第三章傅立葉變換和信號(hào)的頻域分析第一講

1、Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理第 三 章 信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, La

2、b of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理本章提要：本章提要：LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)與特征值系統(tǒng)的特征函數(shù)與特征值周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示及性質(zhì)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示及性質(zhì)非周期信號(hào)的傅里葉變換及性質(zhì)非周期信號(hào)的傅里葉變換及性質(zhì)LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析采樣和采樣定理采樣和采樣定理Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技

3、大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理傅里葉生平傅里葉生平17681768年生于法國(guó)年生于法國(guó)18071807年提出年提出“任何周期任何周期 信號(hào)都可用正弦函信號(hào)都可用正弦函 數(shù)級(jí)數(shù)表示數(shù)級(jí)數(shù)表示”拉格朗日反對(duì)發(fā)表拉格朗日反對(duì)發(fā)表18221822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱熱 的分析理論的分析理論”書(shū)中書(shū)中18291829年狄里赫利第一個(gè)年狄里赫利第一個(gè) 給出收斂條件給出收斂條件Fig. 3.1Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, La

4、b of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和權(quán)和” 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示示” 傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianz

5、i University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.0 引言引言我們已經(jīng)討論了時(shí)域分析方法的基本思路：我們已經(jīng)討論了時(shí)域分析方法的基本思路：信號(hào)在時(shí)域的分解信號(hào)在時(shí)域的分解利用利用LTI系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性從分解信號(hào)的角度出發(fā)，基本信號(hào)單元必須：從分解信號(hào)的角度出發(fā)，基本信號(hào)單元必須：本身簡(jiǎn)單本身簡(jiǎn)單具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號(hào)具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號(hào)系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)易于求得系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)易于求得 ( ) tn；( ) h th

6、n；( ) y ty n；Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理頻域分析的思路是一樣的頻域分析的思路是一樣的: : 將任意信號(hào)分解成復(fù)指數(shù)信號(hào)將任意信號(hào)分解成復(fù)指數(shù)信號(hào)(est)的線性的線性組合組合, 通過(guò)研究系統(tǒng)對(duì)通過(guò)研究系統(tǒng)對(duì)(est)的響應(yīng)的響應(yīng), 利用線性和利用線性和時(shí)不變性取得系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)不變性取得系統(tǒng)的響

7、應(yīng), 其響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)其響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)單元信號(hào)響應(yīng)的線性組合復(fù)指數(shù)單元信號(hào)響應(yīng)的線性組合.Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.1 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù)由時(shí)域分析有由時(shí)域分析有: : 表明表明: :LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng), ,仍然是同樣的仍然是同樣的

8、復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào), ,只是幅度有一個(gè)只是幅度有一個(gè)H(S)的加權(quán)的加權(quán), ,這說(shuō)明了：這說(shuō)明了： ste( )y t)(th()( )( )( )sts ty teh thed( )stsehed( )stH se( )( )stH sh t edt（令：）Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)

9、輸入信號(hào)的作用僅僅改變系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)輸入信號(hào)的作用僅僅改變了它的幅度了它的幅度( (可以是復(fù)數(shù)可以是復(fù)數(shù)) ) .H(S)由由h(t)決定的決定的,是是S的函數(shù)的函數(shù),稱(chēng)稱(chēng)H(S)為為L(zhǎng)TI系統(tǒng)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù),由于由于H(S)與與h(t)之間具有一一對(duì)應(yīng)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系,它們是一對(duì)拉普拉斯變換關(guān)系。它們是一對(duì)拉普拉斯變換關(guān)系。因此可以斷言因此可以斷言: H(S)一定可以刻畫(huà)一個(gè)一定可以刻畫(huà)一個(gè)LTI系統(tǒng)。系統(tǒng)。Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dian

10、zi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.1 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù)特征函數(shù)特征函數(shù): 如系統(tǒng)對(duì)某個(gè)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)，僅僅是如系統(tǒng)對(duì)某個(gè)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)，僅僅是給輸入信號(hào)乘上一個(gè)給輸入信號(hào)乘上一個(gè)(復(fù)復(fù))常數(shù)，則該信號(hào)稱(chēng)為此系統(tǒng)的常數(shù)，則該信號(hào)稱(chēng)為此系統(tǒng)的特征函數(shù)，其加權(quán)的復(fù)常數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的與特征函數(shù)對(duì)特征函數(shù)，其加權(quán)的復(fù)常數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的與特征函數(shù)對(duì)應(yīng)的特征值。應(yīng)的特征值。 是所有是所有LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，而且是唯一能成系統(tǒng)的特征函數(shù)，而且是唯一能成為所

11、有為所有LTI系統(tǒng)特征函數(shù)的信號(hào)。系統(tǒng)特征函數(shù)的信號(hào)。 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出：應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出：不同不同的的LTI系統(tǒng)可能有不同的特征系統(tǒng)可能有不同的特征函數(shù)；但是，復(fù)指數(shù)信號(hào)是唯一能夠成為所有函數(shù)；但是，復(fù)指數(shù)信號(hào)是唯一能夠成為所有LTI系統(tǒng)系統(tǒng)特征函數(shù)的信號(hào)，特征函數(shù)的信號(hào)，H(S)是與之對(duì)應(yīng)的特征值。是與之對(duì)應(yīng)的特征值。 steSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子

12、科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理 ( )( )h tt( )( )h ttSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理( )()h ttTste( )( )* ( )()( ) 1y tx th tx tTx t( )()( )()h ttTx tx tT，( )x t( )()kx ttkTSignals a

13、nd Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.1 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù) 可見(jiàn)可見(jiàn),只要能實(shí)現(xiàn)將信號(hào)只要能實(shí)現(xiàn)將信號(hào) x(t) 分解成為分解成為 的線性的線性組合組合,則系統(tǒng)對(duì)則系統(tǒng)對(duì) x(t) 的響應(yīng)就迎刃而解了的響應(yīng)就迎刃而解了.( )( )( )iis tiis tiiix tAey tAH s e若：則

14、：is teSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理本章先討論本章先討論 s= j 情況：情況：頻域分析：頻域分析： 傅里葉變換，自變量為傅里葉變換，自變量為j ；對(duì)于連續(xù)時(shí)間對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：系統(tǒng)：此時(shí)輸入信號(hào)為此時(shí)輸入信號(hào)為 ，是一個(gè)在頻率，是一個(gè)在頻率 上的上的一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)，那么對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)一個(gè)復(fù)指數(shù)信

15、號(hào)，那么對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù) 就稱(chēng)為該系統(tǒng)的頻率就稱(chēng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；響應(yīng)；stj tee( )()( )j tH SH jh t edtSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理本章先討論本章先討論 s= j 情況：情況：頻域分析：頻域分析： 傅里葉變換，自變量為傅里葉變換，自變量為j ；對(duì)于離散時(shí)間對(duì)于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)

16、：系統(tǒng)：此時(shí)記輸入信號(hào)為此時(shí)記輸入信號(hào)為 ， 是一個(gè)在頻率是一個(gè)在頻率 上的一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)，那么對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)上的一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)，那么對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù) 就稱(chēng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；就稱(chēng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)； ( )() jj nH SH eh n enjzze，nSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理 復(fù)頻域分析：復(fù)頻域分析

17、： 拉氏變換：拉氏變換：連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的延伸和連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的延伸和擴(kuò)展，自變量為擴(kuò)展，自變量為 S = +j ；Z變換：變換：離散時(shí)間傅里葉變換的延伸和擴(kuò)離散時(shí)間傅里葉變換的延伸和擴(kuò)展，展，Z= Rej；Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.2 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)與傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)與傅里葉級(jí)數(shù)

18、是周期信號(hào)是周期信號(hào), ,基波頻率基波頻率 , ,基波周期基波周期我們已經(jīng)介紹過(guò)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集我們已經(jīng)介紹過(guò)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集: : ；每個(gè)信號(hào)的頻率都是基波頻率的每個(gè)信號(hào)的頻率都是基波頻率的 整數(shù)倍。整數(shù)倍。若若: : 則則x(t)必定是以必定是以 為周期的為周期的, ,該級(jí)數(shù)就是傅里葉該級(jí)數(shù)就是傅里葉級(jí)數(shù)，這表明成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合可級(jí)數(shù)，這表明成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合可以表示周期信號(hào)。即以表示周期信號(hào)。即: :連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以分解為成連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以分解為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。0jte0002T0jkt

19、ke 0( )jktkkx tA e002TSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理 若若x(t)是實(shí)信號(hào)是實(shí)信號(hào), ； 即即 所以所以: ，或，或 3.21 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)( )( )x tx t00jktjktkkkkA eA ekkAAkkAA0( )jktkkx tA

20、e連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理改寫(xiě)上述表達(dá)式改寫(xiě)上述表達(dá)式, ,可得到傅里葉級(jí)數(shù)的其他形式可得到傅里葉級(jí)數(shù)的其他形式: :( (互為共軛互為共軛) ) 3.21 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)0000001010100

21、1( )22cos()jktjktkkkjktjktkkkjktekkkkkx tAA eA eAA eA eAR A eAAktkjkkAA e記：Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理令令 得到另一種三角形式得到另一種三角形式: :由由: : , ,從從 推得推得: :表明表明 的模是偶函數(shù)的模是偶函數(shù), , 的

22、相角是奇函數(shù)的相角是奇函數(shù); ; 由由 , , ,表明表明: : 的實(shí)部是偶函數(shù)的實(shí)部是偶函數(shù), , 的虛部是奇函數(shù)的虛部是奇函數(shù) kkkAajb0001( )2(cossin)kkkx tAaktbktkkAAkjkkkkAA eAA；kkAA；kk kAkAkkkAajbkkAA,kkkkaabb kAkASignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)

23、系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理其中其中: 顯然顯然, y(t)也是一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)也是一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù), 其系數(shù)是其系數(shù)是h(t)0jte00()jtHe0jkte00()jktH ke0( )jktkkx tA e00( )()jktkky tA H ke00()( )jktH kh t edt0()kA H k( )x t( )y tSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PR

24、IS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理00000000000( )1( )1( )TjntnTjntnjntnTx t edtA TAx t edtTAx t edtT如果周期信號(hào)如果周期信號(hào) 可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為傅里葉級(jí)數(shù):3.22 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)0( )jktkkx tA e；002T；000000()()00( )( )TTjntj k ntjntj k ntkkkkx teA ex t edtAedt00()000Tj k ntknedtT kn，( )x tkASignals and Systems All Rights Reserve

25、d by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理 傅里葉級(jí)數(shù)與系數(shù)的一對(duì)關(guān)系：傅里葉級(jí)數(shù)與系數(shù)的一對(duì)關(guān)系：0( )jktkkx tA e； 一個(gè)周期信號(hào)一個(gè)周期信號(hào)x(t)可以表示為無(wú)窮多個(gè)成諧波關(guān)系可以表示為無(wú)窮多個(gè)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。0000001( );1( );jktkTTAx t edtTAx t dtT（即是信號(hào)在一個(gè)（即是信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值）周

26、期內(nèi)的平均值）Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理 3.23 頻譜的概念頻譜的概念 傅里葉級(jí)數(shù)揭示了周期信號(hào)是由各次諧波分量迭加傅里葉級(jí)數(shù)揭示了周期信號(hào)是由各次諧波分量迭加而成的而成的,而每個(gè)諧波分量為而每個(gè)諧波分量為 ; 各個(gè)分量?jī)H僅是各個(gè)分量?jī)H僅是幅度與頻率不同幅度與頻率不同, 只要知道了只要知道了 ; 則相應(yīng)

27、的諧波則相應(yīng)的諧波分量就確定了分量就確定了.我們可以用幅度和頻率來(lái)完全代表各個(gè)分量我們可以用幅度和頻率來(lái)完全代表各個(gè)分量, 用線段用線段的長(zhǎng)度表示幅度的長(zhǎng)度表示幅度, 用其位置表示頻率。用其位置表示頻率。稱(chēng)為信號(hào)的頻譜稱(chēng)為信號(hào)的頻譜0,kA0jktkA eFig. 3.2Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理 3.2

28、3 頻譜的概念頻譜的概念 周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。利用譜圖可以直觀看出：各分量的大小，各分量處。利用譜圖可以直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移。的頻移。 00kkA00kkAFig. 3.2Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜

29、圖00000k0k0kAkA00kkAFig. 3.3Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.24 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂傅里葉級(jí)數(shù)的收斂狄里赫利條件：狄里赫利條件：P139在任何周期內(nèi)，在任何周期內(nèi)， 必須絕對(duì)可積；必須絕對(duì)可積；在任意單個(gè)周期內(nèi)，在任意單個(gè)周期內(nèi)， 具有有限個(gè)最大值和最小值；具有有限個(gè)最大值和最小值；

30、在在 的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)不連續(xù)的點(diǎn)，的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)不連續(xù)的點(diǎn)，而且在這些不連續(xù)的點(diǎn)上，而且在這些不連續(xù)的點(diǎn)上， 取有限值；取有限值；保證除了某些不連續(xù)的孤立點(diǎn)外， 等于它的傅里葉級(jí)數(shù)表示；而在那些不連續(xù)的點(diǎn)上，級(jí)數(shù)收斂于不連續(xù)點(diǎn)兩邊值（極限）的平均值；Gibbs現(xiàn)象：現(xiàn)象：一個(gè)不連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的截?cái)嘟埔粋€(gè)不連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的截?cái)嘟茖?dǎo)致的在接近不連續(xù)點(diǎn)處將呈現(xiàn)高頻起伏和超量導(dǎo)致的在接近不連續(xù)點(diǎn)處將呈現(xiàn)高頻起伏和超量 ( )x t( )Tx tdt ( )x t( )x t( )x t( )x tSignals and Systems All Rights R

31、eserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.25 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)性質(zhì)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)性質(zhì)已知已知 為一周期信號(hào)，周期為為一周期信號(hào)，周期為 ，基波頻率為，基波頻率為 ；周期相同的另一信號(hào)；周期相同的另一信號(hào) ；則則線性：線性： 時(shí)移特性：時(shí)移特性：時(shí)間反轉(zhuǎn)：時(shí)間反轉(zhuǎn)：時(shí)域尺度變換：時(shí)域尺度變換：相乘：相乘：共軛及對(duì)稱(chēng)性：共軛及對(duì)稱(chēng)性： P146( )x t

32、0 00()jktkx ttAe ；FS( )kx tA FS0T002T( )kx tA；1( )kx tB FS1( )( )kkx tx tAB FS()kxtA ；FS0()()jktkkxtA e ， 為正實(shí)數(shù)；FS1( )( )klk llx t x tHAB ；FSSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理

33、3.25 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)性質(zhì)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)性質(zhì)已知已知 為一周期信號(hào)，周期為為一周期信號(hào)，周期為 ，基波頻率為，基波頻率為 ；帕斯瓦爾定理：帕斯瓦爾定理：一個(gè)周期信號(hào)的總平均功率就等于一個(gè)周期信號(hào)的總平均功率就等于它的全部諧波分量的平均功率之和。它的全部諧波分量的平均功率之和。( )x t( )kx tA FS0T002 /T221( )Tkkx tdtAT；022211jktTkTkkA edtAdtATT；Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi

34、Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.3 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間周期信號(hào)離散時(shí)間周期信號(hào) ，基波周期為該式成立，基波周期為該式成立的最小的最小 ，基波頻率為，基波頻率為 ；用成諧波關(guān)系的復(fù)；用成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來(lái)表示，則稱(chēng)為離散時(shí)間傅里葉指數(shù)信號(hào)的線性組合來(lái)表示，則稱(chēng)為離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)： 稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，也往往稱(chēng)為稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，也往往稱(chēng)為 的頻譜的頻譜系數(shù)。系數(shù)。 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)

35、數(shù)是一個(gè)只有離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是一個(gè)只有 項(xiàng)的有項(xiàng)的有限級(jí)數(shù)，因此不存在收斂問(wèn)題，也沒(méi)有限級(jí)數(shù)，因此不存在收斂問(wèn)題，也沒(méi)有Gibbs現(xiàn)象?，F(xiàn)象。 x nx nNNN x n0(2/) jknjkN nkkkNkNx nA eA e0(2/) jknjkN nkkkkNkNAx n ex n eAA11=；且NNkA02 / N Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of P

36、RIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.3 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)性質(zhì)離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)性質(zhì)已知已知 為一周期信號(hào)，周期為為一周期信號(hào)，周期為 ，基波頻率為，基波頻率為 傅里葉級(jí)數(shù)表示記為：傅里葉級(jí)數(shù)表示記為： ，性質(zhì)和連續(xù)時(shí)，性質(zhì)和連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)大部分都相似（間周期信號(hào)大部分都相似（P157），不同的是：），不同的是：相乘：一次差分：帕斯瓦爾定理：和連續(xù)時(shí)間相同，一個(gè)周期信號(hào)的和連續(xù)時(shí)間相同，一個(gè)周期信號(hào)的總平均功率就等于它的全部諧波分量的平均功率之和。總平均功率就等于它的全部諧波分量的平均功率之和。 x n kx nA FSN02 / N 1 kl

37、k llNx n x nHAB ；FS(2/) 1(1)jkNkx nx neA ；FS221 knNkNx nAN；kAN也是周期的，周期為Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理LTI系統(tǒng)及傅里葉級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)：系統(tǒng)及傅里葉級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)：由由復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)是所有是所有LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的特征函數(shù)特征函數(shù)可得：

38、可得：一個(gè)周期信號(hào)輸入一個(gè)周期信號(hào)輸入LTI系統(tǒng)，那么輸出也一定是周期系統(tǒng)，那么輸出也一定是周期信號(hào)，且和輸入信號(hào)的周期相同；同時(shí)輸出的每一個(gè)信號(hào)，且和輸入信號(hào)的周期相同；同時(shí)輸出的每一個(gè)傅里葉系數(shù)就是對(duì)應(yīng)輸入的傅里葉系數(shù)和系統(tǒng)的頻率傅里葉系數(shù)就是對(duì)應(yīng)輸入的傅里葉系數(shù)和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)在對(duì)應(yīng)頻率的值的乘積。響應(yīng)函數(shù)在對(duì)應(yīng)頻率的值的乘積。Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of P

39、RIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.4 濾波濾波改變信號(hào)中各個(gè)頻率分量的大小或者消除某個(gè)頻率改變信號(hào)中各個(gè)頻率分量的大小或者消除某個(gè)頻率分量的過(guò)程。分量的過(guò)程。濾波器：實(shí)現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)；通?？梢苑譃闉V波器：實(shí)現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)；通?？梢苑譃轭l率成型濾波器頻率成型濾波器頻率選擇濾波器頻率選擇濾波器Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子

40、科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.4 濾波濾波根據(jù)根據(jù)LTI系統(tǒng)對(duì)特征函數(shù)的響應(yīng)特性，如果周期信號(hào)系統(tǒng)對(duì)特征函數(shù)的響應(yīng)特性，如果周期信號(hào) 可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成 ，那么系統(tǒng)的輸出，那么系統(tǒng)的輸出 同同樣可以表示為樣可以表示為 ： ， 為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ；那么一個(gè)；那么一個(gè)LTI系統(tǒng)輸出的系統(tǒng)輸出的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)可以用輸入的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)和系統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)可以用輸入的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的乘積來(lái)表示。的頻率響應(yīng)的乘積來(lái)表示。因此濾波的功能可以利用因此濾波的功能可以利用LTI系統(tǒng)來(lái)改變輸入的傅里葉系統(tǒng)來(lái)改變輸入的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。級(jí)數(shù)系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。( )y t

41、0( )jktkx tAe()H j( )x t000( )()()jktjkjktkkkky tH jA eA H eeSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州電子科技大學(xué)信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)處理3.4 濾波濾波頻率成型濾波器頻率成型濾波器P166通常應(yīng)用在音響系統(tǒng)中，頻率響應(yīng)的模一般以對(duì)數(shù)通常應(yīng)用在音響系統(tǒng)中，頻率響應(yīng)的模一般以對(duì)數(shù)-對(duì)對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示數(shù)坐標(biāo)表示,頻率響應(yīng)包括幅度和相位響應(yīng)頻率響應(yīng)包括幅度和相位響應(yīng). 幅度響應(yīng)又稱(chēng)為增益（幅度響應(yīng)又稱(chēng)為增益（ ），單位是分貝），單位是分貝或或dB。1020log()H jSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS Univ