現(xiàn)代心理與教育統(tǒng)計學的復習重點

1、一二章、緒論現(xiàn)代統(tǒng)計學之父：皮爾遜描述統(tǒng)計與推斷統(tǒng)計描述統(tǒng)計主要研究如何整理、描述數(shù)據(jù)的特征。推斷統(tǒng)計主要研究如何通過局部數(shù)據(jù)所提供的信息推論總體特征。變量類型定類變量：如，性別、學號、顏色類別、教學方法 。特征：沒有絕對零點，沒有測量單位。變量值之間有“相等”和“不等”的關系, 但沒有大小之分，不能比較大小，更不能進行加、減、乘、除四則運算。定序變量：程度、等級和水平。如，比賽名次、品質(zhì)等級、喜愛程度特征：既無零點、又無測量單位。變量的值之間具有“等于”或“不等于”關系、 序關系（優(yōu)于、先于、劣于、后于等），四則運算沒有意義。定比變量：除了可以說出名稱和排出大小，還能算出差異大小量的變量。如

2、溫度、測驗成績、智商。特征：有相等的測量單位，無絕對零點?？荚嚦煽?yōu)榱悴槐硎緵]有一點知識?？?進行加減運算，乘除運算則無意義。定距變量：如身高、重量、學生人數(shù)。既有測量單位，又有絕對零點，可進行計 算。降低偏差：利用隨機抽樣降低變異性：用大一點的樣本三、描述統(tǒng)計一、頻數(shù)：某一事件在某一類別中出現(xiàn)的次數(shù)。頻數(shù)分布類型：正態(tài)，正（負）偏態(tài)，正（反） J形，U形分布。分布性質(zhì);集中（分散）程度，偏度和峰度不同。偏態(tài)系數(shù)：數(shù)據(jù)的對稱性峰態(tài)系數(shù)：數(shù)據(jù)的峰度二、集中量數(shù)：包括算術平均數(shù)M、中位數(shù)Md、眾數(shù)M。（用眾數(shù)代表一組數(shù)據(jù)，可靠性較差，不過，眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，并且求法簡便）、加權平均數(shù)MW、幾

3、何平均數(shù)Mg、調(diào)和平均數(shù)Mh。組數(shù)據(jù)中有少數(shù)數(shù)據(jù)偏大或偏小，數(shù)據(jù)的分布呈偏態(tài)時，應用幾何平均數(shù)。算數(shù)平均數(shù)的性質(zhì)（算法必須會）：（1）每一個變量加減或乘除一個數(shù)之后，均值也相應增加。（2）變量值與均值的離均差之和為零。（3）變量值與均值的離均差平方和為最小值。三、離散量數(shù)：全距R、四分位差Q、平均差A.D、方差（樣本統(tǒng)計量S2,總體參數(shù)2 ）、標準差（s或者SD）、百分位差全距：全部數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差，描述了數(shù)據(jù)分布的范圍。四分位差（Q）:樣本中間50%的人的全距的一半。是一個距離，Q越大，表示 樣本中各樣品越不整齊平均差：全部數(shù)據(jù)與均值絕對離均差的均值。方差：各個數(shù)據(jù)偏離中心的程度。

4、方差越大，數(shù)據(jù)波動越大。 標準差：方差的算術平方根。自由度：自由度是指當以樣本的統(tǒng)計量來估計總體的參數(shù)時，樣本中獨立或能自由變化的數(shù)據(jù)的個數(shù)。標準分數(shù)：以標準差為單位表示一個原始分數(shù)在團體中所處的相對位置，即原始分數(shù)在均值以上或以下幾個標準差的位置。性質(zhì)：標準分數(shù)的均值為0，標準差為1。沒有實際單位。 應用：（1） 、比較不同性質(zhì)的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低。如身高與體重。（2）計算不同質(zhì)的觀測值的總和或者均值，以表示在團體中的相對位置。如高 考的標準分。（3）做線性轉(zhuǎn)換后，表示標準測驗分數(shù)。如 IQ。圖表條形圖，用于定性數(shù)據(jù)。 直方圖與多邊圖：用于定量數(shù)據(jù) 時序圖：反映事物變化趨勢

5、 餅圖：定性數(shù)據(jù)的多少或構成比例 散點圖：兩個變量的變化關系和變化方向。 莖葉圖：保留小樣本連續(xù)變量的原貌。 三線表的組成要素包括：表序、表題、項目欄、表體、表注 五、隨機變量分布正態(tài)分布 X 樣本均值的分布 正態(tài)分布曲線下的面積：曲線高度是頻數(shù)（丫），曲線下面積則是累積頻數(shù)P （也 視作隨機變量出現(xiàn)的概率）。X軸上的截距為Z。其中，卩決定曲線的位置，C決定曲線的“胖瘦” 無論各分布的均值與標準差的值是多少，x取值以下特定區(qū)域的概率(面積)是確 定的，即：正負一個標準差，占68.27%，兩個95.45%，三個99.73%標準正態(tài)分布：均值為0，標準差為1.總體服從正態(tài)分布N (卩，二2 )時，

6、來自該總體的所有容量為 n的樣本的均值_ 2X也服從山念分仆 X的期望為卩，方差為(T 2/n即 XN(卩n平均數(shù)的標準誤二乂CJ,N標準誤衡量了抽樣誤差(sampling error)的大小。所謂抽樣誤差是指由抽樣引 起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)間的差異。標準誤越小，統(tǒng)計量與參數(shù)越接近，樣本對總體越有代表性，用統(tǒng)計量推斷 參數(shù)的可靠度越大，所以，標準誤是推斷統(tǒng)計可靠性的重要指標?？ǚ椒植迹鹤兞肯嗷オ毩?，且服從N(0,1)分布的隨機變量。稱隨機變量服從自由n度為為n的卡方分布。記做x2二x2(n)，x2x2iS卡方分布：樣本方差的分布(樣本方差的分布)T分布：隨機變量X服從N(0,1)，丫服從x2

7、(n)，且相互獨立，則隨機變量服從自由度為n的t分布,X記做 t t(n).t=Yn來自一個正態(tài)總體：t(X -、 (x -x)2 磯(N1),其中，S='' 丿 S.NN -1來自兩個正態(tài)總體(X1 - X2)-(7 - 2)t NNN1N2Sp其中，SP =(Ni -1)S2 (N2 -1)S2:t(NN2 -2),2Sp為兩樣本的混合標準差。N1 N2 _2T分布的均值為0,方差為n/(n-2).t統(tǒng)計量是參數(shù)估計與假設檢驗的基礎 。特點：當樣本容量趨于:，t分布為正態(tài)分布，方差為1，隨自由度的減少，離散程度(方差)增大，分布中間變低，尾部變高F分布:FF(Ni -1小2

8、 -1)兩樣本方差的比F統(tǒng)計量主要用于方差分析、協(xié)方差分析、回歸分析等。六、參數(shù)估計參數(shù)估計：當在研究中從樣本獲得一組數(shù)據(jù)后， 如何通過這組信息，對總體特征 進行估計，也就是如何從局部結果推論總體的情況， 稱為總體參數(shù)估計?？傮w參 數(shù)估計問題可以分為點估計與區(qū)間估計。點估計：用某一樣本統(tǒng)計量的值來估計相應總體參數(shù)的值。優(yōu)良的估計量具有的性質(zhì)：無偏性、有效性、一致性。區(qū)間估計：按一定概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)值的所在范圍 原理：抽樣分布理論。抽樣分布的標準誤的大小決定置信區(qū)間的長度。置信區(qū)間：指在某一置信度時，總體參數(shù)所在的區(qū)域長度。置信度：是作出某種推斷時正確的可能性(概率)。通常

9、用(1-a)表示。顯著性水平：即a,是指估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間時可能犯錯誤的概率。 兩個要素：可靠性(置信水平的高低)和精確度(區(qū)間長度)。置信水平為95%的置信區(qū)間的確切含義：重復抽樣N次，所得到的N個置信區(qū)間 中有95%個包含了總體參數(shù)。影響區(qū)間估計精確度的因素：(1) 置信度(1- a)(反比)(2) 樣本容量(正比)(3) 總體數(shù)據(jù)的變異程度(反比)0.95的置信區(qū)間：X -1.96個標準誤單總體均值的區(qū)間估計:方差已知，正態(tài)分布;N(0,1)方差未知，t分布兩總體均值差異的區(qū)間估計：T分布。相關樣本與獨立樣本都為 T分布 其中，獨立樣本時用很長很長的那個公式。學習必備歡迎下載總體均

10、值的區(qū)間估計：卡方分布 二 S2 : x2(N -1)七、假設檢驗假設檢驗（顯著性檢驗）：事先對總體參數(shù)或分布形式作出某種假設，然后利用 樣本信息來判斷原假設是否成立。類型：參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗（包括分布檢驗和獨立性檢驗）。假設檢驗的原理：（1）邏輯上為反證法（假設檢驗首先假定虛無假設H。為真，通過否定H。，來檢驗備擇假設出的真實性）（2）統(tǒng)計上為小概率事件（小概率事件在一次實驗或觀測中，幾乎是不可能發(fā)生 的。在一次試驗中小概率事件一旦發(fā)生，我們就有理由拒絕原假設。小概率由 研究者事先確定，如 0.05, 0.01, 0.001等）。假設檢驗的步驟：（1）提出原假設和備擇假設（2）確定適當?shù)臋z

11、驗統(tǒng)計量，檢驗統(tǒng)計量（方差已知）的基本形式為：z（3）規(guī)定顯著性水平（0.05或0.01）（4）計算檢驗統(tǒng)計量的值（5）作出統(tǒng)計決策拒絕域：拒絕原假設的概率。兩類錯誤：拒真錯誤:型錯誤；取偽錯誤1型錯誤。統(tǒng)計效力（統(tǒng)計檢驗力）1- 1 兩類錯誤的關系：（1）不一定等于1.（2）其他條件不變，兩者不能同時增大或者減小。（3）兩者地位不一樣。我們應盡量避免第一類錯誤。（4）影響錯誤的因素有總體標準差（正比）和樣本容量（反比） 單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗 單側(cè)檢驗：強調(diào)方向性。 雙側(cè)檢驗：只強調(diào)差異，不強調(diào)方向性。單總體均值的假設檢驗:X _ LL方差已知，正態(tài)分布；Z=壯N（0,1）。用這個統(tǒng)計公式，然后

12、查表。方差未知，t分布。其中，s- （N：）” N兩總體均值差異的顯著性檢驗：（1）相關樣本，使用t分布統(tǒng)計量（2）獨立樣本，方差已知，使用正態(tài)分布統(tǒng)計量;(X! -X2)-(丄1 - ' '2 )2 2:N1N2（3）獨立樣本，方差未知，但是齊性，使用t分布統(tǒng)計量(Xi X2)-(片一込)|NiN2 spV N N2:t(Ni N2 -2),其中,(Ni1)S2 (2-1)& q汕譏_2總體分布的假設檢驗（屬于非參數(shù)檢驗）：卡方檢驗設有N個被試，按變量X的取值可以分成k類，第i類有Oi個觀測值，則檢驗統(tǒng)計量為:? (Oi -Ei)2yEi2:x (K -1)八、方差分

13、析方差分析的邏輯：把觀察值的總變異分解為兩個或多個部分， 除隨機誤差外，其 余各部分變異可由某個或某幾個因素或它們的交互作用來解釋。 F分布的統(tǒng)計推 斷可闡明某一或某些因素或因素間交互作用是否對觀察值有影響。單因素方差分析的邏輯與步驟：（1）模型與假設（2）平方和的分解與F檢驗（3）關聯(lián)強度與效應值（4）多重比較（5）前提假設方差分析的前提條件：總體服從正態(tài)分布；變異可加性；方差齊性；獨立性。單因素完全隨機設計的方差分析：關聯(lián)強度與效應值：實驗處理引致的效應的大小或者數(shù)據(jù)的變異有多少部分是由實驗處理造成的 關聯(lián)強度：因變量的變異被自變量解釋的百分比。事后比較：F檢驗顯著說明各組均值并不相同（至

14、少兩組不同），但不能回答到底 哪幾組不同。通過對各組均值之間的配對比較來進一步檢驗到底哪些均值之間存 在差異。事后比較的方法：（1） 費舍最小顯著差異法：對檢驗兩總體均值是否相等的t檢驗方法的總體方 差估計加以修正（用MSE代替）。（2）S-N-K，q檢驗：把各組均值排序，用每一比較的兩個均值在排序序列種相 差的等級數(shù)來確定不同的q臨界值。（3）HSD檢驗：與SNK法類似，不同之處在于不論各組均值的大小次序，均 使用同一臨界值。（4）Bonferroni校正（以t分布作為檢驗分布，對檢驗水準進行調(diào)整），不適用于比 較的次數(shù)很多的情況。方差分析結果的解釋與報告 單因素方差分析結果（范例）：方差分

15、析的結果（見表2）顯示，教學方法對閱讀理解的成績有顯著影響，F(xiàn)（2, 15）=4.44, MSE=34.94, p=0.031<0.05, Etap2=0.37。進一步的多重比較顯示， 當使用教學方法2時，被試的成績顯著高于使用方法1（ p=0.015）或方法3時（p=0.030）;但是，方法1和方法3之間則無顯著差異（p=0.737）。雙因素結果方差分析（范例）：標題提示與閱讀速度對成績的影響方差分析的結果顯示，標題提示對成績有顯著影響，F(xiàn)（2,66）=3.856，2MSE=2.475，p=0.026<0.05，Eta p =0.105。事后比較結果顯示，當標題提示為正 確與中性

16、時，成績顯著高于標題提示為誤導時的成績（p<0.05），但前兩者無顯方差分析還顯示，閱讀速度對成績有顯著影響，F(xiàn)（1,66）=21.573, MSE=2.475, p=0.000<0.01，Eta p2 =0.246,閱讀速度為常速時的成績比快速時更高。更重要的是，交互作用顯著，F(xiàn)（2,66）=3.575, MSE=2.475, p=0.034<0.05,Eta p2 =0.098,也就是說，標題提示對成績的影響會隨著閱讀速度的不同而不同。 簡單主效應檢驗顯示，閱讀速度為快速時，標題提示為正確時的成績顯著高于標 題提示為中性（p=0.031）和誤導時（p=0.001）的成績，

17、但后兩者無顯著差異（p=0.247）；而當閱讀速度為常速時，標題提示對成績無顯著影響F（1,66）=1.560,2MSE=2.475, p=0.218, Eta p =0.045。兩因素完全隨機設計的方差分析：適用情形：有2個自變量，自變量A有p個水平，自變量B有q個水平，共有 p*q種處理。比單因素多了一個交互作用的離均差平方和。交互作用：交互作用顯著以后，還要做進一步的簡單主效應的檢驗。多重比較：小結：F檢驗：主效應與交互作用是否顯著。 多重比較：對顯著的主效應進行多重比較。簡單主效應檢驗：檢驗因素 A(B)在B(A)各個水平上的簡單主效應，若顯著，繼 續(xù)就簡單主效應進行多重比較。九、相關

18、相關量數(shù)相關系數(shù)：兩列變量間相關程度的數(shù)字表現(xiàn)形式作為樣本的統(tǒng)計量用r表示，作為總體參數(shù)一般用p表示。 正相關：兩列變量變動方向相同負相關：兩列變量中有一列變量變動時，另一列變量呈現(xiàn)出與前一列變量方向相 反的變動零相關：兩列變量之間沒有關系，各自按照自己的規(guī)律或無規(guī)律變化1 .積差相關也就是Pearson相關。(1)前提 數(shù)據(jù)要成對出現(xiàn)，即若干個體中每個個體都有兩種不同的觀測值，并且每隊數(shù)據(jù)與其它對子相互獨立 兩列變量各自總體的分布都是正態(tài)的，至少接近正態(tài) 兩個相關的變量是連續(xù)變量，也即兩列數(shù)據(jù)都是測量數(shù)據(jù) 兩列變量之間的關系應是直線性的2. 等級相關也就是Spearman相關(1) 適用范圍

19、 當研究考察的變量為順序型數(shù)據(jù)時， 若原始數(shù)據(jù)為等比貨等距，則先轉(zhuǎn)化為順 序型數(shù)據(jù) 當研究考察的變量為非線性數(shù)據(jù)時(2) 公式將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為順序型數(shù)據(jù)，仍然用 Pears on相關公式計算即可。3. 肯德爾等級相關(1) 肯德爾W系數(shù)也叫肯德爾和諧系數(shù)，原始數(shù)據(jù)資料的獲得一般采用等級評定法， 即讓K個被試 對N件實物進行等級評定。其原理是評價者評價的一致性除以最大變異可能性。(2) 肯德爾U系數(shù)#其與肯德爾W系數(shù)所處理的問題相同，但評價者采用對偶比較法，即將N件事物 兩兩配對分別進行比較4. 點二列相關與二列相關(1)點二列相關 適用于一列數(shù)據(jù)為等距正態(tài)變量，另一列為離散型二分變量。是與二分

20、稱名變量的一個值對應的連續(xù)變量的平均數(shù) 是與二分稱名變量的另一個值對應的連續(xù)變量的平均數(shù) p與q是二分稱名變量兩個值各自所占的比率 st是連續(xù)變量的標準差（2）二列相關適用于兩列變量都是正態(tài)等距變量，但其中一列變量被人為地分成兩類 y為標準正態(tài)曲線中p值對應的高度，查正態(tài)分布表能得到相關系數(shù)：度量兩個變量相關程度大小的數(shù)字特征 變量類型與該用的相關方法：兩個定序變量斯皮爾曼等級相關兩定類變量卡方獨立性檢驗一定類，一個定序卡方獨立性檢驗定類（序），定距點二列相關，單因素方差分析兩定距皮爾遜相關（積差相關） 各種統(tǒng)計方法的適用條件：T檢驗：（1）總體正態(tài)分布（2）方差齊性（3）變量相互獨立方差分析

21、：（1）正態(tài)（2）方差齊性（3）獨立性（4）變異可加性積差相關：（1）兩個變量都是連續(xù)的（2）正態(tài)分布（3）變量之間為線性關系 回歸：（1）正態(tài)（2）線性關系（3）獨立性（4）誤差等分散 積差相關的計算協(xié)方差：協(xié)方差是兩個變量離均差乘積的均值。兩個變量離均差的成績能夠反映 兩個變量的一致性。協(xié)方差是兩個變量線性關系的指示器， 但不能直接用它來表 示相關的大小，因為有不同的測量單位，故將其標準化。rxy方差是協(xié)方差的特例。cov(X X)(Y -Y)SxSyN * Sx Sy相關系數(shù)值的大小不表示相關是否顯著。 相關的程度與r值不成正比 卡方檢驗：x2八（f e）f為實際頻數(shù)，e為理論頻數(shù)，e理

22、論頻數(shù)二所占比率*人數(shù)點二列相關：一個連續(xù)變量與另一個二分稱名變量的相關程度。（男女，高低）二列相關：兩列數(shù)據(jù)均為正態(tài)分布（男女兩個類別）；十、回歸回歸：指由一個變量的變化去預測另一個變量的變化， 描述一個變量隨另一變量 做不同程度變化的單向關系?；貧w分析的目的就是要找出一個錯誤最小的方法來用 X預測丫。回歸分析的步驟：（1）建立并求解回歸模型的方程（2）檢驗與評價回歸方程的有效性 針對整個回歸方程針對各個回歸系數(shù)（3）利用回歸方程作出預測與控制建立回歸方程：Y=a+bXb為回歸系數(shù)，丫為實際的丫的預測值a -bX、(Xi X)(Y 丫)2、(Xi -X)回歸系數(shù)與相關系數(shù)：xy = . bxybyx檢驗與評價：是一個估計總體參數(shù)的置信區(qū)間和假設檢驗的問題估計誤差標準差（標準誤）：SyxJ (Y-Y)2N 2回歸方程的顯著性檢驗:回歸方程參數(shù)的置信區(qū)間與檢驗：t檢驗 回歸系數(shù)的b的檢驗：（