。求求C C 截面的撓度截面的撓度w wC C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角q qC C1 1）首先，將梁上的載荷變成）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形有表可查的情形 為了利用梁全長承受均為了利用梁全

15、長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效了不改變原來載荷作用的效果，在果，在AB AB 段還需再加上集段還需再加上集度相同、方向相反的均布載度相同、方向相反的均布載荷。荷。 CwwwCw2Cw1Cw2Bw41,8CqlwEI 222432,128482CBBlwwqlqllEIEIqEIqlC631qEIqlC4832 q q42141384CCiiqlwwEI 3 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 EIqliCiC487321qq2 2）再將處理后的梁分解為簡單）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計(jì)算各自

16、載荷作用的情形，計(jì)算各自C C截截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 wwwv例例6-6 變截面懸臂梁受力如圖，用變截面懸臂梁受力如圖，用疊加法疊加法求自由端處的撓度和轉(zhuǎn)角。求自由端處的撓度和轉(zhuǎn)角。l/2l/2BFI2IACwxv疊加法的疊加法的優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)簡便、快捷簡便、快捷v疊加法的疊加法的缺點(diǎn)缺點(diǎn)有局限有局限計(jì)算撓曲線方程不方便計(jì)算撓曲線方程不方便v疊加法的疊加法的關(guān)鍵關(guān)鍵載荷的分解載荷的分解查表求解查表求解疊加求和疊加求和超靜定梁的基本分析 靜力平衡方程 變形協(xié)調(diào)條件 力與變形的關(guān)系選擇基本靜定系統(tǒng)建立相當(dāng)系統(tǒng)建立變形協(xié)調(diào)條件求解未知量6-4 6-4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁 2a(d)(c

17、)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解例例6-7 6-7 求梁的支反力，梁求梁的支反力，梁的抗彎剛度為的抗彎剛度為EIEI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1）判定超靜定次數(shù)）判定超靜定次數(shù)2 2）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)(d)ABCFByABFC()()0ByBBFBFwww3 3）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件調(diào)條件4 4）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程 23(2 )14()(92 )63BFFaFawaaEIEI 38()3

18、ByByBFF awEI33814033ByF aFaEIEI所以所以74ByFF5 5）由整體平衡條件求其他約束反力）由整體平衡條件求其他約束反力 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC3(),()24AAyFaMFF 0AxFA AM MA Ay yF FA Ax xF F例例6-8 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 處鉸接，處鉸接，A A、C C 兩端固定，梁的抗彎剛兩端固定，梁的抗彎剛度均為度均為EIEI，F(xiàn) F = 40k

19、N= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 從從B B 處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個懸臂梁。成兩個懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：變形協(xié)調(diào)方程為：12BBww物理關(guān)系物理關(guān)系3414483ByBFqwEIEI 322423 4263ByBFFwEIEI 解解FBywB1FBx FBywB2FBx4233 40 1020 48.75 kN26 48 4ByF 代入得補(bǔ)充方程：代入得補(bǔ)充方程：確定確定A A 端約束力端約束力0,40yAyByFFFq44 208.7571.25 kNAyByFqF0,4240AAByMMqF4244 20 248.75125 kN mABMqF 0,xAxBxFFF FBy FBywB1wB