結構力學課件結構的穩(wěn)定計算

1、第十二章第十二章 結構的穩(wěn)定計算結構的穩(wěn)定計算12-2 兩類穩(wěn)定問題計算簡例兩類穩(wěn)定問題計算簡例12-1 兩類穩(wěn)定問題概述兩類穩(wěn)定問題概述12-3 有限自由度體系的穩(wěn)定有限自由度體系的穩(wěn)定靜力法和能量法靜力法和能量法12-4 無限自由度體系的穩(wěn)定無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法靜力法12-5 無限自由度體系的穩(wěn)定無限自由度體系的穩(wěn)定能量法能量法前面的各個章節(jié)討論了各類結構在外因作用下內力和位移的計算方法。在結構設計中內力計算要確定結構是否有足夠的強度，位移計算要確定結構是否有足夠的剛度。工程設計的實踐證明，在不少情況下，僅以以上兩種計算，來判斷結構的可靠性是不夠的。對于由柔性桿件和壓彎桿件所組成的結

2、構，例如，梁、桁架、拱、薄壁結構等，尤其如此。即是說：結構可能強度安全但是穩(wěn)定不安全。從現(xiàn)在的結構設計的發(fā)展趨勢看，趨向于輕質的大跨形式(近代工程的優(yōu)化設計)，對結構的穩(wěn)定性要求非常嚴格，結構設計必須考慮三個方面：強度、剛度和穩(wěn)定。12-1 兩類穩(wěn)定問題概述兩類穩(wěn)定問題概述在材料力學課中大家已經(jīng)對“壓桿的穩(wěn)定問題”進行過討論，在此，我們對桿件結構的各種穩(wěn)定問題作進一步的討論。在結構設計中，應當對結構進行強度驗算和穩(wěn)定驗算。強度驗算是最基本的必不可少的，而穩(wěn)定驗算則是在某些情況下顯得重要。如薄壁結構(與厚壁結構相比)、高強度材料的結構(與低強度材料的結構磚石結構、混凝土結構相比)、主要受壓的結構

3、(與主要受拉的結構相比)容易喪失穩(wěn)定，穩(wěn)定驗算對這些結構顯得更為重要。一、結構的三種平衡狀態(tài)結構的三種平衡狀態(tài)(從穩(wěn)定性角度考察)：穩(wěn)定平衡狀態(tài)、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)和中性平衡狀態(tài)。解釋：設結構處于某個平衡狀態(tài)，受到輕微干擾而稍微偏離其原來位置。1、穩(wěn)定平衡狀態(tài)：當干擾消失后，如結構回到原來位置，則原來的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)：當干擾消失后，結構繼續(xù)偏離，不能回到原來位置，則原來的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。3、中性平衡狀態(tài)：結構由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過渡的狀態(tài)稱為中性平衡狀態(tài)。、和。二、結構穩(wěn)定計算理論采用小撓度理論計算可以用比較簡單的方法得到基本正確的結論。工程上通常采用小

4、撓度理論進行計算。大撓度理論是比較復雜的理論，利用其計算可以得到更為精確的結論。但是，計算的難度相當大，用到比較高深的數(shù)學知識。三、結構的失穩(wěn)結構失穩(wěn)：隨著荷載的增大，結構的原始平衡狀態(tài)可能由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。這時原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。失穩(wěn)的兩種基本形式：分支點失穩(wěn)、極值點失穩(wěn)。(1) 基本情況：圖a所示的簡支壓桿的完善體系(理想體系)，桿件軸線是理想的直線(沒有初曲率)，荷載FP是理想的中心受壓荷載(沒有偏心)。(a)FPl/2l/2(2) P-曲線隨著P的逐漸增大，P與中間點撓度的關系曲線稱為P-曲線(平衡路徑)。見圖(b)(3)過程分析當FP1FPcr=2E

5、I/l2時，壓桿只是單純受壓。不發(fā)生彎曲變形(撓度=0)，壓桿處于直線形式的平衡狀態(tài)(稱為原始平衡狀態(tài))。其FP-曲線用直線OAB表示，稱為原始平衡路徑。(b)FPCBAODDI(穩(wěn)定)II(小撓度理論)II(大撓度理論)I(不穩(wěn)定)FP1FP2FPcr此時，若壓桿受到輕微干擾而發(fā)生彎曲，偏離原始平衡狀態(tài)，則當干擾消失后，壓桿仍又回到原始平衡狀態(tài)。故，當FP1FPcr=2EI/l2時，原始的平衡形式不再是唯一的平衡形式，壓桿既可處于直線形式的平衡狀態(tài)，還可處于彎曲形式的平衡狀態(tài)。亦即是說：這時存在兩種形式的平衡狀態(tài)。 與此相應，在圖b中有兩條不同的FP-曲線：原始平衡路徑I(BC)和第二條平衡

6、路徑II(根據(jù)大撓度理論，由曲線BD表示；如果采用小撓度理論進行近似計算，則曲線BD退化為水平直線BD)。(b)FPCBAODDI(穩(wěn)定)II(小撓度理論)II(大撓度理論)I(不穩(wěn)定)FP1FP2FPcr可以看出：這時原始平衡狀態(tài)(C點)是不穩(wěn)定的。即：若壓桿受到干擾而彎曲，則當干擾消失后，壓桿并不能回到C點的原始平衡狀態(tài)，而是繼續(xù)彎曲，直到D點對應的彎曲形式的平衡狀態(tài)為止。所以，當FP2FPcr=2EI/l2時，在原始的平衡路徑I上，點C對應的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。(b)FPCBAODDI(穩(wěn)定)II(小撓度理論)II(大撓度理論)I(不穩(wěn)定)FP1FP2FPcr分支點：兩條平衡路徑I和II

7、的交點稱為分支點。分支點的意義：分支點B將原始平衡路徑I分為兩段：OB段上的點屬于穩(wěn)定平衡。BC段上的點屬于不穩(wěn)定平衡。(4) 分支點即：在分支點B上原始平衡路徑I和新平衡路徑II同時并存，出現(xiàn)平衡形式的二重性，原始平衡路徑I由穩(wěn)定平衡轉為不穩(wěn)定平衡，出現(xiàn)穩(wěn)定性的轉變。分支點失穩(wěn)：具有原始平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉為不穩(wěn)定平衡特征的失穩(wěn)形式稱為分支點失穩(wěn)。臨界荷載和臨界狀態(tài)：分支點對應的荷載稱為臨界荷載，分支點對應的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。(5) 分支點失穩(wěn)現(xiàn)象舉例(見下圖a、b、c)特征：在分支點P=Pcr處，原始平衡形式由穩(wěn)定轉為不穩(wěn)定，并出現(xiàn)新的平衡形式。(c)FPcr(a) 承受結點荷載的門式剛架

8、：在原始平衡形式中，各柱單純受壓，剛架無彎曲變形；在新的平衡形式中，剛架產(chǎn)生側移，出現(xiàn)彎曲變形。(a)FPcrFPcr(b)qcr(b) 承受水壓力的圓拱，在原始平衡形式中，拱單純受壓，拱軸保持為圓形；在新的平衡形式中，拱軸不再保持為圓形，出現(xiàn)壓彎組合變形。(c) 端部受荷載作用的懸臂窄條梁，在原始平衡形式中，梁處于平面彎曲狀態(tài)；在新的平衡形式中，梁處于斜彎曲和扭轉狀態(tài)。(1) 基本情況：非完善體系。壓桿具有初曲率和承受偏心荷載(圖a、b)。(a)FP(b)FPFPB (極值點)FPeACFPcrO(c)非完善壓桿從一開始加載就處于彎曲平衡狀態(tài)。(2) FP-曲線小撓度理論：其FP-曲線見圖c

9、的曲線OA。初始階段撓度增加較慢，以后逐漸變快，當FP接近中心壓桿的歐拉臨界荷載FPe時，撓度趨于無窮大。 按大撓度理論：其FP-曲線見圖c的曲線OBC。(3) 極值點和極值點失穩(wěn)B點為極值點，在極值點荷載達到極大值。在極值點前的曲線段OB，其平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；在極值點后的曲線段BC，其相應的荷載反而下降，平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；在極值點處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。FPB (極值點)FPeACFPcrO(c)極值點失穩(wěn)：在極值點處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉變?yōu)椴环€(wěn)定平衡的失穩(wěn)形式稱為極值點失穩(wěn)。極值點失穩(wěn)的特征：平衡形式不會出現(xiàn)分支現(xiàn)象，而其FP-曲線具有極值點。一般說來，非完善體系的失穩(wěn)

10、形式是極值點失穩(wěn)。(4)特例扁拱式結構失穩(wěn)時可能伴隨有“跳躍”現(xiàn)象。圖a所示的扁桁架，矢高為f，高跨比f/l1。在跨度中點作用豎向荷載FP，產(chǎn)生豎向位移。其FP-曲線如圖b所示。(a)FPl/2l/2f(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr(c)f ff fA點FP=0FPcrB點FP=0FP=0C點E點F點D點FPcrFPcr(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr這里我們設想通過一個控制機構進行加載，F(xiàn)P值可為正值或負值(圖c)。初始階段，平衡路徑由圖b中的實線AB表示，平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，在A點，F(xiàn)PA=0，在B點荷載極值為FPB=FPcr。(c)f ff fA點FP=0FPcrB點

11、FP=0FP=0C點E點F點D點FPcrFPcr(b)FPABCEDFGFPcr-FPcr極值點B以后，平衡路徑由虛線BCD表示，荷載的代數(shù)值減少，C點的FPC=0，在D點出現(xiàn)下極限點，F(xiàn)PD=-FPcr。BCD線上的點對應于不穩(wěn)定平衡。下極限點D以后，荷載的代數(shù)值又上升，E點的FPE=0，F(xiàn)點的FPF=FPcr。若無控制機構，則實際的FP-曲線應為ABFG，在極值點B以后有一段水平線BF，結構發(fā)生跳躍后，達到F點對應的新平衡位置。F點以后的平衡路徑FG又屬于穩(wěn)定平衡。在本例中，通過人為控制進行加載，解釋了扁桁架在荷載FP的作用下，由穩(wěn)定平衡狀態(tài)到新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的跳躍現(xiàn)象。目的是告訴我們，實

12、際工程結構一般不允許發(fā)生跳躍，應取極值點B相應的荷載為臨界荷載。12-2 兩類穩(wěn)定問題計算簡例兩類穩(wěn)定問題計算簡例(1) 用單自由度體系說明兩類失穩(wěn)問題的具體分析方法；(2) 分析完善體系的分支點失穩(wěn)問題；(3) 分析非完善體系的極值點失穩(wěn)問題；(4) 用大撓度理論得出精確結果；(5) 用小撓度理論得出近似結果。一、單自由度完善體系的分支點失穩(wěn)基本情況：單自由度完善體系。圖a所示的剛性壓桿，承受中心壓力FP，底端A為鉸支座，頂端B有水平彈簧支承，其剛度系數(shù)為k。(1) 按大撓度理論分析原始平衡形式(圖a)：桿AB處于豎直位置時，體系能夠處于平衡。(a)kBFPlA(b)BFPABFRl問題：考

13、察圖b所示的傾斜位置是否還存在新的平衡形式。圖b狀態(tài)的平衡條件： MA=0( sin )( cos )0PRFlFl(a)式中，彈簧的反力FR為：sinRFkl 即可得出：(b)(cos ) sin0PFkll方程(b)有兩個解：0cosPFkl (c)(d)(b)BFPABFRl(c)解代表原始平衡形式，其FP-曲線由直線OAB表示，稱為原始平衡路徑I；(d)解代表新的平衡形式，其FP-曲線由曲線AC表示，此即為第二平衡路徑II。ABI(不穩(wěn)定)II(不穩(wěn)定)I(穩(wěn)定)OCFPcr=klFP討論分支點：A點是兩條路徑的交點。A點所對應荷載稱為臨界荷載。PcrFkl 臨界荷載為：(e)A點將原

14、始平衡路徑I分為兩段：OA上的點屬于穩(wěn)定平衡，AB上的點屬于不穩(wěn)定平衡。第二路徑II，當增大時，荷載反而減小；路徑II上的點屬于不穩(wěn)定平衡。分支點A處的臨界平衡狀態(tài)也是不穩(wěn)定的。ABI(不穩(wěn)定)II(不穩(wěn)定)I(穩(wěn)定)OCFPcr=klFP注意：對這類具有不穩(wěn)定分支點的完善體系，在進行穩(wěn)定驗算時要特別小心，一般應當考慮初始缺陷(初曲率、偏心)的影響，按非完善體系進行驗算。(2) 按小撓度理論分析設1，則式(a)、(b)簡化為0PRF lF l (f)()0PFkl l (g)其第一個解仍為式(c)，第二個解為：分析：兩條平衡路徑I和II如右圖所示。PFkl (h)ABI(不穩(wěn)定)II(隨遇平衡

15、)I(穩(wěn)定)OCFPcr=klFP與大撓度理論分析的結果比較可以看出：小撓度理論能夠得出臨界荷載的正確結果見式(e)，但是未能反映當較大時平衡路徑II的下降趨勢；而平衡路徑II對應于隨遇平衡狀態(tài)的結論，則是由于采用假定而帶來的一種假象。 路徑II簡化為水平直線，因而路徑II上的點對應隨遇平衡狀態(tài)。二、單自由度非完善體系的極值點失穩(wěn)基本情況：圖a所示的單自由度非完善體系，桿AB有初傾角，其余同前。(a)kBFPlA(b)BFPABFRl(1) 按大撓度理論分析加載一開始，桿件就進一步傾斜，見圖b。彈簧的反力為：sin()sin RFkl平衡條件為： MA=0sin()cos()0PRF lF l

16、可求得：sincos()1sin()PFkl (i)討論不同初傾角時的FP-曲線(圖a)。其中=0為完善體系。觀察FP-曲線，其具有極值點。(a)klP1695. 0536. 0038. 042. 037. 147. 12 =0.1=0=0=0.1=0.2=0.2 31sin)sin( 0PdFd 令 ，得：相應的極值荷載為2332(1sin)PcrFkl (j)其FPcr-曲線見圖b。(b)klP0.6950.5360.4150.30.20.10 分析可知：這個非完善體系的失穩(wěn)形式是極值點失穩(wěn)。臨界荷載FPcr隨初傾角而變，越大，則FPcr越小。PFkl (k)PcrFkl (l)右圖給出F

17、P-曲線。設：1，1，則式(i)和(j)簡化為： =0klP =0.1 =0.2 =010.80.60.40.200.40.81.21.6(2) 按小撓度理論分析可知：各條曲線都以水平直線FP/(kl)=1為漸近線，并得出相同的臨界荷載值。與大撓度理論的結果相比可知：對于非完善體系，小撓度理論未能得出隨著的增大FPcr逐漸減小的結論。PcrFkl 三、幾點認識(1) 結構的失穩(wěn)存在兩種基本形式，一般說來，完善體系是分支點失穩(wěn)；非完善體系是極值點失穩(wěn)。(2) 分支點失穩(wěn)的特征是：存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點處出現(xiàn)平衡形式的二重性。極值點失穩(wěn)形式的特征：雖然只存在一個平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)

18、極值點。(3)只有根據(jù)大撓度理論才能得出結構穩(wěn)定問題的精確結論，小撓度理論也有其優(yōu)點(能正確得出分支點失穩(wěn)問題臨界荷載值)，但也應注意它的局限性。特別指出：后面只討論完善體系分支點失穩(wěn)問題，并根據(jù)小撓度理論求臨界荷載。(1) 結構的失穩(wěn)存在兩種基本形式，一般說來，完善體系是分支點失穩(wěn)；非完善體系是極值點失穩(wěn)。(2) 分支點失穩(wěn)的特征是：存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點處出現(xiàn)平衡形式的二重性。12-3 有限自由度體系的穩(wěn)定有限自由度體系的穩(wěn)定靜力法和能量法靜力法和能量法內容：有限自由度體系分支點失穩(wěn)問題，按小撓度理論求其臨界荷載。確定臨界荷載的兩類方法：(1) 靜力法：根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征提出

19、的方法；(2) 能量法：根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征提出的方法。本節(jié)以單自由度體系說明以上兩種解法。圖a的單自由度體系，AB是剛性壓桿，A端為彈性支承，轉動剛度系數(shù)為k。求：臨界荷載FPcr。(a)BFPlAk(b)BFPlAMA=kB一、靜力法已知：分支點失穩(wěn)臨界狀態(tài)的靜力特征是平衡形式的二重性。要點：尋求分支點，確定臨界荷載。分支點：原始平衡路徑I和新平衡路徑II的交叉點。新的平衡形式：桿AB處于傾斜位置時的新的平衡形式，見圖b。新的平衡形式的確定：根據(jù)小撓度理論，圖b體系的平衡方程為：MA=0(b)BFPlAMA=kB因為彈性支座的反力矩為MA=k，所以由式(a)得：齊次方程有兩類解：零解和非

20、零解。零解：=0，對應于原始路徑I。非零解： 不為零，對應于新的平衡形式。0PAF lM (a)()0PF lk (b)方程(b)是以為未知量的齊次方程。為了得到非零解，方程(b)的系數(shù)應為零，即：式(c)稱為特征方程。0/PPF lkFk l，即即(c)由特征方程可知，第二平衡路徑II為水平直線。由兩條路徑的交點得到分支點，分支點對應的荷載為臨界荷載。因此，臨界荷載為PcrkFl (d)二、能量法前述圖(a)所示的體系，把荷載FP看作重量；體系的勢能EP為彈簧應變能U與荷載勢能UP之和。由圖b可知：(b)BFPlAMA=kB彈簧應變能為221 kU 22121 kMA 注意：是靜荷載做功荷載

21、勢能為PPUF 2)cos1(2 ll 這里為B點的豎向位移：因此有22PPF lU 體系的勢能為21()2PPPEUUkF l (e)應用勢能駐值條件 ，可得0 ddEP24cos1.24 泰勒級數(shù)！式(f)和式(b)等價，也說是說，勢能駐值條件等價于用位移表示的平衡方程。由(f)式可根據(jù)位移有非零解的條件導出特征方程(c)，從而求得臨界荷載FPcr。綜上可知：在分支點失穩(wěn)問題中，臨界狀態(tài)的能量特征是：勢能為駐值，且位移有非零解。能量法是根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征求臨界荷載的。進一步討論勢能EP由式(e)可以看出：勢能EP是位移的二次式，其關系曲線是拋物線。()0PkF l (f)若FPk/l，

22、剛關系曲線如右圖a所示。21()2PPPEUUkF l (e)(a)EPOFPk/l，則關系曲線如圖c所示。當為任意非零值時，勢能EP恒為負值，即勢能是負定的。當體系處于原始平衡狀態(tài)時，勢能EP為極大，因而原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。(c)EPOFPFPcr因此，臨界狀態(tài)的的能量特征還可表述為：在荷載達到臨界值的前后，勢能EP由正定過渡到非正定，對于單自由度體系，則由正定過渡到負定。例12-1-1 圖a所示是一個具有兩個變形自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，在鉸結點B和C處為彈性支承，其剛度系數(shù)都為k。體系在D端有壓力FP作用。試用兩種方法求其臨界荷載FPcr。例12-1-1

23、圖a所示是一個具有兩個變形自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，在鉸結點B和C處為彈性支承，其剛度系數(shù)都為k。體系在D端有壓力FP作用。試用兩種方法求其臨界荷載FPcr。(a)ABCDFPlllkk(b)ABCDFPFxABCDy1y2FR2FR1FyAFyD解：設體系由原始平衡狀態(tài)(水平位置)轉到任意變形狀態(tài)(圖b)，設B點和C點的豎向位移分別為y1和y2，相應的支座反力分別為1122( ),( )RRFkyFky同時，A點和D點的支座反力為12(),( ),( )PPxAPyAyDF yF yFFFFll注：對B點左側取矩求FyA；對C點右側取矩求FyD變形狀態(tài)的平衡條件為112

24、2210,200,20PCPPBPF yMky llF ylF yMky llF yl (C左)(B右)即1212(2)0(2)0PPPPklFyF yF yklFy (a)式(a)是關于y1和y2的齊次方程。如果系數(shù)行列式不等于零，即202PPPPklFFFklF 則零解(即y1和y2全為零)是齊次方程(a)的唯一解。也就是說，原始平衡形式是唯一的平衡形式。(b)ABCDFPFxABCDy1y2FR2FR1FyAFyD如果系數(shù)行列式等于零，即202PPPPklFFFklF (b)則除零解外，齊次方程(a)還有非零解。也就是說，除原始平衡形式外，體系還存在新的平衡形式。這樣，平衡形式即具有二重

25、性，這就是體系處于臨界狀態(tài)的靜力特征。方程(b)就是穩(wěn)定問題的特征方程。展開式(b)，得22(2)0PPklFF由此解得兩個特征值：3PklFkl 其中最小的特征值叫做臨界荷載，即3PcrklF 將特征值代回式(a)，可得y1和y2的比值。這時位移y1、y2組成的向量稱為特征向量。如將FP=kl/3代回，則得y1=-y2，相應的變形曲線如下圖a所示。如將FP=kl代回，則得y1=y2，相應的變形曲線如下圖b所示。(a)y1FP=kl/3y2=-y1(b)y1FP=kly2=y1討論臨界荷載的能量特征。圖b中D點的水平位移為lyllyl）l（AB222cos1212212(b)ABCDFPFxA

26、BCDy1y2FR2FR1FyAFyD )(1)(212221212221221yyyylyyyyl (c)彈性支座的應變能為)(22221yykU (d)荷載勢能為221122()PPPFUFyy yyl (e)2222121122()()2PPPFkEUUyyyy yyl體系的勢能為CDBCAB2211221(2)2(2)2PPPPEklFyF y yklFyl(f)即應用勢能駐值條件：0, 021 yEyEPP得：1212(2)0(2)0PPPPklFyF yF yklFy (g)式式(g)就是前面導出的式就是前面導出的式(a)。勢能駐值條件等價于勢能駐值條件等價于用位移表示的平衡方程。

27、用位移表示的平衡方程。能量法求多自由度體系臨界荷載FPcr的步驟：(1) 寫出勢能表達式，建立勢能駐值條件。(2) 應用位移有非零解的條件，得出特征方程，求出荷載的特征值FPi(i=1、2、n)。(3) 在FPi中選取最小值，即得到臨界荷載FPcr。定性討論：式(f)可改寫為2221222()(3)22(2)PPPPPPPklFFyklFklFEyylklFklF可見，勢能EP是位移y1和y2的二次式。下面針對不同的FP值，分別說明勢能EP的特征。若FPkl/3，勢能EP是正定的；若FP=kl/3=FPcr，EP是半正定的(y1=-y2時， EP=0)；若kl/3FPkl，則勢能EP是負定的。

28、例12-1-2 用靜力法分析圖示結構，求臨界荷載。FPEI1=aEIahABDC(a)EIFPABDC(b)BBFP(c)BFP3EIa 3EIa 解：設體系轉到任意變形狀態(tài)(圖b)。0AM 由 得60PEIF haBh 設A點轉角為，則有 ，隔離體受力圖見圖c。6PEIFah 非零解為：6PcrEIFah 即：注意：靈活運用以下情況的轉動剛度計算公式。注意：靈活運用以下情況的轉動剛度計算公式。a) SAB=4ib) SAB=3id) SAB=0c) SAB=iSAB1AiAB1ASABiABSAB1AiAB1ASABiAB其中：A端為近端，B端為遠端， 。EIil 例12-1-3 用能量法求

29、圖示結構的臨界荷載FPcr。解：設體系轉到任意變形狀態(tài)(圖b)。FPEI1=EIhABC(a)EA=DFPABC(b)BxBDDDy ByFP(c)BFN設A點轉角為，則有 ， 。Bxh 22Byh 隔離體受力圖見圖c。FP(c)BFN(d)Dx =BxFN由圖d可知：3233NDxEIEIFhh 33EIkh 這這里里：支桿的彈性應變能為：22113222NDxDxEIUFkh 荷載勢能為：22PPPDyF hUF 因此，總勢能為：22322PPPEUUF hEIh 應用勢能駐值條件：0PdEd 得：3()0PEIF hh 故臨界荷載為：23PcrEIFh 例12-1-4 設各桿I=，彈性鉸

30、相對轉動剛度系數(shù)為k，見圖a。試求其臨界荷載FPcr。(a)ABCDFPlllkk(b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk12解： 新平衡位置見圖b。(), 0 xAPyAyDFFFF設B、C點豎向位移分別為y1和y2，則支座反力為(b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk1212112122121222yyyyylllyyyyylll 由圖b可得：AFPBk1FPCDFPk2110PF yk 12(2 )0 PF lk yky即即： 220PF yk 12(2 )0 PkyF lk y即即： 對AB隔離體圖，由 可得：0AM 對CD隔離體圖，由 可得：0DM 聯(lián)立、式可得關

31、于y1、y2的齊次方程：1212(2 )0(2 )0PPF lk ykykyF lk y 其特征方程為：202PPF lkkkF lk 即：222430PPkkFFll所以：PcrkFl 3PklFkl (b)ADFPFxABCDy1y2FyAFyDkk12解： 討論臨界荷載的能量特征。圖b中D點的水平位移為 )(1)(212221212221221yyyylyyyyl 彈性鉸的應變能為22221122122(585)()22kyy yykUl荷載勢能為221122()PPPFUFyy yyl 2222112211222(585)()2PPPkyy yyFEUUyy yyll體系的勢能為221

32、1222(52)(28 )(52)2PPPPkF l yF lk y ykF l yEl 即應用勢能駐值條件：0, 021 yEyEPP得：1212(52)(4 )0(4 )(52)0PPPPkF l yF lk yF lk ykF l y 與用靜力法計算的結果相同。與用靜力法計算的結果相同。其特征方程為：5240452PPPPkF lF lkF lkkF l 整理后得：222430PPkkFFll12-4 無限自由度體系的穩(wěn)定無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法靜力法注意：無限自由度體系，其平衡方程是微分方程。一、方法例題(2) 受力分析與平衡方程的建立臨界狀態(tài)下，體系出現(xiàn)新的平衡形式(圖中虛線)，柱

33、頂水平反力FR，彈性曲線的微分方程為EIlFP(1) 基本情況：圖示等截面壓桿，用靜力法求臨界荷載。xFRyyy0 xEIlFPxFRyyy0 x22d()dPRyEIMF yF xx (3) 微分方程的解22RPFFyyxEIEI 其其中中，上式可改寫為材料力學知識方程的解為：cossinRPFyAxBxxFsincosRPFyAxBxF 常數(shù)A、B和反力FR可由邊界條件確定。(4) 確定常數(shù)A、B，建立特征方程當x=0 時，y=0，可得A=0。當x=l 時，y=0和y=0，由此得出：sin0cos0RPRPFBllFFBlF (a)因為y(x)不恒等于零，所以A、B和FR不全為零。可知，式

34、(a) 中的系數(shù)行列式應等于零，即：01cossin lllD 展開行列式可得超越方程：lltg 可用試算法或圖解法求解該超越方程。(5) 本題采用圖解法求解，作y=l和y=tgl兩組線，其交點即為方程的解答，可知有無窮多個解。yly tg ly l 493. 4 22 230如何選解？因彈性桿有無限個自由度，所以有無窮多個特征荷載值，其中最小的一個是臨界荷載FPcr(利用FP=2EI來求)。由(l)min=4.493，可求得222(4.493)20.19PcrEIEIFll二、例題例12-4-1 下頁圖所示等截面壓桿，試用靜力法求其臨界荷載。EIlFPxFRyyx解：(1) 受力分析與平衡方

35、程的建立在臨界狀態(tài)下，體系出現(xiàn)新的平衡形式(圖中虛線)。彈性曲線的微分方程為22ddPyEIMF yx (2) 微分方程的解220,PFyyEI 其其中中上式可改寫為這是一個二階常系數(shù)線性齊次微分方程。其通解為：xBxAy sincos FR=0常數(shù)A、B可由邊界條件確定。(3) 確定常數(shù)A、B，建立特征方程當x=0 時，y=0，可得：A=0。當x=l 時，y=0，可得：Bsinl=0因為y(x)不恒等于零，故A、B不全為零。所以有sinl=0計算可得： l=n (n=1、2、)由此得PFnEIl 當n=1時有22PcrEIFl 兩端鉸支、細長壓桿的臨界荷載公式，即歐拉公式。222PnEIFl

36、 例12-4-2 求排架的臨界荷載和柱AB的計算長度。(a)BFP剛性桿I1lACI2=nI1D(c)BA FPcryyI1xy0 xFR在臨界狀態(tài)下，桿AB的變形如圖c所示，這時在柱頂處有未知的水平力FR，彈性曲線的微分方程為解：圖b所示為此排架的計算簡圖。這里，柱AB在B點具有彈性支座，它反映柱CD所起的支承作用，彈性支座的剛度系數(shù)為： 。323lEIk (b)BAFPk212d()dPRyEIMF yF xx 可改寫為2211,RPFFyyxEIEI 其其中中上式的解為cossinRPFyAxBxxFsincosRPFyAxBxF 求導可得常數(shù)A、B和未知力FR可由邊界條件確定。當x=0

37、時，y=0，由此求得A=0。sincos0RPRPFBllFFBlF 當x=l時，y=和y=0，有：由于FR=k，即=FR/k，所以上式變?yōu)閟in0cos0RRPRPFFBllFkFBlF 因為y(x)不恒等于零，所以A、B和FR不全為零?？芍鲜降南禂?shù)行列式應等于零，即：1sin01cosPPllFkDlF 展開上式得sin1cos0PPlllFFk 利用FP=2EI1并化簡，得到如下的超越方程(a)313()tgPFlEIlllkkl下面討論給定三種k值(即給出I1/I2的比值)的解：(1) I2=0，則k=0，這時方程(a)變?yōu)?ll tg當EI1為有限值時，因為 ，若EI1為有限值 l

38、 tg12EIP 則也為有限值，即l，所以這個方程的最小根為2 l因此212(2 )PcrEIFl 懸臂柱，計算長度(與兩端鉸支的細長壓桿對比)為l0=2l。(2) I2=，則k=，這時方程(a)變?yōu)閘l tg這個方程的最小根為493. 4 l 因此2112220.19(0.7 )PcrEIEIFll 相當于上端鉸支、下端固定的情況，計算長度為l0=0.7l。(3) 一般情況是k在0的范圍內，l在/24.493313lEIk 范圍內變化。當I2=I1時，則 。方程(a)變?yōu)?)(tg3lll 下面用試算法求解。先將上式表示為如下形式：0tg3)(3 lllD 當l=2.4時，tgl=-0.91

39、6，D=1.192當l=2.0時，tgl=-2.185，D=-1.518當l=2.2時，tgl=-1.374，D=-0.025當l=2.21時，tgl=-1.345，D0由此求得l=2.21，因此221112224.882.21(1.42 )PcrEIEIEIFlll 所以，當I2=I1時，計算長度為l0=1.42l。12-5 無限自由度體系的穩(wěn)定無限自由度體系的穩(wěn)定能量法能量法解題思路：(1) 對于滿足位移邊界條件的任一可能位移狀態(tài)，可求得勢能EP；(2) 由勢能的駐值條件EP=0，可得包含待定參數(shù)的齊次方程組；(3) 由齊次方程組非零解條件，知其系數(shù)行列式的值應為零，由此可求得特征荷載值，

40、臨界荷載FPcr是特征值中的最小值。具體算法以下頁圖a所示壓桿為例說明。(a)FPlBAxydx設壓桿有任意可能位移，變形曲線為 niiixay1)( (a)其中i(x)是滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，ai是任意參數(shù)，共n個。將原體系近似地看作具有n個自由度的體系。求彎曲應變能U lniiilxxaEIxyEIU02102d)(21d)(21 (b)再求與FP相應的位移(壓桿頂點的豎向位移)。取微段AB分析(圖b)，微段AB的原長為dx。(b)dydxdyABBBds=dxA彎曲后，弧線的AB的長度不變，即ds=dx。由圖可知，微段兩端點豎向位移的差值d為xyyxxysxBAABdd)(211d

41、d ddd2222 (c)因此 llxy020d)(21d (d)荷載勢能為2011( )d2nlPPiiiUPFaxx (e)22001111( )d( )d22nnllPPiiPiiiiEUUEIaxxFaxx(f)由勢能駐值條件EP=0，即)21(0niaEiP、 (g)得)21(0d)(1nixPEIanijijij、 (h)令 xEIKjiijd (i)dijPijSFx (j)則得 00021212222111211212222111211nnnnnnnnnnnnnaaaSSSSSSSSSKKKKKKKKK(k1)(k2)可簡寫為0)( aSK式(k1)或(k2)是對n個未知參數(shù)a1、a2、an的n個線性方程。根據(jù)特征荷載和特征向量的性質，參數(shù)a1、a2、an不能全為零，因此系數(shù)行列式應為零，即0 SK(l)其展開