第9章 應(yīng)力理論

1、 第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容： 9.19.1 外力與應(yīng)力外力與應(yīng)力 9.2 9.2 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài) 9.3 9.3 任意斜面上的應(yīng)力確定任意斜面上的應(yīng)力確定 9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面 9.5 9.5 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 9.6 9.6 應(yīng)力偏張量和球應(yīng)力張量應(yīng)力偏張量和球應(yīng)力張量 9.7 9.7 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 9.8 9.8 應(yīng)力平衡方程應(yīng)力平衡方程 9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài) 9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾

2、圓 9.11 9.11 應(yīng)力理論實例應(yīng)力理論實例 材料成形原理材料成形原理物體所承受的外力分為兩類：表面力、體積力物體所承受的外力分為兩類：表面力、體積力表面力表面力: :作用在物體表面上的力作用在物體表面上的力, , 可以是集中力和分布可以是集中力和分布 力，如風(fēng)力、水壩所承受的水壓力等。力，如風(fēng)力、水壩所承受的水壓力等。體積力體積力: :作用在金屬物體每個質(zhì)點上的力，如重力、磁作用在金屬物體每個質(zhì)點上的力，如重力、磁 力以及慣性力等。力以及慣性力等。面力可分為作用力、反作用力和摩擦面力可分為作用力、反作用力和摩擦力力 如圖如圖9-19-1所示，所示，P P與與PP為作用力與為作用力與反作用

3、力，反作用力，T T為摩擦力為摩擦力。 9.1 9.1 外力與應(yīng)力外力與應(yīng)力圖 9-1 鐓粗時受力分析 第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論 應(yīng)力應(yīng)力S S 是內(nèi)力的集度是內(nèi)力的集度 內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量；內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量； 應(yīng)力的單位：應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2 1MPa=106 N/m2 應(yīng)力是某點應(yīng)力是某點A A的坐標的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點的應(yīng)力不同；的坐標的函數(shù)，即受力體內(nèi)不同點的應(yīng)力不同； 應(yīng)力是某點應(yīng)力是某點A A在坐標系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點不同方位在坐標系中的方向余弦的函數(shù)，即同一點不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。的截面上的應(yīng)力是不同的。0l

4、imAPSA 應(yīng)力（應(yīng)力（S Stress）9.1 9.1 外力與應(yīng)力外力與應(yīng)力在外力作用下，物體內(nèi)部之間相互作用的力稱為在外力作用下，物體內(nèi)部之間相互作用的力稱為內(nèi)力內(nèi)力，單位面積上，單位面積上的內(nèi)力稱為的內(nèi)力稱為應(yīng)力應(yīng)力，圖圖9-29-2所示為一個物體受外力系所示為一個物體受外力系P1P2P1P2的作用而處于平衡狀態(tài)。的作用而處于平衡狀態(tài)。 圖 9-2 面力、內(nèi)力和應(yīng)力dFdPFPSF0lim在在A A面上圍繞面上圍繞Q Q點取一很小的面積點取一很小的面積FF，設(shè)該面積上內(nèi)力的合力為設(shè)該面積上內(nèi)力的合力為PP，則定義：，則定義： 9.1 9.1 外力與應(yīng)力外力與應(yīng)力 全應(yīng)力全應(yīng)力S S可以

5、分解成兩個分量，一個垂直于可以分解成兩個分量，一個垂直于A A面。稱為面。稱為正應(yīng)正應(yīng)力，力，用用表示；另一個平行于表示；另一個平行于A A面，稱為面，稱為剪應(yīng)力剪應(yīng)力，用，用表示。表示。dFdF為為Q Q點在點在N N方向的微分面，用其外法線方向命名。方向的微分面，用其外法線方向命名。S S、分別分別稱為稱為Q Q點在點在N N方向微分面上的全應(yīng)力、正應(yīng)力及剪應(yīng)力。方向微分面上的全應(yīng)力、正應(yīng)力及剪應(yīng)力。 dFdPFPSF0lim222SS S稱為稱為A A面上面上Q點的點的全全應(yīng)應(yīng)力力。 全應(yīng)力全應(yīng)力S S，正應(yīng)力，正應(yīng)力 及剪應(yīng)力及剪應(yīng)力 之間的關(guān)系為：之間的關(guān)系為：9.1 9.1 外力與

6、應(yīng)力外力與應(yīng)力圖 9-3 單向均勻拉伸時任 意斜面上的應(yīng)力 對于單向均勻拉伸，只要知道點對于單向均勻拉伸，只要知道點Q Q任意一個切面上的應(yīng)力，就可任意一個切面上的應(yīng)力，就可以求得其他切面上的應(yīng)力。但在多向受力的情況下，僅僅用某一方以求得其他切面上的應(yīng)力。但在多向受力的情況下，僅僅用某一方向切面上的應(yīng)力并不足以全面地表示出一點所受應(yīng)力的情況。為了向切面上的應(yīng)力并不足以全面地表示出一點所受應(yīng)力的情況。為了全面的表示出一點的受力情況，就需引入全面的表示出一點的受力情況，就需引入“點應(yīng)力狀態(tài)點應(yīng)力狀態(tài)”的概念。的概念。 舉例分析舉例分析 如圖如圖9-39-3所示，垂直于試樣拉伸所示，垂直于試樣拉伸軸

7、線的橫截面上的應(yīng)力為軸線的橫截面上的應(yīng)力為: : 00PF9.1 9.1 外力與應(yīng)力外力與應(yīng)力 點應(yīng)力狀態(tài)的研究，對于解決物體無論處于彈性階段或塑性階點應(yīng)力狀態(tài)的研究，對于解決物體無論處于彈性階段或塑性階段的強度問題都是很重要的。特別是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強度準則的段的強度問題都是很重要的。特別是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強度準則的建立，必須依靠有關(guān)應(yīng)力狀態(tài)的基本概念作為基礎(chǔ)。建立，必須依靠有關(guān)應(yīng)力狀態(tài)的基本概念作為基礎(chǔ)。 如圖如圖9-49-4所示，以點所示，以點Q Q為正六面體為正六面體 的體心，由于物體各部分間力的作用，的體心，由于物體各部分間力的作用， 單元體的各截面都有應(yīng)力存在，若這些單元體的各截面

8、都有應(yīng)力存在，若這些 應(yīng)力已知，根據(jù)平衡法則，可求得通過應(yīng)力已知，根據(jù)平衡法則，可求得通過 該點任意斜面上的應(yīng)力。該點任意斜面上的應(yīng)力。 9.2 9.2 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài)圖 9-4 直角坐標系承受任意力 系的物體中的單元體 第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論 通常用單元體的三對相互垂直通常用單元體的三對相互垂直面上的應(yīng)力來表示一點的應(yīng)力狀態(tài)。面上的應(yīng)力來表示一點的應(yīng)力狀態(tài)。一般情況下，一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)該用一般情況下，一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)該用九個應(yīng)力分量來描述，如圖九個應(yīng)力分量來描述，如圖9-59-5所示：所示： 圖 9-5 直角坐標系單元 體的應(yīng)力分量 為了清楚起見，可將九個分量為了清楚起見，

9、可將九個分量表示如下表示如下:9.2 9.2 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分量的符號的確定應(yīng)力分量的符號的確定 應(yīng)力分量的正負號按以下方法確定應(yīng)力分量的正負號按以下方法確定: :在單元體上，外法線指向在單元體上，外法線指向坐標軸正向的微分面叫正面，反之稱為反面。在正面上，指向坐標坐標軸正向的微分面叫正面，反之稱為反面。在正面上，指向坐標軸正向的應(yīng)力分量取正號，指向負向的取負號。負面上的應(yīng)力分量軸正向的應(yīng)力分量取正號，指向負向的取負號。負面上的應(yīng)力分量則相反，指向坐標軸負向的為正，反之為負。則相反，指向坐標軸負向的為正，反之為負。由此規(guī)定，由此規(guī)定，正應(yīng)力分量以拉為正，以壓為負。正應(yīng)力分量以拉為

10、正，以壓為負。 ij ij xx xx 、 xz xz （便于計算機應(yīng)用）（便于計算機應(yīng)用）ii應(yīng)力作用面的外法線方向應(yīng)力作用面的外法線方向( (與應(yīng)力作用面的外法線方向平行的與應(yīng)力作用面的外法線方向平行的 坐標軸坐標軸) )jj應(yīng)力分量本身作用的方向應(yīng)力分量本身作用的方向 當當 i=j i=j 時為正應(yīng)力時為正應(yīng)力 i i、j j同號為正（拉應(yīng)力），異號為負（壓應(yīng)力）同號為正（拉應(yīng)力），異號為負（壓應(yīng)力） 當當 ij ij 時為剪應(yīng)力時為剪應(yīng)力 9.2 9.2 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量表示成矩陣的形式：應(yīng)力張量表示成矩陣的形式： zzyzxyzyyxxzxyxij 上式稱為上式稱為剪

11、應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律，它表明為保持單元體的平衡，剪應(yīng)力，它表明為保持單元體的平衡，剪應(yīng)力總是成對出現(xiàn)。由此，表示一點的應(yīng)力狀態(tài)，實際上只需要六個應(yīng)力總是成對出現(xiàn)。由此，表示一點的應(yīng)力狀態(tài)，實際上只需要六個應(yīng)力分量。分量。應(yīng)力張量應(yīng)力張量點的應(yīng)力狀態(tài)是一個二階張量，稱為應(yīng)力張量。點的應(yīng)力狀態(tài)是一個二階張量，稱為應(yīng)力張量。 由于單元體處于靜力平衡狀態(tài)，故繞單元體各軸的合力矩必須為由于單元體處于靜力平衡狀態(tài)，故繞單元體各軸的合力矩必須為零，由此可以導(dǎo)出以下關(guān)系：零，由此可以導(dǎo)出以下關(guān)系：xzzxzyyzyxxy9.2 9.2 點的應(yīng)力狀態(tài)點的應(yīng)力狀態(tài)9.3 9.3 任意斜面上的應(yīng)力確定任意斜面

12、上的應(yīng)力確定 設(shè)有一任意方向的斜切微分面設(shè)有一任意方向的斜切微分面ABCABC把單元體切成一個四面體把單元體切成一個四面體QABQABC C，如圖，如圖9-69-6所示所示： 設(shè)設(shè)ABCABC微分面的法線為微分面的法線為N,NN,N的方向余弦為的方向余弦為l l、m m、n n，則：，則： ),cos(),cos(),cos(NznNymNxl；圖 9-6 斜切微分面上的應(yīng)力 設(shè)微分面設(shè)微分面ABCABC的面積為的面積為dFdF，微分面，微分面QBQBC(C(即即x x面面) )、QCA(QCA(即即y y面面) )、QAB(QAB(即即z z面面) )的的面積分別為：面積分別為：zxydFd

13、FdF、則：則：;xyzdFl dF dFm dF dFn dF=;第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論圖 9-7 斜切微分面上的應(yīng)力xyzSSS、0 xP 設(shè)設(shè)ABCABC面上的全應(yīng)力為面上的全應(yīng)力為S S，它在三個坐標軸方，它在三個坐標軸方向的分量為：向的分量為： ，由靜力平衡條件由靜力平衡條件有有: :0 xxxxxyyxzzPS dFdFdFdF同理，可得：同理，可得：(1 2 3)xxyxxzyxyyzyjij izxzyzzSlmnSlmnSl ijSlmn、nmlSzxyxxx9.3 9.3 任意斜面上的應(yīng)力確定任意斜面上的應(yīng)力確定 斜切微分面斜切微分面ABCABC上的全應(yīng)力為：上的全

14、應(yīng)力為：2222(1 2 3)xyzjjSSSSS Sj 、2222()xyzxyyzzxlmnlmmnnl222S斜切面上的正應(yīng)力斜切面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 ： 這也就證明了這也就證明了: :如質(zhì)點在三個相互垂直切面上的應(yīng)力已知，則如質(zhì)點在三個相互垂直切面上的應(yīng)力已知，則該點在任意方向切面上的應(yīng)力均可求得。該點在任意方向切面上的應(yīng)力均可求得。9.3 9.3 任意斜面上的應(yīng)力確定任意斜面上的應(yīng)力確定9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面 =09.4.1 9.4.1 主應(yīng)力主應(yīng)力 法線法線N N在某一方向時，微分面上全應(yīng)力在某一方向時，微分面上

15、全應(yīng)力S S和正應(yīng)力和正應(yīng)力 重合，同重合，同時切應(yīng)力時切應(yīng)力 ，這樣的特殊的微分面叫，這樣的特殊的微分面叫主平面主平面，面上作用的正應(yīng)，面上作用的正應(yīng)力即稱為力即稱為主應(yīng)力主應(yīng)力( (其數(shù)值有時也可能為零其數(shù)值有時也可能為零) )，主平面的法線方向稱，主平面的法線方向稱為為應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向或或應(yīng)力主軸應(yīng)力主軸。 假定圖假定圖9-59-5中法線方向余弦為中法線方向余弦為 的斜切微分面的斜切微分面ABCABC正正好是主平面，面上的剪應(yīng)力為零。好是主平面，面上的剪應(yīng)力為零。lmn、 、于是主應(yīng)力在三個坐標軸方向上的投影于是主應(yīng)力在三個坐標軸方向上的投影 可表示為：可表示為： yzxSSS、第九

16、章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論;xyzSlSmSn0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx方向余弦之間必須保持方向余弦之間必須保持: : 1222nml0)(zyzxzzyyxyzxyxx032213JJJ9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 zyxJ12222yyzxxyxxzzyzyxyzxzxyyzzxxyxzyzJ 32222()xxyxzyxyyzzxzyzxyzxyyzzxxyzyzxzxyJ 式中：式中：分別稱一次、二次和三次應(yīng)力常量。分別稱一次、二次和三次應(yīng)力常量。應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。應(yīng)力張量的

17、第一、第二和第三不變量。123JJJ、 、9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 1. 1. 可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的；可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的； 2. 2. 三個主平面是相互正交的；三個主平面是相互正交的； 3. 3. 三個主應(yīng)力均為實根，不可能為虛根；三個主應(yīng)力均為實根，不可能為虛根； 4. 4. 應(yīng)力特征方程的解是唯一的；應(yīng)力特征方程的解是唯一的； 5. 5. 對于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性；對于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性； 6. 6. 應(yīng)力第一不變量應(yīng)力第一不變量J J1 1反映變形體

18、體積變形的劇烈程度，與塑反映變形體體積變形的劇烈程度，與塑 性變形無關(guān)；性變形無關(guān)；J J3 3也與塑性變形無關(guān)；也與塑性變形無關(guān)；J J2 2與塑性變形無關(guān)。與塑性變形無關(guān)。 7. 7. 應(yīng)力不變量不隨坐標而改變，是點的確定性的判斷。應(yīng)力不變量不隨坐標而改變，是點的確定性的判斷。 討討 論：論：9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 9.4.2 9.4.2 應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量 123JJJ、 、 由上式可見，對同一點應(yīng)力狀態(tài)，三個主應(yīng)力的數(shù)值是一定的由上式可見，對同一點應(yīng)力狀態(tài)，三個主應(yīng)力的數(shù)值是一定的，與過該點坐標無關(guān)。無論過該點坐標

19、軸如何選擇，方程式的系數(shù)，與過該點坐標無關(guān)。無論過該點坐標軸如何選擇，方程式的系數(shù)均等于常數(shù)。所以，這些系數(shù)稱為應(yīng)力常量。其中均等于常數(shù)。所以，這些系數(shù)稱為應(yīng)力常量。其中 分別稱一次、二次和三次應(yīng)力常量，也有的把這個常分別稱一次、二次和三次應(yīng)力常量，也有的把這個常量稱為應(yīng)力張量常量。如果過該點坐標軸的選取發(fā)生變化，則新量稱為應(yīng)力張量常量。如果過該點坐標軸的選取發(fā)生變化，則新舊坐標系各應(yīng)力分量之間存在著固定的內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系就是舊坐標系各應(yīng)力分量之間存在著固定的內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系就是固定不變。固定不變。 123JJJ、 、123JJJ、 、9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量

20、不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 若取三個應(yīng)力主方向為坐標軸，則一點的應(yīng)力狀態(tài)只有三個主若取三個應(yīng)力主方向為坐標軸，則一點的應(yīng)力狀態(tài)只有三個主應(yīng)力，應(yīng)力張量為應(yīng)力，應(yīng)力張量為: : 321000000ij 在應(yīng)力主軸坐標系下，斜面上應(yīng)力分量的公式簡化如下在應(yīng)力主軸坐標系下，斜面上應(yīng)力分量的公式簡化如下: : 112233;Sl Sm Sn22 22222123Slmn232221nml223222122322222122)(nmlnmlS9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 9.4.3 9.4.3 應(yīng)力橢球面應(yīng)力橢球面 (1 2 3)xxyxxzy

21、xyyzyjij izxzyzzSlmnSlmnSl ijSlmn、圖圖9-89-8為平面條件下的單元體，求任意斜切面上全應(yīng)力的三個分量為平面條件下的單元體，求任意斜切面上全應(yīng)力的三個分量 123SSS、 、112233SlSmSn或或 123123;SSSlmn圖 9-8 主平面上的應(yīng)力圖 1222nml1232322222121SSS9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 123、 、 對于一點的應(yīng)力狀態(tài)對于一點的應(yīng)力狀態(tài), ,主應(yīng)力主應(yīng)力 是確定的，因此上式表示是確定的，因此上式表示一個橢球面，稱為一個橢球面，稱為應(yīng)力橢球面應(yīng)力橢球面，它是點

22、應(yīng)力狀態(tài)任意斜切面的全應(yīng)，它是點應(yīng)力狀態(tài)任意斜切面的全應(yīng)力矢量力矢量S S端點的軌跡，如圖端點的軌跡，如圖9-99-9所示。其主半軸的長度分別所示。其主半軸的長度分別等于等于 另外，三個主另外，三個主應(yīng)力中的最大者和最小者即應(yīng)力中的最大者和最小者即是一點所有方向的應(yīng)力中的最是一點所有方向的應(yīng)力中的最大者和最小者。大者和最小者。 123 、 、 9-9 應(yīng)力橢球面9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 根據(jù)三個主應(yīng)力的特點可以區(qū)分各種應(yīng)力狀態(tài)。根據(jù)三個主應(yīng)力的特點可以區(qū)分各種應(yīng)力狀態(tài)。1 1）在三個主應(yīng)力中，如兩個為零，則為）在三個主應(yīng)力中，如兩個為

23、零，則為單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)。例如單向拉伸就是這種狀態(tài)。例如單向拉伸就是這種狀態(tài)。2 2）如有一個主應(yīng)力為零，就為兩向應(yīng)力狀態(tài)。）如有一個主應(yīng)力為零，就為兩向應(yīng)力狀態(tài)。例如例如 彎曲、扭轉(zhuǎn)等。塑性成形中的多數(shù)板料的成形工序也可看成是彎曲、扭轉(zhuǎn)等。塑性成形中的多數(shù)板料的成形工序也可看成是兩向應(yīng)力狀態(tài)。兩向應(yīng)力狀態(tài)。3 3）如三個主應(yīng)力不為零，為）如三個主應(yīng)力不為零，為三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)。鍛造、軋鋼等工藝大多。鍛造、軋鋼等工藝大多是這種狀態(tài)。另外，當三個主應(yīng)力中有兩個相等。例如是這種狀態(tài)。另外，當三個主應(yīng)力中有兩個相等。例如 則可稱為圓柱形應(yīng)力狀態(tài)，單向應(yīng)力時則可稱為圓柱形應(yīng)力狀態(tài)，單向

24、應(yīng)力時 ，也屬于這種，也屬于這種應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)。 123=1230=9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 9.4.4 9.4.4 主應(yīng)力圖主應(yīng)力圖 可能的應(yīng)力圖示共有九種可能的應(yīng)力圖示共有九種( (圖圖9-10)9-10)，塑性加工中常見的是體應(yīng)力狀態(tài)。，塑性加工中常見的是體應(yīng)力狀態(tài)。圖圖 9-10 9-10 應(yīng)力圖示應(yīng)力圖示（a a）體應(yīng)力狀態(tài)（）體應(yīng)力狀態(tài)（b b）平面應(yīng)力狀態(tài)（）平面應(yīng)力狀態(tài)（c c）單向應(yīng)力狀態(tài)）單向應(yīng)力狀態(tài)9.4 9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面和應(yīng)力橢球面 9.5 9.5 主剪應(yīng)力和

25、最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 與任意斜面上的正應(yīng)力相同，剪應(yīng)力值也會隨斜面上的方向而與任意斜面上的正應(yīng)力相同，剪應(yīng)力值也會隨斜面上的方向而改變，剪應(yīng)力有極值的切面稱為主剪應(yīng)力平面。面上作用的剪應(yīng)改變，剪應(yīng)力有極值的切面稱為主剪應(yīng)力平面。面上作用的剪應(yīng)力稱為主剪應(yīng)力。如圖力稱為主剪應(yīng)力。如圖9-119-11所示。所示。 圖圖 9-11 9-11 主剪應(yīng)力平面主剪應(yīng)力平面第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論取應(yīng)力主軸為坐標軸，則任意斜面上的剪應(yīng)力為：取應(yīng)力主軸為坐標軸，則任意斜面上的剪應(yīng)力為： 2222 222222222123123()Slmnlmn2222

26、22222221323313233()()()()lmlm2221mln求剪求剪應(yīng)應(yīng)力力極極限（分限（分別別 ）得：）得：22131323132223132323()2()2()()0()2()2()()0lmllmm9.5 9.5 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力對上式進行討論：對上式進行討論：(1)(1)若上式的一組解為：若上式的一組解為： 。這是一對主平面，剪。這是一對主平面，剪切應(yīng)力為零，不是所需解。切應(yīng)力為零，不是所需解。 0l m =1n (2)(2)若若 123 ，則由上式無解，這時是球應(yīng)力狀態(tài)，則由上式無解，這時是球應(yīng)力狀態(tài)， 0(3)(3)若若 123 ，則由上式解得

27、則由上式解得 1/2l , ,這是圓柱應(yīng)力狀態(tài)。這是圓柱應(yīng)力狀態(tài)。 這時與這時與 1 軸成軸成4545( (或或135135) )的所有平面都是主切應(yīng)力平面，的所有平面都是主切應(yīng)力平面，單向拉伸就是如此。單向拉伸就是如此。9.5 9.5 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力(4)(4)一般情況一般情況 123，這里又有下列情況：這里又有下列情況： 若若 0,0lm則上式必將有則上式必將有 12，這與前提條件這與前提條件 123不符，故這時上式無解。不符，故這時上式無解。若若 0,0lm ，即斜微分面始終垂直于，即斜微分面始終垂直于1 1主平面主平面( (圖圖9-10a)9-10a)，則由上

28、式解的此斜微分面則由上式解的此斜微分面( (即主剪應(yīng)力平面即主剪應(yīng)力平面) )的方向余弦為的方向余弦為: :0,1/2lmn 若若 0,0lm ，即斜微分面始終垂直于即斜微分面始終垂直于2 2主平面（圖主平面（圖9-10a)9-10a)。則由上式解得此斜微分面則由上式解得此斜微分面( (即主剪應(yīng)力平面即主剪應(yīng)力平面) )的方向余弦為的方向余弦為: :0,1/2mln ( (圖圖9-10b) 9-10b) ( (圖圖9-10c)9-10c) 9.5 9.5 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 從上式中消去從上式中消去l或或m m，則可分別求得三組方向余弦，除去重復(fù)解，則可分別求得三組方向余

29、弦，除去重復(fù)解，還可以得到一組解為還可以得到一組解為: : 0,1/2nml ( (圖圖9-10d) 9-10d) 將上述三組方向余弦分別代入式（將上述三組方向余弦分別代入式（9-259-25）的主剪應(yīng)力平面的剪）的主剪應(yīng)力平面的剪 應(yīng)力為：應(yīng)力為：121223233131()/2()/2()/2 因此因此, ,主剪應(yīng)力平面是一對相互垂直的平面，主剪應(yīng)力平面與主主剪應(yīng)力平面是一對相互垂直的平面，主剪應(yīng)力平面與主平面垂直，并與另兩個平面成平面垂直，并與另兩個平面成 角。角。459.5 9.5 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 主剪應(yīng)力中絕對值最大的一個，即一點所有方向上剪應(yīng)力的最大主剪應(yīng)

30、力中絕對值最大的一個，即一點所有方向上剪應(yīng)力的最大值稱為最大剪應(yīng)力，以值稱為最大剪應(yīng)力，以 表示。設(shè)表示。設(shè) ，則：，則： max12313max2 將上述三組方向余弦分別代人式將上述三組方向余弦分別代人式(1-24)(1-24)得主剪應(yīng)力平面的正應(yīng)力為：得主剪應(yīng)力平面的正應(yīng)力為： 2/ )(2/ )(2/ )(1331322321129.5 9.5 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力圖圖 9-11 9-11 主剪應(yīng)力平面上正應(yīng)力主剪應(yīng)力平面上正應(yīng)力 由上式可以發(fā)現(xiàn)每對主剪應(yīng)力平面的正應(yīng)力都是相等的。如圖由上式可以發(fā)現(xiàn)每對主剪應(yīng)力平面的正應(yīng)力都是相等的。如圖9-9-1111所示。所示。

31、9.5 9.5 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力9.6 9.6 應(yīng)力偏張量和應(yīng)力張量應(yīng)力偏張量和應(yīng)力張量 應(yīng)力偏張量和球應(yīng)力張量應(yīng)力偏張量和球應(yīng)力張量 物體受外力作用下發(fā)生變形，變形分為體積變化和形狀變化。單物體受外力作用下發(fā)生變形，變形分為體積變化和形狀變化。單位體積的改變?yōu)椋何惑w積的改變?yōu)椋?2312()vdVE1231111()()333mxyzJm 稱為平均應(yīng)力，是不變量，與所取坐標無關(guān)。對于一個確定稱為平均應(yīng)力，是不變量，與所取坐標無關(guān)。對于一個確定的應(yīng)力狀態(tài)。它是單值的。的應(yīng)力狀態(tài)。它是單值的。第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論將三個正應(yīng)力分量寫成如下形式：將三個正應(yīng)力分量寫成

32、如下形式：mzmmzzmymmyymxmmxx)()()(將上式代人應(yīng)力張量式。即可將應(yīng)力張量分解成兩個張量將上式代人應(yīng)力張量式。即可將應(yīng)力張量分解成兩個張量: :000000 xmxyxzijyxymyzzxzyzmxxyxzmyxyyzmmzxzyzmijijij簡記為簡記為9.6 9.6 應(yīng)力偏張量和應(yīng)力張量應(yīng)力偏張量和應(yīng)力張量mijijijmijijij是一個常用的符號，稱為克氏符號，是單位向量。是一個常用的符號，稱為克氏符號，是單位向量。 表示一種球應(yīng)力狀態(tài)，故稱為球應(yīng)力張量，球應(yīng)力表示一種球應(yīng)力狀態(tài)，故稱為球應(yīng)力張量，球應(yīng)力狀態(tài)下所有方向都是主方向，而且主應(yīng)力都相等，故又狀態(tài)下所有

33、方向都是主方向，而且主應(yīng)力都相等，故又稱為為靜水應(yīng)力。稱為為靜水應(yīng)力。 稱為應(yīng)力偏張量。它是由原應(yīng)力張量減去球張稱為應(yīng)力偏張量。它是由原應(yīng)力張量減去球張量后得到的。量后得到的。 分解的依據(jù)：分解的依據(jù)：靜水壓力實驗證實，靜水壓力不會引起變形靜水壓力實驗證實，靜水壓力不會引起變形體形狀的改變，只會引起體積改變，即對塑性條件無影響。體形狀的改變，只會引起體積改變，即對塑性條件無影響。9.6 9.6 應(yīng)力偏張量和應(yīng)力張量應(yīng)力偏張量和應(yīng)力張量應(yīng)力偏張量同樣有三個不變量，即應(yīng)力偏張量同樣有三個不變量，即: : 1123123()()()30 xyzmmmmJ22222222221223311()()()

34、 61()()() 6xyyzxzxyyzzxJ 3123xxyxzyxyyzzxzyzJ 9.6 9.6 應(yīng)力偏張量和應(yīng)力張量應(yīng)力偏張量和應(yīng)力張量9.7 9.7 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 9.7.1 9.7.1 八面體應(yīng)力八面體應(yīng)力 以受力物體內(nèi)任意點的應(yīng)力主軸為坐標軸，在無限靠近該點處以受力物體內(nèi)任意點的應(yīng)力主軸為坐標軸，在無限靠近該點處做等傾斜的微分面。其法線與三個主軸的夾角都相等。在主軸坐標做等傾斜的微分面。其法線與三個主軸的夾角都相等。在主軸坐標系空間八個象限中等傾斜微分面構(gòu)成一個正八面體系空間八個象限中等傾斜微分面構(gòu)成一個正八面體( (簡稱八面體簡稱八面體) )。如

35、圖如圖9-129-12所示。正八面體的每個平面稱為所示。正八面體的每個平面稱為八面體平面八面體平面。八面體平面。八面體平面上的應(yīng)力稱為上的應(yīng)力稱為八面體應(yīng)力八面體應(yīng)力。第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論圖圖 9-12 9-12 八面體平面與八面體八面體平面與八面體9.7 9.7 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 lmn2221lmn1/3lmn將將 代入代入八面體正應(yīng)力八面體正應(yīng)力 和八面體剪應(yīng)力和八面體剪應(yīng)力 lmn88)(313132118Jm22 22222222281231232222123123()11()()39lmnlmn2228122331212()()()33J 9.7

36、9.7 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 由式由式 可看出可看出8 就是平均應(yīng)力就是平均應(yīng)力，即球張量，是不變量。，即球張量，是不變量。 )(313132118Jm8 則是與應(yīng)力球張量無關(guān)的不變量，反映則是與應(yīng)力球張量無關(guān)的不變量，反映了三個主應(yīng)力的綜合效應(yīng)，與應(yīng)力偏張量第二不變量了三個主應(yīng)力的綜合效應(yīng)，與應(yīng)力偏張量第二不變量 2J 有關(guān)，若有關(guān)，若式中的式中的 和式和式 1J2228122331212()()()33J 中的中的 2J分別用任意坐標系的應(yīng)力分量代入，即可得到任意坐標系中八面體分別用任意坐標系的應(yīng)力分量代入，即可得到任意坐標系中八面體應(yīng)力表達式：應(yīng)力表達式：81()3x

37、yz22222281()()()6()3xyyzzxxyyzzx 9.7 9.7 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 9.7.2 9.7.2 等效應(yīng)力等效應(yīng)力 將將 8取絕對值，乖以取絕對值，乖以 32 ，所得到的參數(shù)是一個不變量，稱為，所得到的參數(shù)是一個不變量，稱為“等效等效應(yīng)力應(yīng)力”，也稱為，也稱為“廣義應(yīng)力廣義應(yīng)力”或或“應(yīng)力強度應(yīng)力強度”，用，用 表示。表示。對主軸坐標系：對主軸坐標系：822221223313321()()()2J對任意坐標系：對任意坐標系：2222221()()()6()2xyyzzxxyyzzx9.7 9.7 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 1.1

38、. 等效的實質(zhì)？等效的實質(zhì)？ （彈性）應(yīng)變能等效（相當于）。（彈性）應(yīng)變能等效（相當于）。2. 2. 什么與什么等效？什么與什么等效？ 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應(yīng)力狀態(tài)（一維）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應(yīng)力狀態(tài)（一維） 等效。等效。3. 3. 如何等效？如何等效？ 等效公式（注意：等效應(yīng)力是標量，沒有作用面）。等效公式（注意：等效應(yīng)力是標量，沒有作用面）。 4. 4. 等效的意義？等效的意義？ 屈服的判別、變形能的計算、簡化問題的分析等。屈服的判別、變形能的計算、簡化問題的分析等。 討論：討論：9.7 9.7 八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 9.8 9.8 應(yīng)力平衡方程

39、應(yīng)力平衡方程 應(yīng)力平衡方程應(yīng)力平衡方程 在外力作用下處于平衡狀態(tài)下的變形體，其內(nèi)部點與點之間的在外力作用下處于平衡狀態(tài)下的變形體，其內(nèi)部點與點之間的應(yīng)力大小是連續(xù)變化的，應(yīng)力大小是連續(xù)變化的，也就是說應(yīng)力是坐標的也就是說應(yīng)力是坐標的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)。 如圖如圖9-139-13所示。所示。 圖圖 9-13 9-13 直角坐標中一點應(yīng)力平衡直角坐標中一點應(yīng)力平衡第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論xxQ點點面上的正應(yīng)力分量為面上的正應(yīng)力分量為 ，則：則：( , , )xf x y z在在 Q點的點的 上，上， x由于坐標變化了由于坐標變化了 dx，故其正應(yīng)力分量將為：，故其正應(yīng)力分量將為：2221(,

40、 , )( , , )2xxxxxffdf xdy zf x y zdxdxdxxxx 其余的八個應(yīng)力分量也可同樣推導(dǎo)，故其余的八個應(yīng)力分量也可同樣推導(dǎo)，故QQ點的應(yīng)力狀態(tài)為點的應(yīng)力狀態(tài)為( (見圖見圖9-14)9-14)：xyxxzxxyxzyxyyzijijyxyyzzyzxzzxzyzdxdxdxxxxddydydyyyydzdzdzzzz9.8 9.8 應(yīng)力平衡方程應(yīng)力平衡方程 設(shè)圖設(shè)圖9-149-14所示的單元體處于靜力平衡狀態(tài)，不考慮體力，則由所示的單元體處于靜力平衡狀態(tài)，不考慮體力，則由靜力平衡條件：靜力平衡條件： 有：有： 0 x P()()()0yxxzxxyxzxxyzxy

41、xzxdx dydzdy dxdzdz dydxdydzdxdzdydx簡化整理后得：簡化整理后得：0yxxzxxyz9.8 9.8 應(yīng)力平衡方程應(yīng)力平衡方程以此類推，可以得出質(zhì)點的的平衡微分方程為：以此類推，可以得出質(zhì)點的的平衡微分方程為：000yxxzxxyyzyyzxzzxyzxyzxyz簡記為：簡記為： 0ijxi物理意義：物理意義：表示變形體內(nèi)無限相鄰兩質(zhì)點的點的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。表示變形體內(nèi)無限相鄰兩質(zhì)點的點的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。 （對彈性變形和塑性變形均適用）（對彈性變形和塑性變形均適用）9.8 9.8 應(yīng)力平衡方程應(yīng)力平衡方程 下面考慮轉(zhuǎn)矩的平衡。以過單元體中心且平行于下面考慮轉(zhuǎn)矩的

42、平衡。以過單元體中心且平行于x x軸的直線為軸軸的直線為軸線取力矩，由線取力矩，由Mx=0,Mx=0,有：有：()()02222yzzyyzyzzyzydydydzdzdy dxdzdxdzdz dydxdxdyyz或：或： 11022yzzyyzzydydzyzyzzy略去微量 同理：同理： zxxzxyyx這就是這就是剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律。9.8 9.8 應(yīng)力平衡方程應(yīng)力平衡方程9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)9.9.1 9.9.1 平面狀態(tài)平面狀態(tài) 求解一般的三維問題是很困難的，在處理實際問題時，通常求解一般的三維問題是很困難的，在處理實際問題時，通常要把

43、復(fù)雜的三維問題簡化為平面的或軸對稱的狀態(tài)。要把復(fù)雜的三維問題簡化為平面的或軸對稱的狀態(tài)。 因此，研究平面問題的應(yīng)力狀態(tài)和軸對稱應(yīng)力狀態(tài)有重要的因此，研究平面問題的應(yīng)力狀態(tài)和軸對稱應(yīng)力狀態(tài)有重要的實際意義。平面問題的應(yīng)力狀態(tài)有兩類實際意義。平面問題的應(yīng)力狀態(tài)有兩類: :平面應(yīng)力平面應(yīng)力和和平面應(yīng)變平面應(yīng)變狀態(tài)狀態(tài)下的應(yīng)力問題。下的應(yīng)力問題。第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論1.1. 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài) 平面應(yīng)力狀態(tài)的特點是平面應(yīng)力狀態(tài)的特點是: : (1) (1)變形體變形體內(nèi)所有質(zhì)點在與某一方向垂直的平面上沒有應(yīng)力作用內(nèi)所有質(zhì)點在與某一方向垂直的平面上沒有應(yīng)力作用。設(shè)取該方向為。設(shè)取該方向為

44、z z軸。則軸。則 ，只有，只有 三個三個應(yīng)力分量應(yīng)力分量 。若。若z z向為主方向。所有質(zhì)點都是兩向應(yīng)力狀態(tài)。向為主方向。所有質(zhì)點都是兩向應(yīng)力狀態(tài)。0zxzyzxyxy、 (2) (2)各應(yīng)力各應(yīng)力分量與分量與z z軸無關(guān)，整個物體的應(yīng)力分布可以在軸無關(guān)，整個物體的應(yīng)力分布可以在xyxy坐標坐標平面上平面上 表示出來。在實際工程中，如薄壁管扭轉(zhuǎn)、薄壁容器承受內(nèi)表示出來。在實際工程中，如薄壁管扭轉(zhuǎn)、薄壁容器承受內(nèi)壓、板料成形中的一些工序等，由于厚度方向的應(yīng)力相對很小而可壓、板料成形中的一些工序等，由于厚度方向的應(yīng)力相對很小而可以忽略，一般均作平面應(yīng)力狀態(tài)來處理。以忽略，一般均作平面應(yīng)力狀態(tài)來處

45、理。9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為: :00000 xxyijyxy或或 120000000ij直角坐標系中，可得平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力平衡微分方程為：直角坐標系中，可得平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力平衡微分方程為： 0zxzyz00yxxyxyxyxy000yxxzxxyyzyyzxzzxyzxyzxyz9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài) 平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)力可分別由平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)力可分別由三向應(yīng)力狀態(tài)的公式導(dǎo)出，設(shè)斜面三向應(yīng)力狀態(tài)的公式導(dǎo)出，設(shè)斜面AB

46、AB的法線的法線N與與x軸的夾角為軸的夾角為 （圖（圖9 9-14b-14b），則該斜面上的三個方向余弦為：），則該斜面上的三個方向余弦為： cos ;cos(90)sin ;0lmncossincossinxxxyxxyyxyyxyySlmSlm9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)nSmSlSzyx2212()21()cos 2sin 22xyxyxyxyxylmlm可得斜面上正應(yīng)力為：可得斜面上正應(yīng)力為：圖圖9-14 9-14 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)（a a）單元體上的應(yīng)力（）單元體上的應(yīng)力（b b）任意斜面上的應(yīng)力）任意斜面上的應(yīng)力9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀

47、態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)斜面上剪應(yīng)力由圖斜面上剪應(yīng)力由圖9-14b9-14b得：得： 1()sin2cos22xyxyxyS mS l1123222212233 12223123()2xyzyzxzxyyzxzxyxyzxy yz xzx yzy xzz xyJJJ 由下式得三個應(yīng)力不變量為：由下式得三個應(yīng)力不變量為：12230 xyxyxyJJJ 9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)的特征方程為：應(yīng)力狀態(tài)的特征方程為： 322()()0 xyxyxy 求解上述方程可得主應(yīng)力為：求解上述方程可得主應(yīng)力為：12223()220 xyxyxy平面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力為：平

48、面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力為：2212122322331131()222222xyxy 9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)2. 2. 平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài) 如果物體內(nèi)所有質(zhì)點都只在同一個坐標平面內(nèi)發(fā)生變形，而在如果物體內(nèi)所有質(zhì)點都只在同一個坐標平面內(nèi)發(fā)生變形，而在該平面的法線方向沒有變形，這種變形稱為該平面的法線方向沒有變形，這種變形稱為平面變形平面變形或或平面應(yīng)變狀平面應(yīng)變狀態(tài)態(tài)。其應(yīng)力狀態(tài)稱為。其應(yīng)力狀態(tài)稱為平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)。其特點為。其特點為: : (l) (l)不產(chǎn)生變形的方向為主方向，與該方向垂直的平面上沒有切不產(chǎn)生變形的方向為主

49、方向，與該方向垂直的平面上沒有切應(yīng)力；應(yīng)力； (2) (2)在該方向有阻止變形的正應(yīng)力；在該方向有阻止變形的正應(yīng)力； (3) (3)有應(yīng)力分量沿該軸均勻分布，即與該軸無關(guān)，如圖有應(yīng)力分量沿該軸均勻分布，即與該軸無關(guān)，如圖9-159-15。平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量為：平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量為：0000 xxyijyxyz9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)圖圖 9-15 9-15 平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài) 9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)9.9.29.9.2 軸對稱狀態(tài)軸對稱狀態(tài) 當旋轉(zhuǎn)體承受的外力對稱于旋轉(zhuǎn)軸分布且沒有周向力時，則物當旋轉(zhuǎn)體承受的外

50、力對稱于旋轉(zhuǎn)軸分布且沒有周向力時，則物體內(nèi)質(zhì)點所處的應(yīng)力狀態(tài)稱為體內(nèi)質(zhì)點所處的應(yīng)力狀態(tài)稱為軸對稱應(yīng)力狀態(tài)軸對稱應(yīng)力狀態(tài)。由于變形體是旋轉(zhuǎn)。由于變形體是旋轉(zhuǎn)體，所以采用圓柱坐標系更為方便，如圖體，所以采用圓柱坐標系更為方便，如圖1-161-16所示。其特點為所示。其特點為: : (1) (1)由于通過旋轉(zhuǎn)體軸線的平面。即由于通過旋轉(zhuǎn)體軸線的平面。即 面面在變形過程中始終不會扭曲，所以在在變形過程中始終不會扭曲，所以在 面上沒有剪應(yīng)力，即面上沒有剪應(yīng)力，即 ，只有只有 等應(yīng)力分量，而且等應(yīng)力分量，而且 是主應(yīng)力；是主應(yīng)力； 0zzz 、 、 、圖圖 9-16 9-16 軸對稱狀態(tài)軸對稱狀態(tài)9.9

51、9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài) ( (2)2)各應(yīng)力分量與各應(yīng)力分量與 坐標無關(guān)。因此，軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)坐標無關(guān)。因此，軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力張量為力張量為: :0000zijzz下式的軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力平衡微分方程為：下式的軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力平衡微分方程為：xyxxzxxyxzyxyyzijijyxyyzzyzxzzxzyzdxdxdxxxxddydydyyyydzdzdzzzz00zzzzzz9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對稱狀態(tài)9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓 應(yīng)力莫爾圓是表示點的應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法。已知某點的一組應(yīng)應(yīng)力莫爾圓是表示

52、點的應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法。已知某點的一組應(yīng)力分量或主應(yīng)力，就可以利用應(yīng)力莫爾圓通過圖解法來確定該點任意力分量或主應(yīng)力，就可以利用應(yīng)力莫爾圓通過圖解法來確定該點任意方向上的應(yīng)力。方向上的應(yīng)力。9.10.1 9.10.1 應(yīng)力莫爾圓符號規(guī)定：應(yīng)力莫爾圓符號規(guī)定： 在作應(yīng)力莫爾圓時，正應(yīng)力的正、負與坐標指向相同。但切應(yīng)在作應(yīng)力莫爾圓時，正應(yīng)力的正、負與坐標指向相同。但切應(yīng)力的正、負按照材料力學(xué)中的規(guī)定確定：即順時針作用于所研究的力的正、負按照材料力學(xué)中的規(guī)定確定：即順時針作用于所研究的單元體上的切應(yīng)力為正，反之為負。單元體上的切應(yīng)力為正，反之為負。第九章第九章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論9.10.2 9.10.

53、2 平面應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓平面應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓xyxy、 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量為平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量為 ，如果已知這三，如果已知這三個應(yīng)力分量，就可以利用應(yīng)力莫爾圓求任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)個應(yīng)力分量，就可以利用應(yīng)力莫爾圓求任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)力等。力和主切應(yīng)力等。 2212()21()cos2sin22xyxyxyxyxylmlm1()sin2cos22xyxyxyS mS l 根據(jù)是將下面兩式聯(lián)立求解消去根據(jù)是將下面兩式聯(lián)立求解消去 得到，即：得到，即：2222()()22xyxyxy9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓圖圖 9 9-17 -17 平面應(yīng)力狀態(tài)莫爾圓平面

54、應(yīng)力狀態(tài)莫爾圓（a a）應(yīng)力平面（）應(yīng)力平面（b b）應(yīng)力莫爾圓）應(yīng)力莫爾圓9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓2222()()22xyxyxy式式 是平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力莫是平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力莫爾圓方程爾圓方程. .其圓心為其圓心為 ，半徑為，半徑為 ，結(jié)果，結(jié)果如圖如圖1-17b1-17b所示，若己知主應(yīng)力所示，若己知主應(yīng)力 和和 ，也可以求出，也可以求出 、 和和 的公式。的公式。 (,0)2xyC22()2xyxy12xyxy1212121212cos222cos222sin22xyxy9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓 前已述及，平面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力前已述及，平面應(yīng)力

55、狀態(tài)下的主切應(yīng)力 ( (圖圖9-179-17b b中莫爾圓中莫爾圓半徑半徑) )并不是最大切應(yīng)力，最大切應(yīng)力應(yīng)該是由并不是最大切應(yīng)力，最大切應(yīng)力應(yīng)該是由 和和 （ 即即坐標原點坐標原點O O), ),組成的莫爾圓半徑，即：組成的莫爾圓半徑，即： 1213301max132 1212 12 只有在只有在 和和 的大小相等方向相反。即一拉一壓，且的大小相等方向相反。即一拉一壓，且 的情況下，的情況下， 才是最大的切應(yīng)力，如圖才是最大的切應(yīng)力，如圖1-181-18所示，這時，主切應(yīng)力所示，這時，主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力等于零。主切應(yīng)力在數(shù)值上等于主應(yīng)力。這種應(yīng)力平面上的正應(yīng)力等于零。主切應(yīng)力在數(shù)值上等

56、于主應(yīng)力。這種應(yīng)力狀態(tài)就是純切應(yīng)力狀態(tài)，它是平面應(yīng)力狀態(tài)的特例。狀態(tài)就是純切應(yīng)力狀態(tài)，它是平面應(yīng)力狀態(tài)的特例。9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓圖圖 9-18 9-18 純切應(yīng)力狀態(tài)莫爾圓純切應(yīng)力狀態(tài)莫爾圓9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓9.10.3 9.10.3 平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力莫爾圓平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力莫爾圓 123、 平面應(yīng)變狀態(tài)下的三個主應(yīng)力為平面應(yīng)變狀態(tài)下的三個主應(yīng)力為 ，其應(yīng)力莫爾圓，其應(yīng)力莫爾圓如圖如圖9-199-19所示。與圖所示。與圖9-189-18比較可知，其莫爾圓就是把純切應(yīng)力莫爾比較可知，其莫爾圓就是把純切應(yīng)力莫爾圓的圓心向右移動圓的圓心向右移動 的距

57、離所以，平面為應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力的距離所以，平面為應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量是純切應(yīng)力張量迭加球張量。張量是純切應(yīng)力張量迭加球張量。1233()2m圖圖 9-19 9-19 平面應(yīng)變狀態(tài)的平面應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓9.10.4 9.10.4 三向應(yīng)力莫爾圓三向應(yīng)力莫爾圓 三向應(yīng)力狀態(tài)，也可作應(yīng)力莫爾圓，圓上的任何一點的橫坐三向應(yīng)力狀態(tài)，也可作應(yīng)力莫爾圓，圓上的任何一點的橫坐標與縱坐標值代表某一微分面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力的大小。標與縱坐標值代表某一微分面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力的大小。有如下三個方程：有如下三個方程：22212322 222222222123123222()1lmnlmnlmnlmn式中，式中， 為所作斜面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力。為所作斜面上的正應(yīng)力、切應(yīng)力。 、9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓222312132213212322123132()()()()()()()()()()()()lmn 由此可以推導(dǎo)出：由此可以推導(dǎo)出： 在在 為橫坐標，為橫坐標， 為縱坐標的坐標系中，上式是三個圓的方