拉格朗日插值實驗報告

1、實驗名稱： 實驗一 拉格朗日插值1 引言我們在生產(chǎn)生活中常常會遇到這樣的問題：某個實際問題中，函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上存在且連續(xù)，但卻很難找到其表達式，只能通過實驗和觀測得到有限點上的函數(shù)表。顯然，根據(jù)這些點的函數(shù)值來求其它點的函數(shù)值是非常困難的。有些情況雖然可以寫出表達式，但結構復雜，使用不方便。所以我們總是希望根據(jù)已有的數(shù)據(jù)點（或函數(shù)表）來構造某個簡單函數(shù)P(x)作為f(x)的近似值。插值法是解決此類問題的一種比較古老的、但卻很常用的方法。它不僅直接廣泛地應用于生產(chǎn)實際和科學研究中，而且也是進一步學習數(shù)值計算方法的基礎。2 實驗目的和要求運用Matlab編寫三個.m文件，定義三種插值函數(shù)

2、，要求一次性輸入整張函數(shù)表，并利用計算機選擇在插值計算中所需的節(jié)點。分別通過分段線性插值、分段二次插值和全區(qū)間上拉格朗日插值計算f(0.15)，f(0.31)，f(0.47)的近似值。已知函數(shù)表如下：x0.00.10.1950.30.4010.5f(x)0.398940.396950.391420.381380.368120.352063 算法原理與流程圖（1）原理設函數(shù)y=在插值區(qū)間a,b上連續(xù)，且在n+1個不同的插值節(jié)點ax0,x1,xnb上分別取值y0,y1,yn。目的是要在一個性質優(yōu)良、便于計算的插值函數(shù)類中，求一簡單函數(shù)P(x)，滿足插值條件P(xi)=yi(i=0,1,n)，而在其

3、他點xxi上，作為f(x)近似值。求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值法。在本實驗中，采用拉格朗日插值法。分段低次插值當給定了n+1個點x0x1xn上的函數(shù)值y0,y1,yn后，若要計算xxi處函數(shù)值f(x)的近似值，可先選取兩個節(jié)點xi-1與xi使xxi-1,xi，然后在小區(qū)間xi-1,xi上作線性插值，即得這種分段低次插值叫分段線性插值，又稱折線插值。類似地，我們可以選取距離x最近的三個節(jié)點xi-1，xi與xi+1，然后進行二次插值，即得這種分段低次插值叫分段二次插值，又稱分段拋物線插值。全區(qū)間上拉格朗日插值對節(jié)點xi(i=0,1,n)中任一點xk(0kn)，作一n次多項式lk(x)，使它在該

4、點上的取值為1，在其余點xi(i=0,1,k-1,k+1,n)上取值為零。對應于每一節(jié)點xk(k=0,1,n)，都能寫出一個滿足此條件的多項式，這樣寫出了n+1個多項式l0(x),l1(x),ln(x)，其中；由條件可得于是我們可以得出如下的拉格朗日n次插值多項式（對于全區(qū)間上的插值，n取函數(shù)表的長度）（2） 流程圖 分段線性插值分段二次插值 全區(qū)間拉格朗日插值4 程序代碼及注釋1、分段線性插值%分段線性插值function y=piece_linear(x0,y0,x)% x0，y0為已知點，x為待求點n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);% n，p，m

5、分別為x0，y0，x長度if n=p fprintf(Error! Please input again!n);% x0和y0長度不等時，報錯elsefor i=1:m z=x(i); sum=0.0; l=0;%給l賦初值,根據(jù)x的值確定l if zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%當插值點超出范圍時，報錯 for j=2:n if zx0(j) l=j; end if l=0 break; end end%一旦l有非零值，則終止循環(huán),選出合適的l for k=l-1:l a=1.0; for s=l-1:l

6、 if s=k a=a*(z-x0(s)/(x0(k)-x0(s); end end sum=sum+y0(k)*a; end y(i)=sum; fprintf(y(%d)=%fnx1=%.3f y1=%.5f,x2=%.3f y2=%.5fnn,i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l);%輸出插值結果和所需節(jié)點endendend2、分段二次插值%分段二次插值function y=piece_square(x0,y0,x)% x0，y0為已知點，x為待求點n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);% n，p，m分別為x0，y0，x

7、長度if n=p fprintf(Error! Please input again!n);% x0和y0長度不等時，報錯elsefor i=1:m z=x(i); sum=0.0; l=0;%給l賦初值,根據(jù)x的值確定lif zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%當插值點超出范圍時，報錯 for j=1:n-2 p=0.5*(x0(j)+x0(j+1); if zp l=j; end if l=0 break; end%一旦l有非零值，則終止循環(huán),選出合適的l end if l=0 l=n-1; end%輸入正

8、確時，若l還等于零，l=n-1 for k=l-1:l+1 a=1.0; for s=l-1:l+1 if s=k a=a*(z-x0(s)/(x0(k)-x0(s); end end sum=sum+y0(k)*a; end y(i)=sum;fprintf(y(%d)=%fnx1=%.3f y1=%.5fnx2=%.3f y2=%.5fnx3=%.3f y3=%.5fnn,i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l),x0(l+1),y0(l+1);%輸出插值結果與所需節(jié)點endendend3、拉格朗日全區(qū)間插值%拉格朗日全區(qū)間插值function y=lagran

9、ge(x0,y0,x)% x0，y0為已知點，x為待求點n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);%n，p，m分別為x0，y0，x長度if n=p fprintf(Error! Please input again!n);%x0和y0長度不等時，報錯elsefor i=1:m z=x(i); s=0.0; if zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%當插值點超出范圍時，報錯 for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)

10、-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;fprintf(y(%d)=%.5fn,i,y(i);%輸出插值結果endendend5 算例分析1、 測試示例 x=1 2 3 4; y=2 3 4; y2=lagrange(x,y,x0)Error! Please input again! x=1 2 3 4; y=2 3 4 5; x0=0.5 5.5; y2=lagrange(x,y,x0)Error!x(1) is out of range! x=1 2 3 4; y=2 3 4 5; x0=1.5 5.5; y2=lagrange(x,y,x0)y(1

11、)=2.50000Error!x(2) is out of range!y2 = 2.50002、首先輸入函數(shù)變及待求點 x=0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5; y=0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206; x0=0.15 0.31 0.47;注：保證在matlab工作目錄中有三個.m文件3、分段線性插值y0=piece_linear(x,y,x0)y(1)=0.394039x1=0.100 y1=0.39695,x2=0.195 y2=0.39142y(2)=0.380067x1=0.300 y1=0.38138,

12、x2=0.401 y2=0.36812y(3)=0.356927x1=0.401 y1=0.36812,x2=0.500 y2=0.35206y0 = 0.3941 0.3871 0.3569266666666674、分段二次插值 y1=piece_square(x,y,x0)y(1)=0.394460x1=0.100 y1=0.39695x2=0.195 y2=0.39142x3=0.300 y3=0.38138y(2)=0.380225x1=0.195 y1=0.39142x2=0.300 y2=0.38138x3=0.401 y3=0.36812y(3)=0.357247x1=0.300

13、 y1=0.38138x2=0.401 y2=0.36812x3=0.500 y3=0.35206y1 = 0.394460319548872 0.3873 0.3572468448844885、全區(qū)間拉格朗日插值 y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=0.39447y(2)=0.38022y(3)=0.35722y2 = 0.394472803878061 0.3832 0.3572221123394856 討論與結論1、使用tic,toc函數(shù)計算下列四種方法計算上述問題所運行的時間Functionlagrange(x0,y0,x)piece_linear(x0,y0,x)piec

14、e_square(x0,y0,x)運行時間(s)0.0002720.0003750.000272從三次實驗結果可知，三個程序的運行時間都很短。2、程序優(yōu)化由分段線性插值和分段二次插值的原理，x取值在函數(shù)表范圍內時，插值結果有意義，而當x取值在函數(shù)表范圍以外，利用分段線性插值公式仍可以進行運算并得到一個值，但其結果不準確；分段二次插值則無法找到三個合適的點以求插值，不予以輸出結果；若輸入的函數(shù)表x與y的長度不相等，則無法插值。所以加入以下判斷以提高插值的準確性n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);if n=p fprintf(Error! Please input again!n);if zx0(n) fprintf(Error!x(%d