微積分下冊(cè)總復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1微積分下冊(cè)總復(fù)習(xí)微積分下冊(cè)總復(fù)習(xí)(fx)第一頁(yè)，共107頁(yè)。2 2、偏導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)(do sh)(do sh)與全微分與全微分 )(0,0yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim00000),(yxfz 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxx ),0()( oyBxAz),(),(0000yxfyyxxfz zd22)()(yx 0dPzdyyxfdxyxfyx),(),(0000 yyzxxzPP 00第2頁(yè)/共107頁(yè)第二頁(yè)，共107頁(yè)。處處在點(diǎn)在點(diǎn)),(),(000yxPyxfz 可可 微微 連連 續(xù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在第3頁(yè)/共107頁(yè)第三頁(yè)

2、，共107頁(yè)。處可微的步驟：處可微的步驟：在在判定判定),(),(00yxyxfz 是否存在，是否存在，、判定判定),(),()1(0000yxfyxfyx若不存在若不存在(cnzi)(cnzi)，則不，則不可微，可微，否則否則(fuz)(fuz)轉(zhuǎn)下一轉(zhuǎn)下一步；步；，是否為是否為判定判定0),(),(lim)2(00000 yyxfxyxfzyx 若為若為(ru wi)0(ru wi)0，則，則可微，可微，否則不可微。否則不可微。第4頁(yè)/共107頁(yè)第四頁(yè)，共107頁(yè)。3 3、復(fù)合、復(fù)合(fh)(fh)函數(shù)求導(dǎo)法函數(shù)求導(dǎo)法),(vufz 則復(fù)合則復(fù)合(fh)(fh)函數(shù)函數(shù)),(),(yxyx

3、fz uvxzy xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv ),(),(yxvyxu 及及第5頁(yè)/共107頁(yè)第五頁(yè)，共107頁(yè)。(1) 一個(gè)方程一個(gè)方程(fngchng)情形情形(二元方程二元方程(fngchng)、三元方程、三元方程(fngchng)4 4、隱函數(shù)、隱函數(shù)(hnsh)(hnsh)的求導(dǎo)法的求導(dǎo)法隱函數(shù)存在隱函數(shù)存在(cnzi)(cnzi)定理定理1 1),(yxF),(00yxP設(shè)設(shè)的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足: :在點(diǎn)在點(diǎn), 0),()3(00 yxFy則方程則方程; 0),()2(00 yxF),(xyy ),(00 xyy 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)并有

4、并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);0),( yxF),(00yxP它它滿足滿足條件條件在點(diǎn)在點(diǎn)恒能恒能唯一唯一確定一個(gè)確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的函數(shù)第6頁(yè)/共107頁(yè)第六頁(yè)，共107頁(yè)。第7頁(yè)/共107頁(yè)第七頁(yè)，共107頁(yè)。(2) 方程組情形方程組情形(qng xing)隱函數(shù)隱函數(shù)(hnsh)的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)=方程的方程的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)(hnsh)的自變量個(gè)數(shù)的自變量個(gè)數(shù)=總自變總自變量個(gè)數(shù)量個(gè)數(shù) 方程的個(gè)數(shù)方程的個(gè)數(shù)第8頁(yè)/共107頁(yè)第八頁(yè)，共107頁(yè)。5. 多元函數(shù)多元函數(shù)(hnsh)微分學(xué)的幾何應(yīng)用微分學(xué)的幾何應(yīng)

5、用(1) 空間曲線的切線空間曲線的切線(qixin)與法平面與法平面(三種情三種情形形)(2) 空間曲面的切平面與法線空間曲面的切平面與法線(三種三種(sn zhn)情形情形)6. 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度00000(P)(P )lim.PPPPPP Plfffl與 同向方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)梯度梯度., adrg00PyxPfff.|)(00llgradflfPPcos)( cos)( 00PfPfyx*第9頁(yè)/共107頁(yè)第九頁(yè)，共107頁(yè)。方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度(t d)的關(guān)系的關(guān)系函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大函數(shù)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大(即增長(zhǎng)即增長(zhǎng)(zngzhng)最快最快)，且方

6、向?qū)?shù)的最大值為梯，且方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模。度的模。7. 多元多元(du yun)函數(shù)的極值與函數(shù)的極值與最值最值(1) 極值的必要條件極值的必要條件極值的充分條件極值的充分條件(2) 求條件極值的方法求條件極值的方法代入法，代入法，Lagrange乘數(shù)法乘數(shù)法, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy),(),(),(yxyxfyxL *第10頁(yè)/共107頁(yè)第十頁(yè)，共107頁(yè)。(3) 求最值的方法求最值的方法(fngf)1. 求求D內(nèi)所有內(nèi)所有(suyu)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；點(diǎn)；2. 用求條件極值的方法用求條件極值的方法(Lagrange乘數(shù)乘數(shù)(chn sh)法

7、或代入法法或代入法)求求D的邊界上的條件極值點(diǎn)；的邊界上的條件極值點(diǎn)；3. 求求D的邊界的邊界點(diǎn)；的邊界的邊界點(diǎn)；4. 計(jì)算上面三步求出的所有點(diǎn)的函數(shù)值，最大者即計(jì)算上面三步求出的所有點(diǎn)的函數(shù)值，最大者即為為D上的最大值，最小者即為最小值。上的最大值，最小者即為最小值。第11頁(yè)/共107頁(yè)第十一頁(yè)，共107頁(yè)。 1. 理解二重積分理解二重積分(jfn)、三重積分、三重積分(jfn)的概念的概念,第八章第八章 重積分重積分(jfn)2. 掌握掌握(zhngw)二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法(直角直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、極 3. 會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量.了解了解重

8、積分的性質(zhì)重積分的性質(zhì).了解三重積分的計(jì)算法（了解三重積分的計(jì)算法（直角坐標(biāo)、直角坐標(biāo)、坐標(biāo)坐標(biāo))，柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)).第12頁(yè)/共107頁(yè)第十二頁(yè)，共107頁(yè)。其中其中(qzhng) iiniiDfyxfI ),(limd),(10二重積分二重積分是各小閉區(qū)域是各小閉區(qū)域(qy)的直徑中的最大值的直徑中的最大值.幾何幾何(j (j h)h)意義意義二重積分二重積分I表示以表示以D為底為底,柱體的體積柱體的體積.z =f (x, y)為曲頂為曲頂, 側(cè)面是側(cè)面是定義定義1.平面上有界閉區(qū)域平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數(shù)上二元有界函數(shù)z = f (x, y)的二重積分的二重

9、積分2.當(dāng)連續(xù)函數(shù)當(dāng)連續(xù)函數(shù),0),(時(shí)時(shí) yxfz以以D的邊界為準(zhǔn)線的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于母線平行于z軸的柱面的軸的柱面的曲頂曲頂一般情形一般情形, Dyxf d),(xOy平面上方的曲頂柱體體積平面上方的曲頂柱體體積減減xOy平面下方的曲頂柱體體積平面下方的曲頂柱體體積.第13頁(yè)/共107頁(yè)第十三頁(yè)，共107頁(yè)。物理物理(wl)(wl)意意義義3.若平面薄片占有若平面薄片占有(zhnyu)平面內(nèi)有界閉區(qū)平面內(nèi)有界閉區(qū)域域D,),(yx 則它的質(zhì)量則它的質(zhì)量(zhling)M為為:它的面它的面密度為連續(xù)函數(shù)密度為連續(xù)函數(shù).d),( DyxM 性質(zhì)性質(zhì)1(線性運(yùn)算性質(zhì)線性運(yùn)算性質(zhì))為常數(shù)為常

10、數(shù), 則則(重積分與定積分有類似的性質(zhì)重積分與定積分有類似的性質(zhì)) Dyxgyxf d),(),( 、設(shè)設(shè) DDyxgyxf d),(d),(4 4、二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)第14頁(yè)/共107頁(yè)第十四頁(yè)，共107頁(yè)。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)2將區(qū)域?qū)^(qū)域D分為分為(fn wi)兩個(gè)子域兩個(gè)子域 Dyxf d),()(21DDD 對(duì)積分區(qū)域?qū)Ψe分區(qū)域(qy)的可加性質(zhì)的可加性質(zhì). 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf ,21DD以以1為高的為高的 性質(zhì)性質(zhì)3(幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用) 若若 為為D的面積的面積 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體體積柱體體積. D d1 D d又可

11、看成是又可看成是D的面積的面積.第15頁(yè)/共107頁(yè)第十五頁(yè)，共107頁(yè)。 Dyxf d),(特殊特殊(tsh)地地性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4(xngzh)4(比比較性質(zhì)較性質(zhì)(xngzh)(xngzh),(),(yxgyxf 設(shè)設(shè),),(Dyx 則則 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( ( (保序性保序性) ) DMyxfm d),(性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5(xngzh)5(估值性估值性質(zhì)質(zhì)(xngzh)(xngzh),),(Myxfm 設(shè)設(shè)為為D的面積的面積, 則則第16頁(yè)/共107頁(yè)第十六頁(yè)，共107頁(yè)。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)6(xngzh)6(二重積分中二重積分中

12、值定理值定理) ),( Dyxf d),(體體積體體積(tj)等于以等于以D為為底底),( f以以幾何幾何(j h)意義意義域域D上連續(xù)上連續(xù),為為D的面積的面積,則在則在D上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱則曲頂柱 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.設(shè)設(shè)f (x, y)在閉區(qū)在閉區(qū)第17頁(yè)/共107頁(yè)第十七頁(yè)，共107頁(yè)。(1)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域(qy)D上連續(xù)上連續(xù). Dyxyxfdd),(若若D關(guān)于關(guān)于(guny),dd),(21yxyxfD 則則x軸對(duì)稱軸對(duì)稱, f (x, y)對(duì)對(duì)y為奇函數(shù)為奇

13、函數(shù), 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對(duì)對(duì)y為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中(qzhng);01 yDD5 5、對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)、對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)第18頁(yè)/共107頁(yè)第十八頁(yè)，共107頁(yè)。(2)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域(qy)D上連續(xù)上連續(xù). Dyxyxfdd),(若若D關(guān)于關(guān)于(guny),dd),(21yxyxfD 則則 y軸對(duì)稱軸對(duì)稱, f (x, y)對(duì)對(duì)x為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y

14、)對(duì)對(duì)x為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中(qzhng);01 xDD第19頁(yè)/共107頁(yè)第十九頁(yè)，共107頁(yè)。),()(,),( 21xyxbxayxD 其中其中(qzhng)函數(shù)函數(shù) 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aD在區(qū)間在區(qū)間(q jin)a, b上上連續(xù)連續(xù).(1) 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系系xOy Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先對(duì)先對(duì)y 后對(duì)后對(duì)x的二次積分的二次積分6、二重積分計(jì)算、二重積分計(jì)算第20頁(yè)/共107頁(yè)第二十頁(yè)，共107頁(yè)。),

15、()(,),( 21yxydycyxD 其中其中(qzhng)函函數(shù)數(shù) 、)(1y )(2y 在區(qū)間在區(qū)間(q jin)c, d上上連續(xù)連續(xù). Dyxf d),( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先對(duì)先對(duì)x 后對(duì)后對(duì)y的二次積分的二次積分(jfn).xOyD)(2yx cd)(1yx 第21頁(yè)/共107頁(yè)第二十一頁(yè)，共107頁(yè)。交換積分次序交換積分次序(cx)的的步驟步驟 (1) 利用利用(lyng)已給的二次積分的積已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序按相反順序(shnx)寫(xiě)出相應(yīng)的二次積寫(xiě)出相應(yīng)的二次積分分.并畫(huà)出

16、草圖并畫(huà)出草圖;第22頁(yè)/共107頁(yè)第二十二頁(yè)，共107頁(yè)。 Dyxf d),( ddrr極坐標(biāo)系中的面積元素極坐標(biāo)系中的面積元素 Drrrrf dd)sin,cos(2) 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 )(1 r)(2 rOAD)()(,),( 21 ryxD其中其中(qzhng)函函數(shù)數(shù).,)()(21上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間、 d )(2)(1;d)sin,cos( rrrrf第23頁(yè)/共107頁(yè)第二十三頁(yè)，共107頁(yè)。D;d)sin,cos(d)(0 rrrrf Dyxf d),(AO )( r)(0 ,),( ryxD其中其中(qzhng)函函數(shù)數(shù).,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 第24頁(yè)/共1

17、07頁(yè)第二十四頁(yè)，共107頁(yè)。 )(020d)sin,cos(d rrrrf極坐標(biāo)系下區(qū)域極坐標(biāo)系下區(qū)域(qy)的面的面積積.dd Drr DoA)( r)(0 ,20),( ryxD Dyxf d),(其中其中(qzhng)函數(shù)函數(shù).,)(上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 第25頁(yè)/共107頁(yè)第二十五頁(yè)，共107頁(yè)。2、三重、三重(sn zhn)積分積分的幾何意義的幾何意義表示空間區(qū)域的體積表示空間區(qū)域的體積時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) Vdvzyxf,1),(3 3、三重、三重(sn zhn)(sn zhn)積分的性積分的性質(zhì)質(zhì)類似類似(li s)于二重積分的性質(zhì)于二重積分的性質(zhì)1 1、三重積分的定義、三重積分的定義

18、三重積分三重積分第26頁(yè)/共107頁(yè)第二十六頁(yè)，共107頁(yè)。三重三重(sn zhn)積分積分vzyxfd),(0為為f的偶函數(shù)的偶函數(shù)z對(duì)稱對(duì)稱(duchn)性性質(zhì)質(zhì)),(),(zyxfzyxf 則稱則稱f關(guān)于變量關(guān)于變量(binling)z的奇的奇 函數(shù)函數(shù). vzyxfd),(則則 ,坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱xOy關(guān)于關(guān)于的奇函數(shù)的奇函數(shù)z為為f21 若域若域xOy在在為為其中其中 1坐標(biāo)面的上半部區(qū)域坐標(biāo)面的上半部區(qū)域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)第27頁(yè)/共107頁(yè)第二十七頁(yè)，共107頁(yè)。vzyxfd),(0為為f的偶函數(shù)x vzyxfd),(則則 ,坐標(biāo)面對(duì)稱yOz關(guān)于關(guān)于(g

19、uny)的奇函數(shù)x為為f21 若域若域yOz在為其中1坐標(biāo)坐標(biāo)(zubio)面的前半部面的前半部區(qū)域區(qū)域.三重積分三重積分第28頁(yè)/共107頁(yè)第二十八頁(yè)，共107頁(yè)。vzyxfd),(0為為f的偶函數(shù)y vzyxfd),(則則 ,坐標(biāo)面對(duì)稱zOx關(guān)于關(guān)于(guny)的奇函數(shù)y為為f21 若域若域zOx在為其中1坐標(biāo)坐標(biāo)(zubio)面的右半部面的右半部區(qū)域區(qū)域.三重積分三重積分第29頁(yè)/共107頁(yè)第二十九頁(yè)，共107頁(yè)。4 4、三重、三重(sn zhn)(sn zhn)積分的計(jì)算積分的計(jì)算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(21

20、21 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)第30頁(yè)/共107頁(yè)第三十頁(yè)，共107頁(yè)。 .,sin,coszzryrx () 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)(zubio).),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 21(, )(, )( cos , sin , ) dzzf rrz r z 21( )( )drrr d 注注通常通常(tngchng)是是先積先積再積再積后積后積r、z. 第31頁(yè)/

21、共107頁(yè)第三十一頁(yè)，共107頁(yè)。 .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面球面(qimin)坐標(biāo)坐標(biāo)通常通常(tngchng)是是注注、先積先積r、再再積積 . 后后積積第32頁(yè)/共107頁(yè)第三十二頁(yè)，共107頁(yè)。5 5、二重積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用(yngyng)(yngyng)(1) 體積體積(tj)的體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(設(shè)設(shè)S曲面曲面(qmin)的方程的方程為：

22、為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面面積曲面面積第33頁(yè)/共107頁(yè)第三十三頁(yè)，共107頁(yè)。當(dāng)薄片是均勻的，重心當(dāng)薄片是均勻的，重心(zhngxn)稱為形心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心(zhngxn)第34頁(yè)/共1

23、07頁(yè)第三十四頁(yè)，共107頁(yè)。薄片薄片(bo pin)對(duì)于對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量薄片薄片(bo pin)對(duì)于對(duì)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片對(duì)對(duì)于于x軸軸和和y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為(4) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第35頁(yè)/共107頁(yè)第三十五頁(yè)，共107頁(yè)。薄片對(duì)薄片對(duì)軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力z 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面

24、面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，計(jì)計(jì)算算該該平平面面薄薄片片對(duì)對(duì)位位于于z 軸軸上上的的點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f(5) 引力引力(ynl)第36頁(yè)/共107頁(yè)第三十六頁(yè)，共107頁(yè)。6 6、三重積分、三重積分(jfn)(jfn)的應(yīng)用的應(yīng)用. dvM 其中其中,1 dvxMx

25、 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體的的重重心心為為() 重心重心(zhngxn),1 dvyMy .1 dvzMz 第37頁(yè)/共107頁(yè)第三十七頁(yè)，共107頁(yè)。,2 dvzIxy ( () ) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)面面,坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸及及原原點(diǎn)點(diǎn)的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為,2 dvxIyz ,2 dvyIzx

26、 ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 第38頁(yè)/共107頁(yè)第三十八頁(yè)，共107頁(yè)。第九章第九章 曲線曲線(qxin)積分與積分與曲面積分曲面積分曲線曲線(qxin)積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線(qxin)積分的關(guān)系積分的關(guān)系.2. 會(huì)計(jì)算會(huì)計(jì)算(j sun)兩類曲兩類曲線積分線積分.曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.1. 理解兩類曲線積分的概念理解兩類曲線積分的概念,了解兩類了解兩類3. 掌握格林掌握格林(Green)公式公式,會(huì)使用平面會(huì)使用平面第39頁(yè)/共107頁(yè)第三十九頁(yè)，共107頁(yè)。(G

27、auss) 、5.了解散了解散(jisn)度、旋度的概念及其計(jì)度、旋度的概念及其計(jì)算算6. 會(huì)用曲線會(huì)用曲線(qxin)積分、積分、4. 了解兩類曲面積分的概念了解兩類曲面積分的概念(ginin)及及高斯高斯并會(huì)并會(huì)計(jì)算兩類曲面積分計(jì)算兩類曲面積分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.曲面積分求一些曲面積分求一些幾何量與物理量幾何量與物理量.第40頁(yè)/共107頁(yè)第四十頁(yè)，共107頁(yè)。 曲曲 線線 積積 分分第一類曲線積分第一類曲線積分第二類曲線積分第二類曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10i

28、iiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計(jì)計(jì)算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (與方向有關(guān)與方向有關(guān))第41頁(yè)/共107頁(yè)第四十一頁(yè)，共107頁(yè)。格林公式格林公式(gngsh)(gngsh)第42頁(yè)/共107頁(yè)第四十二頁(yè)，共107頁(yè)。與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連通通開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個(gè)個(gè)命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1(

29、CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題第43頁(yè)/共107頁(yè)第四十三頁(yè)，共107頁(yè)。思路思路(sl) LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI閉合閉合(b h)非閉非閉閉合閉合(b h)非閉非閉補(bǔ)充曲線或用公式補(bǔ)充曲線或用公式第二類曲線積分第二類曲線積分的計(jì)算法的計(jì)算法 LyyxQxyxPd),(d),( DyxyPxQIdd)(第44頁(yè)/共107頁(yè)第四十四頁(yè)，共107頁(yè)。 如果如果(rgu)曲面方程為以下三種：曲面方程為以下三種：第一

30、類曲面(qmin)積分 曲面曲面(qmin)積積分分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)1yxzz 若曲面若曲面則則;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則),(:)2zxyy 若曲面若曲面第45頁(yè)/共107頁(yè)第四十五頁(yè)，共107頁(yè)。.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若曲面若曲面則則第46頁(yè)/共107頁(yè)第四十六頁(yè)，共107頁(yè)。第二類曲面(qmin)積分),(:)1yxzz 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddPdxdyQ)(yz)(xzR其中其中(qzh

31、ng)符號(hào)當(dāng)符號(hào)當(dāng)取上側(cè)時(shí)為正，下側(cè)時(shí)取上側(cè)時(shí)為正，下側(cè)時(shí)為負(fù)。為負(fù)。xyD),(:)2zxyy 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddP)(xyQdzdxR)(zy其中符號(hào)其中符號(hào)(fho)當(dāng)當(dāng)取右側(cè)時(shí)為正，左側(cè)時(shí)為負(fù)取右側(cè)時(shí)為正，左側(cè)時(shí)為負(fù)。zxD第47頁(yè)/共107頁(yè)第四十七頁(yè)，共107頁(yè)。),()3zyxx ：若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzdd)(yxPdydzQR)(zxyzD其中其中(qzhng)符號(hào)當(dāng)符號(hào)當(dāng)取前側(cè)時(shí)為正，后側(cè)時(shí)為負(fù)取前側(cè)時(shí)為正，后側(cè)時(shí)為負(fù)。注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面對(duì)坐標(biāo)的曲面(qmin)(qmin)積分積分, ,必須注意曲面必須注意曲面(qmin)(q

32、min)所所取的側(cè)取的側(cè). .第48頁(yè)/共107頁(yè)第四十八頁(yè)，共107頁(yè)。yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos兩類關(guān)系(gun x)0(cos, cos, cos )n第49頁(yè)/共107頁(yè)第四十九頁(yè)，共107頁(yè)。高斯高斯(o s)(o s)公式公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或這里這里 是是 的整個(gè)邊界曲面的的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，外側(cè)， cos,cos,cos是是 上點(diǎn)上點(diǎn)),(zyx處的法向處的法向 量的方向余弦量的方向余弦. . 第50頁(yè)/共107頁(yè)第五十頁(yè)，共107頁(yè)。設(shè)向量場(chǎng)設(shè)向量場(chǎng)P, Q, R, 在域在域G內(nèi)有一階內(nèi)有一階 連續(xù)連續(xù)

33、(linx) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh), 則則 向量場(chǎng)通過(guò)向量場(chǎng)通過(guò)(tnggu)有向曲面有向曲面 的通量為的通量為 ),(RQPASnAd2. 通量與散度通量與散度 G 內(nèi)任意點(diǎn)處的內(nèi)任意點(diǎn)處的散度散度為為 zRyQxPAdiv第51頁(yè)/共107頁(yè)第五十一頁(yè)，共107頁(yè)。定理定理 設(shè)設(shè) 為分段光滑的空間有向閉曲線為分段光滑的空間有向閉曲線, , 是以是以 為邊界的分片光滑的有向曲面為邊界的分片光滑的有向曲面, , 的正向與的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則的側(cè)符合右手規(guī)則, , 函數(shù)函數(shù)),(zyxP, ,),(zyxQ, ,),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在內(nèi)的在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連

34、續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有公式則有公式 斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式(gngsh)(gngsh)dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx 斯托克斯公式斯托克斯公式(gngsh)(gngsh)第52頁(yè)/共107頁(yè)第五十二頁(yè)，共107頁(yè)。yozxnRQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscos第53頁(yè)/共107頁(yè)第五十三頁(yè)，共107頁(yè)。2. 2. 旋度旋度. )(ArotRQPzyxkji為向量場(chǎng)的旋度為向量場(chǎng)的旋度稱向量稱向量 .)()()(kyPxQjxRz

35、PizQyR 第54頁(yè)/共107頁(yè)第五十四頁(yè)，共107頁(yè)。第二類曲面積分第二類曲面積分(jfn)的計(jì)算法的計(jì)算法1. 利用利用(lyng)Gauss公式公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 閉閉曲曲面面具有具有(jyu)則則取取其中其中 外側(cè)外側(cè). .在在若若RQP,中中所圍成的空間域所圍成的空間域 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,)2(,比較復(fù)雜比較復(fù)雜非閉而非閉而若若RQP 在在RQP,后后加面加面 )(為閉為閉 中中所構(gòu)成的空間域所構(gòu)成的空間域 具有具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,則則 I 第55頁(yè)/共107頁(yè)第五十五頁(yè)，共107頁(yè)。2. yxRxzQz

36、yPIdddddd面投影面投影在在將將xOy ),(yxfz 的方程為的方程為設(shè)曲面設(shè)曲面 xyD yxRzQzPyxdd)()(上側(cè)為正，下側(cè)為負(fù)。上側(cè)為正，下側(cè)為負(fù)。第56頁(yè)/共107頁(yè)第五十六頁(yè)，共107頁(yè)。常數(shù)常數(shù)(chngsh)項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)函數(shù)(hnsh)項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí) 數(shù) 正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角三角(snjio)(snjio)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)傅氏展開(kāi)式傅氏展開(kāi)式傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)0)(xR為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn為函數(shù)為函數(shù)滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取

37、取在收斂在收斂 級(jí)數(shù)與數(shù)級(jí)數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 第十章第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)第57頁(yè)/共107頁(yè)第五十七頁(yè)，共107頁(yè)。定義定義(dngy)0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂ns1 1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)(j sh)(j sh)及其審及其審斂法斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較比較(bjio)(bjio)審審斂法斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) ). .第58頁(yè)/共107頁(yè)第五十八頁(yè)，共107頁(yè)。(2) (2) 比較比較(bjio)(bjio

38、)審斂法的極審斂法的極限形式限形式第59頁(yè)/共107頁(yè)第五十九頁(yè)，共107頁(yè)。(3) (3) 比值審斂法比值審斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 D DAlembertAlembert 判別法判別法) ) 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂;1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 1 時(shí)失效時(shí)失效.( (4 4) ) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) ) 設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如果如果 nnnulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , ,則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂; ; 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; ;1 時(shí)失效時(shí)失效.

39、 .第60頁(yè)/共107頁(yè)第六十頁(yè)，共107頁(yè)。定義定義(dngy) (dngy) 正正 、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, , 且其和且其和1us , , 其余 項(xiàng)其余 項(xiàng)nr的絕對(duì)值的絕對(duì)值1 nnur. .)0( nu其中其中2 2、交錯(cuò)、交錯(cuò)(jiocu)(jiocu)級(jí)數(shù)及其審級(jí)數(shù)及其審斂法斂法第61頁(yè)/共107頁(yè)第六十一頁(yè)，共107頁(yè)。定

40、義定義 正項(xiàng)正項(xiàng)(zhn xin)(zhn xin)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). .定理定理 若若 1nnu收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對(duì)收斂為絕對(duì)收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .3 3、任意、任意(rny)(rny)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法斂法第62頁(yè)/共107頁(yè)第六十二頁(yè)，共107頁(yè)。4 4、函數(shù)、函數(shù)(hnsh)(hnsh)項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1) (1) 定義定義(dngy)(dngy)設(shè)設(shè)),(

41、,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)) )無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .(2) (2) 收斂收斂(shulin)(shulin)點(diǎn)與收點(diǎn)與收斂斂(shulin)(shulin)域域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂,第63頁(yè)/共107頁(yè)第六十三頁(yè)，共107頁(yè)。則稱則稱0 x為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù))(1xunn 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn), ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn). .所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. .函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))(1xu

42、nn 的所有收斂點(diǎn)的全體稱為的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) (3) 和函數(shù)和函數(shù)(hnsh)(hnsh)在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, ,稱稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). .第64頁(yè)/共107頁(yè)第六十四頁(yè)，共107頁(yè)。(1) (1) 定義定義(dngy)(dngy)形如形如nnnxxa)(00 的級(jí)數(shù)稱為的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).5 5、冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)nnnxa 0第65頁(yè)/共107頁(yè)第六十五頁(yè)，共107頁(yè)。如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx

43、處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性第66頁(yè)/共107頁(yè)第六十六頁(yè)，共107頁(yè)。如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :

44、當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散冪級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論(tu(tuln)ln)第67頁(yè)/共107頁(yè)第六十七頁(yè)，共107頁(yè)。定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂稱為冪級(jí)數(shù)的收斂(shulin)(shulin)半徑半徑. .冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為(chn wi)冪級(jí)數(shù)的收冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間斂區(qū)間.定理定理 2 2 如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)

45、, 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;第68頁(yè)/共107頁(yè)第六十八頁(yè)，共107頁(yè)。a.a.代數(shù)代數(shù)(dish)(dish)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì): : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中(qzhng) 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (3)(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算(yn sun)(yn sun)第69頁(yè)/共107頁(yè)第六十九頁(yè)，共107頁(yè)。乘法乘法(chngf)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中(qzhng)011

46、0bababacnnnn 除法除法(chf) 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)第70頁(yè)/共107頁(yè)第七十頁(yè)，共107頁(yè)。b.b.和函數(shù)和函數(shù)(hnsh)(hnsh)的分析運(yùn)算性質(zhì)的分析運(yùn)算性質(zhì): : 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在端端點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂,則則在在端端點(diǎn)點(diǎn)單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù). 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對(duì)且對(duì)),(RRx 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間

47、在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.第71頁(yè)/共107頁(yè)第七十一頁(yè)，共107頁(yè)。 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù).(4) 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式第72頁(yè)/共107頁(yè)第七十二頁(yè)，共107頁(yè)。定理定理 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .充

48、要條件充要條件唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開(kāi)成展開(kāi)成)(0 xx 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開(kāi)式是唯一的且展開(kāi)式是唯一的. .第73頁(yè)/共107頁(yè)第七十三頁(yè)，共107頁(yè)。展開(kāi)展開(kāi)(zhn ki)方法方法a.a.直接法直接法( (泰勒泰勒(ti l)(ti l)級(jí)數(shù)法級(jí)數(shù)法) )步驟步驟(bzhu):;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級(jí)數(shù)在

49、收斂區(qū)間內(nèi)收b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見(jiàn)展開(kāi)式利用常見(jiàn)展開(kāi)式, 通過(guò)通過(guò)變變量代換量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方等方法法,求展開(kāi)式求展開(kāi)式.第74頁(yè)/共107頁(yè)第七十四頁(yè)，共107頁(yè)。),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x常見(jiàn)常見(jiàn)(chn jin)函數(shù)展開(kāi)式函數(shù)展開(kāi)式第75頁(yè)/共107頁(yè)第七十五頁(yè)，共107頁(yè)。)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)

50、1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(3121 1 , 1( x第76頁(yè)/共107頁(yè)第七十六頁(yè)，共107頁(yè)。應(yīng)用應(yīng)用(yngyng)a.a.近似計(jì)算近似計(jì)算b.b.歐拉公式歐拉公式(gngsh)(gngsh),sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit 第77頁(yè)/共107頁(yè)第七十七頁(yè)，共107頁(yè)。(1) (1) 三角函數(shù)三角函數(shù)(snjihnsh)(snjihnsh)系系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個(gè)不同函數(shù)在任意兩個(gè)不同函數(shù)在正交性正交性 , 0cos

51、nxdx, 0sin nxdx三角函數(shù)三角函數(shù)(snjihnsh)系系6 6、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)(j sh)(j sh), 2 , 1( n其其中中第78頁(yè)/共107頁(yè)第七十八頁(yè)，共107頁(yè)。 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其中其中(2) (2) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)(j sh)(j sh) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義(dngy)三角三角(snjio)(snjio)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第79頁(yè)/共107頁(yè)第七十九頁(yè)，共107頁(yè)。其中其中(qzhng) ), 2 , 1(,sin

52、)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為稱為(chn wi)傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù). 10)sincos(2nnnnxbnxaa第80頁(yè)/共107頁(yè)第八十頁(yè)，共107頁(yè)。(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分條件充分條件(chn fn (chn fn tio jin)(tio jin)(收斂定理收斂定理) ) 設(shè)設(shè))(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù).如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),并并且且至至多多只只有有有有限限

53、個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn),則則)(xf的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂,并并且且(1) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的連續(xù)點(diǎn)時(shí)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于)(xf;(2) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的間斷點(diǎn)時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí), 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當(dāng)當(dāng)x為端點(diǎn)為端點(diǎn) x時(shí)時(shí),收斂于收斂于2)0()0( ff.第81頁(yè)/共107頁(yè)第八十一頁(yè)，共107頁(yè)。 如果如果)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù), 傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)nxbnnsin1 稱為稱為正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù).(4) (4) 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)(j sh)(j sh)與余弦級(jí)與余弦級(jí)數(shù)數(shù)(j sh)(j sh) 當(dāng)當(dāng)周周期期為為 2的的奇奇函函數(shù)數(shù))(xf展

54、展開(kāi)開(kāi)成成傅傅里里葉葉 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí),它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann第82頁(yè)/共107頁(yè)第八十二頁(yè)，共107頁(yè)。 當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)時(shí),它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), 傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)nxaanncos210 稱為稱為余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù).第83頁(yè)/共107頁(yè)第八十三頁(yè)，共107頁(yè)。奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxx

55、xfxF令令的傅氏正弦級(jí)數(shù)的傅氏正弦級(jí)數(shù))(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期周期(zhuq)(zhuq)的延拓的延拓第84頁(yè)/共107頁(yè)第八十四頁(yè)，共107頁(yè)。偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦級(jí)數(shù)的傅氏余弦級(jí)數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x第85頁(yè)/共107頁(yè)第八十五頁(yè)，共107頁(yè)。式為式為則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函數(shù)的傅氏展開(kāi)的周期函數(shù)的傅氏

56、展開(kāi)周期為周期為 l2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln第86頁(yè)/共107頁(yè)第八十六頁(yè)，共107頁(yè)。第十一章第十一章 微分方程微分方程(wi fn fn chn)1.一階微分方程一階微分方程(wi fn fn chn) 可分離變量可分離變量(binling)方程方程齊次方程齊次方程(可化為齊次方程的可化為齊次方程的方程方程)一階線性微分方程一階線性微分方程2. 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程Bernoulli方程方程全微分方程全微分方程).,(),(),()(yyfyyxfyxfyn

57、和和4. 常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程(齊次，非齊次齊次，非齊次)3.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第87頁(yè)/共107頁(yè)第八十七頁(yè)，共107頁(yè)。1 1、基本概念、基本概念微分微分(wi fn)(wi fn)方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分(wi fn)(wi fn)的方程叫微分的方程叫微分(wi fn)(wi fn)方程方程微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)(do sh)(do sh)的階數(shù)稱為微分方程的階的階數(shù)稱為微分方程的階微分方程的解代入微分方程能使方程成為微分方程的解代入微分方程

58、能使方程成為(chngwi)(chngwi)恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解 第88頁(yè)/共107頁(yè)第八十八頁(yè)，共107頁(yè)。通解如果微分方程的解中含有任意通解如果微分方程的解中含有任意(rny)(rny)常常數(shù)，并且任意數(shù)，并且任意(rny)(rny)常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解特解確定特解確定(qudng)(qudng)了通解中的任意常數(shù)以后了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解得到的解，叫做微分方程的特解初始條件用來(lái)確定任意常數(shù)初始條件用來(lái)確定任意常數(shù)(chngsh)的

59、條件的條件.初值問(wèn)題初值問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題，求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題，叫初值問(wèn)題叫初值問(wèn)題第89頁(yè)/共107頁(yè)第八十九頁(yè)，共107頁(yè)。dxxfdyyg)()( 形形如如(1) 可分離變量可分離變量(binling)的微分方程的微分方程解法解法(ji f) dxxfdyyg)()(分離分離(fnl)變量法變量法2 2、一階微分方程的解法、一階微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齊次方程齊次方程解法解法xyu 作變量代換作變量代換第90頁(yè)/共107頁(yè)第九十頁(yè)，共107頁(yè)。)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齊次方程齊次方程(fngchng),0

60、1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc00,xuxyvy令，否則否則(fuz)為非齊次方為非齊次方程程(3) 可化為齊次的方程可化為齊次的方程(fngchng)解法解法化為齊次方程化為齊次方程是兩直線是兩直線00111cybxacbyax的交點(diǎn)的交點(diǎn)00(,)xy第91頁(yè)/共107頁(yè)第九十一頁(yè)，共107頁(yè)。)()(xQyxPdxdy 形如形如(4) 一階線性微分方程一階線性微分方程(wi fn fn chn), 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程上方程(fngchng)稱為稱為齊次的齊次的上方程上方程(fngchng)稱為非齊稱為非齊次的次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey（使用分離