普通物理學第十章機械振動

1、普通物理學普通物理學( (下下) )n課程性質：學科基礎課程，必修課程性質：學科基礎課程，必修n學時：學時：1616周周4848學時學時n授課內容：第十章機械振動授課內容：第十章機械振動( (涉及知識點：諧振涉及知識點：諧振動動) )，第十一章機械波，第十一章機械波 ( (涉及知識點：平面簡諧涉及知識點：平面簡諧波的波函數(shù)、波的衍射折射和反射、波的疊加波的波函數(shù)、波的衍射折射和反射、波的疊加與干涉等與干涉等) )、第十二章光學、第十二章光學( (涉及知識點：光的涉及知識點：光的干涉、光的衍射、干涉、光的衍射、X X射線的衍射、光的偏振、旋射線的衍射、光的偏振、旋光性光性) ) ，第十三章早期量

2、子論和量子力學基礎。，第十三章早期量子論和量子力學基礎。n通過課程的學習，使大家熟悉自然界物質的結通過課程的學習，使大家熟悉自然界物質的結構、性質、相互作用及其運動的基本規(guī)律，為構、性質、相互作用及其運動的基本規(guī)律，為后繼專業(yè)基礎與專業(yè)課程的學習及進一步獲取后繼專業(yè)基礎與專業(yè)課程的學習及進一步獲取有關知識奠定必要的物理基礎。有關知識奠定必要的物理基礎。 課程的基本要求課程的基本要求n參考書：參考書：1程守洙,江之永，普通物理學(第六版)，高教版，20062馬文蔚，物理學教程第五版（上、下），高等教育出版社，2006；3張三慧，大學基礎物理學（上、下），清華大學出版社，2004； n成績考核成績

3、考核: 成績由平時成績(30%)和期末考試成績(70%)構成。平時成績根據(jù)作業(yè)、出勤等評定。期末考試采用閉卷筆試方式。參考書目、成績考核參考書目、成績考核第十章第十章 機械振動機械振動1、如何判斷一個物體是否做簡諧振動；、如何判斷一個物體是否做簡諧振動；2、如何建立簡諧振動方程；、如何建立簡諧振動方程；3、如何使用旋轉矢量法解決簡諧振動的問題；、如何使用旋轉矢量法解決簡諧振動的問題；4、簡諧振動的能量特征；、簡諧振動的能量特征；5、簡諧振動的合成。、簡諧振動的合成。a 定義：定義： 物體或物體的某一部分在一定位置物體或物體的某一部分在一定位置附近來回往復的運動附近來回往復的運動b 實例實例:心

4、臟的跳動，心臟的跳動，鐘擺，樂器，鐘擺，樂器， 地震等地震等機械振動機械振動c 周期和非周期振動周期和非周期振動平衡位置平衡位置10-1 弓弓提琴弦線的振動提琴弦線的振動 廣義振動：廣義振動：任一物理量任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在在某一數(shù)值附近反復變化。某一數(shù)值附近反復變化。機械振動機械振動 電磁振動電磁振動 振動有各種不同的形式振動有各種不同的形式簡諧振動簡諧振動(諧振動諧振動)：物體振動時，如果離開平衡位置的位移物體振動時，如果離開平衡位置的位移x(或角位移或角位移 )隨時間隨時間t 變化可表示為余弦函數(shù)或正弦函數(shù)變化可表示為余弦函數(shù)或正弦函數(shù))cos( tAx一、

5、彈簧振子的振動一、彈簧振子的振動平衡位置：振動物體所受合外力為零的位置平衡位置：振動物體所受合外力為零的位置kl0 xmoAA00Fx1 1、振動方程：、振動方程：kxmaf022 xmkdtxd22dtxda 諧振動運動學方程諧振動運動學方程諧振動微分方程諧振動微分方程其通解為：其通解為：)cos( tAx 22 （1 1）（）（2 2）兩式均為物體作諧振動的特征表述。）兩式均為物體作諧振動的特征表述。二、彈簧振子的振動方程二、彈簧振子的振動方程22dtxda 10222 xdtxd xmkx2振動的成因振動的成因:a 回復力回復力b 慣性慣性運動學特征運動學特征動力學特征動力學特征xa2)

6、cos(tAxkxf 2、簡諧振動特征、簡諧振動特征 3、如何判斷一個運動是簡諧振動：、如何判斷一個運動是簡諧振動：(1)運動微分方程：運動微分方程：0222 xdtxd （或運動方程為（或運動方程為 ）)cos( tAx運動學特征運動學特征kxf (2)為維持運動物體所受合外力為維持運動物體所受合外力動力學特征動力學特征乒乓球在地面上的上下跳動是否為簡諧振動？乒乓球在地面上的上下跳動是否為簡諧振動？速度：速度：速度也是簡諧振動速度也是簡諧振動 加速度：加速度：22dtxda)cos()(amtata 也是簡諧振動也是簡諧振動4 4、簡諧振動的速度、加速度、簡諧振動的速度、加速度dtdx )2

7、cos( tA)sin( tA)cos()( ttm)cos( tAx)cos(2tA)cos(2tAt to oT TA AX三、描述簡諧振動的特征量三、描述簡諧振動的特征量-周期、振幅、相位周期、振幅、相位 （一）周期（一）周期T-物體完成一次全振動所需時間物體完成一次全振動所需時間: : 對彈簧振子：對彈簧振子：物體在單位時間內完成振動的次數(shù)。物體在單位時間內完成振動的次數(shù)。頻率頻率: :T1 角頻率角頻率: : 22TkmT 2 mk 21 mk 2頻率為頻率為Hz33.1/1T例如，心臟的跳動例如，心臟的跳動80次次/分分s 75. 0) s (8060T周期為周期為大象大象 253

8、0 馬馬 4050豬豬 6080 兔兔 100松鼠松鼠 380 鯨鯨 8動物的心跳（次動物的心跳（次/分）分） 昆蟲翅膀振動的頻率（昆蟲翅膀振動的頻率（Hz） 雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 蒼蒼 蠅蠅 330 黃黃 蜂蜂 220 （二）（二） 振幅振幅A（三）（三） 相位相位(phase)(phase) t+ 決定振動物體的運動狀態(tài)決定振動物體的運動狀態(tài)諧振動物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。諧振動物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。A t to oT TAX相位相位 t+ =0 =0 x=Av=0a=-2A相位相位 t+ = /2 x=0v=-A a=0a

9、0 vv0 aOAXOAX)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa cos00Axt 時時 sin0Av 00 xv tan2020)( vxA 則)cos( tAx問：問：1 1、確定振動方程三個特征量是什么？、確定振動方程三個特征量是什么？（四）（四）A和和 的確定的確定3 3、 ( (或或 . .T) )由什么決定？由什么決定？ ( (或或 . .T). ). A 和和 。2、A 和和 由什么決定？由什么決定？ 初始條件！初始條件！系統(tǒng)本身的性質決定！系統(tǒng)本身的性質決定！)sin(tAv第一個重點：如何判斷物體是否作簡諧振動？第一個重點：如何判斷物體是否作簡諧振動？1 1、運動

10、學分析：、運動學分析：2、動力學分析、動力學分析*：)cos(tAx)cos(vmtvv)cos(amtaa kxf Notice:坐標原點選在平衡位置。坐標原點選在平衡位置。3、運動的微分方程滿足、運動的微分方程滿足*： 0222xdtxd例例1 小球在半徑很大的光滑凹球面底部來回滾動，小球在半徑很大的光滑凹球面底部來回滾動， 試分析小球的運動是否是簡諧振動。試分析小球的運動是否是簡諧振動。22dtdRRat坐標原點選在坐標原點選在O點點(切線方向受力為零），切線方向受力為零），規(guī)定向右側是坐標正方向。規(guī)定向右側是坐標正方向。 sin很很小小22dtdmRmg 022 RgdtdRg 2令令

11、0222 dtd解：解：gRT22 tmamgsinmg O cos00Axt 時時 sin0Av 00 xv tan2020)( vxA 則)cos( tAx建立簡諧振動方程就是確定建立簡諧振動方程就是確定A, 和和 ，初相初相 有兩個解，有兩個解， 需根據(jù)需根據(jù)x0 或或 v0的正負來決定的正負來決定2、A 和和 由系統(tǒng)的初始條件（由系統(tǒng)的初始條件（x x0 0,v,v0 0) )決定：決定：1 1、 由系統(tǒng)本身的性質決定：由系統(tǒng)本身的性質決定：)sin( tAvmk*第二個重點問題：如何建立簡諧振動方程第二個重點問題：如何建立簡諧振動方程A與與 的確定的確定,例題例題2 如圖：如圖：m=

12、210-2kg, 平衡時彈簧的平衡時彈簧的形變?yōu)樾巫優(yōu)?l = 9.8cm。由平衡位置將彈簧壓。由平衡位置將彈簧壓縮縮9.8cm, 物體由靜止釋放。物體由靜止釋放。（1）證明其振動是簡諧振動；）證明其振動是簡諧振動；（2）取開始振動時為計時零點，寫出取開始振動時為計時零點，寫出 振動方程；振動方程； （3）若?。┤羧0= 0，v0 0為計時零點，寫出為計時零點，寫出振動方程。振動方程。解解 取平衡位置為坐標原點。向下為正。取平衡位置為坐標原點。向下為正。 彈簧的彈性系數(shù)為：彈簧的彈性系數(shù)為：k = mg / l物體在任意位移物體在任意位移 x x 時受力分析時受力分析kxlxkmgF )(-

13、物體作簡諧振動！物體作簡諧振動！XOmxlmgTsradlgmk/10098.08 .9 )cos( tAxk = mg / lA 和和 ？由初始條件由初始條件 t=0時：時：x0= 9.8cm, v0=0, 得得, 0)(00 xvarctgmvxA09802020.)( 由于：由于：x0= Acos = 0.098 0 ，振動方程為：振動方程為：x = 9.8 10-2cos( 10t+ ) mXmOl cos 0 x0=Acos =0 , v0= A sin 0 , x = 9.8 10-2cos( 10 t + 3 /2 ) m對同一諧振動對同一諧振動, 取不同的計時起點取不同的計時起

14、點, 不同，但不同，但 和和 A不不 變變 。x1 = 9.8 10-2cos( 10t+ ) m)cos( tAx)sin( tAvXmOl比較兩個方程可得出什么結論？比較兩個方程可得出什么結論？ （3）若?。┤羧0= 0，v0 0為計時零點為計時零點, 寫出振動方程。寫出振動方程。 = /2 ,3 /2 cos =0 sin 0, 取取 = 3 /21 1）公式法：）公式法：2 2） 曲線法：曲線法：o oA- -AtxT由：由：)cos( tAxA、T、 已知已知A、T、 求方程求方程已知曲線已知曲線* *A A、T T、 曲線曲線已知已知 A、T、 第三個重點問題：簡諧振動的描述：第

15、三個重點問題：簡諧振動的描述：AAXXOM ( 0 )A初相M ( t )ttM ( t )tM ( t )tM ( t )M ( t )tM ( t )tM (T )T周期 TM ( t )tM ( t )tXOM ( 0 )初相M ( t )tA矢量端點在X 軸上的投影對應振子的位置坐標t 時刻的振動相位( t 旋轉矢量A以勻角速逆時針轉動循環(huán)往復x = A cos ( t 簡諧振動方程旋轉矢量端點 M 作勻速圓周運動振子的運動速度（與 X 軸同向為正）A其 速率AtAXAAXOtO 旋轉矢量端點 M 的加速度為法向加速度，其大小為A振子的運動加速度（與 X 軸同向為正）At和任一時刻的

16、和 值，其正負號僅表示方向。同號時為加速異號時為減速 (1)彈簧振子(2)單擺(3)無阻尼電磁振蕩(了解)四 簡諧振動實例(2) 單擺角時擺球受力矩為則取擺幅很小mgldtdJM22根據(jù)轉動定律lg令整理得0222dtd)cos(tmglT22解方程得振動周期為(3)無阻尼電磁振蕩(了解) GLLcUCqUcdtdqI 22dtqdLdtdILL022CqdtqdL因為而整理得LC10222qdtqd其中令)cos(tqqm)sin(tqdtdqIm解得五 簡諧振動的能量 振子運動速度AA簡諧振動方程彈簧勁度振子質量振動角頻率振動系統(tǒng)： 如 水平彈簧振子A系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能系統(tǒng)勢能系統(tǒng)勢能AAA

17、系統(tǒng)總能量系統(tǒng)總能量均隨時間而變且能量相互轉換變到最大時變?yōu)榱阆到y(tǒng)的機械能守恒。及A變?yōu)榱阕兊阶畲髸r時間 能量1 1、兩勁度系數(shù)分別為、兩勁度系數(shù)分別為k k1 1和和k k2 2的輕彈的輕彈簧串聯(lián)在一起，下面掛著質量為簧串聯(lián)在一起，下面掛著質量為m m的的物體，構成一個彈簧諧振子，則系統(tǒng)物體，構成一個彈簧諧振子，則系統(tǒng)的振動周期的振動周期T=T=？k k1 1k k2 2m m【解解】串聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)并聯(lián)1 212kkkkk12kkk121222 m(kk )mTkk k2 2、一簡諧振動曲線如圖示，求振動方、一簡諧振動曲線如圖示，求振動方程？程？4 42 2-4-4X(cmX(cm) )t(s

18、t(s) )1 10 0【解解】 xAcos( t)3 t52316 5463 xcos(t)2Ax 0A 2Ax 0A 摩擦阻力彈性力振動速度不太大時受：阻力系數(shù)摩擦阻力與 反向負號：以液體中的水平彈簧振子為例：彈性力振子 受合外力即令稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率得稱為阻尼系數(shù)若阻尼較弱，且時，上述微分方程的解為10-2 阻尼振動和取決于初始狀態(tài)。為振動角頻率，為阻尼振動的振幅，隨時間的增大而指數(shù)衰減。越大，振幅衰減越快，且振動周期 越長。本圖設周期阻尼振動（續(xù)2） 相對較大的阻尼振動，其振幅衰減較快，但只要滿足，振子仍可出現(xiàn)往復運動的特征，仍屬阻尼振動。若阻尼過大，以致，用此條件求解微分方程，

19、其結果表明（數(shù)學表達從略）振子不能作往復運動，而是從開始的最大位置緩慢地回到平衡位置。此情況稱為過阻尼。若，振子從開始的最大位置較快地回到平衡位置，并處于往復運動的臨界狀態(tài)。此情況稱為臨界阻尼。臨界阻尼過阻尼阻尼振動阻尼振動（續(xù)3）10-3 受迫振動 共振系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動稱為受迫振動受迫振動。周期性的外力稱為驅動力驅動力。只受彈性力或準彈性力和粘滯阻力作用的振動系統(tǒng)，其振幅總是隨時間衰減，振動不能持久。如果要使振動持久不衰，就必須由外界不斷供給能量。共振共振 : 受迫振動的振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象。聲、光、電、原子內部、工程技術聲、光、電、原子內部、工程技術同時要注意避同

20、時要注意避免共振造成破壞。免共振造成破壞。幅 值角頻率周期性外力（強迫力）彈性力示意運動方程及其解 任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的線性迭加。研究了振動系統(tǒng)對正弦型外力的響應，也就原則上解決了振動系統(tǒng)對任何外力的響應問題。下面我們僅考慮簡諧強迫力 tFd cos0彈簧振子的運動方程為： tFxkxxmd cos0 令 mFfmkm0020 , ,2上式變?yōu)椋?tfxxxd cos 2020 ) cos() cos(0220 0tAteAxdt22222004)(ddfA2202 tandd其中 為待定常數(shù)，由初始條件決定.00 ,A此微分方程的通解為:開始振動比較復雜經(jīng)過一段時間后，受迫

21、振動進入穩(wěn)定振動狀態(tài)。受迫振動的位移時間曲線重點討論受迫振動穩(wěn)定狀態(tài)時的振幅重點討論受迫振動穩(wěn)定狀態(tài)時的振幅受迫振動的振幅出現(xiàn)極大值的現(xiàn)象稱為 共振。受迫振動 共振（續(xù)）22222004)(ddmfA較小較大求得 極大時的 為若強迫力的角頻率 已定， 大則 小。 若阻尼系數(shù) 已定，當 等于或接近系統(tǒng)的固有角頻率時， 獲得極大值。令共振時的振幅值為共振時的強迫力頻率稱為共振頻率共振演示實驗共振演示實驗236145 共振現(xiàn)象在實際中的應用共振現(xiàn)象在實際中的應用樂器、收音機樂器、收音機 單擺單擺1作垂直于紙面作垂直于紙面的簡諧運動時，單擺的簡諧運動時，單擺5將將作相同周期的簡諧運動，作相同周期的簡諧

22、運動，其它單擺基本不動其它單擺基本不動.小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎隨后在大風中因產隨后在大風中因產生共振而斷塌生共振而斷塌 1940年美國華盛頓的普熱海峽年美國華盛頓的普熱海峽塔科曼大橋塔科曼大橋在大風中產生振動在大風中產生振動10-5 振動的合成與分解振動的合成與分解 簡諧振動是最簡單、最基本的振動，任何一個復雜的振動都可以看成若干個簡諧振動的合成。 1. 方向、頻率相同，初位相不同的兩個簡諧振動的合成(掌握)2. 方向相同，頻率不同的兩個簡諧振動的合成 (掌握)3. 方向垂直、頻率相同的兩個簡諧振動的合成（二維振動）(了解)4. 方向垂直、頻率不同的兩個簡諧振

23、動的合成，利薩如圖形(了解)5. 振動的分解、諧波分析(Fourier分析)(了解)一、方向、頻率相同，初位相不同的兩個簡諧振動的一、方向、頻率相同，初位相不同的兩個簡諧振動的合成合成設物體同時參與兩個同方向、同頻率的簡諧振動，每個振動的位移與時間關系可表為 ) cos() cos(222111tAxtAx 利用振幅矢量法，由圖不難看出，合運動仍是同頻率的簡諧振動，即 ) cos(21tAxxx2211221112212221coscossinsintan)cos(2AAAAAAAAA與計時起始時刻有關合成初相分振動初相差與計時起始時刻無關，但它對合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用 , 2

24、, 1 , 0 ,2 ) 1 (12kk則 21AAA , 2 , 1 , 0 ,) 12( )2(12kk|21AAA12 ) 3(為一般值 則 則 2121 |AAAAA合振動分振動；其中，合振幅例:n個同頻率、同振動方向的簡諧振動的合成已知taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax)1(cosntaxnText in here分析及結果)cos(tax2sin2nRA2sin2Ra2sin2sinnaA)(21),(21COPnCOM21nCOMCOP)21cos(2sin2sinntnax根據(jù)旋轉矢量合成應為根據(jù)等腰三角形關系有因此得Text in here討論nanaA2s

25、in2sinlim0(1)各分振動初相位相同時00sinsinnkkaAnk2(2)各分振動初相位差 k 為不等于nk的整數(shù)(k為自然數(shù))時設 ) cos() cos(22221111tAxtAx為簡單起見，設 AAA2122cos22cos2)cos()cos(21212121221121ttAttAxxx若2121 , |2121 ,2有 2cos22cos22112121ttAx二、二、方向相同方向相同，頻率不同頻率不同的兩個簡諧振動的合成的兩個簡諧振動的合成 方向相同，頻率不同的兩個簡諧振動的合成方向相同，頻率不同的兩個簡諧振動的合成(續(xù)續(xù))2cos22cos22112121ttAx此簡諧振動的頻率與原來兩振動頻率幾乎相等 2121 ,2而振幅隨時間的變化為 22cos22121tA由于振幅所涉及的是絕對值，故其變化周期由下式?jīng)Q定 T 2 21故振幅變化頻率： | | 2 12121T| | 2 12121T即兩頻率之差。這一現(xiàn)象稱為拍，v稱為拍頻，拍的振動曲線如圖所示。當兩振動的振幅不等，即 A1 A2 時，也有拍現(xiàn)象，此時合振幅仍有時大時小的變化，但不會達到零。 方向相同，頻率不同的兩個簡諧振動的合成方向相同，頻率不同的兩個簡諧振動的合成(續(xù)續(xù))多個諧振動合成的圖形第十章作業(yè)nP46 10-1 10-2 10-7 10-16 10-22 1