大學微積分第五節(jié)極限存在準則 兩個重要極限

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1第五節(jié)第五節(jié) 極限存在準則極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限 連續(xù)復利連續(xù)復利一、極限存在準則一、極限存在準則二、兩個重要極限二、兩個重要極限三、連續(xù)復利三、連續(xù)復利四、小結(jié)四、小結(jié)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2一、極限存在準則一、極限存在準則1. .【夾逼準則夾逼準則】【準則】【準則】 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及 nz滿足下列條件滿足下列條件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn

2、 lim. . 【證證】,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3,1 ayNnn時恒有時恒有當當,max21NNN 取取恒有恒有時時當當,Nn , ayan即即,2 azNnn時恒有時恒有當當, azan上兩式同時成立上兩式同時成立, , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4利用夾逼準則利用夾逼準則關(guān)鍵是將關(guān)鍵是將xn作適當縮放作適當縮放, ,得得到極限容易

3、求的數(shù)列到極限容易求的數(shù)列yn與與zn，且極限相等且極限相等. .【準則】【準則】 如果當如果當),(0 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 【注意注意】準則準則 和和準則準則 稱為稱為夾逼準則夾逼準則. .利用夾逼準則利用夾逼準則關(guān)鍵是對不易求極限的關(guān)鍵是對不易求極限的f( (x) )作適當縮放，得到極限容易求的作適當縮放，得到極限容易求的g( (x) )與與h( (x) )，且，且極限相等極限相等. .機動

4、機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5【補例補例1】).12111(lim222nnnnn 求求【解解】,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼準則得由夾逼準則得. 1)12111(lim222 nnnnn抓大頭抓大頭機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6x1x2x3x1 nxnx2. .【單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則】滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少廣義單調(diào)數(shù)列廣義單調(diào)數(shù)列【準則準則

5、】 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 【幾何解釋幾何解釋】AM機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7【教材教材例例11】存在，并求此極限值存在，并求此極限值證明：證明：，設(shè)設(shè)nnnnnxxxxxxxx lim,1111, 110010證明：先證其單調(diào)性證明：先證其單調(diào)性則則設(shè)設(shè),1 kkxx0101, 021), 2 , 1 , 0(0 xxxxnxn 即即由于由于單調(diào)增加，單調(diào)增加，因此數(shù)列因此數(shù)列nx211211 111 nnnnxxxx再由再由)11()11( 111 kkkkkkxxxxxx0)1)(1(11 kkkkxxxx機動機動 目錄目錄 上頁上

6、頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8則有則有令令極限存在，極限存在，單調(diào)增加有上界，故其單調(diào)增加有上界，故其所以數(shù)列所以數(shù)列,limaxxnnn )11(limlim11 nnnnnxxx11 aaa有有251 a解得解得舍去舍去由題意，負值由題意，負值0251 a251lim nnx故故機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9【練習練習】111lim )1( nn提示提示nn11111 1)1211(lim )2(222 nnnnnn提示提示 22222)1211(nnnnnnnnnnnn11lim )3(0 nxx提示提示nx 1nx 1 x1x 1 nx1機動機動

7、目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1011lim )4(0 xxx提示提示),0(1111 xxxx由夾逼定理得由夾逼定理得.11lim0 xxx【注注】記住記住x的運算性質(zhì)：的運算性質(zhì)：xxx 1當當 x 0 時時111 xxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11AC二、兩個重要極限二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的的圓圓心心角角為為扇扇形形,BDOAB的高為的高為

8、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x ,20時時當當 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 13【幾何解釋幾何解釋】 0 sin處相切處相切圖象在圖象在與與 xxyxy【注注】該極限推廣為更一般地情形該極限推廣為更一般地情形1 sinlim0 或或1 sinl

9、im0 【理論根據(jù)理論根據(jù)】復合函數(shù)求極限法則復合函數(shù)求極限法則該極限的特點該極限的特點.極限呈極限呈 未定式極限未定式極限型型00常用不等式：常用不等式： sinR xxx )2,2( tan xxx xyo機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14【例例2】.cos1lim20 xxx 求求【解解】2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 復合函數(shù)求極限法則復合函數(shù)求極限法則. 正弦號后面的變量與分數(shù)線對面的變量，正弦號后面的變量與分數(shù)線對面的變量，若符合以上兩個特點，則極限為若符

10、合以上兩個特點，則極限為1；若若成立、而成立、而不成立，通常是不成立，通常是“湊湊”不含正弦不含正弦號的那一方的變量，使號的那一方的變量，使成立成立. .形式形式上一致上一致. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 15【例例3】.arcsinlim 0 xxx求求【解解】換元法換元法xtarcsin 令令txsin 則則0 0 tx，時時當當于是由復合函數(shù)的極限運算法則可得于是由復合函數(shù)的極限運算法則可得xxxarcsinlim 01sinlim0 ttt機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16(2)exxx )11 (lim【定義定義】enn

11、n )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( exxx 10)1(lim 或或機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ; 是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim 通常記通常記)

12、71828. 2( e類似地類似地, ,機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 18,1時時當當 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 19, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx

13、)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20【注注】該極限推廣為更一般地情形該極限推廣為更一般地情形e ) 11(lim或或e 10 ) 1(lim【理論根據(jù)理論根據(jù)】復合函數(shù)求極限法則復合函數(shù)求極限法則該極限的特點該極限的特點.極限呈極限呈 型未定式極限型未定式極限 1.括號中括號中“1”后的項連同符號與指數(shù)中后的項連同符號與指數(shù)中變量的形式連同符號，互為倒數(shù)變量的形式連同符號，互為倒數(shù). .在在成立的前提下，若成立的前提下，若不成立，通常是不成立，通常是“湊湊”指數(shù)中變量的形式，使之與括號中指數(shù)中變量的形

14、式，使之與括號中“1”后面的后面的項（連同符號）互為倒數(shù)項（連同符號）互為倒數(shù). .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21【例例4】.)11(limxxx 求求【解解】xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 【例例5】.)23(lim2xxxx 求求【解解】422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22【例例6】【解解】2cos122)cos1(lim2xxx 原式原式.2e .)cos1(lim2sec222xxx 求求【例例7】【解解】xxxxx)11()11(li

15、m 原式原式. 11 ee.)11(lim2xxx 求求機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 23則則，年利率為，年利率為稱為本金稱為本金設(shè)一筆貸款設(shè)一筆貸款,)(0rA三、連續(xù)復利三、連續(xù)復利)1(01rAA 一年后本利和一年后本利和2012)1()1(rArAA 兩年后本利和兩年后本利和kkrAAk)1(0 年后本利和年后本利和，則則，年年利利率率仍仍為為期期計計息息如如果果一一年年分分rn，于于是是一一年年后后的的本本利利和和每每期期利利率率為為nrnnrAA)1(01 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 24nkknrAAk)1(0 年后本利和年后本利和年年后后的的本本利利和和，則則稱稱為為連連續(xù)續(xù)復復利利復復利利，即即每每時時每每刻刻計計算算如如果果計計息息期期數(shù)數(shù)kn)( rkrkrnnnknkeArnAnrAA00011lim)1(lim .,000為貼現(xiàn)率為貼現(xiàn)率稱利率稱利率稱為貼現(xiàn)問題，這時稱為貼現(xiàn)問題，這時求求稱為復利問題；已知稱為復利問題；已知，求求稱為將來值，已知稱為將來值，已知稱為現(xiàn)值，稱為現(xiàn)值，其中其中rAAAAAAkkk機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 25三、小結(jié)1. .【兩個準則兩個準則】2. .【兩個重要極限兩