終級(jí)版《大學(xué)物理(Ⅱ)》課程考試大綱解讀

1、大學(xué)物理（）課程考試大綱解讀大學(xué)物理（）課程考試大綱解讀第10章 靜電場(chǎng) 第11章 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 【教學(xué)內(nèi)容】電荷，庫侖定律；靜電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度；靜電場(chǎng)中的高斯定理；靜電場(chǎng)的環(huán)路定理；電勢(shì)；靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體；電容，電容器；靜電場(chǎng)的能量。 【教學(xué)重點(diǎn)】 1.庫侖定律的矢量表達(dá)；點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)分布；電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理及其應(yīng)用。 2.電場(chǎng)線的性質(zhì)；非勻強(qiáng)電場(chǎng)中任意非閉合曲面及任意閉合曲面電通量的計(jì)算；真空中的高斯定理及其應(yīng)用。 3.靜電場(chǎng)的環(huán)路定理及其反映的靜電場(chǎng)性質(zhì)；點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)分布；電勢(shì)的疊加原理及其應(yīng)用。 4.靜電平衡條件；處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體上的電荷分布特點(diǎn)。5.典型電容器的電容及其計(jì)算；電

2、容器儲(chǔ)存的靜電能的計(jì)算。【考核知識(shí)點(diǎn)】 1.電場(chǎng)強(qiáng)度的概念，由電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理求帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。 公式 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度分布： 由電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理求點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)強(qiáng)度分布： 視為點(diǎn)電荷的的電場(chǎng)強(qiáng)度分布： 由電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理求連續(xù)帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度分布： 由電荷密度表示的：電荷體分布： 電荷面分布： 電荷線分布： 均勻帶電球面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布：，方向：沿徑向。 無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度分布：，方向：與帶電直線垂直。 無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布：，方向：與帶電平面垂直。 相關(guān)例題和作業(yè)題 【例10.2.1】 求電偶極子軸線和中垂線上任意一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解： 以連線中點(diǎn)為原點(diǎn)，由指向

3、方向建坐標(biāo)軸，如圖10.2.3（a）所示，在距 O點(diǎn)為x遠(yuǎn)處P點(diǎn)，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理， 圖 10.2.3(a) 電偶極子其大小 其中 對(duì)于電偶極子來說，考慮到，上式中。于是得點(diǎn)P處的總的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為，的方向沿Ox軸正方向。 建立坐標(biāo)軸如圖10.2.3（b）所示，同理在y軸上離O點(diǎn)y遠(yuǎn)處P點(diǎn)的圖 10.2.3（b） 電偶極子中垂線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度點(diǎn)電荷+和-在點(diǎn)P處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，其值為其中，由分量式式中 ，所以 的方向沿Ox軸的負(fù)向?？紤]到電偶極子，上式中，于是可得總的電場(chǎng)強(qiáng)度為 【例10.2.2】 一無限長(zhǎng)均勻帶電直線，電荷線密度為l（），求距該直線為a處的電場(chǎng)強(qiáng)度，如圖10.2.5

4、所示。圖 10.2.5 帶電線的電場(chǎng)強(qiáng)度解：因電荷是連續(xù)分布的，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,建立坐標(biāo)系,由分量式作積分運(yùn)算求解。建立如圖10.2.5所示，由疊加原理可知x分量 y分量 故在y軸上離原點(diǎn)y遠(yuǎn)處取元電荷其大小 故 則 因?yàn)閷?duì)稱性 統(tǒng)一變量為，由圖可知，。 電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿x軸正方向。 【例10.2.3】一均勻帶電細(xì)半圓環(huán)，半徑為R，帶電量為Q，求環(huán)心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。如圖10.2.6所示圖 10.2.6 帶電半圓環(huán)環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，在帶電細(xì)圓環(huán)上任取一線元，所帶元電荷量為 式中l(wèi)為線電荷密度，其值為 電荷元在環(huán)心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 方向如圖所示。在x軸方向和y

5、軸方向的分量分別為 根據(jù)對(duì)稱性分析，可知，所以帶電半圓環(huán)在環(huán)心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 又因?yàn)椋肷鲜?，積分后可得 負(fù)號(hào)說明電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿y軸負(fù)方向，大小則為 。題圖10.1 【10.1】四個(gè)點(diǎn)電荷到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均為d，如題10.1圖所示，求點(diǎn)O的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向 。 解：由圖所示x軸上兩點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為 y軸上兩點(diǎn)電荷在點(diǎn)O產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為所以，點(diǎn)O處總場(chǎng)強(qiáng)為 大小為，方向與x軸正向成角。 【10.4】正方形的邊長(zhǎng)為a，四個(gè)頂點(diǎn)都放有電荷，求如題10.4圖所示的4種情況下，其中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。題圖10.4解：在四種情況下，均以中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向

6、建立坐標(biāo)系，則有 (a) 根據(jù)對(duì)稱性，四個(gè)頂點(diǎn)處的電荷在中心處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)兩兩相互抵消。所以 (b) 根據(jù)對(duì)稱性，電荷在中心處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)在x軸上抵消,只有y軸上的分量，所以 (c) 根據(jù)對(duì)稱性，對(duì)角線上的電荷在中心處的場(chǎng)強(qiáng)可以相互抵消，所以 (d) 根據(jù)對(duì)稱性，電荷在中心處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)在y軸上抵消,只有x軸上的分量，所以 【10.5】 一半徑為R的半圓細(xì)環(huán)上均勻地分布電荷+Q，求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。題圖10.5 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，在帶電細(xì)圓環(huán)上任取一線元，所帶元電荷量為 式中， 電荷元在環(huán)心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 方向如圖所示。在x軸方向和y軸方向的分量分別為 根據(jù)對(duì)稱性分析，可知，

7、所以帶電半圓環(huán)在環(huán)心O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 負(fù)號(hào)說明電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿y軸負(fù)方向，大小則為 。 【10.6】 長(zhǎng)為15.0cm的直導(dǎo)線AB，其上均勻分布著線密度的正電荷，如題圖10.6所示。求 在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線B端相距為5cm的點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)。 解： 取點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸向右為正，如題10.6(a)所示。設(shè)帶電直導(dǎo)線上一小段電荷至點(diǎn)P距離為，它在點(diǎn)P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 （沿x軸正向）由于各小段導(dǎo)線在點(diǎn)P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相同，于是 方向水平向右。 題圖 10.8(a)(b) 【10.8】如題圖10.8(a)所示，電荷線密度為的無限長(zhǎng)均勻帶電直線，其旁垂直放置電荷線密度為的有限長(zhǎng)均勻帶電直線AB，兩者位于

8、同一平面內(nèi)，求AB所受的靜電力。解：如圖10.8(b)所示，建立坐標(biāo)系，取線元dx，其帶電量為，受力為 方向沿x軸正向。直線AB受力為方向沿x軸正向。 2. 電通量的計(jì)算。 公式 相關(guān)例題和作業(yè)題題圖10.9 【10.9】有一非均勻電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)為，求通過如題圖10.9所示的邊長(zhǎng)為0.53 m的立方體的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。（式中k為一常量）解：由于只有x方向的分量，故電場(chǎng)線只穿過垂直于x軸，且位于和處的兩個(gè)立方體面和?？紤]到這兩個(gè)面的外法線方向相反，故有 3.用真空中的高斯定理計(jì)算電荷分布具有對(duì)稱性的連續(xù)帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。 公式 均勻帶電球面/球體/球殼：選同心球面為高斯面S，由高斯定理得 ，方向

9、：沿徑向。 無限長(zhǎng)均勻帶電直線/圓柱面/圓柱體/圓柱殼：選同軸圓柱面為高斯面S，其中S1、S2為上下底面，S3為側(cè)面，h為柱高，由高斯定理得 ，方向：沿徑向。 無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度分布：平面兩邊分別為均勻電場(chǎng)，的方向與帶電平面垂直，大小為，其中為均勻帶電平面的電荷面密度。 相關(guān)例題和作業(yè)題 【例10.3.1】設(shè)有一半徑為R帶電量為Q的均勻球體。求：球體內(nèi)部和外部空間的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。（a）（b）圖 10.3.7 均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng) 解：首先分析空間分布的特性，由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，故方向沿球半徑方向，且的大小在同一球面上都相等。故取高斯面為同心球面。 過P點(diǎn)取半徑為r（r <

10、R）的高斯球面如圖10.3.7（a）所示。由高斯定理 其中 方向沿徑矢方向。 同理取半徑r(r > R)的高斯球面 如圖10.3.7(b)所示。 方向沿徑矢方向。由此可見，均勻帶電球體在其外部空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，與等量電荷全部集中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度值相同。根據(jù)以上的計(jì)算可得均勻帶電球體的E-r曲線，如圖10.3.8所示，從曲線可以看出，在球體內(nèi)（r < R），E隨r的增加而線性增加，在球面上（r = R），E達(dá)到極大值，在球體外（r > R）， E 與成反比，即（）。圖 10.3.8 均勻帶電球體的E-r曲線圖 【例10.3.2】求無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。圖 1

11、0.3.9 無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)解：由于帶電直線無限長(zhǎng)，且其上電荷分布均勻，所以其產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度沿垂直于該直線的徑矢方向，而且在距直線等距離各點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，即無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)分布具有柱對(duì)稱性。如圖10.3.9所示，以帶電直線為軸線，r為半徑，作一高為h的圓柱體的表面為高斯面。由于電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與上、下底面的法線方向垂直，所以通過圓柱兩個(gè)底面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為零，而通過圓柱側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為E2prh ，所以通過該高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為該高斯面所包圍的電荷量為根據(jù)高斯定理有 由此可得即無限長(zhǎng)均勻帶電直線外某點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度，與該點(diǎn)距帶電直線的垂直距離r成反比，與電荷線密度成正

12、比。圖 10.3.10 無限大均勻帶電平面的電場(chǎng) 【例10.3.3】設(shè)有一無限大的均勻帶電平面，其電荷面密度為，求距該平面為r處某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：首先分析分布特點(diǎn)，因?yàn)槭菬o限大均勻帶電平面。故方向必垂直于帶電平面，由帶電平面兩側(cè)附近的電場(chǎng)具有鏡像對(duì)稱性，大小在兩側(cè)距帶電平面等距離各點(diǎn)處相等。為此選取如圖10.3.10所示的閉合圓柱面為高斯面。由高斯定理 左方 該高斯面內(nèi)所包圍的電荷量為 得 可見，無限大均勻帶電平面產(chǎn)生的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向與帶電平面垂直。若平面帶的電荷為正（），則電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直于平面向外；若平面帶的電荷為負(fù)（），則電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直于平面向內(nèi)，如圖10.3.11所示。+

13、-圖 10.3.11 無限大均勻帶電平面場(chǎng)強(qiáng)方向利用上面的結(jié)論和電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理，可求得兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的無限大平行平面的電場(chǎng)分布，如圖10.3.12所示。設(shè)兩帶電平面的面電荷密度分別為和（），兩帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等均為，而它們的方向，在兩平面之間的區(qū)域，方向是相同的；在兩平面之外的區(qū)域，方向則是相反的。所以，在兩帶電平面外側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，在兩平面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為其方向由帶正電平面指向帶負(fù)電平面。題圖 10.10 【10.10】設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度與半徑為R的半球面的軸平行，求通過此半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。解：作半徑為R的大圓平面與半球面S一起構(gòu)成閉合曲面，由于閉合曲面內(nèi)無電荷，由

14、高斯定理，有 所以，通過半球面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為 【10.11】 兩個(gè)帶有等量異號(hào)的無限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為和（），單位長(zhǎng)度上的帶電量為，求離軸線為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度： ； ； 。題圖 10.11解： 作高為的同軸圓柱面（如題圖10.11）為高斯面。由于兩帶電圓柱面的電場(chǎng)為柱對(duì)稱，所以，通過此高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為其中第一、第三項(xiàng)積分分別為通過圓柱面上、下底面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。由于垂直于軸線，故在底平面內(nèi)，第一、第三項(xiàng)的積分均為零。第二項(xiàng)積分為根據(jù)高斯定理，有 所以 同理時(shí)，有 即 所以 時(shí)，有 所以 由上述結(jié)果可知，兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷的無限長(zhǎng)同軸圓柱面所形成的電場(chǎng)只存在于兩柱面之間?！?0.

15、12】如題圖10.12所示，一半徑為R的均勻帶電無限長(zhǎng)直圓柱體，電荷體密度為，求帶電圓柱體內(nèi)、外的電場(chǎng)分布。題圖 10.12解：此圓柱體的電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性，距軸線等距離各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度值相同，方向均垂直軸，沿徑向，因此，可用高斯定理求解。 1.圓柱體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布（） 設(shè)點(diǎn)P為圓柱體內(nèi)任意一點(diǎn)，它到軸線的距離為，在圓柱體內(nèi)，以為半徑作一與圓柱體同軸，高為的閉合圓柱面為高斯面（如題圖10.12）。由于高斯面上、下底面的法線均與面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直，故通過上、下底面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為零，側(cè)面上任一點(diǎn)的法線方向，均與該處電場(chǎng)強(qiáng)度方向一致，故通過整個(gè)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為，高斯面內(nèi)包圍的總電荷

16、為，由高斯定理 得 2.圓柱體外的場(chǎng)強(qiáng)分布（）設(shè)為圓柱體外任一點(diǎn)，類似上面的討論，以為半徑作高斯面（如題圖10.12），由高斯定理有 由此得 【10.13】?jī)蓚€(gè)均勻帶電的金屬同心球面，半徑分別為0.10 m和0.30 m，小球面帶電1.0´10-8 C，大球面帶電1.5´10-8 C 。求離球心為 0.05 m； 0.20 m； 0.50 m處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由于電荷在球面上對(duì)稱分布，所以兩球面電荷的電場(chǎng)也具有球?qū)ΨQ性，場(chǎng)強(qiáng)方向沿徑向向外。 以球心O為中心，m為半徑作一同心球面，并以此為高斯面，其內(nèi)部電量為零，面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小均相同。由高斯定理有 同理以為半徑作高斯面，面

17、內(nèi)包含小帶電球面上的所有電荷。由高斯定理有 同理，可以得到點(diǎn)C處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 【10.14】如題圖10.14所示，一個(gè)內(nèi)、外半徑分別為和的均勻帶電球殼，總電荷為，球殼外同心罩一個(gè)半徑為的均勻帶電球面，球面帶電荷為。求；的電場(chǎng)強(qiáng)度。題圖 10.14解：由于電荷分布呈球?qū)ΨQ性，所以電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性。在上述各區(qū)域分別取半徑為r的同心球面為高斯面，則高斯面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向沿徑矢方向。由高斯定理，有所以 電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿徑矢方向。 【10.16】?jī)善叫袩o限大均勻帶電平面上的面電荷密度分別為+s 和-2s，求圖示中3個(gè)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)。題圖10.16解：由電荷面密度為的無限大均勻帶電平

18、面的場(chǎng)強(qiáng)公式，左極板在空間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，其方向?yàn)椋涸谠摌O板左邊，方向水平向左；在該極板右邊，方向水平向右。同理可得，右極板在空間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，其方向?yàn)椋涸谠摌O板左邊，方向水平向右；在該極板左邊，方向水平向左。因此，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)迭加原理，可得上圖中各個(gè)區(qū)域中的場(chǎng)強(qiáng)分別為： 4.電勢(shì)的概念，用電勢(shì)的定義及電勢(shì)疊加原理求帶電體的電勢(shì)分布。 公式 點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布： 由電勢(shì)疊加原理求點(diǎn)電荷系的電勢(shì)分布： 視為點(diǎn)電荷的的電勢(shì)分布： 由電勢(shì)疊加原理求連續(xù)帶電體的電勢(shì)分布： 由電勢(shì)的定義求連續(xù)帶電體的電勢(shì)分布：，其中需已知或易求積分路徑上的的分布。 均勻帶電球面的電勢(shì)分布： 相關(guān)例題和作業(yè)題 【例10.5.1】

19、求均勻帶電球面激發(fā)靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布。已知球面半徑為R，所帶電量為Q，如圖10.5.3所示。圖 10.5.3 均勻帶電球面 解：選無限遠(yuǎn)處，由U的定義式 當(dāng)P點(diǎn)在帶電球面外時(shí)（r > R）， 由高斯定理可求得，因?yàn)槭蔷鶆驇щ娗蛎妫史植家簿哂星驅(qū)ΨQ性，取同心球面為高斯面，其半徑為r由 得 （r > R） 選半徑r為積分路徑，取方向與方向相同，則 當(dāng)P點(diǎn)在帶電球面內(nèi)部時(shí)，r < R。由于與為分段連續(xù)則 由高斯定理可知 （r < R）若選取無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，則由電勢(shì)的定義得球面內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)為 （r < R）上述結(jié)果表明，均勻帶電球面內(nèi)各點(diǎn)的電勢(shì)相等，都等于球面上的電

20、勢(shì)；球面外任意一點(diǎn)的電勢(shì)與電荷全部集中在球心時(shí)的電勢(shì)一樣。電勢(shì)分布的U-r曲線如圖10.5.4所示。圖 10.5.4 均勻帶電球面的U-r曲線 【例10.5.2】一點(diǎn)電荷的電荷量為，位于（-d，0）處，另一點(diǎn)電荷電荷量為，位于（+d，0）處，設(shè)d = 1m，求點(diǎn)P（2，2）處的電勢(shì)。 圖 10.5.5 用電勢(shì)疊加原理求電勢(shì) 解： 根據(jù)電勢(shì)疊加原理可知點(diǎn)P處的電勢(shì)為 其中 ； 建坐標(biāo)軸如圖10.5.5所示其中 m； m將，代入、中得 ；所以點(diǎn)P處的電勢(shì)為 【例10.5.3】求均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)。已知圓環(huán)半徑為R，帶電量為Q。圖 10.5.6 均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上的電勢(shì)解：以圓心O為原

21、點(diǎn)，沿圓環(huán)軸線建坐標(biāo)系如圖10.5.6所示，均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電荷線密度為 在圓環(huán)上任取一電荷元 它在點(diǎn)P的電勢(shì)為 根據(jù)電勢(shì)疊加原理，整個(gè)圓環(huán)在點(diǎn)P處產(chǎn)生的電勢(shì)為所有電荷元產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和，即 若點(diǎn)P在環(huán)心O處，則環(huán)心處的電勢(shì)為 雖然環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，但電勢(shì)不為零。若點(diǎn)P遠(yuǎn)離環(huán)心（x >> R），則點(diǎn)P處的電勢(shì)為 上式表明，細(xì)圓環(huán)軸線上遠(yuǎn)離環(huán)心處的電勢(shì)與電荷全部集中在環(huán)心時(shí)的電勢(shì)相同，即細(xì)圓環(huán)可視為點(diǎn)電荷。 【10.19】 一均勻帶電半圓環(huán)，半徑為R，帶電量為Q，求環(huán)心處的電勢(shì)。解：在帶電圓環(huán)上取一電荷元dq，根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式，其在環(huán)心處的電勢(shì)為 然后對(duì)整個(gè)帶電體積分，可得環(huán)

22、心處的總電勢(shì)為 【10.20】 電量q均勻分布在長(zhǎng)為2l的細(xì)桿上，求在桿外延長(zhǎng)線上與桿端距離為a的點(diǎn)P的電勢(shì)（設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)）。題解圖 10.20解：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心點(diǎn)O，x軸沿桿的方向，如圖所示。細(xì)桿的電荷線密度，在x處取電荷元，它在點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)為整個(gè)桿上電荷對(duì)點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)為【10.22】 如題圖10.22所示，兩個(gè)同心球面，半徑分別為和，內(nèi)球面帶電，外球面帶電，求距球心 ； ； 處一點(diǎn)的電勢(shì)。題圖 10.22解法一：利用場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的積分關(guān)系計(jì)算。在小球面內(nèi)、兩球面間和大球面外分別以點(diǎn)O為球心做高斯面，應(yīng)用高斯定理可求得選無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，由于不同區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的數(shù)值不同，于是有

23、 在區(qū)域 在區(qū)域 在區(qū)域 解法二：利用典型帶電體的電勢(shì)公式直接疊加 我們已知，一均勻帶電為Q的球面內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)就等于球面上的電勢(shì)，即 球面外任一點(diǎn)的電勢(shì)，就等于球面上的電量全部集中在球心時(shí)，一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在該點(diǎn)的電勢(shì)，即 由疊加原理：在區(qū)域任一點(diǎn)的電勢(shì)，是兩帶電球面各自在該點(diǎn)電勢(shì)的疊加，即 在區(qū)域 在區(qū)域 5電勢(shì)差的計(jì)算。 公式 相關(guān)例題和作業(yè)題【10.23】 一半徑為R的長(zhǎng)棒，其內(nèi)部的電荷分布是均勻的，電荷的體密度為。求 棒表面的電場(chǎng)強(qiáng)度； 棒軸線上的一點(diǎn)與棒表面之間的電勢(shì)差。解： 在長(zhǎng)棒內(nèi)部任取高度為l，半徑為r，且與棒同軸的圓柱面作為高斯面。根據(jù)高斯定理可求得棒中任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，有

24、題圖 10.23所以 棒表面處（即r = R）的場(chǎng)強(qiáng)為 根據(jù)電勢(shì)差的定義，取圓柱的徑線為積分路徑，則棒軸線上一點(diǎn)與棒表面之間的電勢(shì)差為 題圖 10.24【10.24】?jī)蓚€(gè)很長(zhǎng)的同軸圓柱面（，），帶有等量異號(hào)的電荷，兩者的電勢(shì)差為450 V。求 圓柱面單位長(zhǎng)度上的帶電量是多少？ 兩圓柱面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度？ 解： 兩同軸圓柱面可看作無限長(zhǎng)的，故兩圓柱面間的場(chǎng)強(qiáng)可利用高斯定理求得，有 。根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)差的積分關(guān)系，有則圓柱面單位長(zhǎng)度上帶電量為 兩柱面間的電場(chǎng)強(qiáng)度為6在靜電場(chǎng)中移動(dòng)點(diǎn)電荷，靜電場(chǎng)力所做功的計(jì)算。 公式 相關(guān)例題和作業(yè)題【10.17】 如題圖10.17所示，AB兩點(diǎn)相距2l，是以B為圓心，

25、l為半徑的半圓。A點(diǎn)有正電荷，B點(diǎn)有負(fù)電荷。求把單位正電荷從O點(diǎn)沿移到D點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它做的功？ 把單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB的延長(zhǎng)線移到無窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它做的功？ 題圖10.17解： ， 設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則 【10.28】如題圖10.28所示，已知，。求 點(diǎn)D和點(diǎn)B的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)； 點(diǎn)A和點(diǎn)C的電勢(shì)； 將電量為的點(diǎn)電荷由點(diǎn)A移到點(diǎn)C時(shí)電場(chǎng)力做的功； 點(diǎn)電荷由點(diǎn)B移到點(diǎn)D時(shí)電場(chǎng)力做的功。題圖10.28解：根據(jù)題意，建立如圖所示坐標(biāo)系，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向。 根據(jù)庫侖定律和點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式，可得D點(diǎn)和B點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為 點(diǎn)D和點(diǎn)B的電勢(shì)分別為 點(diǎn)A的電勢(shì)

26、為點(diǎn)C的電勢(shì)為 從點(diǎn)A移到點(diǎn)C電場(chǎng)力所做的功 從點(diǎn)B移到點(diǎn)D電場(chǎng)力所做的功 7.靜電平衡條件。 靜電平衡條件：當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時(shí)，在導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零；導(dǎo)體是一個(gè)等勢(shì)體，導(dǎo)體表面是一個(gè)等勢(shì)面。 處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體上的電荷分布特點(diǎn)： 導(dǎo)體所帶電荷只能分布在導(dǎo)體的表面，導(dǎo)體內(nèi)部沒有凈余電荷； 導(dǎo)體表面外鄰近處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與導(dǎo)體表面電荷密度成正比； 導(dǎo)體表面上的面電荷密度與其表面的曲率半徑有關(guān)，曲率半徑越小，電荷面密度越大。 8.典型電容器的電容及其計(jì)算。 公式 電容的計(jì)算公式： 平行板電容器的電容： 孤立導(dǎo)體球電容器的電容： 相關(guān)例題和作業(yè)題圖11.3.2 球形電容器【P45：球

27、形電容器的電容計(jì)算】如圖11.3.2所示，一球形電容器，內(nèi)外球殼的半徑分別為R1和R2，內(nèi)外球殼間為真空，假設(shè)內(nèi)外球殼分別帶有+Q和-Q的電荷量。則由高斯定理可得兩球殼間的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 （R1 < r < R2）因此兩極板間的電勢(shì)差為根據(jù)式（11.3.1），可知球形電容器的電容為 (11.3.3)【P45-46: 柱形電容器的電容計(jì)算】柱形電容器是由兩個(gè)不同半徑的同軸金屬圓柱筒A、B組成的，并且圓柱筒的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于外圓柱筒的半徑。圖11.3.3柱形電容器已知兩圓柱筒半徑分別為、 ，筒長(zhǎng)為 。設(shè)內(nèi)外圓柱面帶電荷量為+Q和-Q，則單位長(zhǎng)度上的線電荷密度為。由靜電場(chǎng)的高斯定理可知，及區(qū)域

28、，；再由高斯定理可求得區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 方向垂直于圓柱軸線向四外輻射。因此，兩極板間的電勢(shì)差為 根據(jù)式（11.3.1），得到柱形電容器的電容為 (11.3.4)【11.7】作近似計(jì)算時(shí)，把地球當(dāng)作半徑為6.40´106m的孤立球體。求其電容為多少？ 解：根據(jù)孤立球體電容公式，地球的電容值近似為 【11.9】地球和電離層可當(dāng)作球形電容器，它們之間相距約為100km。求地球電離層系統(tǒng)的電容。（設(shè)地球與電離層之間為真空）解：根據(jù)球形電容器的電容公式 其中地球半徑為 電離層半徑為 故地球電離層系統(tǒng)的電容為 9.電容器儲(chǔ)存的靜電能的計(jì)算。 公式 相關(guān)例題和作業(yè)題 【11.10】 一平行板電

29、容器，極板形狀為圓形，其半徑為8.0cm，極板間距為1.0mm。若電容器充電到100V，求兩極板的帶電量為多少？?jī)?chǔ)存的電能是多少？ 解：根據(jù)平行板電容器的電容公式，可得此電容器的電容為 所以此電容器所帶的電量為 儲(chǔ)存的電能為 10靜電場(chǎng)的性質(zhì)。 高斯定理：，說明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)。 環(huán)路定理：，說明靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)。第12章 恒定磁場(chǎng)【教學(xué)內(nèi)容】磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度；畢奧薩伐爾定律；磁場(chǎng)的高斯定理；磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理；磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用；磁場(chǎng)對(duì)載流導(dǎo)線的作用；磁介質(zhì)中的磁場(chǎng)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1.磁感強(qiáng)度的定義；電流元的定義；畢奧-薩伐爾定律和磁場(chǎng)疊加原理的應(yīng)用。2.磁通量的計(jì)算；磁場(chǎng)的高斯定理及其反映的磁場(chǎng)

30、性質(zhì)；磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理及其應(yīng)用。3.洛倫茲力的特性；用安培定律計(jì)算載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中受到的磁力以及載流線圈在均勻磁場(chǎng)中受到的磁力矩?！究己酥R(shí)點(diǎn)】1.畢奧-薩伐爾定律和磁場(chǎng)疊加原理的應(yīng)用。 公式 無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度分布：，方向與I成右手螺旋關(guān)系，具有柱對(duì)稱性。 半無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線，距有限端垂直距離為r的點(diǎn)的磁感強(qiáng)度分布：，方向與I成右手螺旋關(guān)系。 載流直導(dǎo)線延長(zhǎng)線上的點(diǎn)的磁感強(qiáng)度分布： 載流圓弧導(dǎo)線在圓心處的磁感強(qiáng)度分布：，方向與I成右手螺旋關(guān)系。 相關(guān)例題和作業(yè)題 【例12.2.1】一無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線被彎成如圖12.2.5所示的形狀，試計(jì)算O點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。圖12.2.5 用場(chǎng)強(qiáng)疊加原

31、理求磁感應(yīng)強(qiáng)度解：點(diǎn)O的磁感強(qiáng)度是圖12.2.5中的4根載流導(dǎo)線在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的矢量和，即 由于點(diǎn)O在導(dǎo)線1、3的延長(zhǎng)線上，因此 導(dǎo)線2為四分之一圓弧，導(dǎo)線4為半無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線，由式(12.2.7)可知 方向垂直紙面向外 ¤ 方向垂直紙面向外 ¤所以O(shè)點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小為 方向垂直紙面向外。 【12.1】一長(zhǎng)直導(dǎo)線被彎成如題圖12.1所示的形狀，通過的電流為I，半徑為R 。求圓心O處的磁感強(qiáng)度的大小和方向。題圖 12.1 解：點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度由無限長(zhǎng)直線電流和圓電流共同產(chǎn)生。直線電流在點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度大小為，方向垂直于紙面向外¤圓電流在點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度大小為

32、，方向垂直于紙面向里所以，點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度大小為, 方向垂直于紙面向里?！?2.3】電流I沿著同一種材料作成的長(zhǎng)直導(dǎo)線和半徑為R的金屬圓環(huán)流動(dòng)，如題圖12.3所示，求圓心O處的磁感強(qiáng)度的大小和方向。題圖12.3 解：上段直線電流在點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度為零。圓周上兩分支為并聯(lián)電路，設(shè)其電流強(qiáng)度分別為和，其長(zhǎng)度分別為和，圓弧電流在點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大?。海较虼怪奔埫嫦蛲?。圓弧電流在點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小：，方向垂直紙面向里。因?yàn)椴⒙?lián)電路有，即，所以這兩段圓弧電流在點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小相等，方向相反，互相抵消。 只有下段直線電流在處O產(chǎn)生磁感強(qiáng)度，大小為 方向垂直紙面向里。 【12.4】將一導(dǎo)

33、線彎成如題圖12.4所示的形狀，求點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度的大小和方向。題圖12.4 解：設(shè)半徑為的弧線電流在點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為大小，半徑為的弧線電流在點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小為，有 兩段直線電流在O點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度大小均為0。所以，中心O處的磁感強(qiáng)度大小為 【12.5】四條相互平行的載流長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流均為I，如題圖12.5所示，正方形邊長(zhǎng)為a，求正方形中心點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度的大小和方向。題圖12.5解：根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，以正方形中心點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向。根據(jù)對(duì)稱性，正方形左上角頂點(diǎn)處的載流直導(dǎo)線和右下角的載流直導(dǎo)線在中心點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小相

34、等，方向相反，因此磁感強(qiáng)度相互抵消。而左下角頂點(diǎn)處的載流直導(dǎo)線和右上角的載流直導(dǎo)線在中心點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小和方向完全一致。因此，中心點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度為左下角處載流直導(dǎo)線在中心點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的2倍。根據(jù)無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度的公式，有 【12.7】如題圖12.7所示，有兩根導(dǎo)線沿半徑方向接到鐵環(huán)的a、b兩點(diǎn)上，并與很遠(yuǎn)處的電源相接，求環(huán)中心點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度。題圖12.7解：圖中點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度可視作由ef、be、fa三條直載流導(dǎo)線以及acb、adb兩載流圓弧共同產(chǎn)生的。由于電源距鐵環(huán)很遠(yuǎn)，而兩直導(dǎo)線的延長(zhǎng)線又通過點(diǎn)O，有及 圓周上兩分支為并聯(lián)電路，設(shè)其電流強(qiáng)度分別為和，其長(zhǎng)度分別

35、為和，圓弧電流在點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小：，方向垂直紙面向里。圓弧電流在點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大?。海较虼怪奔埫嫦蛲狻Ｒ?yàn)椴⒙?lián)電路有，即，所以這兩段圓弧電流在點(diǎn)O處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小相等，方向相反，互相抵消。因此，點(diǎn)O處的磁感強(qiáng)度為：。 【12.8】如題圖12.8所示，一寬為b的無限長(zhǎng)薄金屬板，其電流為I，求在薄板的平面上，距板的一邊為r處的點(diǎn)P的磁感強(qiáng)度。題圖12.8 解：在薄金屬板所在的平面內(nèi)，以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)O，作Ox軸，如題圖12.8(b)所示，現(xiàn)將薄金屬板分割成寬度為dx的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其電流為。該線電流在點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小為：由于所有線電流在點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向均相同，因而點(diǎn)P處

36、的磁感強(qiáng)度的大小為 磁感強(qiáng)度的方向垂直紙面向里。 2.磁通量的計(jì)算；磁場(chǎng)的高斯定理。 公式 磁通量的計(jì)算公式： 磁場(chǎng)的高斯定理： 相關(guān)例題和作業(yè)題【例12.3.1】在真空中有一無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線，電流為I，其旁有一矩形回路與直導(dǎo)線共面，如圖12.3.3（a）所示。求通過該回路所圍面積的磁通量。圖12.3.3 長(zhǎng)直導(dǎo)線邊線框內(nèi)磁通量解：建坐標(biāo)如圖12.3.3（b）所示，離軸x遠(yuǎn)處取面元，該處方向?yàn)?，大小為，故過的由此得通過平面S的磁通量 【12.12】?jī)筛叫虚L(zhǎng)直導(dǎo)線相距40cm，分別通以20A的電流，求兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)，與兩導(dǎo)線等距的點(diǎn)A處的磁感強(qiáng)度；通過圖中矩形面積的磁通量（a = 10 cm

37、，b = 20 cm，c = 25 cm）。題圖12.12解： 根據(jù)題意，點(diǎn)A處的磁感強(qiáng)度為兩長(zhǎng)直載流導(dǎo)線在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度的矢量和。應(yīng)用無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度公式可知，二者在點(diǎn)A處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小相等，方向相同。所以有 方向垂直于紙面向外 設(shè)左、右兩導(dǎo)線電流分別為I1、I2，且I1=I2=I，在兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)，兩導(dǎo)線之間任取一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)到導(dǎo)線的距離為x，兩導(dǎo)線在該點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度、的方向相同（垂直于紙面向外），其大小分別為于是，有由于，通過圖中矩形面積的磁通量為 【12.13】電流I均勻地流過半徑為R的圓形長(zhǎng)直導(dǎo)線的截面，試計(jì)算單位長(zhǎng)度導(dǎo)線內(nèi)的磁場(chǎng)通過圖中所示剖面的磁通量。題圖1

38、2.13 解：導(dǎo)線內(nèi)部距軸線為r處的磁感強(qiáng)度大小為 沿軸線方向在剖面上取長(zhǎng)為1m，寬為dr的面元，穿過面元的磁通量為 ，則通過單位長(zhǎng)度導(dǎo)線內(nèi)的磁通量為 【12.14】在磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)中，有一半徑為R的半球面，與半球面軸線的夾角為。求通過該半球面的磁通量。 題圖12.14解：由磁場(chǎng)的高斯定理，可知穿過半球面的磁感線全部穿過圓面S，因此有：3.磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理及其應(yīng)用。 公式 磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理： 無限長(zhǎng)載流直螺線管內(nèi)的磁感強(qiáng)度分布： ，方向與I成右手螺旋關(guān)系，為均勻磁場(chǎng)。 載流螺繞管內(nèi)的磁感強(qiáng)度分布： ，方向與I成右手螺旋關(guān)系，為非均勻磁場(chǎng)。 無限長(zhǎng)載流圓柱體/圓柱面/圓柱殼的磁感強(qiáng)度分

39、布求法：取半徑為r的線為積分路徑L，由安培環(huán)路定理得： 無限長(zhǎng)載流同軸電纜的磁感強(qiáng)度分布求法：取半徑為r的線為積分路徑L，由安培環(huán)路定理得： 特點(diǎn)：外筒外 相關(guān)例題和作業(yè)題【例12.4.1】一無限長(zhǎng)密繞螺線管，單位長(zhǎng)度上有n匝線圈，已知每匝線圈中的電流均為I。求螺線管內(nèi)、外的磁感強(qiáng)度。圖12.4.3長(zhǎng)直密繞螺線管的磁感強(qiáng)度分布 解：如圖12.4.3所示為無限長(zhǎng)直密繞螺線管的剖面圖，由式（12.2.9）可知管內(nèi)中軸線上的磁感強(qiáng)度為，且磁感強(qiáng)度的方向平行于管軸。長(zhǎng)直螺線管由于“無限長(zhǎng)”對(duì)稱性，軸線上磁感強(qiáng)度的大小與位置無關(guān)，也就是軸線上磁感強(qiáng)度處處相同。再由于螺線管是無限長(zhǎng)密繞，管內(nèi)磁感強(qiáng)度方向必

40、然平行于軸線。為計(jì)算管內(nèi)任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度，通過點(diǎn)做一閉合矩形回路，其中且平行于管軸，且垂直于管軸。因此，沿閉合回路的環(huán)流為因?yàn)?，、與磁感強(qiáng)度方向垂直，點(diǎn)積為零。與磁感強(qiáng)度方向一致，兩者夾角的余弦為+1；與磁感強(qiáng)度反向，兩者的夾角為，余弦為1。由式(12.2.9)可知，長(zhǎng)直螺線管中軸線上磁感強(qiáng)度。所以 (12.4.3) 考慮可以是小于螺線管半徑的任意值，以上證明了長(zhǎng)直螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)是均勻的。為了解管外磁場(chǎng)，取矩形回路abcda應(yīng)用安培環(huán)路定理 根據(jù)前面分析 因?yàn)?，、?shù)值相等，。然而，于是，螺線管外磁感強(qiáng)度為 (12.4.4) 在這里bc、da是任取的，所以長(zhǎng)直螺線管外磁感強(qiáng)度為零。 【例12.4

41、.2】計(jì)算載流螺繞環(huán)內(nèi)磁場(chǎng)。設(shè)管內(nèi)為真空的環(huán)上均勻地密繞有N匝線圈，線圈中的電流為I 。并且環(huán)的平均半徑R遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于管截面的直徑d 。圖 12.4.4螺繞環(huán)解：由于密繞，故，方向特點(diǎn)為沿同心圓的切線方向，且同一圓周上各點(diǎn)的大小相同，故由安培環(huán)路定理求時(shí)過P點(diǎn)選取半徑為r的圓周為安培環(huán)路線。由 可得 從上式可以看出，螺繞環(huán)內(nèi)的橫截面上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度是不同的，與r有關(guān)。當(dāng)R>>d時(shí)，。取為螺繞環(huán)線圈的線密度 (12.4.5)從此結(jié)果可見細(xì)螺繞環(huán)與“無限長(zhǎng)”螺線管一樣，產(chǎn)生的磁場(chǎng)全部集中在管內(nèi)，并且 。當(dāng)螺繞環(huán)半徑R趨于“無限大”，且單位長(zhǎng)度的匝數(shù)n值不變時(shí)，螺繞環(huán)就過渡為“無限長(zhǎng)”直螺線

42、管了?！纠?2.4.3】一載流無限長(zhǎng)圓柱體，其半徑為R，電流強(qiáng)度為I，且均勻分布在圓柱體的橫截面上，求圓柱體內(nèi)外的磁感強(qiáng)度分布。圖12.4.5 長(zhǎng)直載流圓柱體的磁感強(qiáng)度分布解：首先分析分布特點(diǎn)，由于I分布是軸對(duì)稱的，故分布也是軸對(duì)稱的。 （r > R） 設(shè)P點(diǎn)離圓柱體軸線的距離為r，在與軸線垂直的平面內(nèi)取半徑為r的圓周為安培環(huán)路線L，如圖12.4.5所示。根據(jù)安培環(huán)路定理 得 于是得 （r > R） （12.4.6） （r < R） 由現(xiàn)在再來討論圓柱內(nèi)一點(diǎn)Q的磁感強(qiáng)度。設(shè)點(diǎn)Q離圓柱體軸線的垂直距離為。通過點(diǎn)Q做一半徑為r的圓。該回路所包圍的電流不再是I，而是根據(jù)安培環(huán)路定理

43、，有 由此得 （r < R） （12.4.7）上式表明，長(zhǎng)直載流圓柱內(nèi)一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度的大小與該點(diǎn)到軸線的距離成正比。磁感強(qiáng)度的方向與電流成右手螺旋關(guān)系。圖12.4.5（c）為長(zhǎng)直載流圓柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布情況。【12.16】有一同軸電纜，尺寸如題圖12.16所示。兩導(dǎo)體中的電流均為I，但電流的流向相反。求以下各區(qū)域的磁感強(qiáng)度的大 ； ； ； 。題圖12.16解：設(shè)同軸電纜為無限長(zhǎng)，導(dǎo)線橫截面上電流均勻分布，在電纜的橫截面內(nèi)，以截面的中心為圓心，取不同的半徑r作圓，并以此為各積分環(huán)路。在每個(gè)環(huán)路上，磁感強(qiáng)度的大小相等，方向均沿圓周的切線方向。應(yīng)用安培環(huán)路定理，可求出磁感強(qiáng)度B的值。

44、當(dāng) 當(dāng)穿過環(huán)路L的電流為I，則有 當(dāng)穿過環(huán)路L的電流為 當(dāng)穿過環(huán)路L的電流為0，有 【12.28】一無限長(zhǎng)，半徑為R的圓柱形導(dǎo)體，導(dǎo)體內(nèi)通有電流I，設(shè)電流均勻分布在導(dǎo)體的橫截面上。今取一個(gè)長(zhǎng)為R，寬為2R的矩形平面，其位置如題圖12.28所示。求通過該矩形平面的磁通量。題圖12.28解：設(shè)圓柱體內(nèi)、外的磁感強(qiáng)度分別為和。由于無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體中電流均勻分布在其橫截面上，因此，它所激發(fā)的磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱性。由磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理，得時(shí)， ，時(shí)，則通過題中給定矩形平面的磁通量為 4.洛倫茲力的特性；用安培定律計(jì)算載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中受到的磁力以及載流線圈在均勻磁場(chǎng)中受到的磁力矩。 公式 洛倫茲力的計(jì)算公式：，特點(diǎn)：洛倫茲力總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷的速度，因此洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功，它只改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的方向，不改變速度的大小，它使運(yùn)動(dòng)電荷的路徑發(fā)生彎曲。 載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中所受的安培力： 載流平面線圈的磁矩：，其中與I的流向成右手螺旋關(guān)系。 載流平面線圈在均勻磁場(chǎng)中所受的磁力矩： 磁力矩的方向與的方向一致。當(dāng)線圈平面與線平行時(shí)，線圈所受的磁力矩最大： 相關(guān)例題和作業(yè)題 【例12.5.1】一質(zhì)子質(zhì)量，電量以速度射入磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，求這粒子作螺旋運(yùn)動(dòng)的半徑和螺距。已知：， ，求