拉格朗日插值實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)： 實(shí)驗(yàn)一 拉格朗日插值1 引言我們?cè)谏a(chǎn)生活中常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：某個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上存在且連續(xù)，但卻很難找到其表達(dá)式，只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)得到有限點(diǎn)上的函數(shù)表。顯然，根據(jù)這些點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)求其它點(diǎn)的函數(shù)值是非常困難的。有些情況雖然可以寫(xiě)出表達(dá)式，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使用不方便。所以我們總是希望根據(jù)已有的數(shù)據(jù)點(diǎn)（或函數(shù)表）來(lái)構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)作為f(x)的近似值。插值法是解決此類(lèi)問(wèn)題的一種比較古老的、但卻很常用的方法。它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)。2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵筮\(yùn)用Matlab編寫(xiě)三個(gè).m文件，定義三種插值函數(shù)

2、，要求一次性輸入整張函數(shù)表，并利用計(jì)算機(jī)選擇在插值計(jì)算中所需的節(jié)點(diǎn)。分別通過(guò)分段線(xiàn)性插值、分段二次插值和全區(qū)間上拉格朗日插值計(jì)算f(0.15)，f(0.31)，f(0.47)的近似值。已知函數(shù)表如下：x0.00.10.1950.30.4010.5f(x)0.398940.396950.391420.381380.368120.352063 算法原理與流程圖（1）原理設(shè)函數(shù)y=在插值區(qū)間a,b上連續(xù)，且在n+1個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn)ax0,x1,xnb上分別取值y0,y1,yn。目的是要在一個(gè)性質(zhì)優(yōu)良、便于計(jì)算的插值函數(shù)類(lèi)中，求一簡(jiǎn)單函數(shù)P(x)，滿(mǎn)足插值條件P(xi)=yi(i=0,1,n)，而在其

3、他點(diǎn)xxi上，作為f(x)近似值。求插值函數(shù)P(x)的方法稱(chēng)為插值法。在本實(shí)驗(yàn)中，采用拉格朗日插值法。分段低次插值當(dāng)給定了n+1個(gè)點(diǎn)x0x1xn上的函數(shù)值y0,y1,yn后，若要計(jì)算xxi處函數(shù)值f(x)的近似值，可先選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)xi-1與xi使xxi-1,xi，然后在小區(qū)間xi-1,xi上作線(xiàn)性插值，即得這種分段低次插值叫分段線(xiàn)性插值，又稱(chēng)折線(xiàn)插值。類(lèi)似地，我們可以選取距離x最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)xi-1，xi與xi+1，然后進(jìn)行二次插值，即得這種分段低次插值叫分段二次插值，又稱(chēng)分段拋物線(xiàn)插值。全區(qū)間上拉格朗日插值對(duì)節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,n)中任一點(diǎn)xk(0kn)，作一n次多項(xiàng)式lk(x)，使它在該

4、點(diǎn)上的取值為1，在其余點(diǎn)xi(i=0,1,k-1,k+1,n)上取值為零。對(duì)應(yīng)于每一節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,n)，都能寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足此條件的多項(xiàng)式，這樣寫(xiě)出了n+1個(gè)多項(xiàng)式l0(x),l1(x),ln(x)，其中；由條件可得于是我們可以得出如下的拉格朗日n次插值多項(xiàng)式（對(duì)于全區(qū)間上的插值，n取函數(shù)表的長(zhǎng)度）（2） 流程圖 分段線(xiàn)性插值分段二次插值 全區(qū)間拉格朗日插值4 程序代碼及注釋1、分段線(xiàn)性插值%分段線(xiàn)性插值function y=piece_linear(x0,y0,x)% x0，y0為已知點(diǎn)，x為待求點(diǎn)n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);% n，p，m

5、分別為x0，y0，x長(zhǎng)度if n=p fprintf(Error! Please input again!n);% x0和y0長(zhǎng)度不等時(shí)，報(bào)錯(cuò)elsefor i=1:m z=x(i); sum=0.0; l=0;%給l賦初值,根據(jù)x的值確定l if zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%當(dāng)插值點(diǎn)超出范圍時(shí)，報(bào)錯(cuò) for j=2:n if zx0(j) l=j; end if l=0 break; end end%一旦l有非零值，則終止循環(huán),選出合適的l for k=l-1:l a=1.0; for s=l-1:l

6、 if s=k a=a*(z-x0(s)/(x0(k)-x0(s); end end sum=sum+y0(k)*a; end y(i)=sum; fprintf(y(%d)=%fnx1=%.3f y1=%.5f,x2=%.3f y2=%.5fnn,i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l);%輸出插值結(jié)果和所需節(jié)點(diǎn)endendend2、分段二次插值%分段二次插值function y=piece_square(x0,y0,x)% x0，y0為已知點(diǎn)，x為待求點(diǎn)n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);% n，p，m分別為x0，y0，x

7、長(zhǎng)度if n=p fprintf(Error! Please input again!n);% x0和y0長(zhǎng)度不等時(shí)，報(bào)錯(cuò)elsefor i=1:m z=x(i); sum=0.0; l=0;%給l賦初值,根據(jù)x的值確定lif zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%當(dāng)插值點(diǎn)超出范圍時(shí)，報(bào)錯(cuò) for j=1:n-2 p=0.5*(x0(j)+x0(j+1); if zp l=j; end if l=0 break; end%一旦l有非零值，則終止循環(huán),選出合適的l end if l=0 l=n-1; end%輸入正

8、確時(shí)，若l還等于零，l=n-1 for k=l-1:l+1 a=1.0; for s=l-1:l+1 if s=k a=a*(z-x0(s)/(x0(k)-x0(s); end end sum=sum+y0(k)*a; end y(i)=sum;fprintf(y(%d)=%fnx1=%.3f y1=%.5fnx2=%.3f y2=%.5fnx3=%.3f y3=%.5fnn,i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l),x0(l+1),y0(l+1);%輸出插值結(jié)果與所需節(jié)點(diǎn)endendend3、拉格朗日全區(qū)間插值%拉格朗日全區(qū)間插值function y=lagran

9、ge(x0,y0,x)% x0，y0為已知點(diǎn)，x為待求點(diǎn)n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);%n，p，m分別為x0，y0，x長(zhǎng)度if n=p fprintf(Error! Please input again!n);%x0和y0長(zhǎng)度不等時(shí)，報(bào)錯(cuò)elsefor i=1:m z=x(i); s=0.0; if zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%當(dāng)插值點(diǎn)超出范圍時(shí)，報(bào)錯(cuò) for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)

10、-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;fprintf(y(%d)=%.5fn,i,y(i);%輸出插值結(jié)果endendend5 算例分析1、 測(cè)試示例 x=1 2 3 4; y=2 3 4; y2=lagrange(x,y,x0)Error! Please input again! x=1 2 3 4; y=2 3 4 5; x0=0.5 5.5; y2=lagrange(x,y,x0)Error!x(1) is out of range! x=1 2 3 4; y=2 3 4 5; x0=1.5 5.5; y2=lagrange(x,y,x0)y(1

11、)=2.50000Error!x(2) is out of range!y2 = 2.50002、首先輸入函數(shù)變及待求點(diǎn) x=0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5; y=0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206; x0=0.15 0.31 0.47;注：保證在matlab工作目錄中有三個(gè).m文件3、分段線(xiàn)性插值y0=piece_linear(x,y,x0)y(1)=0.394039x1=0.100 y1=0.39695,x2=0.195 y2=0.39142y(2)=0.380067x1=0.300 y1=0.38138,

12、x2=0.401 y2=0.36812y(3)=0.356927x1=0.401 y1=0.36812,x2=0.500 y2=0.35206y0 = 0.3941 0.3871 0.3569266666666674、分段二次插值 y1=piece_square(x,y,x0)y(1)=0.394460x1=0.100 y1=0.39695x2=0.195 y2=0.39142x3=0.300 y3=0.38138y(2)=0.380225x1=0.195 y1=0.39142x2=0.300 y2=0.38138x3=0.401 y3=0.36812y(3)=0.357247x1=0.300

13、 y1=0.38138x2=0.401 y2=0.36812x3=0.500 y3=0.35206y1 = 0.394460319548872 0.3873 0.3572468448844885、全區(qū)間拉格朗日插值 y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=0.39447y(2)=0.38022y(3)=0.35722y2 = 0.394472803878061 0.3832 0.3572221123394856 討論與結(jié)論1、使用tic,toc函數(shù)計(jì)算下列四種方法計(jì)算上述問(wèn)題所運(yùn)行的時(shí)間Functionlagrange(x0,y0,x)piece_linear(x0,y0,x)piec

14、e_square(x0,y0,x)運(yùn)行時(shí)間(s)0.0002720.0003750.000272從三次實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，三個(gè)程序的運(yùn)行時(shí)間都很短。2、程序優(yōu)化由分段線(xiàn)性插值和分段二次插值的原理，x取值在函數(shù)表范圍內(nèi)時(shí)，插值結(jié)果有意義，而當(dāng)x取值在函數(shù)表范圍以外，利用分段線(xiàn)性插值公式仍可以進(jìn)行運(yùn)算并得到一個(gè)值，但其結(jié)果不準(zhǔn)確；分段二次插值則無(wú)法找到三個(gè)合適的點(diǎn)以求插值，不予以輸出結(jié)果；若輸入的函數(shù)表x與y的長(zhǎng)度不相等，則無(wú)法插值。所以加入以下判斷以提高插值的準(zhǔn)確性n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);if n=p fprintf(Error! Please input again!n);if zx0(n) fprintf(Error!x(%d