《用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式》課件上課

1、石門中學(xué)石門中學(xué)1 1、已知拋物線、已知拋物線y=ax2+bx+c0經(jīng)過點（經(jīng)過點（-1,01,0），則），則_經(jīng)過點（經(jīng)過點（0, ,-3），則），則_經(jīng)過點（經(jīng)過點（4,5,5），則），則_對稱軸為直線對稱軸為直線x=1，則則_當當x=1=1時，時，y=0=0，則，則a+b+c=_ab2-=1a-b+c=0c=-316a+4b+c=5頂點坐標是（頂點坐標是（-3,4-3,4），）， 則則h=_,k=_，-3a（x+3）2+442 2、已知拋物線、已知拋物線y=a（x-h）2+k對稱軸為直線對稱軸為直線x=1，則則_代入得代入得y=_代入得代入得y=_h=1a（x-1）2+k拋物線解析式拋物

2、線解析式拋物線與拋物線與x軸交點坐標軸交點坐標( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=2(2(x-1 1)()(x-3 3) )y=3(3(x-2 2)()(x+1+1) )y=-5(5(x+4+4)()(x+6+6) )-x1- x2求出下表中拋物線與x軸的交點坐標，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？軸的交點坐標，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？（1，0）（）（3，0）（2，0）（）（-1，0）（-4，0）（）（-6，0）( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0）交點式交點式拋物線解析式拋物線解析式拋物線與拋物線與x軸交點坐標軸交點坐標( (x1,0)

3、,( ,0),( x2,0),0)-x1- x2求出下表中拋物線與x軸的交點坐標，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？軸的交點坐標，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？（1，0）（）（3，0）（2，0）（）（-1，0）（-4，0）（）（-6，0）( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0）交點式交點式y(tǒng)=a( (x-1)(1)(x-3)3)（a0 0）y=a( (x-2)()(x+1) )（a0 0）y=a( (x+4)()(x+6) )（a0 0）已知三個點坐標三對對應(yīng)值，選擇一般式已知三個點坐標三對對應(yīng)值，選擇一般式已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值，選擇頂點式已知頂點坐標或?qū)ΨQ

4、軸或最值，選擇頂點式 已知拋物線與已知拋物線與x軸的兩交點坐標，選擇交點式軸的兩交點坐標，選擇交點式一般式一般式y(tǒng)=ax2+bx+c (a0)頂點式頂點式 y=a(x-h)2+k (a0)交點式交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2) (a0)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式。的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式。 一、設(shè)一、設(shè)二、代二、代三、求三、求四、寫四、寫解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為解得解得已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0,-30,-3） （4,54,5）（

5、1, 01, 0）三點，求這個函數(shù)的解析式？）三點，求這個函數(shù)的解析式？二次函數(shù)的圖象過點（二次函數(shù)的圖象過點（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=y=ax2+bx+c16a+4b=8a-b=34a+b=2 a-b=3-3解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為解得解得所求二次函數(shù)為所求二次函數(shù)為 y=x2-2x-3已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0,-30,-3） （4,54,5）（1, 01, 0）三點，求這個函數(shù)的解析式？）三點，求這個函數(shù)的解析式？一、設(shè)一、設(shè)二、代二、代三、求三、求四、還原四、還原

6、二次函數(shù)的圖象過點（二次函數(shù)的圖象過點（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=1-2-3x=0=0時時, ,y=-3; x=4=4時時, ,y=5; x=-1=-1時時, ,y=0;y=ax2+bx+c解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)(x1） 例例2、已知拋物線與、已知拋物線與X軸交于軸交于A（1，0），），B（1,0）并經(jīng)過點并經(jīng)過點M（0,1），求拋物線的解析式？），求拋物線的解析式？yox由條件得：由條件得：點點M( 0,1 )在拋物線上在拋物線上所以：所以：a(0+1)(0-1)=1得得 ： a=-1故

7、所求的拋物線為故所求的拋物線為 y=- (x1)(x-1)即：即：y=-x2+1思考：思考： 用一般式怎么解？用一般式怎么解？解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+cc=-3 a-b+c=09a+3b+c=0已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0, -30, -3） （-1,0-1,0） （3,03,0） 三點，求這個函數(shù)的解析式？三點，求這個函數(shù)的解析式？解得解得a=b=c=1-2-3所求二次函數(shù)為所求二次函數(shù)為 y=x2-2x-3依題意得依題意得解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為已知拋物線的頂點為（已知拋物線的頂點為（1 1，4 4），

8、），且過點（且過點（0 0，3 3），求拋物線的解析式？），求拋物線的解析式？所求的拋物線解析式為所求的拋物線解析式為 y=(x-1)2-4a-4=-3, a=1最低點為（最低點為（1，-4）點點( 0,-3)在拋物線上在拋物線上x=1，y最值最值=-4y=a( (x-1)1)2 2-4-4思考：怎樣設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式思考：怎樣設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0,-30,-3） （4,54,5） 對稱軸為直線對稱軸為直線x=1=1，求這個函數(shù)的解析式？，求這個函數(shù)的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎樣設(shè)二次

9、函數(shù)關(guān)系式思考：怎樣設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式解：設(shè)所求的二次函數(shù)為解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+cc=-3 16a+4b+c=0已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0,-30,-3） （4,54,5） 對稱軸為直線對稱軸為直線x=1x=1，求這個函數(shù)的解析式？，求這個函數(shù)的解析式？對稱軸為直線對稱軸為直線x=1x=1ab2-=1依題意得依題意得 例例3、已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是的最大值是2，圖象頂點在直線，圖象頂點在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)上，并且圖象經(jīng)過點（過點（3，-6），求此二次函數(shù)的解析式。），求此二次函數(shù)的解析式。又又圖象經(jīng)過點

10、（圖象經(jīng)過點（3，-6）-6=a (3-1)2+2 得得a=-2故所求二次函數(shù)的解析式為：故所求二次函數(shù)的解析式為：y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x解：解：二次函數(shù)的最大值是二次函數(shù)的最大值是2 2拋物線的頂點縱坐標為拋物線的頂點縱坐標為2 2 又又拋物線的頂點在直線拋物線的頂點在直線y=x+1y=x+1上上當當y=2y=2時，時，x=1x=1。 故頂點坐標為（故頂點坐標為（ 1 1 ， 2 2）所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)y=a(x-1)2 2+2+2例例4 4、圖象頂點是、圖象頂點是M(1,16)M(1,16)且與且與x x軸交于

11、兩點，軸交于兩點，已知兩交點相距已知兩交點相距8 8個單位個單位. .解：設(shè)拋物線與解：設(shè)拋物線與x x軸交于點軸交于點A A、點、點B B 頂點頂點M M坐標為（坐標為（1,161,16）, ,對稱軸為對稱軸為x=1,x=1,又交點又交點A A、B B關(guān)于直線關(guān)于直線x=1x=1對對稱稱,AB=8,AB=8A(-3,0)A(-3,0)、B(5,0)B(5,0)此函數(shù)解析式可設(shè)為此函數(shù)解析式可設(shè)為 y=a(x-1)y=a(x-1)2 2+16+16 或或y=a(x+3)(x-5)y=a(x+3)(x-5)xyo116AB- 35xyo解：解：A(1A(1，0)0)，對稱軸為，對稱軸為x=2x=

12、2拋物線與拋物線與x x軸另一個交點軸另一個交點C C應(yīng)為（應(yīng)為（3 3，0 0）設(shè)其解析式為設(shè)其解析式為y=a(x-1)(x-3)y=a(x-1)(x-3)將將B（0，-3）代入上式）代入上式-3=a(0-1)(0-3)-3=a(0-1)(0-3)a=-1a=-1y= -(x-1)(x-3)=-xy= -(x-1)(x-3)=-x2 2+4x-3+4x-31AB -3C32例5、已知拋物線過兩點A(1,0),B(0,-3)且對稱軸是直線x=2,求這個拋物線的解析式。 如圖，直角如圖，直角ABo的兩條直角邊的兩條直角邊OA、OB的長分別是的長分別是1和和3，將，將AOB繞繞O點按逆時點按逆時針

13、方向旋轉(zhuǎn)針方向旋轉(zhuǎn)90，至，至DOC的位置，求過的位置，求過C、B、A三點的二次函數(shù)解析式。三點的二次函數(shù)解析式。CAOBDxy當拋物線上的當拋物線上的點點的坐標未知的坐標未知時，時， 應(yīng)根據(jù)題目中的應(yīng)根據(jù)題目中的隱含條件隱含條件求出點求出點的坐標的坐標(1，0)（0，3）（-3，0）想一想想一想有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為的最大高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m施工前施工前要先制造建筑模板要先制造建筑模板, ,怎樣畫出模板的輪怎樣畫出模板的輪廓線呢廓線呢? ? 分析分析:通常要先建立適當?shù)闹苯亲鴺讼低ǔＲ冉⑦m當?shù)闹苯亲鴺讼?

14、再再寫出函數(shù)關(guān)系式寫出函數(shù)關(guān)系式,然后再根據(jù)關(guān)系式進行計算然后再根據(jù)關(guān)系式進行計算,放樣畫圖放樣畫圖.有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為的最大高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里的圖形放在坐標系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋，求拋物線的解析式物線的解析式 設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為y=ax2bxc，解解法法一：一： 根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知:拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和和(40，0)三點三點 可得方程組可得方程組 所求拋物線解析式為所求拋物線解析式為218255yxx -知

15、知 識識 應(yīng)應(yīng) 用用0,58,251-cba解得有一個拋物線形的立交橋拱，這個有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為橋拱的最大高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式求拋物線的解析式 設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x-20)216 解解法法二二根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點點(0，0)在拋物線上，在拋物線上， 所求拋物線解析式為所求拋物線解析式為 知知 識識 應(yīng)應(yīng) 用用設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=ax(x-40 ）解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點點(20，16)在拋物線上，在拋物線上， 有一

16、個拋物線形的立交橋拱，這個有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為橋拱的最大高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式求拋物線的解析式 知知 識識 應(yīng)應(yīng) 用用xy1620-20用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式的用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式的基本方法分四步完成：基本方法分四步完成：一設(shè)、二代、三解、四還原一設(shè)、二代、三解、四還原一設(shè)一設(shè):指先設(shè)出二次函數(shù)的解析式指先設(shè)出二次函數(shù)的解析式二代二代:指根據(jù)題中所給條件，代入二次函數(shù)的指根據(jù)題中所給條件，代入二次函數(shù)的解析式，得到關(guān)于解析式，得到關(guān)于

17、a、b、c的方程組的方程組三解三解:指解此方程或方程組指解此方程或方程組四還原四還原:指將求出的指將求出的a、b、c還原回原解析式中還原回原解析式中方方 法法 小小 結(jié)結(jié)求二次函數(shù)關(guān)系式常見方法：求二次函數(shù)關(guān)系式常見方法：1.1.已知圖象上三點或三點的對應(yīng)值，通常選擇一般式2.2.已知圖像的頂點坐標或?qū)ΨQ軸和最值，通常選擇頂點式 3.3.已知圖像與x軸兩個交點坐標，通常選擇交點式 反思總結(jié)反思總結(jié)1、若拋物線、若拋物線yax2bxc的對稱軸為的對稱軸為x2，且經(jīng)過點且經(jīng)過點(1,4)和點和點(5,0)，求此拋物線解析式，求此拋物線解析式?2、已知二次函數(shù)的圖像過點、已知二次函數(shù)的圖像過點A(1,0)、B(3,0)，與與y軸交于點軸交于點C，且，且BC ，求二次函數(shù)關(guān)系，求二次函數(shù)關(guān)系式？式？2 3 做做 一一 做做（1）過點（）過點（2，4），且當），且當x=1時，時，y有最值為有最值為6；（2）如圖所示，）如圖所示