向量的加法及幾何意義

1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義我們是否可以根據(jù)飛機(jī)從甲地飛往乙地的方向與距離以及從乙地飛往丙地的方向與距離來(lái)確定甲地到丙地的方向與距離呢？1.向量的加法(1)定義：求兩個(gè)向量也的運(yùn)算，叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)量.(2)三角形法則：如圖甲所示，已知非零向量a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作A=a,EBC=b,則向量aC叫做向量a與b的和，記作a+b.這種求向量和的方法叫做向量加法的三角形法則.(3)平行四邊形法則：已知兩個(gè)不共線向量a、b(如圖乙所示),作A=a,Ab=b,則A、B、D三點(diǎn)不共線，以aB、Ab為鄰邊作平行四邊形ABCD,則向量A|=a+b,這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平

2、行四邊形法則.知識(shí)點(diǎn)撥向量加法的平行四邊形法則和三角形法則(1)在使用向量加法的三角形法則時(shí)，要注意“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合，則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點(diǎn)”，即兩個(gè)向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量.(2)三角形法則適用于所有的兩個(gè)非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和.當(dāng)向量不共線時(shí)，三角形法則和平行四邊形法則的實(shí)質(zhì)是一樣的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.但當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，平行四邊形法則便不再適用了.(3)向量求和的多邊形法則已知n

3、個(gè)向量，依次首尾相接，則由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即為這n個(gè)向量的和，這稱為向量求和的多邊形法則.即A0A1+A1A2+A2A3+An2An1+AnlAn=AoAn0.首尾順次相接的若干向量求和，若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為2.向量加法的交換律已知向量a、b,如圖所示，作AB=a,E3C=b,如果A、B、C不共線，則AC=a+b.作AD=b,連接DC,如果我們能證明DC=a,那么也就證明了加法交換律成立.由作圖可知，AD=BC=b,所以四邊形ABCD是平行四邊形，這就證明了DC=a,即a+b=b+a.向量的加法滿足交換律.3.向量加法的結(jié)合律如圖，作AB=a,BC=b,CD=

4、c,由向量加法的定義，知，.AC=AB+BC=a+b,BD=BC+CD=b+c,所以AD=AC+CD=(a+b)+c,AD=AB+BD=a+(b+c).從而(a+b)+c=a+(b+c),即向量的加法滿足結(jié)合律.知識(shí)點(diǎn)撥1.我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，先走過(guò)的位移為向量a,再走過(guò)的位移為向量b,先走過(guò)的位移為向量b,再走過(guò)的位移為向量a,則方案中質(zhì)點(diǎn)A一定會(huì)到達(dá)同一終點(diǎn).2.多個(gè)向量的加法運(yùn)算可按照任意的次序與任意的組合進(jìn)行.如(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c);a+b+c+d+e=d+(a+c)+(b+e).1 .在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)

5、論中錯(cuò)誤的是(CA. aB=DCfB. AD+AB=ACC.AB=BD+ADD.aD+CB=0解析因?yàn)閍B=AD+DBwBb+AD,所以，c錯(cuò)誤.2,化簡(jiǎn)PB+OP+BO=0.解析PB+OP+BO=(OP+PB)+BO=OB+BO=0.3.如圖所示，已知向量a、b、c不共線，求作向量a+b+c.解析a、b、c不共線中隱含著a,b,c均為非零向量，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量都是共線的.利用三角形法則或平行四邊形法則作圖.c,解法一：（三角形法則）：如圖（1）所示，作AB=a,BC=b,則AC=a+b,再作CD則A6=AC+Cb=(a+b)+c,即AD=a+b+c.解法二：（平行四邊形法則）：.a、b、

6、c不共線，如圖（2）所示.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,以O(shè)A、OB為鄰邊作？OADB,則對(duì)角線OD=a+b,再作OC=c,以O(shè)C、OD為鄰邊作？OCED.則OE=a+b+c.命題方向1?向量的加法及幾何意義典例1（1）如圖，已知a、b,求作a+b.；二。b優(yōu)(2)如圖所示，已知向量a、b、c,試作出向量a+b+c.思路分析(2)本題是求作三個(gè)向量的和向量的問(wèn)題，首先應(yīng)作出兩個(gè)向量的和，由于這兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量，然后再作出這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和，方法是多次使用三角形法則或平行四邊形法則.解析(1)AC=a+bAC=a+b(2)作法1：如圖1所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作向

7、量oA=a,接著作向量Ab=b,則得向量OB=a+b;然后作向量IBC=c,則向量OC=(a+b)+c=a+b+c即為所求.(2)多個(gè)向量求和時(shí)，可先求兩個(gè)向量的和，再和其他向量求和跟蹤練習(xí)1如卜圖中(1)、(2)所示，試作出向量a與7b的和.國(guó)作法2：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作向量OA=a,OB=b,Ofe=c,以O(shè)A、OB為鄰邊作？OADB,連接OD,則OD=OA+OB=a+b.再以O(shè)D、OC為鄰邊作？ODEC,連接OE,則OE=Ob+Ob=a+b+c即為所求.規(guī)律總結(jié)(1)當(dāng)兩個(gè)不共線向量求和時(shí)，三角形法則和平行四邊形法則都可以用.解析如下圖中(1)、(2)所示,首先作OA=

8、a,然后作AB=b,則麗=a+b.命題方向2?向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用典例2化簡(jiǎn)下列各式:f三士(1)AB+DF+CD+BC+FA;(2)(AB+DE)+CD+BC+EA.思路分析首先根據(jù)向量加法的交換律變?yōu)楦飨蛄渴孜蚕噙B，然后利用向量加法的結(jié)合律求和.解析(1)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=Ad+ida=0.(2)(AB+DE)+CD+BC+EA=(AB+BC)+(CD+DE)+EA-Lz->=AC+CE+EA=Al+EA=0.規(guī)律總結(jié)向量運(yùn)算中化簡(jiǎn)的兩種方法：(1)代數(shù)法：借助向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為“首尾相接”，向量的

9、和即為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量.有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量.(2)幾何法：通過(guò)作圖，根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則化簡(jiǎn).跟蹤練習(xí)2如圖，在ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE/BC,AB/CF,連接CD,那么(在橫線上只填上一個(gè)向量)：(1)AB+DF=AC;Lr±(2)AD+FC=_AB_；(3)AD+BC+FC=AC解析由已知可得四邊形DFCB是平行四邊形.易知5F=B&.由三角形法則得：AB+DF=AB+Bc=ac.(2)易知fC=DB,所以AD+FC=AD+DB=AB.f三三二工(3)AD+BC+FC=A

10、D+DF+FC=AC.向量加法的實(shí)際應(yīng)用向量加法的實(shí)際應(yīng)用中，要注意如下應(yīng)用技巧：準(zhǔn)確畫(huà)出幾何圖形，將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化為向量；將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算，進(jìn)而利用向量加法的幾何意義進(jìn)行求解.典例3在某地抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55。的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和.思路分析解答本題首先正確畫(huà)出方位圖，再根據(jù)圖形借助于向量求解.解析如圖所示，設(shè)AB,BC分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km,從B地按南偏東55°的方向飛行800km.

11、則飛機(jī)飛行的路程指的是aab|+|bc|；兩次飛行的位移的和指的是ab+bc=Ac.依題意,有|AB|十|bC|=800+800=1600(km).又a=35°,3=55°,/ABC=35°+55°=90°.所以|AC|=|AB|2+|Bc|2=8002+8002=800V2(km).其中/BAC=45°,所以方向?yàn)楸逼珫|35°+45°=80°.從而飛機(jī)飛行的路程是1600km,兩次飛行的位移和的大小為80042km,方向?yàn)楸逼珫|80°.跟蹤練習(xí)3如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子A

12、B上，/ACW=150°,/BCW=120°,求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì)).解析如圖，設(shè)CE、送分別表示A,B所受的力，10N的重力用CG表示，則CE+CF=（5g.易得/ECG=180°150=30°,/FCG=180-120°=60°,|CE|=|cG|cos30=10X當(dāng)=55二一一c一1_|CF|=|CG|cos60=10x5=5.，A處所受的力的大小為5/3N,B處所受的力的大小為5N.用平行四邊形法則作平行向量的和典例4如圖，已知平行向量a,b,求作a+b.錯(cuò)解作OA=a,OB=b,則AB=a+b就是求作的

13、向量.辨析由于a/b,所以不適合用平行四邊形法則，應(yīng)該用三角形法則.正解作OA=a,AB=b,則麗=a+b就是求作的向量.點(diǎn)評(píng)1.當(dāng)a與b同向共線時(shí)，a+b與a,b同向，且|a+b|=|a|+|b|.2.當(dāng)a與b反向共線時(shí)，若|a|>|b|,則a+b與a的方向相同，且|a+b|=|a|b|;若|a|<|b|,則a+b與b的方向相同，且|a+b|=|b|a|;若|a|=|b|,則a+b=0.跟蹤練習(xí)4已知向量a/b,且|a|>|b|>0,則向量a+b的方向（A）A.與向量a的方向相同B.與向量a的方向相反C.與向量b的方向相同D.不確定1.設(shè)a表示“向東走5km”,b表示

14、"向南走5km”,則a+b表示（A.向東走10kmC.向東南走10km解析如圖所示，B.向南走10kmD.向東南走5>/2kmAC=a+b,|AB|=5,|BC|=5,且ABLBC,則尺|=5&，ZBAC=45.2 .若0、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式成立的是（B）a.ef=6f+6eB.EF+OE=OFc.ef=fo+6eD.EF=FO+EO解析可以畫(huà)出圖形，用三角形法則找出正確答案.3 .向量依3+1/18）+90+86+0|/|化簡(jiǎn)結(jié)果為（C）B.ABA.BCC.ACD.AM解析原式=+l+OM=+OM+MC=AM+MC=AC.4 .已知P為ABC所在平面

15、內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)該+用=吃成立時(shí)，點(diǎn)P位于（D）A.ABC的AB邊上B.ABC的BC邊上C.ABC的內(nèi)部D.ABC的外部解析如圖力+m=無(wú)，則P在4ABC的外部.5.在平行四邊形ABCD中，。是對(duì)角線的交點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（C）A.AB=CD,BC=ADB.AD+OD=DAC.AO+OD=AC+CDD.AB+BC+CD=DA解析因?yàn)榫郑?（5b=Ab,ac+cd=ad,所以a6+（5£）=A&+5b.回作殳學(xué)案KESHTUOTE-XUE»AN、選擇題1.下列等式中不正確的是（C）A.a+0=aA級(jí)基礎(chǔ)鞏固B.a+b=b+af.riL.-LC.|a+b|=|a|+|b|D

16、,AC=DC+AB+BD解析當(dāng)a與b方向不同時(shí)，|a+b|w|a|+|b|.2.在ABC中，AB=a,BC=b,則a+b等于（D）A.CAB.BCC.ABD.AC,.解析ab+bc=ac.3. a、b為非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,則（A）A. a/b,且a與b方向相同B. a、b是共線向量C. a=bD. a、b無(wú)論什么關(guān)系均可解析當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b不共線時(shí)，a+b的方向與a、b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|;向量a與b同向時(shí)，a+b的方向與a、b的方向者B相同，且|a+b|=|a|+|b|;向量a與b反向且|a|<|b|時(shí)，a+b的方向與b的方向相同（

17、與a方向相反），且|a+b|=|b|a|.4.如圖，正六邊ABCDEF中,三。_BA+CD+FE=(BA.0C.ADB.BED.CF解析連結(jié)CF,取CF中點(diǎn)O,連結(jié)OE,CE.則BA+CD+FE=(BA+AF)+FE=BE.5 .在ABC中，|Xl|=|/|=|A&+無(wú)I,則ABC是（B）A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形解析AB+BC=AC,則岫|=前|=|就則ABC是等邊三角形.6 .設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+BA=2BP,則（C）A.R+PB=0B.PB+PC=OC.PC+PA=0D.R+PB+PC=O解析.BC+BA=2BP,由平行四邊形法則

18、，點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，.比十瓦=0.故選C.二、填空題7.化簡(jiǎn)下列各式:(1)AB+BC+CA=(2)OA+OC+BO+CO=BA（3）化簡(jiǎn)（m+誦）+（羨）+轉(zhuǎn)）+加=靠解析（1）加+元+&=此+0=0;(2)OA+6c+BO+cb=(cb+6A)+(BO+OC)=CA+BC=BA.(3)AC.8.如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD/BC,則&十余+苑=施解析OA+BC+AB=OA+AB+BC=OC.、解答題9.如圖所示，求:(1)a+d;(2)c+b;(3)e+c+b;(4)c+f+b._>.Tt解析(1)a+d=d+a=DO+OA=DA;(2)c+b=CO+OB

19、=CB(3)e+c+b=e+(c+b)=e+CB=DC+CB=DB;(4)c+f+b=CO+,OB+BA=CA.10.如圖，點(diǎn)D,E,F分別為ABC的三邊AB,BC,CA的中點(diǎn).求證:cfL(1)AB+BE=AC+CE;(2)EA+FB+DC=0.證明(1)由向量加法的三角形法則,-三工.AB+BE=AE,AC+CE=AE,工3.AB+BE=AC+CE.(2)由向量加法的平行四邊形法則，EA=EF+ED,FB=FE+FD,DC=DF+DE,.EA+FB+DC=EF+ED+FE+FD+DF+DE=(EF+FE)+(ED+DE)+(FD+DF)=0+0+0=0.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題一，一，7，一

20、，一一一1 .已知|AB|=10,|AC|=7,則|BC|的取值范圍是(A)A.3,17B.(3,17)AB與AC共線C.(3,10)D.3,10解析利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)及時(shí)的情況求解.rtrr,f即|AB|AC|W|BC|W|AC|+|AB|,故3<|BC|<17.2 .向量a、b均為非零向量，下列說(shuō)法中不正確的是（B）A.向量a與b反向，且|a|>|b|,則向量a+b與a的方向相同B.向量a與b反向，且|a|<|b|,則向量a+b與a的方向相同C.向量a與b同向，則向量a+b與a的方向相同D,向量a與b同向，則向量a+b與b的方向相

21、同解析當(dāng)a與b反向，且|a|<|b|時(shí)，向量a+b與b的方向相同.L二一，一，一一一,3 .設(shè)a=（AB+CD）+（BC+DA）,b是任一非零向量，則在下列結(jié)論中，正確的為（C）a/ba+b=aa+b=b|a+b|<|a|+|b|a+b|=|a|+|b|a+b|>|a|十|b|B.D.A.C.,.一L解析a=(AB+CD)+(BC+DA),.=AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD+DA=0,，均正確.4 .若M為4ABC的重心，則下列各向量中與AB共線的是（C）A. AB+BC+ACB.AM+MB+BCC. AM+bMi+CMiD. 3aM|+AC解析由三角形重心性質(zhì)得二、填空題一一.AM+BM+CM=0.5.某人在靜水中游泳，速度為水