線性代數(shù)(同濟六版珍藏版)

1、 線性代數(shù)線性代數(shù) 同濟六版同濟六版一元一次方程一元一次方程 ax = b 一元二次方程一元二次方程二元二元 、三元線性方程組、三元線性方程組n行列式行列式n矩陣及其運算矩陣及其運算n矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組n向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性n矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量一元一次方程一元一次方程 ax = b 當當 a0 時，時，bax1 10 x2x22x3x22121 2312二元二元 （三元）線性方程組（三元）線性方程組例例 解二元線性方程組解二元線性方程組14x71 得得于是于是2x1 6x2 42x72 類似地，可得類似地，可得于是于是

2、第一章第一章 行列式行列式1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式,21122211212221aaaabaabx1 )(1bxaxabxaxa22221211212111 線性方程組線性方程組時時，得得當當0aaaa1221211乘乘第第二二個個方方程程乘乘第第一一個個方方程程的的兩兩邊邊，即即用用1222aa 212221112212211baabxaaaa )(消去消去 x2 ,的兩邊后的兩邊后,兩式相加得兩式相加得消元法消元法記記22211211aaaa22211211aaaa稱它為稱它為二階行列式二階行列式，于是，線性方組（于是，線性方組（1）的解可以寫為）的解可以寫為2112221

3、1aaaa定義為定義為類似地，可得類似地，可得.aaaaabbax211222112112112 ,21122211212221aaaabaabx1 333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 類似的，我們還可以定義三階行列式為類似的，我們還可以定義三階行列式為3221312312332211aaaaaaaaa13222112112211112222112112221211aaaababaxaaaaababx ,n 階排列共有階排列共有 n! !個個. 排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù) 2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 把把 1,

4、2, , n 排成一列，稱為一個排成一列，稱為一個 n 階全排列階全排列. 奇排列奇排列 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. 在一個排列中如果一對數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有在一個排列中如果一對數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有 例例 1 排列排列 1 2 n 稱為自然排列，稱為自然排列，所以是偶排列所以是偶排列.一個一個逆序逆序.偶排列偶排列 一個排列中所有逆序的總數(shù)一個排列中所有逆序的總數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. 它的逆序數(shù)為它的逆序數(shù)為0 ，三 階排列階排列共有共有321=3!個個.321jjj 例例 2 排列排列 3 2 5 1 4 的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 t ()

5、 例例 3 排列排列 n ( n 1 ) 3 2 1 的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 t ( n (n 1) 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + + ( n 1 ) = 21nn 排列排列 3 2 5 1 4 為奇排列為奇排列. 5333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 三階行列式定義為三階行列式定義為3221312312332211aaaaaaaaa13 3n 階行列式的定義階行列式的定義三階行列式是三階行列式是 3 ! != 6 項項 的代數(shù)和的代數(shù)和.321321j3j2j1jjjtaaa1)()( 321j3j2j1a

6、aa 123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3三階行列式可以寫成三階行列式可以寫成3213212331232221131211j3j2j1jjjt33aaaaaaaaaaaa1 )()(,的的一一個個排排列列，是是其其中中321jjj321.jjjjjjt321321的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列)( 定義定義 由由 n2 個數(shù)組成的數(shù)表，個數(shù)組成的數(shù)表，的的一一個個排排列列，是是其其中中n21jjjn21.jjjjjjtn21n21的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列)(n21n21njj2j1jjjtaaa1

7、.)()( nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa稱為稱為 n 階行列式階行列式 ,項的代數(shù)和，項的代數(shù)和， 即即 規(guī)定為所有形如規(guī)定為所有形如記成記成nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa例例 1 下三角行列式下三角行列式333231222111aaa0aa00a332211aaa n21n21njj2j1jjjtaaa1.)().( 例例2 下三角行列式下三角行列式nn2211aaa nn2n1n222111a.aa0.aa0.0a例例 3 三階行列式三階行列式321 321 例例5 n 階行列式階行列式n21 n2121nn1 )()( 432

8、1 例例4 四階行列式四階行列式4321 經(jīng)對換經(jīng)對換 a 與與 b ,得排列得排列 ,m1k1babbaa1babbaatbbabaatm1k1m1k1)()(所以，經(jīng)一次相鄰對換，排列改變奇偶性所以，經(jīng)一次相鄰對換，排列改變奇偶性.,11mkbbabaa 4 4 對換對換 對換對換 定理定理 1 一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性. 證證 先證相鄰對換的情形先證相鄰對換的情形. 那么那么設(shè)排列設(shè)排列 1cbcbabaan1m1k1經(jīng)對換經(jīng)對換 a 與與 b排列，得排列排列，得排列 2cacbbbaan1m1k1 相鄰對換相鄰對換 再證一

9、般對換的情形再證一般對換的情形. 設(shè)排列設(shè)排列事實上，排列（事實上，排列（1）經(jīng)過）經(jīng)過 2m + 1 次相鄰對換變?yōu)榕帕校ù蜗噜弻Q變?yōu)榕帕校?）.np2p1pppptn21n21aaaD1 )()( 定理定理 2 n 階行列式也可以定義為階行列式也可以定義為根據(jù)相鄰對換的情形及根據(jù)相鄰對換的情形及 2m + 1 是奇數(shù)，是奇數(shù)，性相反性相反.所以這兩個排列的奇偶所以這兩個排列的奇偶 53142 解解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7t(53412) = 0+1+1+3+3=8 53412求這兩個排列的逆序數(shù)求這兩個排列的逆序數(shù).經(jīng)對換經(jīng)對換1與與4 得排列得排列例例 1 排列

10、排列 1. 選擇選擇 i 與與 k 使使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列成奇排列.項項，是是否否為為四四階階行行列列式式中中的的和和2431431244332114aaaaaaaa2.若是，指出應(yīng)冠以的符號若是，指出應(yīng)冠以的符號 3.計算計算n 階行列式階行列式練習(xí)練習(xí)111是是四四階階，不不是是四四階階行行列列式式中中的的項項2431431244332114aaaaaaaa2.4331241224314312aaaaaaaa 21nn11113)()(. 43312412433124123433124122413taaaaaaaa1aaaaa

11、1 行列式中的項行列式中的項. 1.（1）i = 4, k = 3時，即排列時，即排列 2 5 4 1 3 為偶排列；為偶排列； （2）i = 3, k = 4時，即排列時，即排列 2 5 3 1 4 為奇排列為奇排列. 性質(zhì)性質(zhì) 1 性質(zhì)性質(zhì) 2 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 推論推論 兩行（列）相同的行列式值為零兩行（列）相同的行列式值為零. 數(shù)數(shù) k , 推論推論 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號 性質(zhì)性質(zhì)4 性質(zhì)性質(zhì) 3 式等于零式等于零.等于用數(shù)等于用數(shù) k 乘此行列式乘此行列式 . 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)

12、置行列式相等. 互換行列式的兩行（列），行列式變號互換行列式的兩行（列），行列式變號. 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個 行列式中如果有兩行（列）元素成比例行列式中如果有兩行（列）元素成比例 ，則此行列，則此行列 外面外面.nnnj2n1nn2j22221n1j11211nnnj2n1nn2j22221n1j11211acaaacaaacaaabaaabaaabaa 若行列式若行列式 的某一列（行）的元素都是兩個元素和的某一列（行）的元素都是兩個元素和 ， nnnjnj2n1nn2j2j22221n1j1j11211acbaaacbaaa

13、cbaa)()()(例如例如則此行列式等于兩個行列式之和則此行列式等于兩個行列式之和 .性質(zhì)性質(zhì) 5 把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另nnnjnjni1nn2j2j2i221n1j1j1i111aakaaaaakaaaaakaaannnjni1nn2j2i221n1j1i111aaaaaaaaaaaa一行（列）的對應(yīng)元素上去，一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變行列式的值不變.性質(zhì)性質(zhì) 6,nnn2n12n22121n2111aaaaaaaaa,aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 設(shè)設(shè)行列式行列式 DT 稱為行列

14、式稱為行列式 D 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記記那么那么DDT 222cbacba1111例例222cc1bb1aa1= TD,bbbbbbbbbDnn2n1nn22221n112111 設(shè)行列式設(shè)行列式 D = det (aij ) 互換第互換第 i , j ( i j ) 兩行兩行,得行列式得行列式 性質(zhì)性質(zhì) 2 的證明的證明33332222dcbadcbadcba11112例例33332222dcba1111dcbadcba 其中，當其中，當 k i , j 時時, bkp = akp ;當當 k = i , j 時，時，bip = ajp, bjp = aip , nji1nji1np

15、jpipp1t1bbbbpppp1D )()(其中其中, 1i j n 是自然排列是自然排列,)()()()(11ppppppppnji1nij1tt 所以所以nij1nij1npjpipp1t1aaaappppD1 )()(nji1nji1npipjpp1taaaapppp1 )()(nij1nji1npjpipp1taaaapppp1 )()(于是于是= D333231232221131211aaakakakaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak，若若例例121013201D 4121013402 則則D21210132012)()( 例例 3333231232

16、221131211aaaaaakakaka 333231232221131211kakakaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak132141131132010131 r2 - r1 例例5=422510211= 0 例例6 例例725422251021142251021125205102115021011343212101D 解解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4 - r1 例例 8 計算行列式計算行列式7120641022202101D r22 r3 + r2 , r4 - 2r293005300111021012 712064101110210

17、12 r4( -3 ) , r3r4 r4+3r353003100111021016 40003100111021016 24 dc3b6a10cb3a6ba3adc2b3a4cb2a3ba2adcbacbabaadcbaD cb3a6ba3a0cb2a3ba2a0cbabaa0dcbaD ba3a00ba2a00cbabaa0dcba 例例 9 計算行列式計算行列式 解解 從第從第 4 行開始，后行減前行得，行開始，后行減前行得，2334rrrr a000ba2a00cbabaa0dcba 34rr4a 例例 10 計算行列式計算行列式axxxxaxxxxaxx3ax3ax3ax3aD ax

18、xxxaxxxxaxxxxaD 解解 各行都加到第一行，各行都加到第一行，axxxxaxxxxax1111x3a)(xa0000 xa0000 xa01111x3a)( 3xax3a 各行都減第一行的各行都減第一行的 x 倍倍第一行提取公因子第一行提取公因子( a+3x ) 6 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開 在在 n 階行列式階行列式 det ( aij ) 中，把元素中，把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列列 Aij = ( 1 ) i+j Mij 記成記成 Mij , 稱為元素稱為元素 aij 的的余子式余子式. 稱它為元素稱它為元素 aij 的的代數(shù)余子

19、式代數(shù)余子式. 劃去劃去, 剩下的剩下的( n 1 )2 個元素按原來的排法構(gòu)成的個元素按原來的排法構(gòu)成的 n 1 階行列式階行列式, 記記 例例1 三階行列式三階行列式 323231232221131211aaaaaaaaa中元素中元素 a23 的余子式為的余子式為3231121123aaaaM 元素元素 a23 的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為23233223MM1A )( 例例2 四階行列式四階行列式 103032x115201101 中元素中元素 x 的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為1001501111A2332 )(= 5ji0AaAaAanjnij2i2j1i1 行列式某一行（列）的元素與

20、另一行（列）的對應(yīng)元行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元 或或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng).n,2 , 1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 或或.n,2 , 1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 的代數(shù)余子式乘積之和，即的代數(shù)余子式乘積之和，即素的代數(shù)余子式乘積之和等于零素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即即 定理定理 3推論推論 引理引理 在行列式在行列式 D 中，如果它的第中，如果它的第 i 行中除行中除 aij 外其余元素外其余元素都為都為0, 即即 D = ai

21、j Aijnnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD那么那么nn2n1nn2222111aaaaaa00aD 證明證明 先證先證 aij 位于第位于第 1 行，第行，第 1 列的情形，即列的情形，即由行列式的定義，得由行列式的定義，得 n21n21npp2p1ppptaaaD1 )( n2n2npp2ppt11aaa1 )( n211n21n2n2npp2p11pppptnpp211pp1taaaaaa11 )()(1111Ma 1111Aa 再證一般情形，設(shè)再證一般情形，設(shè) nnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把 aij

22、 調(diào)到左上角，得行列式調(diào)到左上角，得行列式aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaann1jn1jn1nnjn1i1j1i1j1i11ij1in1i1j1i1j1i11ij1in11j11j111j1ij10000D ,利用前面的結(jié)果，得利用前面的結(jié)果，得ijij1MaD 于是于是1ji11j1iDDD11)()()()( 所以引理成立所以引理成立.ijjiijMa1)( ijijAa .n,2 , 1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 定理定理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng) 證證 因為因為 或或n21jAaAaAaDnjn

23、jj2j2j1j1, nn2n1nin2i1in11211aaaa000a000aaaaD 的代數(shù)余子式乘積之和，即的代數(shù)余子式乘積之和，即椐引理，就得到椐引理，就得到nn2n1ninn11211nn2n1n2in11211nn2n1n1in11211aaaa00aaaaaa0a0aaaaaa00aaaa .n,2 ,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 類似地可得類似地可得.n,2 ,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 例例 3 計算四階行列式計算四階行列式 x00yx00yx1xD114)( 解解 按第按第 1 列展開，有列展開，有x00yyx000yx000yxD4 yx0

24、0yx00y1y14 )(44yx 例例 4 計算四階行列式計算四階行列式 ba000baba0baba1baD114)(解解 按第按第 1 行展開，有行展開，有ba00ba0baba00baba0ba00baD4 00bababa0baba01ba41 )(對等式右端的兩個對等式右端的兩個 3 階行列式都按第階行列式都按第 3 行展開，得行展開，得babababababaD22 )()(224ba2 5021011321014321D 解解 c3 - c1 c4 - 2c1 例例 5 計算四階行列式計算四階行列式 71264122211D12 7126411112 712641111121D

25、 第第1 行提取行提取 2，第，第 2 行提取行提取 1按第按第 2 行展開得行展開得7121641300012221D 93532 9353112D11 40532D 按第按第 1 行展開行展開 r2 + r1= 249325310012D c2 - c1 ，c3 - c1 例例 6 證明范德蒙（證明范德蒙（Vandermonde ） 行列式行列式證證 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法. 12212xxxx11D nij1jixx)(1nn1n21n1n21nxxxxxx111D 所以當所以當 n=2 時（時（*）式成立）式成立. 假設(shè)對于假設(shè)對于 n 1 階范德蒙階范德蒙 ri x1ri -1 ,

26、 i = n , n 1 , 2 ,有有因為因為 對對 n 階范德蒙行列式做運算階范德蒙行列式做運算 行列式等式成立行列式等式成立. )()()()(1n2nn132n3122n21nn1331221n1312nxxxxxxxxx0 xxxxxxxxx0 xxxxxx01111D 按第按第 1 列展開后，各列提取公因子列展開后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得得2nn2n32n2n321n1312nxxxxxx111xxxxxxD )()(椐歸納法假設(shè)，可得椐歸納法假設(shè)，可得歸納法完成歸納法完成.1n1n1312nDxxxxxxD )()()()()( nij2ji1n1312nxxx

27、xxxxxD nij1jixx)(ji0AaAaAanjnij2i2j1i 1 推論推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元 或或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i 元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即即例例7 計算計算 行列式行列式323232cccbbbaaa222cc1bb1aa1abc bcacababc 解解323232cccbbbaaa 先以先以 3 階行列式為例，例如為了證得階行列式為例，例如為了證得333231232221131211aaaaaaaaaD 33323123222133

28、32311aaaaaaaaaD 0AaAaAa133312321131 因為因為就就得得到到分分別別換換成成將將上上式式中中的的333231131211a,a,aa,a,a, 0aaaaaaaaaD3332312322213332311 所以所以. 0AaAaAa133312321131 又又131312121111AaAaAa 133312321131AaAaAa 設(shè)行列式設(shè)行列式 D = det (aij ) ，nn1nin1iin1in1111aaaaaaaaD. 0D1 所所以以jnin2j2i1j1i1AaAaAaD 0AaAaAajnin2j2i1j1i 因為行列式因為行列式 D1

29、中第中第 i 行與第行與第 j 行元素對應(yīng)相同，行元素對應(yīng)相同，把行列式把行列式 D1 按第按第 j 行展開，有行展開，有類似地，也可以證明另一個式子類似地，也可以證明另一個式子.所以所以jiji 行行第第行行第第推論的證明推論的證明取行列式取行列式 7 Cramer 法則法則 1bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnn22n11n2nn22221211nn1212111 0aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組 定理定理4 （Cramer 法則法則 ）若線性方程組（若線性方程組（1）的系數(shù)行列式不）的系數(shù)行列式不即即等于零，等于零，其中其

30、中.n,2 , 1jaabaaaabaaaabaaDnn1j ,nn1j ,n1nn21j ,221j ,221n11j ,111j ,111j 2,DDx,DDx,DDxnn2211 則方程組有唯一解則方程組有唯一解n,2 , 1ibDDaDDaDDainin22i11i n, 2 , 1iaabaabaabnn1nnn1111in1ii 證證 先證（先證（2）是（）是（1）的解，即要證明）的解，即要證明 為此看為此看 n+1 階行列式階行列式第第1行展開，注意到，其第一行中行展開，注意到，其第一行中 aij 的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為首先，因為第首先，因為第 1 行與第行與第 i+1 行

31、相同行相同,所以它的值為零所以它的值為零. 再把它按再把它按nin11iiDaDaDb0 nn1jn1jn1nnn21j21j2212n11j11j11111j1aaaabaaaabaaaab1 ,)()(n,2 , 1ibDDaDDaDDainin22i11i DDx,DDx,DDxnn2211 故有故有 因而因而 即即是線性方程組（是線性方程組（1）解）解.jj1j2jDD11 )()( 3 個恒等式個恒等式333323213123232221211313212111bcacacabcacacabcacaca A12 , A22 , An2 分別乘以上的分別乘以上的 3 個等式得個等式得3

32、23332332323213231222322232222212221121312132121211211AbcAacAacAaAbcAacAacAaAbcAacAacAa 323222121332332223121323232222212121323122211211AbAbAbcAaAaAacAaAaAacAaAaAa )()()(相加相加,得得 設(shè)設(shè) x1= c1 , x2= c2 , x3= c3 是線性方程組（是線性方程組（1）的解）的解,于是有于是有 類似的可得類似的可得,DDc11 .DDc33 .323222121333312322113111AbAbAbabaabaaba 于

33、是于是,22DDc 也就是也就是.DDc22 ,0AaAaAaDAaAaAa0AaAaAa323322231213323222221212323122211211 由于由于 例例1 用用 Cramer 法則解線性方程組法則解線性方程組232130221444324214324321xxxxxxxxxxxxx141320310112204141D 解解 因為因為61320311112004111D2 41220310110204141D3 42320110102201141D4 所以所以.72x,72x,73x,715x4321 301322310112204141D1 0 x1xx0 xx1x

34、0 xxx1321321321)()()( 30 xaxaxa0 xaxaxa0 xaxaxannn22n11nnn2222121nn1212111 定理定理 5 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 D0 ，那么它只有零解，那么它只有零解.下述齊次方程組有非零解下述齊次方程組有非零解？,取何值時取何值時例例 2 解解 根據(jù)定理根據(jù)定理 5 ，若此齊次線性方程組有非零解，則其系，若此齊次線性方程組有非零解，則其系 23111111111D)(,.時時或或當當經(jīng)經(jīng)驗驗證證可可知知，得得由由03030D321 所述方程組確有非零解所述方程組確有非零解.行列式必為行列式必為

35、0 .而而 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 1 預(yù)備知識預(yù)備知識 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 定義定義 1 設(shè)有設(shè)有 n 維向量維向量, n21n21yyyyxxxx令令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ,稱稱 x , y 為向量為向量 x 與與 y 的的內(nèi)積內(nèi)積. 內(nèi)積具有下列性質(zhì)：內(nèi)積具有下列性質(zhì)： 1. x , y = y , x ; ;y,xy,x. 2 3. x + y , z = x , z + y , z ; 4. x , x 0,其中其中 x，y，z 是為向量，是為向量，.為為實實數(shù)數(shù) 易知易知, x , y = xTy .當且僅當時當

36、且僅當時x = 0 時時 x , x = 0. 定義定義 2 非負實數(shù)非負實數(shù)稱為稱為 n 維向量維向量 x 的長的長. 向量的長具有性質(zhì)：向量的長具有性質(zhì)：,.0 x1 ;.xx2 .yxyx3 長為長為 1 的向量稱為單位向量的向量稱為單位向量.若向量若向量 x 0 , .是是單單位位向向量量則則xx1 如果如果 x , y = 0 ，那么稱向量，那么稱向量 x 與與 y 正交正交.維維單單位位向向量量都都是是，例例3313131212100011 一組兩兩正交的非零向量一組兩兩正交的非零向量.;,0 x0 x 時時當當且且僅僅當當正交向量組正交向量組: 2n2221xxxxxx ,.,都

37、都正正交交量量試試求求一一個個非非零零向向量量與與向向例例 121a111a221, 321xxxx設(shè)所求的向量為設(shè)所求的向量為解解 0 xx2x0 xxx321321 121111A 0 xxx231.即為所求即為所求取向量取向量 101x那么它應(yīng)滿足那么它應(yīng)滿足, 010101由由得得 規(guī)范正交向量組規(guī)范正交向量組: 定理定理 1 正交向量組必線性無關(guān)正交向量組必線性無關(guān). 證證 設(shè)向量組設(shè)向量組 a1 , a2 , , ar 是正交向量組是正交向量組,使使r21 ,.0aaarr2211 左乘上式兩邊，得左乘上式兩邊，得以以T1a, 0aa1T11 ,0aaa0a211T11 ，所所以以

38、因因為為.01 因此必有因此必有 類似的可證類似的可證. 0r32 于是向量組于是向量組 a1 , a2 , , ar 線性無關(guān)線性無關(guān).線性無關(guān)，線性無關(guān)，向量組向量組例例 0110013但不為正交向量組但不為正交向量組. 向量組向量組 e1 , e2 , , er 為規(guī)范正交向量組，當且僅當為規(guī)范正交向量組，當且僅當 .,.,;,r21jiji0ji1eeji當當當當 若有一組數(shù)若有一組數(shù) 由單位向量構(gòu)成的正交向量組由單位向量構(gòu)成的正交向量組. 設(shè)向量組設(shè)向量組 a1 , a2 , ar 線性無關(guān)，則必有規(guī)范正交向量組線性無關(guān)，則必有規(guī)范正交向量組 正交化正交化：;11ab 取取單位化單位

39、化：.,rrr222111bb1ebb1ebb1e 取取于是，于是，e1 , e2 , , er 是規(guī)范正交向量組，是規(guī)范正交向量組，.,1r1r1rr1r222r2111r1rrbbbabbbbabbbbabab 且與且與 a1 , a2 , , ar ;,1112122bbbabab ;,222321113133bbbabbbbabab 等價等價.e1 , e2 , , er 與與 a1 , a2 , , ar 等價等價.,規(guī)規(guī)范范正正交交化化把把向向量量組組例例 111a111a421;11ab 正正交交化化：取取解解 11131. 11232.,: 11261bb1e11131bb1e

40、222111取取再再單單位位化化e1 , e2 即為所求即為所求. aaaaa 111a5 321321為為正正交交向向量量組組使使求求向向量量已已知知例例, 111 1111222bbbbaab, 正正交交都都與與向向量量因因為為向向量量解解132aa,a0 xxx321 取它的一個基礎(chǔ)解系取它的一個基礎(chǔ)解系 101b011b32,再把再把b2 , b3正交化即為所求正交化即為所求a2 , a3 ., 011ba222223233aaababa, 101也就是取也就是取 定義定義 3 設(shè)設(shè) n 維向量維向量 e1 , e2 , , er 是向量空間是向量空間 V 的一個基的一個基,如果向量組

41、如果向量組 e1 , e2 , , er 為規(guī)范正交向量組，為規(guī)范正交向量組，則稱則稱 e1 , e2 , . , 01121. 21121向量組向量組 a1 , a2 , a3 是所求正交向量組是所求正交向量組.er 是是 V 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基.所以對齊次方程組所以對齊次方程組 定義定義 4 如果如果 n 階矩陣階矩陣 A 滿足滿足 那么稱那么稱 A 為正交矩陣為正交矩陣. n 階矩陣階矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）向的列（行）向 設(shè)設(shè)n 階矩陣階矩陣 A = ( a1 , a2 , , an ) , 其中其中 a1 , a2

42、, , an 是是 或者說或者說, n 階矩陣階矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列的列 A為正交矩陣，即是為正交矩陣，即是 ATA = E ,cossinsincos , 2121021210001 010100001都是正交矩陣都是正交矩陣. 例例 6（行）向量組構(gòu)成向量空間（行）向量組構(gòu)成向量空間 Rn 的一個的一個 規(guī)范正交基規(guī)范正交基.A的列向量組的列向量組. 量組是規(guī)范正交向量組量組是規(guī)范正交向量組.由此可見，由此可見， A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）向量的列（行）向量.,., n21jiji0;ji 1

43、aajTi當當當當亦亦即即 n21TnT2T1TaaaaaaAAE nTn2Tn1TnnT22T21T2nT12T11T1aaaaaaaaaaaaaaaaaa之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式與與變變量量變變量量n21n21yyyxxx, nnn22n11nnnn22221212nn12121111ypypypxypypypxypypypx.,的的線線性性變變換換到到變變量量叫叫做做從從變變量量n21n21xxxyyy組是規(guī)范正交向量組組是規(guī)范正交向量組. 定義定義 5 若若 P 為正交矩陣，則線性變換為正交矩陣，則線性變換 x = Py 稱為正交變換稱為正交變換. 線性變換的系數(shù)構(gòu)成矩陣線性變換的系數(shù)

44、構(gòu)成矩陣 ,nnijpP 于是線性變換（）于是線性變換（）就可以記為就可以記為x = Py., n21n21yyyyxxxx其中其中 cossinsincosyyxyyx12211 32332211y21y21xy21y21xyx都為正交變換都為正交變換. 例例 7 若若 線性變換線性變換 x = Py 為正交變換，為正交變換，a , b 為任意兩個向量為任意兩個向量.那么那么 .b,aPb,Pa 這是因為這是因為 ,b,abaPbPaPbPaPb,PaTTTT 特別的，特別的，.aPa 2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量 定義定義6 設(shè)設(shè) A 是是 n 階矩陣，階矩陣， 和和

45、n 維維非零非零列向量列向量 p 1pAp0 ,的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣那么數(shù)那么數(shù)A0 非零向量非零向量 p 稱為稱為 A 的對于特征值的對于特征值.的的特特征征向向量量0 nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaaEA稱為稱為方陣方陣 A 的特征多項式的特征多項式.0EA 方方程程稱為稱為n 階矩陣階矩陣 A 的特征方程的特征方程. (1)式也可寫成式也可寫成 20pEA0 使得使得0 如果數(shù)如果數(shù)行列式行列式次次多多項項式式，的的是是n .)的非零解的非零解是齊次線性方程組（是齊次線性方程組（的特征向量的特征向量0 xEAp00 求求 n 階方陣階方陣 A 的特征值與

46、特征向量的方法：的特征值與特征向量的方法： 1 求出矩陣的求出矩陣的 A 特征多項式特征多項式,.EA 即計算行列式即計算行列式特征值特征值. 的的就就是是根根的的解解特特征征方方程程方方程程A0EA2n21 , ，解解齊齊次次線線性性方方程程組組0 xEA3i )( 它的它的非零解非零解都是都是.的特征向量的特征向量特征值特征值i 例例1 求矩陣求矩陣 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多項式為的特征多項式為于是，于是，,的根的根是它的特征方程是它的特征方程的特征值的特征值矩陣矩陣0EAA0 212201034011EA 所以，所以，A 的特征值為的

47、特征值為 .,12321 由由時時，解解方方程程組組當當. 0 xE2A21 001014013E2A得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系, 100p1,時時當當132 解方程組解方程組(A - E)x = 0.由由 其中其中k為任意非零數(shù)為任意非零數(shù)., 000010001,11kp2的全部特征向量為的全部特征向量為所以特征值所以特征值 101024012EA得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系, 121p2,232kp1的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以特特征征值值 例例 2 求矩陣求矩陣 142252001A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多項式為的特征多項式為 其中其中k是任意非零數(shù)是任

48、意非零數(shù)., 000210101 213142252001EA 所以，所以，A 的特征值為的特征值為 .,13321 時時，當當31 解方程組解方程組(A - 3E)x = 0.由由 442222002E3A得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系, 110p131 所以特征值所以特征值的全部特征向量為的全部特征向量為 kp1 , ,時時當當132 解方程組解方程組(A - E)x = 0. 由由 其中其中k為任意非零數(shù)為任意非零數(shù)., 000110001 242242000EA得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系, 101p012p32132 所以特征值所以特征值的全部特征向量為的全部特征向量為 k p2 + l p3 , 其

49、中數(shù)其中數(shù) 的的特特征征值值，是是方方陣陣，設(shè)設(shè)定定理理A2m21 各不相等，各不相等，如果如果m21 證證 對特征值的個數(shù)對特征值的個數(shù) m 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.由于特征向量是非零向量，由于特征向量是非零向量，所以，所以，m = 1 時定理成立時定理成立.量是線性無關(guān)的，量是線性無關(guān)的， 令令 p1 , p2 , pm 依次依次 為為m 個不等的特征值個不等的特征值.對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，m21 下面證明下面證明 p1 , p2 , pm p1 , p2 , pm , 000000121k, l不同時為零不同時為零.依次是與之對應(yīng)的特征向量依次是與之對應(yīng)的特征向量, 那么那么

50、p1 , p2 , pm 線性無關(guān)線性無關(guān).假設(shè)假設(shè) m 1 個不同的特征值的特征向個不同的特征值的特征向線性無關(guān)線性無關(guān).設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù) x1 , x2 , , xm 使得使得 x1 p1 + x2 p2 + xm pm = 0 (1)成立成立.兩兩端端，得得乘乘等等式式以以)(1m 20pxpxpxmmm1mm1m1m1. 以矩陣以矩陣 A 左乘式左乘式 (1) 兩端兩端,得得 30pxpxpxmmm1m1m1m111. （3）式減（）式減（2）式得）式得.)()(0pxpx1mm1m1m1m11 根據(jù)歸納法假設(shè)，根據(jù)歸納法假設(shè)， p1 , pm -1 線性無關(guān)，線性無關(guān)，.)()(

51、0 xxm1m1mm11 ,00m1mm1 但但所以所以 , x1 = 0 , . , xm 1= 0. 這時（這時（1）式變成，）式變成， xm pm = 0 . 因為因為 pm 0，所以只有所以只有xm = 0 .這就證明了這就證明了p1 , p2 , pm 線性無關(guān)線性無關(guān). 歸納法完成，定理得證歸納法完成，定理得證.于是于是,的的特特征征值值是是設(shè)設(shè)例例A321 p1 , p2 依次是與之對應(yīng)的依次是與之對應(yīng)的 ,21 若若那么向量組那么向量組 p1 , p2 線性無關(guān)線性無關(guān)證證 設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù) x1 , x2 使得使得 x1 p1 + x2 p2 = 0 (1)成立成立.兩兩

52、端端，得得乘乘等等式式以以)(12 20pxpx222121. 以矩陣以矩陣 A 左乘式左乘式 (1) 兩端兩端,得得 30pxpx222111. （3）式減（）式減（2）式得）式得.)(0px1121 ，因為因為0p0112 所以所以 x1 = 0 . 這樣（這樣（1）式變成，）式變成， x2 p2 = 0 .因為因為 p2 0，所以只有所以只有x2 = 0 . 這就證明了這就證明了p1 , p2 線性無關(guān)線性無關(guān).特征向量，特征向量，AA4 是是為為任任意意常常數(shù)數(shù)，證證明明的的特特征征值值，是是方方陣陣設(shè)設(shè)例例的特征值，的特征值，是是因為因為證證A 所以有向量所以有向量 p 0 使，使，

53、. pAp 于是，于是，.)()(ppA .的的特特征征值值是是所所以以A 求上三角矩陣求上三角矩陣 練練 習(xí)習(xí)的特征值與特征向量的特征值與特征向量. 100020321A的特征值的特征值 3 相似矩陣相似矩陣 定義定義 7 設(shè)設(shè) A , B 都是都是 n 階矩陣，階矩陣，P -1AP = B ,則稱則稱矩陣矩陣 A 與與 B 相似，相似， 可逆矩陣可逆矩陣 P 稱為把稱為把 A 變成變成 B 的相似變換的相似變換 則則 A 與與 B 的特征多項式相同的特征多項式相同,從而從而 A 與與 B 的特征值也相同的特征值也相同. 證證 因為因為 A與與 B 相似，相似， 故故PEPAPPEB11)(

54、 PEAP1)( PEAP1 .EA 定理定理 3 若若 n 階矩陣階矩陣 A與與 B 相似，相似， 所以有可逆矩陣所以有可逆矩陣 P，使，使 P -1AP = B , 若有可逆矩陣若有可逆矩陣P ，使，使證畢證畢.矩陣矩陣. n21 相似，相似，.個個特特征征值值的的即即為為，則則nAn21 ,個個特特征征值值的的即即是是對對角角矩矩陣陣，因因為為證證nn21 由定理由定理 3 知，知，.個個特特征征值值的的也也就就是是，nAn21 定理定理 4 n 階矩陣階矩陣 A 與對角矩陣相似的充分必要條件是與對角矩陣相似的充分必要條件是: 定理定理4的證明的證明 如果可逆矩陣如果可逆矩陣 P, 使使

55、 為為對對角角矩矩陣陣， APP1. PAP 若記矩陣若記矩陣 也就是也就是n 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量. 推論推論 若若 n 階矩陣階矩陣 A 與對角矩陣與對角矩陣 推論推論 如果如果 n 階矩陣階矩陣A的特征值互不相等，的特征值互不相等， 則則A與對角矩陣相似與對角矩陣相似A 有有P = ( p1，p2 , , pn ) , A( p1 , p2 , , pn ) = ( p1 , p2 , , pn ) n21 即為即為 (A p1 , A p2 , , A pn ) = nn2211ppp ,.,n21ipApiii 于于是是有有，再由再由 P 是可逆矩陣便可知，是可逆

56、矩陣便可知， 反之，如果反之，如果 n 階矩陣階矩陣 A 有有 n 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 p1 , p2 , , 于是，應(yīng)有數(shù)于是，應(yīng)有數(shù)使使，,n21 n21ipApiii, 以向量組以向量組 p1 , p2 , , pn 構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣 P = ( p1，p2 , , pn ) , 則則P , PAP 且且構(gòu)成的對角構(gòu)成的對角，是以是以其中其中n21 矩陣，矩陣，, APP1也也就就是是，即即 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似.p1 ,p2 , , pn 就是就是 A 的的 n 個線性個線性 其中其中 p1 , p2 , , pn 是是 P 的列向量組的列向量組, 就有

57、就有為可逆矩陣，為可逆矩陣，無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量. pn , 2 例例1中的中的 3 階矩陣階矩陣 201034011A只有只有 2 個線性無關(guān)的特征向量，個線性無關(guān)的特征向量， 2 例例2中的矩陣中的矩陣 142252001A是是 A 的特征值的特征值 3 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量, 110p1 所以它不可能與對角矩陣相似所以它不可能與對角矩陣相似., 101p012p32是是 A 的特征值的特征值 1 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量. P = ( p1 , p2 , p3 ) = 于是，于是， 3 階矩陣階矩陣A 恰有恰有 3 個線性無關(guān)的特征向量個線性無

58、關(guān)的特征向量 p1 , p2 , p3 ，則則 P 為可逆矩陣，且為可逆矩陣，且P -1A P = 101011120 113所以它能與對角矩陣相似所以它能與對角矩陣相似.令令 例例 1 判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，求出相似判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，求出相似 112202213A解解 A 的特征多項式為的特征多項式為 11222213EA|110222131 )( 1102221321)( 因此因此 A 的特征值為的特征值為.,10321 由由時時，解解方方程程組組當當. 0 xE0A01 變換矩陣和對角矩陣變換矩陣和對角矩陣 112202213A 000110011得基

59、礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系,111p1 ,時時當當132 解方程組解方程組(A - E)x = 0.由由 212212212EA得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 0000001211/ 101p0121p32,/令令 1010111211P/則則 可逆矩陣可逆矩陣 P 為所求相似變換矩陣為所求相似變換矩陣, 且且 100010000APP1于是，于是，3 階矩陣階矩陣 A有有 3個個線性無關(guān)的特征向量，線性無關(guān)的特征向量，所以它能與對角所以它能與對角矩陣相似矩陣相似. 例例2 設(shè)設(shè) 2 階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為1, 5, 與特征值對應(yīng)的特征與特征值對應(yīng)的特征 ,TT1211 求求 A . 解解 因為因

60、為 2 階矩陣階矩陣 A 有有2個互異的特征值，個互異的特征值， 1121P取取應(yīng)有應(yīng)有 5001APP1所以所以1P5001PA 3131323150011121/ 1243 據(jù)定理據(jù)定理 4 的推論，的推論，A 能與對角矩陣相似能與對角矩陣相似.向量分別為向量分別為 例例3 社會調(diào)查表明，某地勞動力從業(yè)轉(zhuǎn)移情況是：在從農(nóng)社會調(diào)查表明，某地勞動力從業(yè)轉(zhuǎn)移情況是：在從農(nóng) 解解 到到2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞 542015141 5420195143 如果引入如果引入 2 階矩陣階矩陣201aaA12ij/),( 其其中中表示每年