材料力學(xué) 第八章組合變形.

1、81 概述概述82 斜彎曲斜彎曲83 彎曲與扭轉(zhuǎn)彎曲與扭轉(zhuǎn)8-4 8-4 拉拉( (壓壓) )彎組合彎組合 偏心拉（壓）偏心拉（壓） 截面核心截面核心81 81 概述概述MPRzxyPP組合變形組合變形桿件在外力作用下，同時產(chǎn)生兩種或兩種以上基桿件在外力作用下，同時產(chǎn)生兩種或兩種以上基 本變形的情況。本變形的情況。水壩水壩qPhg g例如：（例如：（a)a)廠房邊柱廠房邊柱壓（拉）彎組合壓（拉）彎組合 FNM矩矩 形形 截截 面面 梁梁 斜斜 彎彎 曲曲例如：（例如：（b b）坡屋頂上的橫梁）坡屋頂上的橫梁斜彎曲斜彎曲彎彎 扭扭 組組 合合 變變 形形例如：（例如：（c c）傳動軸）傳動軸彎扭

2、組合彎扭組合F1 F2M分析方法：在線彈性范圍，采用疊加原分析方法：在線彈性范圍，采用疊加原 理，先分解成基本變形，然后將同一點理，先分解成基本變形，然后將同一點 的應(yīng)力疊加的應(yīng)力疊加 。 二、組合變形的研究方法二、組合變形的研究方法 疊加原理疊加原理( (位移、應(yīng)位移、應(yīng)力、應(yīng)變、和內(nèi)力等與外力成線性關(guān)系力、應(yīng)變、和內(nèi)力等與外力成線性關(guān)系) )外力分析：外力分析：外力向形心簡化外力向形心簡化內(nèi)力分析：內(nèi)力分析：求每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確求每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確 定危險面。定危險面。畫危險面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險點的強畫危險面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險點的強

3、度條件。度條件。yzxP1P2a梁任意橫截面上的內(nèi)力分析梁任意橫截面上的內(nèi)力分析P1 使梁在使梁在 平面內(nèi)彎曲（平面內(nèi)彎曲（y 軸為中性軸）軸為中性軸）P2 使梁在使梁在 平面內(nèi)彎曲（平面內(nèi)彎曲（z 軸為中性軸）軸為中性軸）yzxmmxP1P2ammzyMyMy = P1 x （使梁在（使梁在 XZ 平面內(nèi)彎曲，平面內(nèi)彎曲，y 為中性軸）為中性軸）P1 和和 P2在在 mm 面內(nèi)產(chǎn)生的彎矩為面內(nèi)產(chǎn)生的彎矩為yzxMZ = P2 (x-a) （使梁在（使梁在 XY 平面內(nèi)彎曲，平面內(nèi)彎曲，z 為中性軸）為中性軸）mmxP1P2ammzyMZMy梁橫截面上的應(yīng)力分析梁橫截面上的應(yīng)力分析 （任意點（

4、任意點 C(y, z) 的正應(yīng)力）的正應(yīng)力）o z ymmzyMZMyMZ C ( y,z )MymmzymmzyMZMyo z yMZ C ( y,z )My與與 My 相應(yīng)的正應(yīng)力為相應(yīng)的正應(yīng)力為zIMyy與與 Mz 相應(yīng)的正應(yīng)力為相應(yīng)的正應(yīng)力為yIMzzo z ymmzyMZMyMZ C ( y,z )MyyIMzIMzzyy C 點處的正應(yīng)力為點處的正應(yīng)力為xyzP82 斜彎曲斜彎曲一、斜彎曲一、斜彎曲：桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與外力（橫 向力）不共面。二、斜彎曲的研究方法二、斜彎曲的研究方法 ：1.分解：將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲。PyPz

5、PzPyyzPj j2.疊加：對兩個平面彎曲進行研究；然后將計算結(jié)果疊加起來。xyzPyPzPPzPyyzPj jjsinPPyjcosPPz解：1.將外載沿橫截面的形心主軸分解2.研究兩個平面彎曲jjsin sin)( )(MxLPxLPMyzjcosMMyxyzPyPzPPzPyyzPj jLmmxLjcos yyyIMIzMz jsin zzzIMIyMy )sincos(jjzyIyIzM My引起的應(yīng)力：M z引起的應(yīng)力：合應(yīng)力：PzPyyzPj jxyzPyPzPLmmxLaABCP8 4扭轉(zhuǎn)與彎曲扭轉(zhuǎn)與彎曲研究對象：研究對象：圓截面桿圓截面桿受力特點：桿件同時承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用

6、。受力特點：桿件同時承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用。變形特點：發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。變形特點：發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。ABLaP一、一、 內(nèi)力分析內(nèi)力分析 設(shè)一直徑為設(shè)一直徑為 d 的等直圓桿的等直圓桿 AB , B 端具有與端具有與 AB 成直角的剛臂。成直角的剛臂。研究研究AB桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。BAABLaPB橫向力：橫向力： P （引起平面彎曲）（引起平面彎曲）力偶矩：力偶矩： m = Pa （引起扭轉(zhuǎn)）（引起扭轉(zhuǎn)）將力將力 P 向向 AB 桿右端截面的桿右端截面的形心形心B簡化簡化得得AB 桿為彎扭組合變形桿為彎扭組合變形APmx畫內(nèi)力圖確定危險截面畫內(nèi)力圖確定危險截面固定端為危險截

7、面固定端為危險截面AAPmPlmA截面截面 C3C4T C3C4 C2C1二、二、 應(yīng)力分析應(yīng)力分析 最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 發(fā)生在截面發(fā)生在截面周邊上的各點處。周邊上的各點處。 C2C1危險截面上的最大彎曲危險截面上的最大彎曲正應(yīng)力正應(yīng)力 發(fā)生在發(fā)生在 處處C1C2C3C4TA截面截面 C3C4 C2C1C1C2C3C4T對于許用拉、壓應(yīng)力相等的對于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿這兩點的塑性材料制成的桿這兩點的危險程度是相同的。危險程度是相同的。 可取任可取任一點一點C1 來研究。來研究。C1 點處于平面應(yīng)力狀態(tài)點處于平面應(yīng)力狀態(tài)C1 三、三、強度分析強度分析1、主應(yīng)力計算、主應(yīng)

8、力計算4)2(222213212 202C1 第三強度理論第三強度理論,計算相當(dāng)力計算相當(dāng)力2、 相當(dāng)應(yīng)力計算相當(dāng)應(yīng)力計算422313 r 第四強度理論第四強度理論,計算相當(dāng)應(yīng)力計算相當(dāng)應(yīng)力2243r4212 )2(2222213023、 強強 度計算度計算 rC1 422313 r2243r該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。 是危險點的正應(yīng)力，是危險點的正應(yīng)力， 是危險點的剪應(yīng)力。是危險點的剪應(yīng)力。且橫截面不限于圓形截面。且橫截面不限于圓形截面。C1 422313 r2243r可以是可以是變形中由彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力；變形中由彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力； 是由扭轉(zhuǎn)變形引起的剪

9、應(yīng)力。是由扭轉(zhuǎn)變形引起的剪應(yīng)力。C1 還可以是還可以是，（）與）與組合變形中由彎曲與拉（壓）組合變形中由彎曲與拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力。產(chǎn)生的正應(yīng)力。也可以是也可以是 （）與）與組合變形中由拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力；組合變形中由拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力；422313 r2243rC1 該公式適用于該公式適用于 ，組合變形；組合變形；（）與）與的組合變形；的組合變形；以及以及 （），），與與 的組合變形。的組合變形。彎、扭組合變形時，相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達式可改寫為彎、扭組合變形時，相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達式可改寫為對于圓形截面桿有對于圓形截面桿有21623dWWtWTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMW

10、TWMtr75. 0)(3)(32222224上兩式只適用于上兩式只適用于組合變形下的組合變形下的 式中式中為桿的抗彎截面系數(shù)。為桿的抗彎截面系數(shù)。， 分別為危險截面的彎矩分別為危險截面的彎矩和扭矩。和扭矩。WTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMWTWMtr75. 0)(3)(3222222480 P2zyxP1150200100ABCD例解：外力向形心 簡化并分解建立圖示桿件的強度條件彎扭組合變形80 P2zyxP1150200100ABCD150200100ABCDP1MxzxyP2yP2zMx每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖疊加彎矩，并畫圖)()()(22xMxMxMzy確

11、定危險面)( ; )( ; )(xMxMxMnzyM Z (N m)X(Nm)MyxMy (N m)XMz(Nm)x （Nm）xMnMnMn(Nm)xM (N m)XMmaxM(Nm)Mmaxx畫危險面應(yīng)力分布圖，找危險點WMxBmax1PnBWM12231)2(2建立強度條件2231341xB1Bx1xB2xBM1B1xB1BxB1B2MyMzMnM由第三強度理論由第三強度理論2234213232221421對圓截面:Wt=2W22*31TMW對圓截面:Wt=2WWTM22*475. 0由第四強度理論由第四強度理論22*43例題例題 試根據(jù)最大剪應(yīng)力理論（第三強度理論）確定試根據(jù)最大剪應(yīng)力理

12、論（第三強度理論）確定圖中所示手搖卷揚機（轆轤）能起吊的最大許可荷載圖中所示手搖卷揚機（轆轤）能起吊的最大許可荷載P P的數(shù)值。已知：機軸的橫截面為直徑的數(shù)值。已知：機軸的橫截面為直徑d d =30mm=30mm的圓形，的圓形，機軸材料的許用應(yīng)力機軸材料的許用應(yīng)力 =160MPa=160MPa。 0.18mPP0.4m0.4m30mm解解: : （1 1）跨中截面的內(nèi)力）跨中截面的內(nèi)力0.180.18nMPPNm 0.80.24PMPNm （2）截面的幾何特性33302 6503232dW mm3 25 300pWW mm3 223070744dA mm2 （3）應(yīng)力計算90.180.0345

13、300 10nnpMPPWMPa 90.20.0762 650 10MMPPWMPa MPa 1322220.0760.0760.0342222MMnPPP0.0890.0380.0510.013PPPPMPa（4）根據(jù)最大剪應(yīng)力理論求許可荷載130.0890.0130.102PPP 1601601.570.102P kN 外力分析：外力向形心簡化并分解。內(nèi)力分析：每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危 險面。建立強度條件。彎扭組合問題的求解步驟：彎扭組合問題的求解步驟：例題例題 ： 圖圖 示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪 C 上作用有上作用有鉛垂切向力鉛垂切向力

14、5 KN,徑向力徑向力 1.82 KN;齒輪齒輪 D上作用有水平切向力上作用有水平切向力10 KN,徑向力徑向力 3.64 KN 。齒輪。齒輪 C 的節(jié)圓直徑的節(jié)圓直徑 dc = 400 mm ,齒輪齒輪 D 的的節(jié)圓直徑節(jié)圓直徑 dD =200 mm。設(shè)許用應(yīng)力。設(shè)許用應(yīng)力 =100 MPa ,試按試按第四強度理論求軸的直徑。第四強度理論求軸的直徑。BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN解：解：1 、外力的簡化、外力的簡化xyzACBD5KN1KN.m1.82KN3.64kN10kN1KN.m將每個齒輪上的外力將每個齒輪上的外力向該軸的截面形心向該

15、軸的截面形心簡化，簡化，BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN 使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn) ， 使軸在使軸在 縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。 ，使軸在使軸在 縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。 2、 軸的變形分析軸的變形分析xyzACBD5KN3.64kN1.82KN10kN1KN.m1KN.mxyzACBD5KN3.64kN3、繪制軸的內(nèi)力圖、繪制軸的內(nèi)力圖MyC=0.57KN.mMyB=0.36KN.m0.570.36CBMy圖圖xyzACBD1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖MZC=0.227KN.mMZB=1KN.mx

16、yzACBDT=1KN.m1KN.m1KN.m1CT圖圖-圓桿發(fā)生的是斜圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形合變形xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖由于通過圓軸軸線的由于通過圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面，故軸在平面，故軸在 xz 和和 xy 兩平面內(nèi)彎曲的合成兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)果仍為平面彎曲結(jié)果仍為平面彎曲，從而可用總彎矩來，從而可用總彎矩來計算該截面正應(yīng)力。計算該截面正應(yīng)力。xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖B 截

17、面是危險截面截面是危險截面MyC=0.57KN.mMZC=0.227KN.mMyB=0.36KN.mMZB=1KN.m4、危險截面上的、危險截面上的內(nèi)力計算內(nèi)力計算xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖xzyMyBMzBMyBMzBMByzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖B截面的總彎矩為截面的總彎矩為22MMMzByBB mKN.0641 MyBMzBMByzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz

18、圖圖B 截面的扭矩值為截面的扭矩值為mKNTB.1 xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy圖圖1.82KN10kN0.2271CBMz圖圖1CT圖圖5，由強度條件求軸的直徑，由強度條件求軸的直徑 WWTMBBr1372750224.323dW 軸需要的直徑為軸需要的直徑為mmd9511010013723236. 一、組合變形的受力特點一、組合變形的受力特點8 2 拉伸（壓縮）與彎曲拉伸（壓縮）與彎曲 桿件將發(fā)生拉伸桿件將發(fā)生拉伸 (壓縮壓縮 ) 與彎曲組合變形。與彎曲組合變形。作用在桿件上的作用在桿件上的 外力既有外力既有軸向拉軸向拉 ( 壓壓 ) 力力，還有，還有橫向力橫向

19、力。二、變形特點二、變形特點PPSSP 產(chǎn)生彎曲變形產(chǎn)生彎曲變形S 產(chǎn)生拉伸變形產(chǎn)生拉伸變形 PyPxPy 產(chǎn)生彎曲變形產(chǎn)生彎曲變形Px 產(chǎn)生拉伸變形產(chǎn)生拉伸變形二、二、 拉拉(壓壓)與彎曲內(nèi)力分析與彎曲內(nèi)力分析xzy0MZNMy桿件橫截面上內(nèi)力桿件橫截面上內(nèi)力彎曲彎曲 拉拉(壓壓)：軸力：軸力N彎矩彎矩 MZ 或或 My (或二者皆有或二者皆有) 剪力剪力因為引起的剪應(yīng)力較小，故一般不考慮。因為引起的剪應(yīng)力較小，故一般不考慮。 WMWMANyyzzMMNzy橫截面上任意一點橫截面上任意一點 ( z, y) 處的處的正應(yīng)力計算公式為正應(yīng)力計算公式為三、三、 應(yīng)力分析應(yīng)力分析xzy0MZNMy(

20、 z,y )拉伸正應(yīng)力拉伸正應(yīng)力 N彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 Mz， MySN 軸力軸力跨中截面是桿的危險截面跨中截面是桿的危險截面PlM41max PS2l2lSASANt與軸力對應(yīng)的拉伸正應(yīng)力與軸力對應(yīng)的拉伸正應(yīng)力與彎矩對應(yīng)的最大彎曲正應(yīng)力與彎矩對應(yīng)的最大彎曲正應(yīng)力WPlWMb4maxANt PS2l2lS WMbmax -WPlASt4max桿危險截面桿危險截面下邊緣各點下邊緣各點處的上的拉應(yīng)力為處的上的拉應(yīng)力為ANt PS2l2lS WMbmax - max 當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時，應(yīng)分別建立當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時，應(yīng)分別建立桿件的抗拉、桿件的抗拉、 壓強度

21、條件。壓強度條件。 四四 強度條件強度條件由于危險點處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單向應(yīng)力狀態(tài)，故其為由于危險點處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單向應(yīng)力狀態(tài)，故其為例題：懸臂吊車如圖所示。橫梁用例題：懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。工字鋼制成。其抗彎剛度其抗彎剛度Wz=237cm3,橫截面面積橫截面面積A=35.5cm2，總荷載，總荷載P=34KN，橫梁材料的許用應(yīng)力為，橫梁材料的許用應(yīng)力為 =12.5MPa。校核橫。校核橫梁梁AB的強度。的強度。ABCD1.2m1.2m300ABCD1.2m1.2m300解：分析解：分析AB的受力的受力DABPRSNBC300ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS30

22、002 . 14 . 2030sin0PNmBCANBC=PRA=0.5PHA=0.866PRAHAAB為平面彎曲與壓縮組合變形。為平面彎曲與壓縮組合變形。中間截面為危險截面。中間截面為危險截面。最大壓應(yīng)力最大壓應(yīng)力發(fā)生在該發(fā)生在該截面的上邊緣。截面的上邊緣。壓縮正應(yīng)力壓縮正應(yīng)力APAHA866. 0 最大彎曲正應(yīng)力最大彎曲正應(yīng)力WPWRzzAW6 . 02 . 1max ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS300RAHAABCD1.2m1.2m30037.946 . 0866. 0max MPaWPAPzc例題例題: 一折桿由兩根無縫鋼管焊接一折桿由兩根無縫鋼管焊接 而成而成,已知兩根鋼管的外徑都已知兩根鋼管的外徑都 是是140mm ,壁厚都是壁厚都是10 mm 。 試求折桿危險截面上的最大試求折桿危險截面上的最大 拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCA 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCAHARARB解解：（：（1） 首先求支反力。首先求支反力。 由靜力平衡方程可求得由靜力平衡方程可求得 RA = RB= 5 KNHA= 0 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCAHARARB 由于折桿本