大學(xué)高數(shù),第八章多元函數(shù)微分學(xué) 習(xí)題課

1、下頁返回上頁第八章第八章 多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的微分學(xué)習(xí)題課習(xí)題課下頁返回上頁平面點集平面點集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運運 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容下頁返回上頁全微分全微分的應(yīng)用的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用經(jīng)濟上的應(yīng)用多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微分全微分概念概念偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念下頁返回上頁1 1、區(qū)域、區(qū)域（1）鄰域）鄰域),(0 PU

2、 |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 下頁返回上頁（3）n維空間維空間 設(shè)設(shè) n為取定的一個自然數(shù)，我們稱為取定的一個自然數(shù)，我們稱 n元數(shù)元數(shù)組組),(21nxxx的全體為的全體為 n維空間，而每個維空間，而每個 n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx稱為稱為 n維空間中的一個維空間中的一個點，數(shù)點，數(shù) ix 稱為該點的第稱為該點的第 i個坐標個坐標. （2）區(qū)域）區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域下頁返回上頁2 2、多元函數(shù)概念、多元函數(shù)概念 。上上）的的圖圖形形（或或圖圖像像）（在在為為函函數(shù)數(shù)中中的的子子集集的的值值域域，并并且且稱稱稱稱為為函

3、函數(shù)數(shù)的的定定義義域域，稱稱為為函函數(shù)數(shù)稱稱為為因因變變量量，稱稱為為自自變變量量，其其中中或或值值）函函數(shù)數(shù)，記記作作元元（實實上上的的一一個個稱稱為為定定義義在在的的任任一一映映射射到到實實數(shù)數(shù)集集的的一一個個非非空空子子集集，從從是是設(shè)設(shè)DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定義下頁返回上頁3 3、多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的極限定 義定 義 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其內(nèi)點或邊界點， 如果對于任意是其內(nèi)點或邊界點， 如果對于任意給定

4、的正數(shù)給定的正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對于適合不，使得對于適合不等式等式 20200)()(|0yyxxPP的一的一切點，都有切點，都有 |),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函為函數(shù)數(shù)),(yxfz 當當0 xx ，0yy 時的極限，時的極限， 記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）. 下頁返回上頁說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函

5、數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似4 4、極限的運算、極限的運算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP則則時，時，設(shè)設(shè)下頁返回上頁5 5、多元函數(shù)的連續(xù)性、多元函數(shù)的連續(xù)性定定 義義 設(shè)設(shè) 函函 數(shù)數(shù)),(yxf的的 定定 義義 域域 為為 點點 集集)(,0,00yxPD是是D的的內(nèi)內(nèi)點點或或邊邊界界點點且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點點0P處處連連續(xù)續(xù). . 如如果果),(yxf在在點點),(000yxP處處不不連連續(xù)續(xù)， 則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù)

6、),(yxf的的間間斷斷點點. . 下頁返回上頁6 6、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)是上的多元連續(xù)函數(shù)是D D上的上的有界函數(shù)有界函數(shù) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上取上取得介于這兩值之間的任何值至少一次得介于這兩值之間的任

7、何值至少一次（3）介值定理）介值定理下頁返回上頁7 7、偏導(dǎo)數(shù)概念、偏導(dǎo)數(shù)概念下頁返回上頁同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.下頁返回上頁同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.下頁返回上頁、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)),

8、(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).下頁返回上頁 的的相相對對改改變變量量函函數(shù)數(shù)對對存存在在處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)bbaaPyxPPfQ, yxfyxfyyxfQQax, 之比之比的相對改變量的相對改變量與自變量與自變量bbbPPP bbaaxPPQQ .,兩點間的交叉彈性兩點間的交叉彈性到到從從對對稱為函數(shù)稱為函數(shù)yyyPyx

9、fb 、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用:交叉彈性交叉彈性下頁返回上頁即即.lim0abbabbaaxQPPQPPQQ ,0時時當當 y 記作記作的彈性的彈性處對處對在在的極限稱為的極限稱為,bPyxyxf,baEPEQbbaaPPQQ baEPEQ下頁返回上頁 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù))

10、,(yxfz 在點在點),(yx的的全微分，記為全微分，記為dz，即，即 dz=yBxA .1010、全微分概念、全微分概念下頁返回上頁多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)下頁返回上頁1111、全微分的應(yīng)用、全微分的應(yīng)用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小時時當當,yx 主要方面主要方面:近似計算與誤差估計近似計算與誤差估計.下頁返回上頁1212、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(

11、tv 都在點都在點t可可導(dǎo)，函數(shù)導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點t可可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz下頁返回上頁下頁返回上頁0),()1( yxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點在

12、點),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1414、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則下頁返回上頁0),()2( zyxF下頁返回上頁1515、多元函數(shù)的極值、多元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，對對于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的點點),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱

13、稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有 極極 大大 值值 ； 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；定義定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.下頁返回上頁定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數(shù)取得極值的條件多元

14、函數(shù)取得極值的條件 定義定義一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為多元一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為多元函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點.極值點極值點注意注意駐點駐點下頁返回上頁定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令A(yù)yxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時有極值，時有極

15、值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值. .下頁返回上頁求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.下頁返回上頁拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù))

16、,(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點點，先先構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數(shù)數(shù)，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標標.條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值下頁返回上頁二、典型例題二、典型例題例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求極限求極限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等價于等價于則則yx cos)cos(s

17、in)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故下頁返回上頁 例例2 設(shè)設(shè)z=(3x+2y)3x+2y ,求求yzxz , 解解:vu z2y3xv 23 則則令令yxuxvvzxuuzxz 3ln31uuvuvv )23ln(1 )23(323yxyxyx yvvzyuuzyz uuvuvvln221 )23ln(1 )23(223yxyxyx 本例表明選取中間變量是值得注意的技巧問題本例表明選取中間變量是值得注意的技巧問題。 下頁返回上頁例例3 3解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二

18、階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 下頁返回上頁xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 下頁返回上頁例例4 4解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求

19、對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy x2xyez xxyzu下頁返回上頁于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例5 5解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu試求試求且且所確定所確定由方程組由方程組設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 的的函函數(shù)數(shù)都都看看成成是是以以及及將將方方程程組組的的變變元元xzyu,下頁返回上頁得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程組各方程兩邊對方程組各方程兩邊對,x)1(,dxdyffdxduyx ,)3(zxhhdxdz 得得由

20、由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入 . 0),(, 0),(),(zxhzyxgyxfu)2(, 0 dxdzgdxdyggzyx)3(. 0 dxdzhhzx下頁返回上頁之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz例例6 6解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點上任一點為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)分析分析:最小最小即即且使且使?jié)M足滿足，使得，使得本題變?yōu)榍笠稽c本題變?yōu)榍笠稽c)22(61(22610,),

21、(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP下頁返回上頁),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得得得下頁返回上頁.647241414161min d),81,41,41(即得唯一駐點即得唯一駐點處取得最小值處取得最小值駐點，故必在駐點，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(下頁返回上頁例例7 yxzzyxz,44求求已已知知

22、 解解時時)0 , 0(),( yx4432yxxzx 4432yxyzy 時時)0 , 0(),( yxxzxzzxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxx 0)(lim40=0 0)0 , 0( yz同理同理 如果偏導(dǎo)函數(shù)通式在給定點處沒定義，此時如果偏導(dǎo)函數(shù)通式在給定點處沒定義，此時不可認為偏導(dǎo)數(shù)不存在。不可認為偏導(dǎo)數(shù)不存在。 下頁返回上頁一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 二元函數(shù)二元函數(shù)22221arcsin4lnyxyxz 的定義的定義 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）41

23、22 yx. . 2 2、設(shè)、設(shè)2)(),(yxyxxyf , ,則則 ),(yxf( ).( ). （A A）22)1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1(xxy ； （D D） 2)1(yxy . .測測 驗驗 題題 下頁返回上頁 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (A) 0 (A) 0 ； (B) 1 (B) 1 ； (C) 2 (C) 2 ； (D) (D) e . . 4 4、函數(shù)、函數(shù)),(yxf在點在點),(00yx處連續(xù)處連續(xù), ,且兩個偏導(dǎo)數(shù)且兩個偏導(dǎo)數(shù) ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在該

24、點可微在該點可微 的的( ).( ). （A A）充分條件）充分條件, ,但不是必要條件；但不是必要條件； （B B）必要條件）必要條件, ,但不是充分條件；但不是充分條件； （C C）充分必要條件；）充分必要條件； （D D）既不是充分條件）既不是充分條件, ,也不是必要條件也不是必要條件. .下頁返回上頁 5 5、設(shè)、設(shè)),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 則在原點則在原點)0 , 0(處處),(yxf( ).( ). (A) (A)偏導(dǎo)數(shù)不存在；偏導(dǎo)數(shù)不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)； (D) (

25、D)可微可微 . . 6 6、設(shè)、設(shè)),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二階連續(xù)偏具有二階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). .則則 22yz( ).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (B)22yvvf ； (C) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . .下頁返回上頁 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面與三個坐標面所圍的切平面與三個坐標面所圍 成的四面體的體積成的四面體的體積 V=( ).V=( ). (A) (A) 323a； (B) (B) 33a； (C) (C) 329a； (D) (D) 36a. . 8 8、二元函數(shù)、二元函數(shù)33)(3yxyxz 的極值點是的極值點是( ).( ). (A) (1,2) (A) (1,2)； (B) (1.-2 (B) (1.-2 ) )； (C) (-1,2) (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). (D) (-1,-1). 9 9、函數(shù)、函數(shù)zyxusinsinsin 滿足滿足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的條件極值是的條件極值是 ( ).( ). (A) 1 (A) 1 ； (B) 0 (B) 0 ； (C) (C) 61 ； (D) (D) 81 . .下頁返回上頁二二、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)、求下列函數(shù)的一階偏