第7章方差分析

1、第七章第七章方方 差差 分分 析析 林愛華林愛華2012-12-11問題的提出問題的提出 ： 比較兩個均數(shù)比較兩個均數(shù) - t檢驗或檢驗或u檢驗檢驗 多個均數(shù)？多個均數(shù)？-方差分析方差分析 (analysis of variance，ANOVA)問題：問題：多個均數(shù)比較時能多個均數(shù)比較時能否直接兩兩之間作否直接兩兩之間作t 檢驗？檢驗？以五個樣本均數(shù)的比較為例：以五個樣本均數(shù)的比較為例： 進行進行t 檢驗時，檢驗時，=0.05，則，則5個均數(shù)的個均數(shù)的兩兩比較將進行兩兩比較將進行10次，這時，次，這時，10次比較都次比較都不犯（不犯（類）錯誤的概率為：類）錯誤的概率為： 0.9510=0.59

2、9，有（，有（類）錯誤發(fā)生的類）錯誤發(fā)生的概率則為概率則為1-0.599=0.401。 遠大于設(shè)定的檢驗水準(zhǔn)（遠大于設(shè)定的檢驗水準(zhǔn)（=0.05）!方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）能用于兩個或兩個以上樣本均數(shù)的比較，還能用于兩個或兩個以上樣本均數(shù)的比較，還可分析兩個或多個研究因素的交互作用以及可分析兩個或多個研究因素的交互作用以及回歸方程的線性假設(shè)檢驗等?；貧w方程的線性假設(shè)檢驗等。 本章講解的主要內(nèi)容：本章講解的主要內(nèi)容：1、方差分析的基本思想、方差分析的基本思想2、完全隨機設(shè)計資料的方差分析、完全隨機設(shè)計資料的方差分析4、多個樣本均數(shù)的兩兩比較、多個樣本

3、均數(shù)的兩兩比較5、方差分析的前提條件和數(shù)據(jù)變換、方差分析的前提條件和數(shù)據(jù)變換3. 隨機區(qū)組設(shè)計資料的方差分析隨機區(qū)組設(shè)計資料的方差分析 一、方差分析的基本思想一、方差分析的基本思想 無論是單因素方差分析、兩因素方差分析無論是單因素方差分析、兩因素方差分析還是多因素方差分析它們基本思想是一致的。還是多因素方差分析它們基本思想是一致的。 下面結(jié)合單個處理因素的完全隨機設(shè)計的下面結(jié)合單個處理因素的完全隨機設(shè)計的例題介紹方差分析的基本思想。例題介紹方差分析的基本思想。 方差分析的基本思想：方差分析的基本思想：把全部觀察值間的把全部觀察值間的變異變異 總變異按設(shè)計和需要分解成兩個或總變異按設(shè)計和需要分解

4、成兩個或多個組成部分，再作分析。多個組成部分，再作分析。 以完全隨機設(shè)計為例：以完全隨機設(shè)計為例： 方差分析的基本思想是首先將方差分析的基本思想是首先將總變異分解總變異分解為為組間組間(處理處理)變異和變異和組內(nèi)組內(nèi)(誤差誤差)變異變異，然后，然后比較平均變異比較平均變異MS組間組間和和MS組內(nèi)組內(nèi)，比較時采用，比較時采用兩者的比值兩者的比值F值，即：值，即：組內(nèi)組內(nèi)組間組間MSMSF 例例7-1 為研究鈣離子對體重的影響作用，某研為研究鈣離子對體重的影響作用，某研究者將究者將36只肥胖模型大白鼠只肥胖模型大白鼠隨機等分為隨機等分為三組三組，每組每組12只，分別給予高脂正常劑量鈣只，分別給予高

5、脂正常劑量鈣(0.5%)、高脂中劑量鈣高脂中劑量鈣(1.0%)和高脂高劑量鈣和高脂高劑量鈣(1.5%)三種不同的飼料，喂養(yǎng)三種不同的飼料，喂養(yǎng)9周，測其周，測其喂養(yǎng)前后體喂養(yǎng)前后體重的差值重的差值。問三種組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠。問三種組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變是否不同？體重改變是否不同？表表7-1 三種不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重喂養(yǎng)前后差值三種不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重喂養(yǎng)前后差值(g)圖圖7-1 例例7-1大白鼠體重差值變異分解示意圖大白鼠體重差值變異分解示意圖總變異：總變異：2()ijijSSXX總1N總組內(nèi)變異：組內(nèi)變異： 完全是各組內(nèi)個體間的差異，體現(xiàn)為完全是各組內(nèi)個體間的差異，體現(xiàn)為

6、每組的原始數(shù)據(jù)與該組均數(shù)的差異，因此每組的原始數(shù)據(jù)與該組均數(shù)的差異，因此可以認為是隨機誤差，又稱可以認為是隨機誤差，又稱誤差變異誤差變異。22()(1) ijiiiijiSSXXnS組內(nèi)MSSS組內(nèi)組內(nèi)組內(nèi)2Nk組內(nèi)組間變異：組間變異： 反映各組間均數(shù)的差異，即各組間均反映各組間均數(shù)的差異，即各組間均數(shù)與總的均數(shù)的差異，該變異數(shù)與總的均數(shù)的差異，該變異除隨機誤差除隨機誤差外，有可能存在處理因素的作用外，有可能存在處理因素的作用。 2() iiiSSn XX組間MSSS組間組間組間11 k 組組間間方差分析的基本思想：方差分析的基本思想：012kH：1H：至少有兩個總體均數(shù)不相等至少有兩個總體均

7、數(shù)不相等 在本例中，若三組飼料的處理效應(yīng)相同，則組間在本例中，若三組飼料的處理效應(yīng)相同，則組間變異應(yīng)與組內(nèi)變異一樣，只反映隨機誤差的作用大小。變異應(yīng)與組內(nèi)變異一樣，只反映隨機誤差的作用大小。 MSFMS組間組內(nèi) 如果三個總體均數(shù)相等，如果三個總體均數(shù)相等，F(xiàn) 的數(shù)值的數(shù)值不會太大。相反，如果的數(shù)值過大，不會太大。相反，如果的數(shù)值過大，“三個總體均數(shù)相等三個總體均數(shù)相等”這個前提就值這個前提就值得懷疑了。得懷疑了。 總離均差平方和分解為組間離均差平方總離均差平方和分解為組間離均差平方和組內(nèi)離均差平方和和組內(nèi)離均差平方和。 = + 相應(yīng)的總自由度分解為組間自由度和組內(nèi)相應(yīng)的總自由度分解為組間自由度

8、和組內(nèi)自由度，即：自由度，即：總ss組間SS組內(nèi)SS組內(nèi)組間總結(jié)合本例，將計算結(jié)果整理成如下的方差分析表。結(jié)合本例，將計算結(jié)果整理成如下的方差分析表。表表7-3 例例7-1資料的方差分析表資料的方差分析表二、完全隨機設(shè)計資料的方差分析二、完全隨機設(shè)計資料的方差分析v完全隨機設(shè)計完全隨機設(shè)計 (completely randomized design)：是將同質(zhì)的受試對象隨機地分配是將同質(zhì)的受試對象隨機地分配到各處理組，再觀察其實驗效應(yīng)。到各處理組，再觀察其實驗效應(yīng)。v完全隨機設(shè)計是最常見的研究單因素兩水完全隨機設(shè)計是最常見的研究單因素兩水平或多水平的實驗設(shè)計方法，屬平或多水平的實驗設(shè)計方法，屬

9、單向方差單向方差分析分析(one-way ANOVA)。 完全隨機設(shè)計資料的方差分析的一般步驟：完全隨機設(shè)計資料的方差分析的一般步驟：以例以例7-1為例：為例：(1) 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) 0H ：三組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變的總體平均水平相同1H ：三組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變的總體平均水平不全相同0.05(2) 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量(3) 確定確定P值并作出推斷結(jié)論值并作出推斷結(jié)論 查附表查附表3-1，得，得 。由由F = 31.36 知知P 0.01。按。按 = 0.05水準(zhǔn)，差別有水準(zhǔn)，差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可以認為三組不同喂養(yǎng)方式下大白統(tǒng)計

10、學(xué)意義，可以認為三組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變的總體平均水平不全相同，即三個總鼠體重改變的總體平均水平不全相同，即三個總體均數(shù)中至少有兩個不等。體均數(shù)中至少有兩個不等。 0.05(2,32)0.01(2,32)3.29, 5.34FF三、隨機區(qū)組設(shè)計資料的方差分析三、隨機區(qū)組設(shè)計資料的方差分析v隨機區(qū)組設(shè)計隨機區(qū)組設(shè)計(randomized block design)又稱又稱配伍組設(shè)計配伍組設(shè)計，通常是將受試對象按性質(zhì)，通常是將受試對象按性質(zhì)(如動如動物的窩別、體重等非實驗因素物的窩別、體重等非實驗因素)相同或相近者相同或相近者組成組成b個區(qū)組個區(qū)組(配伍組配伍組)，每個區(qū)組中的受試對，每個

11、區(qū)組中的受試對象分別隨機分配到象分別隨機分配到k個處理組中去。個處理組中去。 例例7-2 為探索丹參對肢體缺血再灌注損傷的影響，為探索丹參對肢體缺血再灌注損傷的影響，將將30只只純種新西蘭實驗用大白兔，按窩別相同分為純種新西蘭實驗用大白兔，按窩別相同分為10個區(qū)組個區(qū)組。每個區(qū)組的。每個區(qū)組的3只大白兔隨機接受只大白兔隨機接受三種不三種不同的處理同的處理，即在松止血帶前分別給予丹參，即在松止血帶前分別給予丹參2ml/kg、丹參丹參1ml/kg、生理鹽水、生理鹽水2ml/kg，并分別測定松止血，并分別測定松止血帶前及松后帶前及松后1小時后小時后血中白蛋白含量血中白蛋白含量(g/L)，算出白，算出

12、白蛋白的減少量如表蛋白的減少量如表8-4所示。問三種處理效果是否所示。問三種處理效果是否不同？不同？表表7-4 三種方案處理后大白兔血中白蛋白減少量三種方案處理后大白兔血中白蛋白減少量(g/L) 隨機區(qū)組設(shè)計方差分析的總變異可以分為隨機區(qū)組設(shè)計方差分析的總變異可以分為處理的變異處理的變異、區(qū)組的變異區(qū)組的變異和和誤差誤差三部分。三部分。 SSSSSSSS處理總區(qū)組誤差處理總區(qū)組誤差 隨機區(qū)組設(shè)計資料方差分析的基本步驟：隨機區(qū)組設(shè)計資料方差分析的基本步驟：(1) 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) 對于處理組：對于處理組：對于區(qū)組：對于區(qū)組：0H ：三個處理組總體均數(shù)相等1H：

13、三個處理組總體均數(shù)不全相等0H ：十個區(qū)組總體均數(shù)相等1H：十個區(qū)組總體均數(shù)不全相等0.050.05(2) 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量(3) 確定確定P值并作出推斷結(jié)論值并作出推斷結(jié)論 計算出處理和區(qū)組的計算出處理和區(qū)組的F值，并根據(jù)相應(yīng)的自由值，并根據(jù)相應(yīng)的自由度查度查F界值表得出界值表得出P值。對于處理組，值。對于處理組，P 0.05，不能拒絕，不能拒絕 ，即尚不能，即尚不能認為十個區(qū)組的總體均數(shù)不同。認為十個區(qū)組的總體均數(shù)不同。 0H0H (1) 在研究設(shè)計階段未預(yù)先考慮或預(yù)料到，經(jīng)假設(shè)在研究設(shè)計階段未預(yù)先考慮或預(yù)料到，經(jīng)假設(shè)檢驗得出多個總體均數(shù)不全等的提示后，才決定檢驗得出多個總體均

14、數(shù)不全等的提示后，才決定進行多個均數(shù)的兩兩事后比較。這類情況常用于進行多個均數(shù)的兩兩事后比較。這類情況常用于探索性研究探索性研究，往往涉及到每兩個均數(shù)的比較，可，往往涉及到每兩個均數(shù)的比較，可采用采用SNK(Students-Newman-Keuls) 法、法、Bonferroni 法、法、idk 法等。法等。四、多個樣本均數(shù)的兩兩比較四、多個樣本均數(shù)的兩兩比較 (2) 在設(shè)計階段就根據(jù)研究目的或?qū)I(yè)知識而計劃在設(shè)計階段就根據(jù)研究目的或?qū)I(yè)知識而計劃好的某些均數(shù)間的兩兩比較。好的某些均數(shù)間的兩兩比較。 它常用于事先有明確假設(shè)的它常用于事先有明確假設(shè)的證實性研究證實性研究，如多個，如多個處理組與

15、對照組的比較，某一對或某幾對在專業(yè)上處理組與對照組的比較，某一對或某幾對在專業(yè)上有特殊意義的均數(shù)間的比較等，可采用有特殊意義的均數(shù)間的比較等，可采用Dunnett 檢檢驗、驗、LSD-t檢驗檢驗 (Fishers least significant test)，也，也可用可用Bonferroni 法、法、idk 法。法。SNK法法： 屬于多重極差檢驗，用于每兩個均數(shù)間的屬于多重極差檢驗，用于每兩個均數(shù)間的比較。比較。Bonferroni法法 ：若每次檢驗水準(zhǔn)為：若每次檢驗水準(zhǔn)為 ，共進行，共進行m次比次比較，當(dāng)較，當(dāng) 為真時，犯第一類錯誤的累積概率不超為真時，犯第一類錯誤的累積概率不超過過 。

16、此方法較為保守，檢驗功效低于。此方法較為保守，檢驗功效低于SNK法。法。 0HmDunnett法法：又稱：又稱Dunnett t 檢驗，適用于檢驗，適用于k1個實驗個實驗組與對照組均數(shù)的比較。組與對照組均數(shù)的比較。 1. SNK法法(又稱又稱q檢驗檢驗)例例7-3 請對例請對例7-1資料喂養(yǎng)資料喂養(yǎng)9周后體重差值的三周后體重差值的三組總體均數(shù)進行兩兩比較。組總體均數(shù)進行兩兩比較。(1)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0 ： A B ,即兩對比組的總體均數(shù)相等。即兩對比組的總體均數(shù)相等。 H1 ： A B ,即兩對比組的總體均數(shù)不等。即兩對比組的總體均數(shù)不等。 =0.05

17、（2）計算檢驗統(tǒng)計量）計算檢驗統(tǒng)計量：首先將三個樣本均數(shù)由：首先將三個樣本均數(shù)由大到小排列，并編組次：大到小排列，并編組次：組別組別正常鈣組正常鈣組中劑量鈣中劑量鈣高劑量鈣高劑量鈣293.37239.49224.78組次組次123iX誤差誤差，vvnnMSXXqBABA112表表 7-12 例例7-1資料的資料的 SNK 檢驗計算表檢驗計算表對比組對比組A 與與 B（1）兩均數(shù)之差兩均數(shù)之差（2）兩均數(shù)之兩均數(shù)之差標(biāo)準(zhǔn)誤差差標(biāo)準(zhǔn)誤差 （3）q對比組內(nèi)對比組內(nèi)包含組數(shù)包含組數(shù)aq 的臨界值的臨界值P0.050.011 與與 368.599.127.5233.494.450.011 與與 253.

18、879.125.9122.893.890.012 與與 314.719.121.6122.893.890.05BAXXBAXXS 324 (3) 確定確定P 值并作出推斷結(jié)論：值并作出推斷結(jié)論： 以計算以計算MS組內(nèi)組內(nèi)即即MS誤差誤差 的的自由度自由度 v組內(nèi)組內(nèi) =33（本例?。ū纠?0）和對比組內(nèi)包含組數(shù)和對比組內(nèi)包含組數(shù) a 查附錄三附表查附錄三附表4的的 q 界值界值表得表得q(0.05,30)和和q(0.01,30)的界值的界值如上表所示。如上表所示。 按按 = 0.05水準(zhǔn)，組次水準(zhǔn)，組次 2 與與 3（即中劑量鈣（即中劑量鈣 1.0%與高劑量鈣與高劑量鈣 1.5%）不拒絕）不

19、拒絕 H0，差別無統(tǒng)計，差別無統(tǒng)計學(xué)意義，還不能認為兩種劑量鈣喂養(yǎng)學(xué)意義，還不能認為兩種劑量鈣喂養(yǎng)9周前后體重周前后體重差值不同。差值不同。其他兩兩組間其他兩兩組間均拒絕均拒絕 H0，差別有統(tǒng)計，差別有統(tǒng)計學(xué)意義，學(xué)意義，中、高中、高劑量鈣劑量鈣與正常鈣與正常鈣喂養(yǎng)喂養(yǎng)9周前后體重周前后體重差值不同。差值不同。 2. Dunnett 法（又稱法（又稱 Dunnett-t 檢驗）檢驗）例例7-4 對例對例7-2資料，問兩種不同劑量丹參濃度分資料，問兩種不同劑量丹參濃度分別與生理鹽水對照組比較其總體均數(shù)是否不同？別與生理鹽水對照組比較其總體均數(shù)是否不同？(1)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)建立檢驗假設(shè)

20、，確定檢驗水準(zhǔn) H0 ： T C ,即即試驗組與對照組試驗組與對照組的總體均數(shù)相等。的總體均數(shù)相等。 H1 ： T C ,即即試驗組與對照組試驗組與對照組的總體均數(shù)不等。的總體均數(shù)不等。 =0.05（2）計算檢驗統(tǒng)計量）計算檢驗統(tǒng)計量誤誤差差誤誤差差，vvnnMSXXSXXqCTCTXXCTCT 11表表 7-11 例例7-2資料的資料的Dunnett-t 檢驗計算表檢驗計算表對比組對比組T與與C（1）兩均數(shù)之差兩均數(shù)之差（2）的臨界值的臨界值P0.050.01A與與C-1.5900 -7.760 2.40 3.170.01B與與C-1.1940 -5.827 2.40 3.170.01CTX

21、X 2049023. q q 204901011012099011.)(.nnMScT ）（誤差誤差(3) 確定確定P值并作出推斷結(jié)論：值并作出推斷結(jié)論： 根據(jù)自由度根據(jù)自由度v誤差誤差 =18，試驗組數(shù)，試驗組數(shù)a = k-1=2(不含對不含對照組照組）查附錄三附表）查附錄三附表5-2得界值。得界值。 按按 =0.05水準(zhǔn)，水準(zhǔn)，丹參丹參2ml/kg 與生理鹽水組、丹與生理鹽水組、丹參參1ml/kg與生理鹽水組均拒絕與生理鹽水組均拒絕H H0 0 ， 差別有統(tǒng)計學(xué)意差別有統(tǒng)計學(xué)意義，可以認為兩組試驗組與對照組相比較大白兔血義，可以認為兩組試驗組與對照組相比較大白兔血中白蛋白的減少量不同。中白

22、蛋白的減少量不同。Bonferroni 法法 例例7-5 對例對例7-1資料，使用資料，使用Bonferroni法對分別給予法對分別給予組組1(高脂正常劑量鈣高脂正常劑量鈣0.5%)、組、組2(高脂中劑量鈣高脂中劑量鈣1.0%)和組和組3(高脂高劑量鈣高脂高劑量鈣1.5%)三種不同的飼料，喂養(yǎng)三種不同的飼料，喂養(yǎng)9周周后體重差值的三組總體均數(shù)進行兩兩比較。后體重差值的三組總體均數(shù)進行兩兩比較。(1)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) H0 ： A B,即兩對比組的總體均數(shù)相等。即兩對比組的總體均數(shù)相等。 H1 ： A B,即兩對比組的總體均數(shù)不等。即兩對比組的總體均數(shù)不等。0

23、1670133050212.)(.)k(km （2）計算檢驗統(tǒng)計量）計算檢驗統(tǒng)計量誤誤差差誤誤差差，vvnnMSXXSXXtBABAXXBABA 11對比組對比組A與與B(1)兩均數(shù)之兩均數(shù)之差差(2)標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤(3)(4)(5)1與與253.8739.11955.907.00011與與368.5879.11957.521.00012與與314.7139.11951.6130.1163ABXXABXXStP表表7-11 例例7-1資料的資料的Bonferroni法計算表法計算表(3) 確定確定P值并作出推斷結(jié)論：值并作出推斷結(jié)論： 按照按照 的水準(zhǔn)，組的水準(zhǔn)，組2與組與組3差別無統(tǒng)計學(xué)意差別

24、無統(tǒng)計學(xué)意義，其他兩兩組間差別有統(tǒng)計學(xué)意義。義，其他兩兩組間差別有統(tǒng)計學(xué)意義。 01670. 從理論上講，進行方差分析的數(shù)據(jù)應(yīng)滿足從理論上講，進行方差分析的數(shù)據(jù)應(yīng)滿足如下兩個基本假設(shè)：如下兩個基本假設(shè)： (1) 各樣本是相互獨立的隨機樣本，均服從各樣本是相互獨立的隨機樣本，均服從正態(tài)分布；正態(tài)分布； (2) 各樣本的總體方差相等，即方差齊性。各樣本的總體方差相等，即方差齊性。 方差分析的前提條件方差分析的前提條件方差齊性檢驗的主要方法：方差齊性檢驗的主要方法： Bartlett 檢驗：資料檢驗：資料服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布的多個的多個總體方差齊性檢驗的方法總體方差齊性檢驗的方法 2 Leven

25、e檢驗檢驗：資料是：資料是任意分布時任意分布時的方差齊的方差齊性檢驗法，既可用于檢驗性檢驗法，既可用于檢驗兩總體兩總體方差齊性，方差齊性，也可用于檢驗也可用于檢驗多個總體多個總體的方差齊性。的方差齊性。 方差齊性檢驗的基本步驟：方差齊性檢驗的基本步驟：(1) 建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn) 0.102220123H：，即三個總體方差全相等1H：三個總體方差不全相等(2) 計算檢驗統(tǒng)計量計算檢驗統(tǒng)計量 Bartlett 檢驗檢驗 值值 Levene檢驗檢驗 F 值值22(3) 確定確定P值并作出推斷結(jié)論值并作出推斷結(jié)論考察前提條件的殘差圖法考察前提條件的殘差圖法 殘差的計算

26、公式：殘差的計算公式：ijijieXXijijijeXXXX完全隨機設(shè)計資料：完全隨機設(shè)計資料： 隨機區(qū)組設(shè)計資料隨機區(qū)組設(shè)計資料 ：數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換 對于一些明顯偏離正態(tài)性和方差齊性條件的對于一些明顯偏離正態(tài)性和方差齊性條件的資料，可以通過某種形式的數(shù)據(jù)變換使之滿足方資料，可以通過某種形式的數(shù)據(jù)變換使之滿足方差分析、差分析、t 檢驗或其它統(tǒng)計方法對資料的要求。檢驗或其它統(tǒng)計方法對資料的要求。 所謂所謂數(shù)據(jù)變換數(shù)據(jù)變換(data transformations)，即對，即對原始數(shù)據(jù)作某種函數(shù)變換，它雖然改變了資料分原始數(shù)據(jù)作某種函數(shù)變換，它雖然改變了資料分布的形式，但未改變各組資料間的關(guān)系，其

27、缺點布的形式，但未改變各組資料間的關(guān)系，其缺點是分析結(jié)果的解釋欠直觀。是分析結(jié)果的解釋欠直觀。 常用的數(shù)據(jù)變換方法有：常用的數(shù)據(jù)變換方法有：1) 對數(shù)變換對數(shù)變換(logarithmic transformation) ：將原：將原始數(shù)據(jù)取自然對數(shù)或常用對數(shù)。其變換公式為始數(shù)據(jù)取自然對數(shù)或常用對數(shù)。其變換公式為 為零或正數(shù)。為零或正數(shù)。該變換該變換適用適用于：于：(1)對數(shù)正態(tài)分布資料對數(shù)正態(tài)分布資料，如抗體滴度資料，疾病，如抗體滴度資料，疾病潛伏期，食品、蔬菜、水果中農(nóng)藥的殘留量等。潛伏期，食品、蔬菜、水果中農(nóng)藥的殘留量等。(2)標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)成比例標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)成比例，或，或變異系數(shù)接近甚至變異系數(shù)接近甚至等于某一常數(shù)等于某一常數(shù)的資料。的資料。)ln(aXX a 2) 平方根變換平方根變換(square root transformation) ： 將原始數(shù)據(jù)開算術(shù)平方根。將原始數(shù)據(jù)開算術(shù)平方根。 其變換公式為：其變換公式為： 或或 該變換適用于該變換適用于方差與均數(shù)成比例方差與均數(shù)成比例的資料，的資料，如如服從服從Poisson分布的資料分布的資料。XX0.5XX 3) 平方根反正弦變換平方根反正弦變換(arcsine square root tra