大學(xué)文科數(shù)學(xué)第三章

1、第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1 3.1 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)3.2 3.2 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)3.3 3.3 應(yīng)用應(yīng)用兩個(gè)問題1.1.求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題0sss 0s0在直線上引入坐標(biāo)原點(diǎn)在直線上引入坐標(biāo)原點(diǎn) 0 和單位長度和單位長度)(00tfs 設(shè)動(dòng)點(diǎn)于時(shí)刻設(shè)動(dòng)點(diǎn)于時(shí)刻 t 在數(shù)軸上的位置的坐標(biāo)為在數(shù)軸上的位置的坐標(biāo)為 s: )(tfs )(tfs )(00ttfss s 如圖：一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，求其在某一時(shí)刻如圖：一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，求其在某一時(shí)刻 的速度的速度0t考慮質(zhì)點(diǎn)在時(shí)段考慮質(zhì)點(diǎn)在時(shí)段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所所花花的

2、的時(shí)時(shí)間間經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程 vts ttfttf )()(003.1 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)（1）若質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則上述比值恒為一常數(shù)）若質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，則上述比值恒為一常數(shù)（2）若質(zhì)點(diǎn)作非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則上述比值與）若質(zhì)點(diǎn)作非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則上述比值與 t 有關(guān)有關(guān)0sss 0s0)(00tfs )(tfs )(00ttfss s 考慮質(zhì)點(diǎn)在時(shí)段考慮質(zhì)點(diǎn)在時(shí)段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所所花花的的時(shí)時(shí)間間經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程 vts ttfttf )()(00它僅為質(zhì)點(diǎn)在它僅為質(zhì)點(diǎn)在0t時(shí)刻速度的近似值。時(shí)刻速度的近似值。0|ttv tst 0limttfttft )()(lim

3、0000t，即為質(zhì)點(diǎn)在，即為質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)刻的（瞬時(shí)）速度。時(shí)刻的（瞬時(shí)）速度。0sss 0s0)(00tfs )(tfs )(00ttfss s 考慮質(zhì)點(diǎn)在時(shí)段考慮質(zhì)點(diǎn)在時(shí)段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所所花花的的時(shí)時(shí)間間經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程 vts ttfttf )()(000|ttv tst 0limttfttft )()(lim000若記若記,0ttt ,000ttttt 時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)0|ttv tst 0lim00)()(lim0tttftftt 點(diǎn)點(diǎn)P P處的切線處的切線LPQT割線PQ切線PT切點(diǎn)2.2.曲線的切線問題曲線的切線問題 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如

4、圖, 如果割線如果割線 MN 繞繞點(diǎn)點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)而趨向極限位旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置置 MT , 直線直線 MT 就稱為就稱為曲線曲線 C 在點(diǎn)在點(diǎn) M 處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線MT tanlimtan0 xxk . .)()(lim000 xxxfxfxx 存在存在, 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 有時(shí)也稱函數(shù)有時(shí)也稱函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處

5、可導(dǎo)可導(dǎo). 可記為可記為定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域內(nèi)有定義, 如果如果0 x0 x000()()limxf xxf xx 0 x0|x xy 0 x xdydx 0()fx0 x xdfdx 或或 或或 或或.)()(lim)(0000hxfhxfxfh （1 1）導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義的兩種的兩種常見形式常見形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(000000()xxh它它處的變化率處的變化率點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn),0 x（2 2）關(guān)于）關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：導(dǎo)數(shù)的說明：而變

6、化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了慢程度慢程度( )yf xI如果函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)的每點(diǎn) ,( ).f xI處都可導(dǎo) 就稱函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),( )xIf x對(duì)于任一都對(duì)應(yīng)著的一個(gè)確定的.( ).f x導(dǎo)數(shù)值這個(gè)函數(shù)叫做函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).)(),(,dxxdfdxdyxfy或或記記作作 注意注意: :.)()(00 xxxfxf 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度00)()(lim|00tttftfvtttt 其中，其中， s = f (t) 為關(guān)于時(shí)間為關(guān)于時(shí)間 t 的位置函數(shù)的位置函數(shù) 切線的斜率切線的斜率.)()(lim000 xxxfxfkxx

7、 其中，其中， y = f (x) 為曲線的方程。為曲線的方程。);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限由由定義求導(dǎo)數(shù)步驟定義求導(dǎo)數(shù)步驟: :例例1 1 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: : (1)(1)求增量求增量: : (2)(2)算比值算比值: : (3)(3)取極限取極限: : 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00例例2 2.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解：解：hxfhxfxfh)()(lim

8、)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解：解：hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 hhhxh2sin)2cos(2lim0 例例4 4.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解：解：hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,

9、12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x )(21 x)1( x例例5 5.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解：解：haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例6 6.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解：解：hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1ax hxhaxhx)1(limlog10 (2) ( )nf xx 1(). ()

10、xxR (1) ( )f xC ( )0.C (sin )cos .xx (3) ( )sinf xx (4) ( )cosf xx (cos )sin .xx (5)( )(0,1)xf xaaa()ln .xxaaa .)(xxee (6)log(0,1)ayx aa(log)1 ( ln ).axxa (ln )1.xx 2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單單側(cè)導(dǎo)數(shù)側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):0000()()()lim;xf xxf xf xx 0000()()()lim;xf xxf xf xx 如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說都存在，就說)

11、(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).的的討論在點(diǎn)討論在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)000,),(),()(xxxxxxxxf xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xxxxx )()(lim000 xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 若若(存在且相等），存在且相等），,)(0axf 則則.可導(dǎo)性可導(dǎo)性例例7 7.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 )

12、,0()0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy2sin,0,( )( ).,0,xxf xfxxx 例例設(shè)設(shè)試試8 8求求解:0( )(sin )xf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，cosx 20( )()xfxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，,2x xfxffxx)0()(lim)0(,00 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 10sinlim0 xxxxfxffx)0()(lim)0(0 200lim0 xxx (0)f 故故不不存存在在. .cos,0,( )02 ,0.xxfxxxx 不不存存在在，表示表示)(0 xf 特別地特別地: :)( ,tan)(0為傾角為傾角 xf)(xfy 曲線曲線,)(,(00切線的斜率

13、切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)xfxM即即導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的幾何意義數(shù)的幾何意義0 x xyO)(xfy CT M;),(,()(, 0)()1(000軸軸的的切切線線平平行行于于在在點(diǎn)點(diǎn)則則曲曲線線若若Oxxfxxfyxf ).)(000 xxxfyy .0)()()(10000 xfxxxfyy,)()2(0 xf若若)(,()(00 xfxxfy在點(diǎn)在點(diǎn)則曲線則曲線 .軸軸的切線垂直于的切線垂直于Ox:)(,()(00處處的的切切線線方方程程為為在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線xfxxfy :)(,()(00的法線方程為的法線方程為在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線xfxxfy 例例9 9.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方

14、程并寫出在該點(diǎn)處的切線并寫出在該點(diǎn)處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解: :由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即解解: : （1）因?yàn)辄c(diǎn)）因?yàn)辄c(diǎn) ( 1 , 1 ) 在曲線上，由導(dǎo)數(shù)的在曲線上，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為1 xyk13)( xx123 xx. 3 所求切線方程為所求切線方程為),1(31 xy. 023 y

15、x即即例例10 已知已知曲線曲線,3xy （1）求過點(diǎn)）求過點(diǎn) ( 1 , 1 ) 的切線方程；的切線方程；（2）確定）確定 b 的值，使直線的值，使直線 y = 3x + b 為曲線的切線；為曲線的切線；（3）求過點(diǎn)）求過點(diǎn) ( 0 , 3 ) 的切線方程。的切線方程。例例10 已知已知曲線曲線,3xy （1）求過點(diǎn)）求過點(diǎn) ( 1 , 1 ) 的切線方程；的切線方程；（2）確定）確定 b 的值，使直線的值，使直線 y = 3x + b 為曲線的切線；為曲線的切線；（3）求過點(diǎn)）求過點(diǎn) ( 0 , 3 ) 的切線方程。的切線方程。解解: : （2）關(guān)鍵要確定切點(diǎn)。）關(guān)鍵要確定切點(diǎn)。),(00

16、yx設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為0 xxyk 0)(3xxx 023xxx 203x 切線方程為切線方程為),(30200 xxxyy ,3303020yxxxy 即即,33330030020 xybxyx. 2, 1, 1)1(00 byx. 2, 1, 1)2(00 byx例例10：已知曲線已知曲線,3xy （1）求過點(diǎn)）求過點(diǎn) ( 1 , 1 ) 的切線方程；的切線方程；（2）確定）確定 b 的值，使直線的值，使直線 y = 3x + b 為曲線的切線；為曲線的切線；（3）求過點(diǎn)）求過點(diǎn) ( 0 , 16 ) 的切線方程。的切線方程。解解: : （3）注意點(diǎn)）注意點(diǎn) (0 , 16 ) 不在曲線上。

17、不在曲線上。),(00yx設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為0 xxyk 0)(3xxx 023xxx 203x 切線方程為切線方程為),(30200 xxxyy ,3303020yxxxy 即即,163300300 xyxy, 8, 200 yx1612 xy可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證:,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 0 xy2xy xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的

18、連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)為為但但處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在xfxx 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0)(lim200 xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0lim01 例例1111.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解: :,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyx.0

19、)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxfxxxfxx1sinlim)(lim00 ),0(0f 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u(u(x) )與與v(v(x) ) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則處均可導(dǎo)，則: :定理定理1 1(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x(2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),u x v xu x v xu x v x( )(,( )v xC CCuCu為常數(shù)）則2( )( ) ( )( ) ( )(3),( ( )0)( ) ( )u xu x v xu x v xv xv xv x( )1,u x （一）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（一）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則特別地特別地,如果如

20、果可得公式可得公式特別地特別地,21( )( ) ( )v xv xv xwvuwvu )(注：法則（注：法則（1）（）（2）均可推廣到有限）均可推廣到有限多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形多個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形wuvwvuvwuuvw )(例：例：設(shè)設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處均處均可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則)3lnsin(3 xexyx解：解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例例13 設(shè)設(shè)52,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求，求設(shè)設(shè)3lnsin3例例12)(tan xy)cossin(

21、xx解：解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即即 類似可得類似可得例例14 求求y = tanx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)2(cot )csc xx2(tan )secxx )cos1( xxx2cossin )(sec xy解：解：xxtancos1 xx tansec 即即類似可得類似可得例例15 求求 y = secx 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)(csc )csccotxxx (sec )sectanxxx 定理定理2 2)(xu 如果函數(shù)如果函數(shù)在在x處可導(dǎo)，而函數(shù)處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)的在對(duì)應(yīng)的u處可導(dǎo)，處可導(dǎo)， 那么復(fù)合函

22、數(shù)那么復(fù)合函數(shù) ( )yfx在在x處可導(dǎo)，且有處可導(dǎo)，且有dydy dudxdu dx或或xuxyyu對(duì)于多次復(fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，對(duì)于多次復(fù)合的函數(shù)，其求導(dǎo)公式類似，此法則也稱鏈導(dǎo)法此法則也稱鏈導(dǎo)法注：注：（二）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（二）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例例17yxy 求求,2lnsin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：解：解：復(fù)合而成復(fù)合而成可看作可看作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例例16.:求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的微微商商練練習(xí)習(xí)(1)co

23、syx 3(3)tan2xyex 2sin(4)10 xy 2sin()(5)xye (2)cot2xy 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后兩邊分別求導(dǎo)，求然后兩邊分別求導(dǎo)，求出導(dǎo)數(shù)出導(dǎo)數(shù). .-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu例例1818解：解：.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1si

24、nln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx yxexy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求)4)(3()2)(1( xxxxy例例19 這函數(shù)的定義域這函數(shù)的定義域 解：解：1, 32, 4xxx4 x若若兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得41312111211 xxxxyy413121112xxxxyy1x若)4)(3()2)(1(xxxxy 兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得41312111211xxxxyy 41312111

25、2xxxxyy同理同理413121112xxxxyy23x若例例:20:20解：解： 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè))(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即即)( sa引例：引例：變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng)定義定義若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo)可導(dǎo),或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyx

26、xy類似地類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 記作記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為依次類推依次類推 ,分別記作分別記作則稱則稱高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的運(yùn)算法則都有都有 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) , 則則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù)為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布

27、尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及及)(xvv 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)vunn) 1(設(shè)設(shè),2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推依次類推 ,nnany!)(233xa例例21思考思考: 設(shè)設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問問可得可得nx)1 ( ,3xaeay 例例22 設(shè)設(shè)求求解解:特別有特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例23 設(shè)設(shè),

28、)1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax 0 xx,x. 時(shí)時(shí)的的高高階階無無窮窮小小 當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由一塊正方形金屬薄片受溫度

29、變化的影響，其邊長由 變到變到 （如圖），問此薄片的面積改變了多少？（如圖），問此薄片的面積改變了多少？0 xxx 0引例引例：02Axx再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x 203.yxx ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問題問題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有? ?它是

30、什么它是什么? ?如何求如何求? ?定義定義000000000( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxdydf xdyAx 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義及在這區(qū)間內(nèi) 如果成立 其中 是與無關(guān)的常數(shù)則稱函數(shù)在點(diǎn)可微 并且稱為函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分記作或即.的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )0o()lim0 xxx 是指滿足的量由定義知由定義知: :(1);dyx是自變量的改變量的線性函數(shù)0(2)()lim;xydyydyoxxx 是比高階無窮小(=

31、0)0(3),( );Axf xx是與無關(guān)的常數(shù) 但與和 有關(guān)(4),().xydy 當(dāng)很小時(shí)線性主部).()()()(000 xodyxoxAxfxxfyxx 例例2424解：解：.02. 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy ( ).dydxfx 即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分與與自自變變量量的的微微分分之之商商等等于于該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫

32、叫“微微商商”基本基本初等函數(shù)的微分公式及微分運(yùn)算法則初等函數(shù)的微分公式及微分運(yùn)算法則dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 2222()ln()11(log)(ln )ln11(arcsin )(arccos )1111(arctan )(arccot )11xxxxad aaad

33、xd ee dxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxdxdxxx 2. 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 上述公式必須記牢，對(duì)以后學(xué)習(xí)積分學(xué)很有好處上述公式必須記牢，對(duì)以后學(xué)習(xí)積分學(xué)很有好處. .3. 設(shè)設(shè) 及及 都可導(dǎo)都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 的的微分為微分為)(ufy )(xfy )(xu dd( )( )yfuxx d( )fuu 1 ( ),( );udyfu du 若若 是是自自變變量量時(shí)時(shí)2( ),( ),uxux 若若 是是中中間間變變量量時(shí)時(shí) 即即

34、另另一一變變量量 的的可可微微函函數(shù)數(shù)則則( )( ),yf ufu 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),( )xyf x 無無論論 是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量 函函數(shù)數(shù)的的微微分分形形式式總總是是復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則由復(fù)合函數(shù)的微分法則由復(fù)合函數(shù)的微分法則( );dyfu du 結(jié)論結(jié)論：微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 注注2222211111()()xxxxdyeeeded x 21ln().xye 求求函函數(shù)數(shù)的的微微分分22121,xxyexe 222212211xxxxxedyy dxexdxdxee 21ln ,vyuuevx 而而222212

35、211xxxxxeexdxdxeeydx 用用復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)法法則則求求出出導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 后后，再再乘乘以以法一法一法二法二 利用微分形式不變性利用微分形式不變性21111ln (ln)(dyxdx 211 21( )( )arctanln()yxyx211( )ux 21dydx2212 11 ()dxx 例例25 25 求下列函數(shù)的微分求下列函數(shù)的微分2222 11xxdxdxxx11ln(),uxvx 22111ln ()()dxxxx (2)解：解：解：解：例例2626.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdx

36、bxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 解解例例2727.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 例例2727解：解：在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd )

37、;sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 定理定理 : 函數(shù)函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微 ,則則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 的可導(dǎo)的可導(dǎo),0 x且且)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的充要條件是可微的充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo),0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d00 x“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0

38、 xfxy)0lim(0 x0()yfxxx 故)()(0 xoxxf 線性主部即即xxfy)(d0在點(diǎn)在點(diǎn) 的可導(dǎo)的可導(dǎo),0 x)0)(0時(shí) xf則則定理定理 : 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微的充要條件是可微的充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo),且且, )(0 xfA即即xxfy)(d00 x若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 ( )( ),f af b 則在開區(qū)間則在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使得使得 (

39、)0.f 3.2 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)證：證： ( ), f xa b因因在在上連續(xù)，故在上連續(xù)，故在 a , b 上取得最上取得最大值和最小值大值和最小值. 于是于是, 有兩種可能情形：有兩種可能情形：(1) .Mm f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上恒為常數(shù)上恒為常數(shù) 因此因此( , ),( )0 .a bf (2) .Mm 那么，在開那么，在開 0()( )( )limxfxffx 0()lim,xfxMx 因此因此( )0.f 注意注意1) 當(dāng)定理?xiàng)l件不全具備時(shí)當(dāng)定理?xiàng)l件不全具備時(shí), 結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立. 例如例如,01,( )0,1.xxf xx x1yo( ) 1,

40、1f xxx ( )0,1f xxx x1yo1 x1yo2) 滿足定理中三個(gè)條件的函數(shù)滿足定理中三個(gè)條件的函數(shù) f(x), 函數(shù)函數(shù) ( )yfx 必定有零點(diǎn)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有多個(gè)必定有零點(diǎn)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有多個(gè)3) 羅爾定理的幾何意義：羅爾定理的幾何意義： 函數(shù)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上滿上滿足定理?xiàng)l件時(shí)足定理?xiàng)l件時(shí), 在在(a, b)內(nèi)的曲內(nèi)的曲例例28 驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù) 3( )3f xxx線弧線弧 f(x)上必存在水平切線上必存在水平切線ab1 2 xyo)(xfy C解：解： 函數(shù)函數(shù) 3( )3f xxx顯然在顯然在 3, 3 上連續(xù)，上連續(xù)，

41、 ( 3)(3)0.ff 而而 2( )333(1)(1)fxxxx ( )0.f 例例29( ),( ) = 0 0( )( ) =.f xf xcf cfcc設(shè)設(shè)在在 0 0, ,+ +連連續(xù)續(xù) 可可導(dǎo)導(dǎo) 且且有有一一正正根根, , 證證明明存存在在, , 使使分析分析 利用中值定理證明存在點(diǎn)滿足等式利用中值定理證明存在點(diǎn)滿足等式, , 通常的通常的( )( )0,cfcf c 若證( )( )0.cfcf c 方法用方法用還原法還原法:即即: 改寫結(jié)論為改寫結(jié)論為( )( )0,xfxf x 還原成有根( )0.xf x 即有解. 由羅爾定理得證把等式還原成把等式還原成x的方程的方程.因

42、此，函數(shù)因此，函數(shù) g(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, a上滿足羅爾定理的上滿足羅爾定理的三個(gè)條件，則至少有點(diǎn)三個(gè)條件，則至少有點(diǎn) (0,),ca 使使 ( )0,g c 即即 ( )( )0,cf cf c 也即也即 ( )( ).f cfcc 證證 令令 ( )( ),g xxf x 設(shè)設(shè) g(x) = 0 的正根為的正根為 x=a, 則則(0)( )0,gg a （2）拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，在開區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， 則在開區(qū)間則在開區(qū)間(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使得使得 (

43、)( )( )().f bf afba 證證: 如圖如圖，直線直線AB的方程為的方程為( )( )( )(),f bf ayf axaba ab1 xoy)(xfy ABCab1 xoy)(xfy ABC構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)( )( )( )( ) ( )(),f bf axf xf axaba 由羅爾定理，則在開區(qū)間由羅爾定理，則在開區(qū)間 (a, b) ( )0, 即即( )( )( )0,f bf afba 所以所以 ( )( )( )().f bf afba 注注 1) 在拉格朗日中值定理中，若加上條件在拉格朗日中值定理中，若加上條件 ( )( ),f af b 則結(jié)論變成則結(jié)論變成

44、 ( )0,f 因此，因此，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形2) 拉格朗日中值定理的幾何意義：拉格朗日中值定理的幾何意義： 有不垂直于有不垂直于 x 軸的切線，那么曲線弧軸的切線，那么曲線弧 AB上至少上至少 有一點(diǎn)有一點(diǎn) C, 使曲線在點(diǎn)使曲線在點(diǎn)C 處的切線平行弦處的切線平行弦 AB . ab1 2 xoy)(xfy ABCD為為拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式顯然，公式對(duì)顯然，公式對(duì) b 0，x ( ( 1, 1) )時(shí)，時(shí)，f (x) 0，所以所以( ( , - -1) )和和( (1, )是是 f (x) 的遞增區(qū)間，的遞增區(qū)間， (- (-1

45、, , 1) )是是 f (x) 的遞減區(qū)間的遞減區(qū)間. .為簡便直觀起見，我們通常將上述討論歸納為簡便直觀起見，我們通常將上述討論歸納為如下的表格：為如下的表格：x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,1) ) ( (1, ) ) f (x) f (x)其中箭頭其中箭頭 ， 分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和遞減遞減. .解：解：( (1) )該函數(shù)該函數(shù)的定義區(qū)間為的定義區(qū)間為 ( ( ， ) )；.325)1(32)() )2( (313231xxxxxxf .)1()(32的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù)xxxf 例例3131,520)( xxf得得令

46、令 此外，顯然此外，顯然 x = 0 為為 f ( (x) )的不可導(dǎo)點(diǎn)，的不可導(dǎo)點(diǎn)，52,0 xx于是于是 分定義區(qū)間為三分定義區(qū)間為三個(gè)子區(qū)間個(gè)子區(qū)間( ( , 0) )，,52, 0 .,52 , 0)(,52)0 ,()3( xfx時(shí)時(shí)和和因?yàn)橐驗(yàn)? 0)(,52, 0 xfx時(shí)時(shí)和和在在所以所以)0 ,()(xf,52內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增 . 52, 0內(nèi)單調(diào)遞減內(nèi)單調(diào)遞減在在 亦可如例亦可如例 1 那樣，以下表表示那樣，以下表表示 f ( (x) ) 的單調(diào)性：的單調(diào)性：x( , 0)f (x) 52, 0 ,52 f (x)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù)

47、. 若對(duì)于一點(diǎn)若對(duì)于一點(diǎn) 存在它的某一鄰域存在它的某一鄰域 使得使得則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) f(x)的的極大值極大值, 是是 f(x)的的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn).0( , ),xa b 00(,) (0),xx 000( )(),(,),1f xf xxxx 0()f x0 x則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) f(x)的的極小值極小值, 是是 f(x)的的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn).000( )(),(,),2f xf xxxx 0()f x0 x0000( )( )( )()0f xxf xxf xxfx設(shè)在 附近有定義，若在 達(dá)到極值，且在 可導(dǎo)，則切線是水平的（平行于X軸）0 x0 x0 x0 x0 x0 xOO

48、xxyy 費(fèi)馬定理證明證明: :達(dá)到極大值證明。在只就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf就有內(nèi)在達(dá)到極大值，所以只要在由于, 0)()( 00 xfxxf即;0, 0 )()( 00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)從而從而 xxxfxxf;0, 0 )()(00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxfxxf0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf這樣這樣. 0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf0)(0 xf所所以以xyo)(xfy ab1 2 ba幾何解釋幾何解釋: :.0位位于于水水平平位位置置的的那那一一點(diǎn)點(diǎn)續(xù)續(xù)滑滑動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，就就必必然然經(jīng)經(jīng)過過，當(dāng)當(dāng)切切線線沿沿曲

49、曲線線連連率率為為顯顯然然有有水水平平切切線線，其其斜斜曲曲線線在在最最高高點(diǎn)點(diǎn)和和最最低低點(diǎn)點(diǎn)換句話說，若函數(shù)換句話說，若函數(shù)f f( (x x) )在其極值點(diǎn)處可微，則在該點(diǎn)處在其極值點(diǎn)處可微，則在該點(diǎn)處必存在唯一的一條平行于必存在唯一的一條平行于x x軸的切線。軸的切線。注意：注意：當(dāng)當(dāng)f(x)可微時(shí)，條件可微時(shí)，條件“f (x)=0”只是只是f(x)存在極值的必要存在極值的必要條件，而非充分條件。即導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)。條件，而非充分條件。即導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)。定理定理 ( (函數(shù)極值的第一充分條件函數(shù)極值的第一充分條件) ) 000001,fxxxxxxx 如如

50、果果有有，而而 00.xxxff 有，則在處取得極大值有，則在處取得極大值 000002,fxxxxxxx 如果有，而如果有，而 00.xxxff 有，則在處取得極小值有，則在處取得極小值 00003,xxxxxfx 如果當(dāng)和時(shí)，的符號(hào)如果當(dāng)和時(shí)，的符號(hào) 0fxx相同，則在處無極值.相同，則在處無極值. 00 ,fxxU x 設(shè)在臨界點(diǎn)連續(xù)，在可導(dǎo).設(shè)在臨界點(diǎn)連續(xù)，在可導(dǎo).xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)檢查檢查xf

51、 .)4(求極值求極值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)例例3232解解:.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx定理定理 ( ( 極值的第二充分條件極值的第二充分條件 ) )( (1) )當(dāng)當(dāng) f (x0) 0 時(shí)時(shí)，則則 x0 為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn)，f (x0)為極小值為極小值；( (2) )當(dāng)當(dāng) f (x0) 0

52、時(shí)時(shí)，則則 x0 為極大值點(diǎn)為極大值點(diǎn)，f (x0)為極大值為極大值. 若若 f (x0) = 0，且且 f (x0) 0， 則則 x0 是函數(shù)的極值點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，f (x0) 為函數(shù)的極值為函數(shù)的極值， 并且并且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x) 在在 x0 處的二階導(dǎo)數(shù)存在處的二階導(dǎo)數(shù)存在，求函數(shù)極值的一般步驟是：求函數(shù)極值的一般步驟是：( (1) )確定定義域，并求出所給函數(shù)的全部駐點(diǎn)；確定定義域，并求出所給函數(shù)的全部駐點(diǎn)；(2)(2)考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)處的符號(hào)，確考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)處的符號(hào)，確定極值點(diǎn)；定極值點(diǎn)；(3)(3)求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，得到極值求出極值點(diǎn)處的函數(shù)

53、值，得到極值. .例例 33 求求函數(shù)函數(shù) f (x) = x4 10 x2 + + 5 的極值的極值.因?yàn)橐驗(yàn)榻饨?( (1) )定義域?yàn)槎x域?yàn)?(- - , , + + ). f (x) = 4x3 20 x = 4x(x2 - - 5)， 所以，由所以，由 f f (x) = (x) = 0 0 可得該函數(shù)的三個(gè)駐點(diǎn)可得該函數(shù)的三個(gè)駐點(diǎn).5, 0,5 xxx所以有所以有; 020)5(12)5(2 f; 020)0( f. 020)5(12)5(2 f則：則：，為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn)和和 55 xx.0為極大值點(diǎn)為極大值點(diǎn) x( (2) )因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) = 12x2 20，( (

54、3) )計(jì)算極值：計(jì)算極值：;205)5(10)5()5(24 f極小值極小值;550100)0(24 f極大值極大值.205)5(10)5()5(24 f極小值極小值求求函數(shù)的最值函數(shù)的最值(1)(1)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(2)(2)求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值 設(shè)設(shè) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，上連續(xù)，求函數(shù)最值的步驟：求函數(shù)最值的步驟：(3)(3)比較大小比較大小, , 最大者就是最大值最大者就是最大值, , 最小者就是最小者就是 最小值最小值; ; 22320,3fxxx求求函函數(shù)數(shù)在在上上的的最大值和最小值.最大值和最小值

55、. fx 在在0,0,解解: :33上上連連續(xù)續(xù). . 2341.32xfxxx 0,1.2.fxxx 駐點(diǎn)奇點(diǎn)駐點(diǎn)奇點(diǎn)令得令得計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)與臨界點(diǎn)處的函數(shù)值有計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)與臨界點(diǎn)處的函數(shù)值有 300,11,20,39.ffff比較這些值的大小可得比較這些值的大小可得 3maxmin39,020.fffff例例34 11,pppxx-1-11 12 2 0,1 ,1.xp其中,其中,證證: 將所證問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)將所證問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 1ppfxxx在區(qū)間在區(qū)間0，1上的上的最大值最大值和和最小值最小值. 111,ppfxpxpx 0,1,21fxpxfx 令得因故函數(shù)令得因故函數(shù)駐點(diǎn)駐點(diǎn)無奇

56、點(diǎn).無奇點(diǎn).將區(qū)間將區(qū)間端點(diǎn)端點(diǎn)與與駐點(diǎn)駐點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較：處的函數(shù)值進(jìn)行比較： 111011,1 .22pfffp 所以所以 111pppxx -1-11 12 2例例35 求證求證例例36 要做一個(gè)容積為要做一個(gè)容積為V0的圓柱形儲(chǔ)油罐，怎的圓柱形儲(chǔ)油罐，怎樣設(shè)計(jì)才能使用材料最?。繕釉O(shè)計(jì)才能使用材料最?。拷饨? 要使用料最少，就是要使要使用料最少，就是要使2002,Vr hVhr 故故 儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油罐的表面積表面積S為：為：222002222222.VVSrhrrrrrr 300222 2240,rVVSrrrr xyh儲(chǔ)油罐的表面積最小儲(chǔ)油罐的表面積最小.令令 S=0,得唯一的得唯一

57、的駐點(diǎn)駐點(diǎn) 00300304.40,2VVrSrr 又又因此,S在點(diǎn)因此,S在點(diǎn)0302Vr 處取得處取得極小值極小值，由于只有，由于只有一個(gè)極值，所以也為最小值一個(gè)極值，所以也為最小值.這時(shí)儲(chǔ)油罐的高為這時(shí)儲(chǔ)油罐的高為00030200322 .22VVVhrrV 所以，當(dāng)儲(chǔ)油罐的所以，當(dāng)儲(chǔ)油罐的高和底面直徑相等高和底面直徑相等時(shí)，所用材料最省時(shí)，所用材料最省.問題問題: :如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位 于所張弦的下方于所張弦的下方( )yf x ( )yf x ABC定義定義 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線 上上的每一點(diǎn)處的切線都位于曲線的上方的每一點(diǎn)處的切線都位于曲線的上方( (下方下方) )，則稱曲線，則稱曲線 在在 內(nèi)是凸的內(nèi)是凸的( (凹的凹的).).定理定理 (凹凸判定法凹凸判定法)(1) 在 內(nèi)則 在 內(nèi)圖形是凹的