大學物理,機械振動16-1-3 旋轉矢量法

1、12描述簡諧運動的方法：描述簡諧運動的方法：1）解析法解析法 2）幾何法幾何法（旋轉矢量表示法）（旋轉矢量表示法） 3）曲線法曲線法主要內容：主要內容：一）一）什么是旋轉矢量表示法什么是旋轉矢量表示法；二）二）旋轉矢量表示法的旋轉矢量表示法的優(yōu)點優(yōu)點；三）三）旋轉矢量表示法的旋轉矢量表示法的應用應用。3ox t = 0 時刻時刻，矢量與，矢量與Ox 軸的夾角等于初相軸的夾角等于初相 。矢量矢量 以角速度以角速度 逆時逆時針作勻速圓周運動，針作勻速圓周運動，A 在平面上作一坐標軸在平面上作一坐標軸 O x，由原點，由原點 O 作一長度作一長度等于振幅的矢量等于振幅的矢量A 任一時刻，該矢量與任一

2、時刻，該矢量與O x軸的夾角為軸的夾角為 ，恰等，恰等于諧振動在該時刻的位相。于諧振動在該時刻的位相。 t端點端點M在在 x 軸上投影點的位移：軸上投影點的位移： )cos( tAx結論：結論： M點在點在 x 軸上投影點的運動，為簡諧運動。軸上投影點的運動，為簡諧運動。xtMPA一）什么是旋轉矢量表示法一）什么是旋轉矢量表示法4 以以 為為原點旋轉矢原點旋轉矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡諧運動。動。xAoxoAcos0Ax 當當 時時0t0 x5 以以 為為原點旋轉矢原點旋轉矢量量 的端點的端點在在 軸上的軸上的投影點的運投影點的運動為簡諧運動為簡

3、諧運動。動。xAoxoAtt t)cos(tAx時時6)cos(tAx 旋轉旋轉矢量矢量 的的端點在端點在 軸上的投軸上的投影點的運影點的運動為簡諧動為簡諧運動。運動。xA7 這種以一個勻速旋轉的矢量這種以一個勻速旋轉的矢量 在在 ox 軸上的投影，軸上的投影，來表示簡諧運動的方法，稱為來表示簡諧運動的方法，稱為旋轉矢量法旋轉矢量法。A注意：注意：旋轉矢量本身并不作簡諧運動，而是旋轉矢旋轉矢量本身并不作簡諧運動，而是旋轉矢量端點在量端點在 x 軸上的投影點在作簡諧運動。軸上的投影點在作簡諧運動。 矢量的長度矢量的長度振幅振幅A 矢量的旋轉角速度大小矢量的旋轉角速度大小諧振動的圓頻率諧振動的圓頻

4、率 t=0 時刻時刻矢量與坐標軸的夾角矢量與坐標軸的夾角諧振動初相諧振動初相 t 時刻時刻矢量與坐標軸的夾角矢量與坐標軸的夾角諧振動位相諧振動位相81、直觀地表達簡諧運動的各個特征量；直觀地表達簡諧運動的各個特征量；2、便于解題，便于解題， 特別是確定初相位；特別是確定初相位；3、為簡諧運動的合成提供了最簡捷的研究方法。為簡諧運動的合成提供了最簡捷的研究方法。1、求初相位；求初相位；2、作振動圖；作振動圖；3、可以用來求速度和加速度；可以用來求速度和加速度；4、振動的合成。振動的合成。二）旋轉矢量方法的優(yōu)點：二）旋轉矢量方法的優(yōu)點：三）旋轉矢量法的應用：三）旋轉矢量法的應用：9A3 0 t2/

5、0Ax 00 v31、用旋轉矢量法確定初位相、用旋轉矢量法確定初位相2）質點在質點在 x = A/2 處，向正處，向正x方向運動，方向運動，/3 1）質點在質點在 x = A/2處，處， 向負向負x方向運動，方向運動，4）質點在質點在 x = - A/2 處，向正處，向正x方向運動，方向運動，2 /3 3）質點在質點在 x = - A/2 處，向負處，向負x方向運動，方向運動，2 /3 初始時刻：初始時刻：ox.10由由x、v 的符號確定的符號確定 所在的象限：所在的象限：A用旋轉矢量法確定初位相用旋轉矢量法確定初位相11ox例：求例：求簡諧運動質點的簡諧運動質點的初相初相 。(1) t =

6、0 時，時，xo= -A, = 。 (2) t = 0 時，質點經過平衡時，質點經過平衡位置正向位置正向x軸正方向運動軸正方向運動， 則：則： =3 /2（或（或 - /2）。）。 (3) t = 0 時，時， xo=A/2，質質點正向點正向x軸負方向運動軸負方向運動， 則：則： = (4) t = 0 時，時， 質點正向質點正向x 軸正方向運動軸正方向運動, 則：則： =2,2oxA /3。5 /4。xo =Acos A35 /412 （旋轉矢量旋轉一周所需的時間）（旋轉矢量旋轉一周所需的時間）2T用旋轉矢量圖畫簡諧運動的用旋轉矢量圖畫簡諧運動的 圖圖tx2、13Amv)2 cos(tAv)

7、cos(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa3、求速度和加速度、求速度和加速度14AAx2AtoabxAA0討論討論 相位差：相位差：表示兩個相位之差。表示兩個相位之差。 1）對對同一同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間。間變化所需的時間。)()(12tt11cos()xAt 22cos()xAt 12tttat3 TTt6123v2Abt150 xto同步同步 2）對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，相位差表示它們的簡諧運動，相位差表示它們間間步調步調上的上的差異。差異。（解決振動合成問題）（解決振動合成問題）

8、)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它為其它超前超前落后落后txo反相反相 1612 0 2 超前超前 1 0 2 落后落后 1由于位相差的周期是由于位相差的周期是2 ，所以：，所以： ,23 如如,2223 此時，通常不說振動此時，通常不說振動2超前振動超前振動1 而是說振動而是說振動2落后振動落后振動1,23 。2 17兩質點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相兩質點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當質點等。當質點 1 在在 x1 = A/2 處，向處，向 x 軸負方向運動時，軸負方向運動時，另一個質點另一個質點 2 在在 x2 = 0 處，向處，

9、向x 軸負方向運動。軸負方向運動。求：求：這兩質點振動的這兩質點振動的相位差相位差。1 32 2質點質點 的振動超前質點的振動超前質點 的振動的振動 621 236OxA18比較一下簡諧運動的比較一下簡諧運動的位移、速度、加速度位移、速度、加速度的相位關系。的相位關系。)cos( tAx)sin( tA)cos(2 tAaxa234o,xav,tAA2v)2cos(tA )cos(2tA 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前/2 ，加速度的相位比位移的相位超前加速度的相位比位移的相位超前/2 。19例：例：一質點沿一質點沿 x 軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅 A = 0.

10、12m，周期，周期 T = 2s，當，當 t = 0 時，時，x0 = 0.06m，此時質點向此時質點向 x 軸正向軸正向運動。運動。求：求：（1）此簡諧振動的表達式；此簡諧振動的表達式；（2）從初始時刻開始第一次通過平衡位置所需時間。從初始時刻開始第一次通過平衡位置所需時間。 （3）=T/4時質點的位置、速度和加速度；時質點的位置、速度和加速度；（4）從從 x = - 0.06m 向向 x 軸負向運動，第一次回到平軸負向運動，第一次回到平衡位置所需的時間衡位置所需的時間（思考？）（思考？）。20求：（求：（1）此簡諧振動的表達式；此簡諧振動的表達式；解：解：),/(2sradT 3 取平衡位

11、置為坐標原點，取平衡位置為坐標原點，由旋轉矢量法得：由旋轉矢量法得：0.12cos()()3xtSI )cos( tAx設設3 oxyA21 由旋轉矢量法可知，由旋轉矢量法可知，質點第一次通過平衡位置時，質點第一次通過平衡位置時，振幅矢量轉過的角度為：振幅矢量轉過的角度為：5326t )(83. 0st 3 oxyA求：（求：（2）從初始時刻開始第一次通過平衡從初始時刻開始第一次通過平衡 位置所需時間。位置所需時間。解：解：22求：（求：（3）= T/4 時刻質點的位置、速度和加速度；時刻質點的位置、速度和加速度；)(3cos(12. 0mtx 由振動表達式：由振動表達式：解解：)sin( tA可可得得：(m/s)3-tsin(.120 )cos(2 tAa)/( )3cos(06. 022smt 將將 t= T/4 = 0.5 s 代入可得：代入可得：(m/s)18. 0 )/(03. 12sma 23 （3）如果求：）如果求：在在 x = - 0.06m，且向，且向 x 軸負方向軸負方向運動時刻的運動時刻的速度和加速度速度和加速度：)3cos(1202 t.dtda )3sin(120 t.dtdx 322A將相位代入得：將相位代入得：)3cos(120