測量不確定度與數(shù)據(jù)處理

1、實驗測量不確定度與數(shù)據(jù)處理大學(xué)物理實驗主要內(nèi)容1-1實驗測量的基本知識1-2實驗測量不確定度的評定1-3有效數(shù)字及其運算1-4實驗測量數(shù)據(jù)的處理1-1測量的基本知識一、物理測量的基本概念運用各種物理儀器和物理方法把待測未知量與已知標(biāo)準(zhǔn)單位同類量作比較，即待測量是該計量單位的多少倍。大多數(shù)的測量結(jié)果不但有數(shù)值而且有單位。816光大證券烏龍指事件程序把買入24個成分股，寫成了買入24組180ETF成分股，結(jié)果生成巨量訂單。2002年11月，一名經(jīng)紀(jì)人看錯了愛爾蘭低價航空公司Ryanair的股票價格的貨幣單位，把先令和歐元弄混，結(jié)果該股票在倫敦市場的報價上漲了61%，從404.5先令上升到653.7

2、先令。1.直接測量與間接測量 p凡是可以直接用計量儀器和測量量進行比較，便可獲得測量結(jié)果的，該測量屬于直接測量。如：米尺測長度、溫度計測溫度.p凡是通過與被測量有函數(shù)關(guān)系的其他量，才得到被測量量值的測量，稱為間接測量。如：電功率.直接測量與間接測量是相對的。直接測量是測量的基礎(chǔ)。2.等精度測量和不等精度測量p由同一觀察者用同一儀器、同一方法、同一環(huán)境測量n次，所得測量值為x1、x2.xn，則把這樣在同一種條件下的重復(fù)測量稱為等精度測量。p在不同條件（觀察者、儀器、方法、環(huán)境）下的重復(fù)測量稱為不等精度測量。3.重復(fù)測量和單次測量p在等精度的條件下對待測量進行多次直接測量，每一次測量是測量全過程的

3、重新調(diào)節(jié)，稱為重復(fù)測量。p只對測量量進行一次測量，稱為單次測量。1. 測量結(jié)果的準(zhǔn)確度要求不高，允許粗略地估計誤差的大小。2. 測量誤差遠小于儀器誤差。3. 受條件的限制，如在動態(tài)測量中，無法對待測量做重復(fù)測量。4.測量的精密度、準(zhǔn)確度、精確度p精密度p準(zhǔn)確度p精確度精密、不準(zhǔn)確準(zhǔn)確、不精密精確不精確5.儀器的準(zhǔn)確度等級與儀器的公差p選擇測量儀器應(yīng)考慮：準(zhǔn)確度等級、測量范圍、實際測量量對精度的要求等。p儀器的精密度：儀器的最小讀數(shù)。最小讀數(shù)的數(shù)值越小，儀器的精密度越高，誤差越小。p測量結(jié)果的精密度和準(zhǔn)確度與測量儀器的精確度等級密切相關(guān)。p儀器的公差：儀l游標(biāo)卡尺：出廠公差就是該游標(biāo)卡尺類精密度

4、。l指針式電表：儀 = Am%l數(shù)字式儀表：儀 = K%V + ND二、測量結(jié)果分析的基本概念n1i1ixnx隨機變量的算術(shù)平均數(shù)，等于“試驗結(jié)果的各個可能值與其相應(yīng)的頻率f(x=xi)乘積之和”。由于頻率f(x=xi)要試驗后才能確定，因而算術(shù)平均數(shù)也必須到試驗后才能求出，而且各次試驗后，所得到算術(shù)平均數(shù)也不一定相同，具有隨機性。iifxxn1i1. 多次等精度測量結(jié)果的估算（1） 算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望零件重 x公斤99100101件數(shù) m255025頻率 f25/10050/10025/100公斤10010025101100501001002599xp 數(shù)學(xué)期望dxxxfxE)()(iii

5、pxE(x)1x是連續(xù)的在大量試驗下，頻率f(x=xi)穩(wěn)定于概率p(x=xi),而隨機變量x的算術(shù)平均值也一定穩(wěn)定于“隨機變量x的各個可能值與其相應(yīng)概率p(x=xi)乘積的總和”，這個“總和”是一個常數(shù)，它是算術(shù)平均值的穩(wěn)定值，稱為隨機變量x的數(shù)學(xué)期望。p 算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(x)與算術(shù)平均值有緊密聯(lián)系，都是反映隨機變量x的“平均特征”這一統(tǒng)計特征，但它們又有質(zhì)的差別， E(x)是一個客觀存在的理論值，而算術(shù)平均值是一個試驗值，具有隨機性。其中，11iip概率概率密度函數(shù)111212nVnxxniiniixp測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差：p測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：nnnxxxniix112（

6、2）測量列及測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差u概率密度函數(shù)：21exp21)x(f(x)u正態(tài)分布曲線：xf(x)概率含量68.3%概率含量99.7%xxx3x3特點：單峰性對稱性有界性抵償性（3）正態(tài)分布1-2 實驗測量不確定度的評定1、定義：測量值測量不確定度用測量的算術(shù)平均值來表示 pux測量結(jié)果nxxxxn21由于測量誤差的存在而對測量值不能肯定的程度，稱為不確定度，它是與測量結(jié)果相聯(lián)系的一個參數(shù)。一、不確定度的定義與物理意義2、分類A類評定B類評定3、物理意義：更科學(xué)地表示了測量結(jié)果的可靠性 pux測量結(jié)果表示真值在量值uxux ,之中，顯然，量值范圍越窄，則測量不確定度越小，用測量值表示真值

7、的可靠性就越高111212nVnxxniiniixnnnxxxniix1122. 求測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差1.用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差二、直接測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，測量值分布滿足正態(tài)分布xx置信概率68.3%xf(x)為達到同樣的置信概率，應(yīng)把測量偏差范圍擴大，乘上一個 因子，即：xxxvptxvptxvpt但實驗測量中，次數(shù)有限所以測量值不滿足正態(tài)分布，而是遵循 分布。三種概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1)0.990.950.68765432vtp0.990.950.68 191498vtpnttuxvpxvpA所以直接測量量不確定度A類評定為：三、直接測量標(biāo)

8、準(zhǔn)不確定度的B類評定CkupB儀注意：對于不同的置信概率p，具有不同的A類不確定度。直接測量量不確定度B類評定為：置信概率p與置信因子kp的關(guān)系表p0.500 0.683 0.900 0.950 0.955 0.990 0.997kp0.67511.651.9622.583儀器名稱米尺游標(biāo)卡尺千分尺物理天平秒表誤差分布正態(tài)分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布C33333誤差分布與置信系數(shù)C的關(guān)系3儀Bu1）不確定度是正態(tài)分布或近似高斯分布P = 68.3%3儀Bu2）均勻分布P = 68.3%3）三角形分布6儀BuP = 68.3%四、 總不確定度的合成22BAuuuuxx測量結(jié)果:P = 6

9、8.3%注意：A、B類不確定度的合成時，兩者概率需一致。v測量不確定度用一位或二位數(shù)表示均可。如果作為間接測量的一個中間結(jié)果（中間過程）不確定度最好用二位；首位逢一、二可用兩位；對不保留數(shù)字一律“只進不舍”，如ux=0.32，取0.4。v測量值末位與不確定度末位相對齊來確定。對保留數(shù)字末位采用“4舍6入，5湊偶”規(guī)則。五、直接測量結(jié)果不確定度書寫表示注意事項如：測量結(jié)果平均值為2.1445 cm，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度計算為0.0124 cm，則測量結(jié)果為：2.1440.013 cmv不確定度單位應(yīng)與測量值單位保持一致。相對不確定度：沒有單位，用百分?jǐn)?shù)表示，它更能反映測量的準(zhǔn)確程度所取位數(shù)0-10%1

10、0%-100%取二位定義：表示不確定度ux在整個測量值 中所占百分比，用符號“E”來表示:x%100 xuExv不確定度的其它表示:首位逢1和2：取2位有效數(shù)字 首位其它數(shù)字：取1位有效數(shù)字 例：用量程025mm，最小分度值為0.01mm，最大允差為 0.004mm的螺旋測量微器測量鋼絲的直徑6次，數(shù)據(jù)如下：D(mm):3.953,3.953,3.950,3.954,3.952,3.953, 求直徑的A,B類不確定度，并完整表示不確定度測量結(jié)果。解：(1) 求A類不確定度mmDDnDiinii9525. 3611611測量次數(shù)為6次，查表得t0.683=1.11，mmnnDDttuniipxp

11、A0007. 0301050. 911. 11612mmuB0014. 03004. 03儀mmuuUBA0016. 00014. 00007. 02222測量結(jié)果的不確定度表示:)68. 0(0016. 09525. 3pmmUDDD相對不確定度:%05. 0%1009525. 30016. 0%100DUED螺旋測量微器的誤差為正態(tài)分布，C=3(2) 求B類不確定度(3) 不確定度的合成六、間接測量量不確定度的估算不確定度傳遞公式:表示間接測量值與各直接測量值之間的關(guān)系式nxxxxfN,321nxnxxxNUxfUxfUxfUxfU321321nxnxxxNUxfUxfUxfUxfNUln

12、lnlnln3213211.常用函數(shù)不確定度的算術(shù)合成p 絕對不確定度傳遞公式：p 相對不確定度傳遞公式：例如： N=A+B N=AB2.常用函數(shù)不確定度的幾何合成p 絕對不確定度傳遞公式:2222121nxnxxNUxfUxfUxfUp 相對不確定度傳遞公式:22221lnlnln21nxnxxNUxfUxfUxfNU算術(shù)合成的不確定度傳遞公式簡單但得到的是可能的最大偏差例如： N=A+B N=AB不確定度傳遞公式應(yīng)按下列步驟進行：（1）對函數(shù)求全微分（乘除時或先對函數(shù)取自然對數(shù)，再求全微分）；（2）合并同一變量的系數(shù)；（3）將微分號改為不確定度符號，求各項的絕對值之和（算術(shù)合成），或求各項

13、的平方再開方（幾何合成）。3.運算順序的選擇v函數(shù)為和與差關(guān)系-先計算絕對不確定度，后計算相對不確定度v函數(shù)為積與商關(guān)系-先計算相對不確定度，后計算絕對不確定度v函數(shù)為先和差后積商關(guān)系-先計算相對不確定度，后計算絕對不確定度v函數(shù)為先積商后和差關(guān)系-先計算絕對不確定度，后計算相對不確定度1-3 有效數(shù)字及其運算一、有效數(shù)字定義：測量數(shù)據(jù)中所有可靠數(shù)字加上一位可疑數(shù)字統(tǒng)稱為有效數(shù)字。有效數(shù)字的最后一位是估讀的，為可疑數(shù)字。雖然可疑數(shù)字不是準(zhǔn)確的，是誤差所在的位，但仍反映了被測量大小的信息，所以還是有意義的。估讀位前的幾位數(shù)字都為可靠數(shù)字。實驗過程中記錄應(yīng)記幾位數(shù)字？實驗后，處理實驗數(shù)據(jù)時數(shù)據(jù)運算

14、后要保留幾位數(shù)字？1.有效數(shù)字的認(rèn)定1）在測量數(shù)據(jù)中1、2、9九個數(shù)字，每個數(shù)字都為有效數(shù)字。2）“0”是特殊數(shù)字，其認(rèn)定應(yīng)注意以下幾種情況：v數(shù)字間的“0”為有效數(shù)字v數(shù)字后的“0”為有效數(shù)字v數(shù)字前的“0”不是有效數(shù)字，表示數(shù)量級大小注意：在測量時，數(shù)據(jù)不能任意多寫或少寫，即便是“0”也一樣。3）有效數(shù)字的位數(shù)計算，從第一位不是“0”的數(shù)字至最后一位。4）在十進制單位中，有效數(shù)字的位數(shù)與十進制單位的變化無關(guān)。5）有效數(shù)字的位數(shù)多少，在一定程度上反映測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。有效數(shù)字位數(shù)越多相對誤差越小，準(zhǔn)確度越大有效數(shù)字位數(shù)越少相對誤差越大，準(zhǔn)確度越小2.科學(xué)記數(shù)法標(biāo)準(zhǔn)式v為計算的方便，對較大或較

15、小的數(shù)值，常用10n的形式來書寫（n為正整數(shù)），。(1)加減法則：加減運算所得結(jié)果的最后一位，保留到所有參加運算的數(shù)中末位數(shù)數(shù)量級最大的那一位為止。例：217-14.8=結(jié)果： 20271.32-0.8+6.3+271=結(jié)果：348二、有效數(shù)字的運算法則202.2347.82(2)乘除法則：積和商的位數(shù)與參與運算諸項中有效數(shù)字位數(shù)最少的那一項相同。31.522.1=66.192結(jié)果： 663 .1017030. 11965. 025987996.5=5193.53102 . 5結(jié)果：41002.1結(jié)果:03.582537. 628. 928. 9034336.582537. 628. 9可多加

16、一位有效數(shù)字由，v特殊情況：(3)綜合運算計算法則：從左到右，按先“乘、除”后“加、減”進行，加、減按加減法則，乘除按乘除法則。44103863.20103863.200002. 00632. 6863.200136. 50138. 50632. 6(4)平均值的有效數(shù)字：計算重復(fù)測量4次以上的數(shù)據(jù)平均值時，有效數(shù)字可多取一位(5)無理數(shù)運算的有效數(shù)字：取無理數(shù)的位數(shù)比參與運算中有效數(shù)字位數(shù)最少的那一位多一位（其中，常數(shù)不參與有效數(shù)字的運算）。20566. 3142. 33434434,66. 3,34333）（位取為常數(shù)，此時因為若RVRRV(6)乘方、開方的法則：乘方、開方運算中，最后結(jié)果

17、的有效數(shù)字位數(shù)與自變量的有效數(shù)字位數(shù)相同。(7)函數(shù)運算的有效數(shù)字選取法則：通過改變函數(shù)值末位的一個單位，由函數(shù)值的變化來決定函數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)通常“小于5則舍”，“大于5則入”，“等于5則湊偶”即前一位為奇數(shù)則進（奇進），以成偶數(shù)；若前一位為偶數(shù)則舍（偶舍）。例：4 . 035. 0351. 24 . 045. 0二、數(shù)值的修約規(guī)則尾數(shù)的舍入法則注意：2.51取一位有效數(shù)字，因為5后有一位1，滿足大于5法則，則進習(xí)題 P302.下列數(shù)值改用有效數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)式來表示。（1）光速=（299792458100）米/秒解：（2.99792460.0000010）108 米/秒 或 （2.9979250

18、.000001）108 米/秒（3）比熱C=(0.0017300.0005)卡/克度解：（1.70.5）10-3 卡/克度3.下列各數(shù)值正確的有效數(shù)字（1）8.4670.2解：8.50.2（3）0.0026540.0008解：0.00270.0008（4）6523.5870.3解：6523.60.35.假設(shè)下列各數(shù)值的最后一位都是估計（可疑）的，請以有效數(shù)字表示其正確答案。（1）1.7321.74=3.01368解：3.01（2）10.220.08320.41=0.34862464解：0.35（3）解：2103（5）（17.34-17.13）14.28=2.9988解：3.04 .20419

19、.30034. 6038. 60421. 8y6.計算正式結(jié)果及其不確定度的表示式（算術(shù)合成和幾何合成）。N=A+2B+C-5D, 設(shè)：A=(38.2060.001)cm, B=(13.24870.0001)cmC=(161.250.01)cm, D=(1.32420.0001)cm解：(1） 不確定度的算術(shù)合成：這里因為這里因為161.25161.25的末尾數(shù)數(shù)量的末尾數(shù)數(shù)量級最大，所以最終結(jié)果保留到級最大，所以最終結(jié)果保留到百分位，后面小于五舍去。百分位，后面小于五舍去。對不確定度項對不確定度項結(jié)果結(jié)果只進不只進不舍舍，數(shù)位與測量值對齊，數(shù)位與測量值對齊。cmUN02. 00117. 00

20、005. 001. 00002. 0001. 00001. 0501. 00001. 02001. 0cmN33.2193324.2196210. 625.1614974.26206.383242. 1525.1612487.132206.38cmUNN02.033.219(2） 不確定度的幾何合成： cmUUUUUDCBAN02. 0100129. 11025101104101)0001. 05()01. 0()0001. 02()001. 0()5()()2()(4848622222222cmUNN02. 033.2198.兩分量（10.200.04）厘米和（3.010.03）厘米，用算術(shù)

21、合成和幾何合成兩種方法，相加對其不確定度該如何表示？相乘時其不確定度又該如何表示？解：令A(yù)=10.200.04cm，B=3.010.03cm，當(dāng)兩式相加時，令N=A+B，則N=10.20+3.01=13.21cm(1)算術(shù)合成法：UN=0.04+0.03=0.07cm, NUN=13.210.07cm(2)幾何合成法：cmUN05. 00025. 00009. 00016. 0)03. 0()04. 0(22NUN=13.210.05cm當(dāng)兩式相乘加時，令N=AB，則N=10.203.01=30.7cm2(1)算術(shù)合成法：UN=|BUA|+|AUB| =0.1204+0.306=0.5cm2,

22、 NUN=30.70.5cm2(2)幾何合成法：011. 000012. 0)01. 303. 0()20.1004. 0()()(2222BUAUNUBANUN=30.700.011=0.4cm2NUN=30.70.4cm210.寫出下列函數(shù)的不確定度表示式，分別用不確定度的算術(shù)合成和幾何合成兩種方法表示（用最合適的方法從不確定度或相對不確定度中選擇一種）(1)N=x+y-2z解：算術(shù)合成法： 幾何合成法：zyxzyxNUUUUzfUyfUxfU2222222)2()()()(zyxzyxNUUUUzfUyfUxfU(2)Q=k(A2+B2)/2, 其中k為常數(shù)解：算術(shù)合成法： 幾何合成法：

23、令222BABABAQBUAUkBUAUkUBfUAfU22,BEAP22222222222222BABAEPEPQBUAUkBUAUkUUkUkUkU解：測量列平均值： 平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差：測量次數(shù)為10次，在置信概率為68.3%時,t因子則A類不確定度值為：)(34. 3101101mmddii)(009. 0910)34. 3(1012mmdii)(01. 0683. 0mmtUA06. 1683. 0t11.用量程為125mm的游標(biāo)卡尺測量一鋼珠直徑10次，已知儀器最小分度值為0.02mm,儀器的最大允差儀=0.02mm,測量數(shù)據(jù)如下，求測量列的平均值、平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差、測量列的A、B類及合

24、成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。次數(shù)次數(shù)12345678910d(mm)3.323.343.363.303.343.383.303.323.343.36游標(biāo)卡尺的誤差為均勻分布，則B類不確定度值為：因此合成不確定度為： 結(jié)果不確定度表示： 相對不確定度為： 其置信概率為68.3%)(012. 0302. 03mmUB儀)(02. 022mmUUUBA)(02. 034. 3mmUdd%6 . 0%10034. 302. 0%100dUE1-4實驗測量數(shù)據(jù)的處理一、列表法二、作圖法三、逐差法四、測量數(shù)據(jù)的直線擬合五、計算機實驗數(shù)據(jù)處理一、列表法將一組有關(guān)的實驗數(shù)據(jù)和計算過程的中間數(shù)據(jù)依一定的形式和順序列成表格。

25、注意：1.根據(jù)具體物理問題，列出表格的主題名稱，設(shè)計條理清楚的欄目、行列的表格，以便記錄原始數(shù)據(jù)。2.表格欄目的設(shè)計要注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系及計算順序，利于記錄和檢查。3.物理量名稱（或符號）、單位組成一個項目，寫在表格首欄，自定義符號應(yīng)交代其代表的物理意義。二、作圖法在坐標(biāo)紙上用圖形描述物理量之間關(guān)系的一種方法，是處理實驗數(shù)據(jù)的一種重要方法，也是實驗方法研究問題的一種重要手段。1.作用及優(yōu)點：（1）直觀形象地表示出物理量的變化規(guī)律，便于尋找實驗規(guī)律和總結(jié)經(jīng)驗公式。（2）幫助發(fā)現(xiàn)實驗中個別的測量錯誤，并通過所繪圖線對系統(tǒng)誤差進行分析。（3）若圖形是依據(jù)許多測量數(shù)據(jù)描出的光滑曲線，該圖線便有多次測量取

26、平均值的作用。（4）應(yīng)用內(nèi)插法、外推法可以從圖形上得出沒有直接測量或在一定條件下無法直接測量的某些數(shù)值。（5）通過圖形可以方便地得到許多有用的參量，如最大值、最小值、直接斜率和截距等。2.作圖的要求：（1）作圖一定要用坐標(biāo)紙。如直角坐標(biāo)紙、單對數(shù)坐標(biāo)紙、雙對數(shù)坐標(biāo)紙和、極坐標(biāo)紙等。（2）畫出坐標(biāo)軸的方向，標(biāo)明其所代表的物理量及單位。通常橫軸為自變量，縱軸為因變量。（3）坐標(biāo)紙的大小及坐標(biāo)軸的比例要適當(dāng)，使數(shù)據(jù)中可靠的數(shù)字在圖中仍為可靠，數(shù)據(jù)中可疑的一位，在圖中仍為估讀的一位。（4）為避免圖線編于圖紙的一角，坐標(biāo)軸的標(biāo)值不一定從“0”開始。（5）數(shù)據(jù)點的標(biāo)出：同一張坐標(biāo)紙上幾條曲線上的數(shù)據(jù)點應(yīng)分別用不同的標(biāo)記，以示區(qū)別。（6）描繪圖線，可放棄偏離太遠的個別點，使實驗點均勻地分布在所繪直線的兩側(cè)。（7）標(biāo)明圖名稱。若用物理量的符號表示圖名，應(yīng)按y-x軸順序書寫。（8）注明作者及日期并將做好的圖紙貼在實驗報告上。3.圖解：根據(jù)已作好的圖線，可以用解析的方法從圖上求出各種參數(shù)（1）直線圖解（2）曲線改直三、逐差法1.逐差法是