常微分方程ODE復(fù)習(xí)

1、12基基 本本 概概 念念 微分方程微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程。（或微分）的方程。常微分方程常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程。的微分方程。偏微分方程偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程。的微分方程。3微分方程的階：微分方程的階：方程中未知函數(shù)的方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。一個(gè)微分方程，則稱它為該微一個(gè)微分方程，則稱它為該微分方程的解。分方程的解。微分方程的解微分方程的解：若函數(shù)：若函數(shù) 滿足滿足)(xfy 微分方程的解可以是顯函數(shù)，也可微分方程的解可以是顯函數(shù)，也可為隱函數(shù)。為隱函數(shù)。

2、4通解：通解：如果微分方程的解中含有任意如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，該解稱為分方程的階數(shù)相同，該解稱為微分方程的通解。微分方程的通解。初始條件：初始條件：當(dāng)自變量取某數(shù)值時(shí)，要當(dāng)自變量取某數(shù)值時(shí)，要求未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)取給定的求未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)取給定的值，這種條件稱為初始條件。值，這種條件稱為初始條件。5特解：特解：滿足給定初始條件的解，稱為滿足給定初始條件的解，稱為微分方程的特解。微分方程的特解。的幾何圖形，稱為微分方程的的幾何圖形，稱為微分方程的一條積分曲線。一條積分曲線。積分曲線：積分曲線：微分方程的特解微分方程的特解 )

3、(xfy 6 一階微分方程一階微分方程一、變量可分離的微分方程：一、變量可分離的微分方程：行如：行如：)()(ygxfdxdy解法：解法：dxxfdyyg)()(1兩邊積分有兩邊積分有dxxfdyyg)()(17例：例：1 1、求微分方程、求微分方程 的通解。的通解。xydxdy22 2、求微分方程、求微分方程yxycos滿足初始條件滿足初始條件 的特解的特解210 xy0) 1(24322dyyxdxyx3、dxdy312yxyx= 8二、齊次型微分方程二、齊次型微分方程行如：行如：)(xyfy 解法：令解法：令xyu 則則xuyuxuy代入有代入有)(ufuxuxdxuufdu)(0 xe

4、dxdydxdy如如9三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程行如：行如：)()(xqyxpy當(dāng)自由項(xiàng)當(dāng)自由項(xiàng) 時(shí)，即時(shí)，即0)(xq0)(yxpy稱為一階線性齊次微分方程。稱為一階線性齊次微分方程。稱為一階線性非齊次微分方程。稱為一階線性非齊次微分方程。若若0)( xq101 1、線性齊次微分方程的通解：、線性齊次微分方程的通解：0)(yxpy解法：解法：dxxpdyyyxpy)(1)(兩邊積分兩邊積分Cdxxpyln)(lndxxpCey)(112 2、線性非齊次微分方程的通解：、線性非齊次微分方程的通解：解法：采用常數(shù)變易法解法：采用常數(shù)變易法設(shè)非齊次線性方程的通解為設(shè)非齊次線性方程的通

5、解為dxxpexCy)()(代入方程經(jīng)計(jì)算有代入方程經(jīng)計(jì)算有DdxexqxCdxxp)()()(Ddxexqeydxxpdxxp)()()(通解：通解：12可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程一、一、 型的微分方程：型的微分方程：)(xfy 解法：連續(xù)兩次積分，通解含有解法：連續(xù)兩次積分，通解含有兩個(gè)任意常數(shù)。兩個(gè)任意常數(shù)。類似地，高階方程類似地，高階方程)()(xfyn解法：解法：n n 次積分。次積分。13二、二、 型的微分方程：型的微分方程：),(yxfy 特點(diǎn)：方程的右端不顯含特點(diǎn)：方程的右端不顯含 y y 解法：設(shè)解法：設(shè)py dxdpy 則則代入有代入有),(pxfdxdp該式

6、為以該式為以x x為為自變量，函數(shù)為自變量，函數(shù)為 一階一階)(xpp 微分方程。微分方程。14),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程特點(diǎn)：方程的右端不顯含特點(diǎn)：方程的右端不顯含 x x解法：設(shè)解法：設(shè)py 則則dydppdxdydydpdxdpy 于是方程化為于是方程化為),(pyfdydpp此方程為一階微分方程。此方程為一階微分方程。15二階線性微分方程二階線性微分方程形如：形如：)()()(xfyxqyxpy 稱為二階線性微分方程稱為二階線性微分方程0)()( yxqyxpy當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方程時(shí)，方程0)(xf稱為二階線性齊次微分方程稱為二階線性齊次微分方程16一、線性微分方程解

7、的結(jié)構(gòu)一、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理定理1 1：如果：如果 是線性是線性 齊次方程齊次方程)(),(21xyxy0)()( yxqyxpy的解，則的解，則 和和)(1xcy)()(21xyxy也是線性齊次方程的解。也是線性齊次方程的解。17線性相關(guān)：如果線性相關(guān)：如果 與與 之比之比為常數(shù)。為常數(shù)。)(1xy)(2xy線性無(wú)關(guān)：如果線性無(wú)關(guān)：如果 與與 之比之比不為常數(shù)。不為常數(shù)。)(1xy)(2xy18)(),(21xyxy定理定理2 2：如果：如果 是線性齊次是線性齊次方程方程0)()( yxqyxpy的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則該方的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則該方程的通解為程的通解為)()(2211xyC

8、xyCy19定理定理3 3：如果：如果 是二階線性非齊次是二階線性非齊次y方程方程)()()(xfyxqyxpy 齊次方程齊次方程0)()( yxqyxpy的通解，則的通解，則非齊次方程的通解為非齊次方程的通解為的一個(gè)特解，的一個(gè)特解， 是相應(yīng)的是相應(yīng)的2211ycyc2211ycycyy20二、二階線性常系數(shù)齊次微分方程二、二階線性常系數(shù)齊次微分方程形如：形如：0 qyypy特征根法：特征根法：1 1、特征方程、特征方程02qp2 2、求特征方程的根，即特征根、求特征方程的根，即特征根3 3、根據(jù)特征根的不同情況，寫(xiě)、根據(jù)特征根的不同情況，寫(xiě)出相應(yīng)的齊次方程的通解。出相應(yīng)的齊次方程的通解。2

9、1若特征根為若特征根為21,（1 1）當(dāng)）當(dāng) 是兩個(gè)不相等的實(shí)根是兩個(gè)不相等的實(shí)根21齊通解為：齊通解為：xxececy2121（2 2）當(dāng)）當(dāng) 是兩個(gè)相等的實(shí)根，是兩個(gè)相等的實(shí)根， 齊通解為齊通解為21xexccy)(21（3 3）當(dāng)）當(dāng))0(i是一對(duì)共軛是一對(duì)共軛復(fù)根，齊通解為復(fù)根，齊通解為)sincos(21xcxceyx22例：例：1 1、求微分方程、求微分方程096 yyy的通解。的通解。2 2、求微分方程、求微分方程0136 yyy的通解。的通解。3 3、求微分方程、求微分方程02 yyy滿足滿足3, 000 xxyy的特解。的特解。23三、二階線性常系數(shù)非齊次微分方程三、二階線性

10、常系數(shù)非齊次微分方程)(xfqyypy 非齊通解非齊通解= =非齊特解非齊特解+ +齊通解齊通解因此求二階常系數(shù)非齊次微分方程因此求二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解時(shí)，須先求出相應(yīng)的齊次方的通解時(shí)，須先求出相應(yīng)的齊次方程的通解，再求出非齊次微分方程程的通解，再求出非齊次微分方程的一個(gè)特解即可。的一個(gè)特解即可。24（1 1）自由項(xiàng)）自由項(xiàng)xmexpxf)()(的的 m m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式其中其中 是常數(shù)，是常數(shù)， 是關(guān)于是關(guān)于 x x)(xpm特解形式為特解形式為xmkexQxy)(其中其中 是與是與 同次的多項(xiàng)式同次的多項(xiàng)式)(xQm)(xpm210k不是特征根不是特征根是單特征根是單特征根是

11、重根是重根25例：例：1 1、求微分方程、求微分方程xexyyy) 1(32 的通解的通解2 2、求微分方程、求微分方程xeyyy244 的通解的通解26（2 2）當(dāng)自由項(xiàng)）當(dāng)自由項(xiàng)xxpxxpexfnlxsin)(cos)()(其中其中 是常數(shù)，是常數(shù)， 和和 分別分別,)(xpl)(xpnl是是 次和次和 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式n特解形如：特解形如：xxQxxQexymmxksin)(cos)(27xxQxxQexymmxksin)(cos)(其中其中 是兩個(gè)待定的是兩個(gè)待定的 m m 次次)(),(xQxQmm多項(xiàng)式，多項(xiàng)式，nlm,max10ki不是特征根不是特征根i是特征根是特征根28例：例：1 1、求微分方程、求微分方程xyysin3 的通解的通解2 2、求微分方程、求微分方程xxyyysin3cos2 滿足滿足2, 100 xxyy的特解。的特解。ttxx3sin9 3、29若 是x=A(t)x的基解矩陣，則向量函數(shù) = 是x=A(t)x+f(t)的滿足初始條件 的解；向