數(shù)學(xué)專業(yè)英語(吳炯圻-第2版)2-9-2-10

1、New Words & Expressions:differentiable 可微的可微的 polynomial 多項(xiàng)式多項(xiàng)式exponential 指數(shù)的指數(shù)的 rational function 有理函數(shù)有理函數(shù) integrate 求積分求積分 trigonometric function 三角函數(shù)三角函數(shù)logarithm 對(duì)數(shù)對(duì)數(shù) inverse trigonometric function 反三角函數(shù)反三角函數(shù)2.9 微分方程簡介微分方程簡介Introduction to Differential EquationsKey points: 1. 理解微分方程的分類。理解微分方程的分

2、類。 2. 理解矩陣學(xué)習(xí)的重要性。理解矩陣學(xué)習(xí)的重要性。A large variety of scientific problems arise in which one tries to determine something from its rate of change.9-A Introduction大量的科學(xué)問題需要人們根據(jù)事物的變化率來確定該大量的科學(xué)問題需要人們根據(jù)事物的變化率來確定該事物。事物。For example , we could try to compute the position of a moving particle from a knowledge of i

3、ts velocity or acceleration.例如，我們可以由已知速度或者加速度來計(jì)算移動(dòng)質(zhì)例如，我們可以由已知速度或者加速度來計(jì)算移動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置點(diǎn)的位置.Or a radioactive substance may be disintegrating at a known rate and we may be required to determine the amount of material present after a given time.又如，某種放射性物質(zhì)可能正在以已知的速度進(jìn)行衰又如，某種放射性物質(zhì)可能正在以已知的速度進(jìn)行衰變，需要我們確定在給定的時(shí)間后遺留物質(zhì)的

4、總量。變，需要我們確定在給定的時(shí)間后遺留物質(zhì)的總量。In examples like these, we are trying to determine an unknown function from prescribed information expressed in the form of an equation involving at least one of the derivatives of the unknown function .在類似的例子中，我們力求由方程的形式表述的信息在類似的例子中，我們力求由方程的形式表述的信息來確定未知函數(shù)，而這種方程至少包含了未知函數(shù)的來確

5、定未知函數(shù)，而這種方程至少包含了未知函數(shù)的一個(gè)導(dǎo)數(shù)。一個(gè)導(dǎo)數(shù)。These equations are called differential equations, and their study forms one of the most challenging branches of mathematics.這些方程稱為微分方程，對(duì)其研究形成了數(shù)學(xué)中最具這些方程稱為微分方程，對(duì)其研究形成了數(shù)學(xué)中最具有挑戰(zhàn)性的一個(gè)分支。有挑戰(zhàn)性的一個(gè)分支。Differential equations are classified under two main headings: ordinary and pa

6、rtial, depending on whether the unknown is a function of just one variable or of two more variables.微分方程根據(jù)未知量是單變量函數(shù)還是多變量函數(shù)分微分方程根據(jù)未知量是單變量函數(shù)還是多變量函數(shù)分成兩個(gè)主題：常微分方程和偏微分方程。成兩個(gè)主題：常微分方程和偏微分方程。 A simple example of an ordinary differential equation is the relation f(x)=f(x) (9.1)which is satisfied, in particula

7、r by the exponential function, f(x)=ex .常微分方程的一個(gè)簡單例子是常微分方程的一個(gè)簡單例子是f(x)=f(x) ，特別地，特別地，指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)f(x)=ex 滿足這個(gè)等式。滿足這個(gè)等式。We shall see presently that every solution of (9.1) must be of the form f(x)=Cex , where C may be any constant.我們馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)(9.1)的每一個(gè)解都一定是的每一個(gè)解都一定是f(x)=Cex這種形式，這里這種形式，這里C可以是任何常數(shù)?？梢允侨?/p>

8、何常數(shù)。On the other hand, an equation likeis an example of a partial differential equation.另一方面，如下方程是偏微分方程的一個(gè)例子。另一方面，如下方程是偏微分方程的一個(gè)例子。This particular one, is called Laplaces equation, appears in the theory of electricity and magnetism, fluid mechanics, and elsewhere.這個(gè)特殊的方程叫做拉普拉斯方程，出現(xiàn)于電磁學(xué)理這個(gè)特殊的方程叫做拉普拉斯方

9、程，出現(xiàn)于電磁學(xué)理論、流體力學(xué)理論以及其他理論中。論、流體力學(xué)理論以及其他理論中。2222( , )( , )0f x yf x yxyThe study of differential equations is one part of mathematics that, perhaps more than any other, has been directly inspired by mechanics, astronomy, and mathematical physics.微分方程的研究是數(shù)學(xué)的一部分，也許比其他分支更微分方程的研究是數(shù)學(xué)的一部分，也許比其他分支更多的直接受到力學(xué)，天文

10、學(xué)和數(shù)學(xué)物理的推動(dòng)。多的直接受到力學(xué)，天文學(xué)和數(shù)學(xué)物理的推動(dòng)。Its history began in the 17th century when Newton, Leibniz, and the Bernoullis solved some simple differential equations arising from problems in geometry and mechanics.微分方程起源于微分方程起源于17世紀(jì)，當(dāng)時(shí)牛頓，萊布尼茨，伯努世紀(jì)，當(dāng)時(shí)牛頓，萊布尼茨，伯努利家族解決了一些來自幾何和力學(xué)的簡單的微分方程。利家族解決了一些來自幾何和力學(xué)的簡單的微分方程。These

11、early discoveries, beginning about 1690, gradually led to the development of a lot of “special tricks” for solving certain special kinds of differential equation.開始于開始于1690年的早期發(fā)現(xiàn)，逐漸導(dǎo)致了解某些特殊類年的早期發(fā)現(xiàn)，逐漸導(dǎo)致了解某些特殊類型的微分方程的大量特殊技巧的發(fā)展。型的微分方程的大量特殊技巧的發(fā)展。 Although these special tricks are applicable in relativel

12、y few cases, they do enable us to solve many differential equations that arise in mechanics and geometry, so their study is of practical importance. 盡管這些特殊的技巧只是適用于相對(duì)較少的幾種情況，盡管這些特殊的技巧只是適用于相對(duì)較少的幾種情況，但他們能夠解決許多出現(xiàn)于力學(xué)和幾何中的微分方程，但他們能夠解決許多出現(xiàn)于力學(xué)和幾何中的微分方程，因此，他們的研究具有重要的實(shí)際應(yīng)用。因此，他們的研究具有重要的實(shí)際應(yīng)用。Some of these speci

13、al methods and some of the problems which they help us solve are discussed near the end of this chapter.這些特殊的技巧和利用這些技巧可以解決的一些問題這些特殊的技巧和利用這些技巧可以解決的一些問題將在本章最后討論。將在本章最后討論。本小節(jié)重點(diǎn)掌握本小節(jié)重點(diǎn)掌握如果一個(gè)微分方程的未知函數(shù)是多元函數(shù)，則稱為偏微如果一個(gè)微分方程的未知函數(shù)是多元函數(shù)，則稱為偏微分方程。分方程。A differential equation is called partial differential equatio

14、n if the unknown of it is a function of two or more variables.New Words & Expressions(P90 生詞與詞組二生詞與詞組二):consistent 相容的相容的 matrix 矩陣矩陣column 列列 reducible 可簡化的可簡化的 determinate 行列式行列式 row 行行inverse 逆逆 simultaneous linear equations 聯(lián)立線性方程組聯(lián)立線性方程組2.10 線性空間中的相關(guān)與無關(guān)集線性空間中的相關(guān)與無關(guān)集Dependent and Independent Set

15、s in a Linear SpaceIn recent years the applications of matrices in mathematics and in many diverse fields have increased with remarkable speed. Matrix theory plays a central role in modern physics in the study of quantum mechanics.近年來，在數(shù)學(xué)和許多各種不同的領(lǐng)域中，矩陣的應(yīng)近年來，在數(shù)學(xué)和許多各種不同的領(lǐng)域中，矩陣的應(yīng)用一直以驚人的速度不斷增加。在研究量子力學(xué)時(shí)，

16、用一直以驚人的速度不斷增加。在研究量子力學(xué)時(shí)，矩陣?yán)碚撛诂F(xiàn)代物理學(xué)上起著主要的作用。矩陣?yán)碚撛诂F(xiàn)代物理學(xué)上起著主要的作用。10-C Applications of matricesMatrix methods are used to solve problems in applied differential equations, specifically, in the area of aerodynamics, stress and structure analysis. One of the most powerful mathematical methods for psycholog

17、ical studies is factor analysis, a subject that makes wide use of matrix methods. 解決應(yīng)用微分方程，特別是在空氣動(dòng)力學(xué)，應(yīng)力和結(jié)解決應(yīng)用微分方程，特別是在空氣動(dòng)力學(xué)，應(yīng)力和結(jié)構(gòu)分析中的問題，要用矩陣方法。心理學(xué)研究上一種構(gòu)分析中的問題，要用矩陣方法。心理學(xué)研究上一種最強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)方法是因子分析，這也廣泛的使用矩最強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)方法是因子分析，這也廣泛的使用矩陣陣(方方)法法 .Recent developments in mathematical economics and in problems of busin

18、ess administration have led to extensive use of matrix methods. The biological sciences, and in particular genetics, use matrix techniques to good advantage. 近年來，在數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和企業(yè)管理問題方面的發(fā)展近年來，在數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和企業(yè)管理問題方面的發(fā)展已經(jīng)導(dǎo)致廣泛的使用矩陣法。生物科學(xué)，特別在遺已經(jīng)導(dǎo)致廣泛的使用矩陣法。生物科學(xué)，特別在遺傳學(xué)方面，用矩陣的技術(shù)很有成效。傳學(xué)方面，用矩陣的技術(shù)很有成效。No matter what the stu

19、dents field of major interest is , knowledge of the rudiments of matrices is likely to broaden the range of literature that he can read with understanding .不管學(xué)生主要興趣是什么，矩陣基本原理的知識(shí)都不管學(xué)生主要興趣是什么，矩陣基本原理的知識(shí)都可能擴(kuò)大他能讀懂的文獻(xiàn)的范圍。可能擴(kuò)大他能讀懂的文獻(xiàn)的范圍。The solution of n simultaneous linear equations in n unknowns is one o

20、f the important problems of applied mathematics. 解一有解一有n個(gè)未知數(shù)的個(gè)未知數(shù)的n個(gè)聯(lián)立（線性）方程組是應(yīng)用個(gè)聯(lián)立（線性）方程組是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問題。數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問題。Descartes, the inventor of analytic geometry and one of the founders of modern algebraic notation, believed that all problems could ultimately be reduced to the solution of a set of simul

21、taneous linear equations. 解析幾何的發(fā)明者和現(xiàn)代代數(shù)計(jì)數(shù)法的創(chuàng)始人之一解析幾何的發(fā)明者和現(xiàn)代代數(shù)計(jì)數(shù)法的創(chuàng)始人之一笛卡兒相信，所有的問題最后都能簡化為解一組聯(lián)笛卡兒相信，所有的問題最后都能簡化為解一組聯(lián)立方程。立方程。Although this belief is now known to be untenable , we know that a large group of significant applied problems from many different disciplines are reducible to such equations. 雖然

22、這種信念現(xiàn)在認(rèn)為是站不住腳的，但是，我們雖然這種信念現(xiàn)在認(rèn)為是站不住腳的，但是，我們知道，從許多不同的學(xué)科里的一大群重要的應(yīng)用問知道，從許多不同的學(xué)科里的一大群重要的應(yīng)用問題都可以約簡為這類的方程。題都可以約簡為這類的方程。Many of the applications, require the solution of a large number of simultaneous linear equations, sometimes in the hundreds . The advent of computers has made the matrix methods effective

23、 in the solution of these formidable problems. 許多應(yīng)用要求解大量的，往往數(shù)以百計(jì)的聯(lián)立方程，許多應(yīng)用要求解大量的，往往數(shù)以百計(jì)的聯(lián)立方程，計(jì)算機(jī)的發(fā)明已經(jīng)使得矩陣方法在解這些難以解決計(jì)算機(jī)的發(fā)明已經(jīng)使得矩陣方法在解這些難以解決的問題方面非?；钴S。的問題方面非?；钴S。From the above discussion, we see that the problem of solving n simultaneous linear equation in n unknowns is reduced to the problem of finding the inverse of the matrix of coefficients. (P89 下數(shù)第下數(shù)第9行行)從上面的討論，我們看到解有從上面的討論，我們看到解有n個(gè)未知數(shù)的個(gè)未知數(shù)的n個(gè)聯(lián)立個(gè)聯(lián)立方程問題簡化成求系數(shù)矩陣的逆矩陣的問題。方程問題簡化成求系數(shù)矩陣的逆矩陣的問題。It is therefore not surprising