有效數(shù)字和不確定度

1、 講授內容講授內容v1.物理實驗的課程設置及考核辦法物理實驗的課程設置及考核辦法v2.與測量和誤差相關的基礎知識與測量和誤差相關的基礎知識v3.有效數(shù)字的概念及運算法則有效數(shù)字的概念及運算法則v4.測量結果的評定測量結果的評定v5.常用的數(shù)據處理方法常用的數(shù)據處理方法緒論緒論一一. .為什么開設為什么開設大學物理實驗大學物理實驗課課v物理學是許多應用學科的基礎物理學是許多應用學科的基礎v物理學本身是一門實驗科學物理學本身是一門實驗科學 如電磁相互作用的發(fā)現(xiàn)，電磁波理論的確立。如電磁相互作用的發(fā)現(xiàn)，電磁波理論的確立。v物理實驗中應用到的實驗知識、方法和技能是物理實驗中應用到的實驗知識、方法和技能

2、是其他科學實驗的基礎。其他科學實驗的基礎。 二二. .物理實驗課的目的及任務物理實驗課的目的及任務v通過物理量測量，應用物理知識，驗證理論，加深通過物理量測量，應用物理知識，驗證理論，加深對物理學原理和規(guī)律的認識；對物理學原理和規(guī)律的認識；v學習實驗基本知識、基本方法和基本技能（三基），學習實驗基本知識、基本方法和基本技能（三基），培養(yǎng)科學實驗能力（實驗方法、測量技能、分析處培養(yǎng)科學實驗能力（實驗方法、測量技能、分析處理數(shù)據）；理數(shù)據）；v養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 達到目的：達到目的：會使用儀器，提高動手能力，善于總結會使用儀器，提高動手能力

3、，善于總結實驗，求實創(chuàng)新。實驗，求實創(chuàng)新。v任務：定性觀察物理現(xiàn)象；定量測定物理量的大小。任務：定性觀察物理現(xiàn)象；定量測定物理量的大小。三三. .物理實驗課的安排物理實驗課的安排v分二學期完成分二學期完成v第一學期為基礎實驗，共第一學期為基礎實驗，共8次，一次理論課次，一次理論課（不確定度及數(shù)據處理）和（不確定度及數(shù)據處理）和7個實驗；著重基個實驗；著重基礎實驗技能和習慣的培養(yǎng)礎實驗技能和習慣的培養(yǎng)v第二學期為自選題目，分為三個單元：基礎性第二學期為自選題目，分為三個單元：基礎性物理實驗、綜合性物理實驗和設計性實驗，共物理實驗、綜合性物理實驗和設計性實驗，共幾十個題目，同學們可根據自己的學分、

4、專業(yè)幾十個題目，同學們可根據自己的學分、專業(yè)或興趣選做?；蚺d趣選做。四四. .三個教學環(huán)節(jié)及基本要求三個教學環(huán)節(jié)及基本要求三個教學環(huán)節(jié)三個教學環(huán)節(jié):v 1.課前預習課前預習實驗能否取得主動的關實驗能否取得主動的關鍵鍵。v 2.課堂實驗。課堂實驗。v 3.課后報告課后報告實驗的總結實驗的總結。v預習報告預習報告 實驗名稱：實驗名稱： 實驗目的：通過實驗達到的要求。實驗目的：通過實驗達到的要求。 實驗原理和內容：實驗的理論依據，寫實驗原理和內容：實驗的理論依據，寫出待測量計算公式的簡要推導過程。出待測量計算公式的簡要推導過程。忌會三條：忌會三條： a.照抄講義照抄講義 b.只寫一個代數(shù)式只寫一個代

5、數(shù)式 c.無圖無圖 實驗儀器：列主要儀器的名稱、型號、規(guī)格等。實驗儀器：列主要儀器的名稱、型號、規(guī)格等。 操作步驟：只寫主要的、重要的。操作步驟：只寫主要的、重要的。 此外，在原始數(shù)據記錄紙上畫好表格。此外，在原始數(shù)據記錄紙上畫好表格。注意：注意： 未寫預習報告，取消本次實驗資格；未畫表未寫預習報告，取消本次實驗資格；未畫表 格，扣部分預習分。格，扣部分預習分。課堂實驗課堂實驗v帶上教材、寫好預習的實驗報告，還有坐標紙、計帶上教材、寫好預習的實驗報告，還有坐標紙、計算器等。算器等。v教師先簡要講解。教師先簡要講解。v學生調試儀器、測試記錄數(shù)據（學生調試儀器、測試記錄數(shù)據（用鋼筆、圓珠筆填用鋼筆

6、、圓珠筆填寫，不得隨意涂改寫，不得隨意涂改）。）。 注意注意遵守實驗室規(guī)則，了解實驗儀器的使用及注遵守實驗室規(guī)則，了解實驗儀器的使用及注意事項。意事項。v注意：注意：原始數(shù)據（用鋼筆或中性筆填寫）須經教師原始數(shù)據（用鋼筆或中性筆填寫）須經教師檢查簽字后才能離開，離開前應整理實驗儀器，打檢查簽字后才能離開，離開前應整理實驗儀器，打掃衛(wèi)生。掃衛(wèi)生。課后完成實驗報告課后完成實驗報告v課后報告：課后報告：v實驗數(shù)據記錄實驗數(shù)據記錄 老師簽字的原始數(shù)據附在實驗報告上，切忌課后涂改數(shù)據老師簽字的原始數(shù)據附在實驗報告上，切忌課后涂改數(shù)據v數(shù)據處理數(shù)據處理 計算平均值、不確定度，寫出最后的測量結果，作圖。計算

7、平均值、不確定度，寫出最后的測量結果，作圖。 注意：數(shù)據計算要求寫出中間過程，作圖必須用坐標紙注意：數(shù)據計算要求寫出中間過程，作圖必須用坐標紙v結果分析結果分析 一定要有實驗的結論和對實驗結果的討論、分析、建議一定要有實驗的結論和對實驗結果的討論、分析、建議或完成思考題?；蛲瓿伤伎碱}。 五五. .成績考核辦法成績考核辦法v每次實驗報告的成績平均，即為學期成績；每次實驗報告的成績平均，即為學期成績；v上課時必須向老師提交預習報告，未預習取消實驗資格，上課時必須向老師提交預習報告，未預習取消實驗資格，成績記成績記0分；分；v實驗必須按時。遲到一分鐘扣一分，實驗必須按時。遲到一分鐘扣一分，15分鐘以

8、上則取消實分鐘以上則取消實驗資格，成績記驗資格，成績記0分；分；v編造、抄襲原始數(shù)據或在報告中涂改原始數(shù)據，成績記編造、抄襲原始數(shù)據或在報告中涂改原始數(shù)據，成績記0分；預約實驗而缺席，成績記分；預約實驗而缺席，成績記0分；分；v成績?yōu)槌煽優(yōu)?分或不及格者，在實驗室有空位并獲老師同意，分或不及格者，在實驗室有空位并獲老師同意，給予一次重做機會，給予一次重做機會， 成績按分數(shù)的成績按分數(shù)的80%計算，但最高不計算，但最高不超過超過75分。分。v遲交報告者，只按照遲交報告者，只按照80%記分。記分。v學生不按要求操作造成實驗儀器損壞者，除按學校規(guī)定賠學生不按要求操作造成實驗儀器損壞者，除按學校規(guī)定賠

9、償外，還可視情況扣除操作分。償外，還可視情況扣除操作分。實驗報告的上交和領取實驗報告的上交和領取v實驗報告在實驗完成的下一周星期一之前交，分實實驗報告在實驗完成的下一周星期一之前交，分實驗投入驗投入A座座3樓大廳專用實驗報告箱內。幾周后，樓大廳專用實驗報告箱內。幾周后，可在四樓實驗柜中分班級取回；可在四樓實驗柜中分班級取回；v報告至少保存一學期，以備在成績有誤時核對查詢。報告至少保存一學期，以備在成績有誤時核對查詢。v今天課后完成三頁題，三周星期一前交到三樓樓道今天課后完成三頁題，三周星期一前交到三樓樓道的不確定度報告箱內，以后的實驗按實驗題目交。的不確定度報告箱內，以后的實驗按實驗題目交。v

10、實驗報告紙到中心辦公室實驗報告紙到中心辦公室323購買，電話購買，電話85990273測量不確定度與數(shù)據處理測量不確定度與數(shù)據處理v一一.測量誤差測量誤差v1.測量：測量：用實驗方法找出物理量的量值叫測量，即用實驗方法找出物理量的量值叫測量，即把待測量與作為計量單位的同類已知量相比較，找把待測量與作為計量單位的同類已知量相比較，找出待測量的大小，比較的過程叫測量。出待測量的大小，比較的過程叫測量。 實驗數(shù)據：比較的結果記錄下來實驗數(shù)據：比較的結果記錄下來 原始數(shù)據（未經計算，須經老師簽字）原始數(shù)據（未經計算，須經老師簽字） 正確記錄數(shù)據：待測量的名稱、大小、單位、準確正確記錄數(shù)據：待測量的名稱

11、、大小、單位、準確度度 如用游標卡尺測量鋼球的直徑如用游標卡尺測量鋼球的直徑測量的分類測量的分類v按測量方法按測量方法分為：直接測量和間接測量分為：直接測量和間接測量 如通過測量鋼球直徑如通過測量鋼球直徑D（直接測量）來計算鋼（直接測量）來計算鋼球體積球體積V=D3/6（間接測量）（間接測量）v按測量條件按測量條件分為：重復性測量（等精度測量）分為：重復性測量（等精度測量）和復現(xiàn)性測量（非等精度測量）和復現(xiàn)性測量（非等精度測量）v按測量次數(shù)按測量次數(shù)分為：單次測量和多次測量分為：單次測量和多次測量 2.2.誤差誤差v概念概念 誤差誤差 )()(0真值測量值NNNN有正負大小之分，稱絕對誤差有正

12、負大小之分，稱絕對誤差 注意：絕對誤差不是誤差的絕對值注意：絕對誤差不是誤差的絕對值如測如測g 單擺單擺 三線擺三線擺 氣墊導軌氣墊導軌 ms-2 9.782 9.795 9.811誤差存在于一切實驗過程中，并因主觀因素的影響，誤差存在于一切實驗過程中，并因主觀因素的影響，客觀條件的干擾及實驗技術不同而不同?？陀^條件的干擾及實驗技術不同而不同。 討論誤差目的討論誤差目的 v對自己的實驗結果進行評定，即置信度，置信對自己的實驗結果進行評定，即置信度，置信度越高，測量越準確度越高，測量越準確v分析測量中產生誤差原因，找尋減小誤差的方分析測量中產生誤差原因，找尋減小誤差的方向，采取措施盡可能減小誤差

13、。如合理設計實向，采取措施盡可能減小誤差。如合理設計實驗、選擇儀器、采用一些測量方法（如比較法、驗、選擇儀器、采用一些測量方法（如比較法、復稱法）、修正公式、調節(jié)儀器等，都是為了復稱法）、修正公式、調節(jié)儀器等，都是為了減小測量誤差。減小測量誤差。v對測量中未能消除的誤差作出估計。對測量中未能消除的誤差作出估計。 誤差分類及來源誤差分類及來源v根據誤差性質及產生原因，可將誤差分為系統(tǒng)根據誤差性質及產生原因，可將誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差。誤差和隨機誤差。v系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差v定義：定義：在一定條件下多次測量同一量時，測量在一定條件下多次測量同一量時，測量結果總向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定結果

14、總向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。規(guī)律變化。 特點：具規(guī)律，大小、正負恒定特點：具規(guī)律，大小、正負恒定來源來源v儀器誤差：儀器誤差：儀器本身缺陷儀器本身缺陷 或沒按規(guī)定使用儀器造成?；驔]按規(guī)定使用儀器造成。如儀器零點不準、停表走得快、電表放置方式不對。如儀器零點不準、停表走得快、電表放置方式不對。v理論誤差：理論誤差：理論公式本身的近似性理論公式本身的近似性 或實驗條件不能達到所規(guī)定的要求或實驗條件不能達到所規(guī)定的要求 如：單擺如：單擺)sin411 (22gLT近似為近似為 gLT2光柵光柵 dsin=k要求平行光垂直入射不滿足要求平行光垂直入射不滿足 v觀測誤差：觀測誤差：由觀

15、測者本人生理或心理特點造由觀測者本人生理或心理特點造成，如停表計時或讀數(shù)。成，如停表計時或讀數(shù)。v方法誤差：方法誤差：電流表外接電流表外接 1)1 (VxxRRRR電流表內接電流表內接 1)1 (xAxRRRR2個特點：具規(guī)律、可減小或消除。個特點：具規(guī)律、可減小或消除。系統(tǒng)誤差又分：系統(tǒng)誤差又分： 已定系統(tǒng)誤差，如千分尺的零差已定系統(tǒng)誤差，如千分尺的零差 未定系統(tǒng)誤差，如給定級別的電表未定系統(tǒng)誤差，如給定級別的電表 減小方法減小方法v校正儀器：校正儀器：如校零或記下零讀數(shù)修正。如校零或記下零讀數(shù)修正。v改進實驗方法：改進實驗方法：如對稱測量如對稱測量v減小理論誤差：減小理論誤差：在公式中引入

16、一些修正項，如在公式中引入一些修正項，如單擺測單擺測g，須考慮擺球的體積大小及空氣的浮，須考慮擺球的體積大小及空氣的浮力及阻力；力及阻力；v調試儀器調試儀器 調試儀器重要調試儀器重要減小系統(tǒng)誤差減小系統(tǒng)誤差 隨機誤差隨機誤差v隨機誤差又稱偶然誤差隨機誤差又稱偶然誤差 由不可預測的隨機因素造成由不可預測的隨機因素造成v定義：定義：在一定條件下，多次測量同一量時，誤在一定條件下，多次測量同一量時，誤差的大小、正負以不可預知的方式變化（時大差的大小、正負以不可預知的方式變化（時大時小，時正時負，無確定性）。時小，時正時負，無確定性）。v特點：誤差出現(xiàn)無規(guī)律，不能消除特點：誤差出現(xiàn)無規(guī)律，不能消除來源

17、來源v操作者感官分辨率操作者感官分辨率的不確定的不確定v儀器性能儀器性能的波動的波動v測量環(huán)境的干擾測量環(huán)境的干擾v其它偶然因素其它偶然因素如電壓不穩(wěn)定，操作讀數(shù)時的視差影響如電壓不穩(wěn)定，操作讀數(shù)時的視差影響但當測量次數(shù)很多時，大部分隨機誤差服從一定但當測量次數(shù)很多時，大部分隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布），后面講。的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布），后面講。 可用可用增加測量次數(shù)的方法來減小隨機誤差增加測量次數(shù)的方法來減小隨機誤差，但測，但測量次數(shù)不可能無限多，故不能完全消除。量次數(shù)不可能無限多，故不能完全消除。v隨機誤差：隨機誤差： 隨機性隨機性 可通過多次測量來減小可通過多次測量來減小v系統(tǒng)誤

18、差：確定性系統(tǒng)誤差：確定性 可用特定方法來消除可用特定方法來消除v總之，誤差的性質不同，來源不同，處理方法總之，誤差的性質不同，來源不同，處理方法不同。有時系統(tǒng)誤差與隨機誤差可以加以區(qū)別，不同。有時系統(tǒng)誤差與隨機誤差可以加以區(qū)別，有時又難以劃分。但實驗結果的總誤差是隨機有時又難以劃分。但實驗結果的總誤差是隨機誤差與系統(tǒng)誤差。誤差與系統(tǒng)誤差。誤差的幾個相關概念誤差的幾個相關概念v精密度：測量數(shù)據分布的集中程度，反映隨機誤差的大小精密度：測量數(shù)據分布的集中程度，反映隨機誤差的大小v準確度：測量平均值與真值的符合程度，反映系統(tǒng)誤差的大準確度：測量平均值與真值的符合程度，反映系統(tǒng)誤差的大小小v精確度：

19、精密度和準確度的綜合反映，精確度高表明測量數(shù)精確度：精密度和準確度的綜合反映，精確度高表明測量數(shù)據集中分布在真值附近據集中分布在真值附近 精密度高精密度高準確度高準確度高精確度高精確度高一般，精度多指精確度一般，精度多指精確度二二. .有效數(shù)字及其運算法則有效數(shù)字及其運算法則v1.有效數(shù)字的概念有效數(shù)字的概念v有效數(shù)字就是實驗測量中記錄的有意義的數(shù)有效數(shù)字就是實驗測量中記錄的有意義的數(shù)字，它在一定程度上表明了測量誤差的存在，字，它在一定程度上表明了測量誤差的存在，如用米尺測物體的長度，如圖所示。如用米尺測物體的長度，如圖所示。v準確讀出的是可靠數(shù)字，末尾一位是估讀出準確讀出的是可靠數(shù)字，末尾一

20、位是估讀出來的，不準確的，叫欠準數(shù)（或可疑數(shù)），來的，不準確的，叫欠準數(shù)（或可疑數(shù)），雖欠準，但有意義，使測量值更接近真實值。雖欠準，但有意義，使測量值更接近真實值。v有效數(shù)字幾個可靠數(shù)字有效數(shù)字幾個可靠數(shù)字+末尾末尾12位可疑位可疑數(shù)字數(shù)字物體的長度在物體的長度在222323之間，可靠數(shù)字是之間，可靠數(shù)字是22，可疑數(shù)字為估讀，可疑數(shù)字為估讀， 0.6 或或0.7，0.8，測量到物體長度的有效數(shù)字為測量到物體長度的有效數(shù)字為22.6，22.7或或22.8。1002001020物體的長度為物體的長度為24，可靠數(shù)字是，可靠數(shù)字是24，可疑數(shù)字為，可疑數(shù)字為0.0，測量到物，測量到物體長度的有效

21、數(shù)字為體長度的有效數(shù)字為24.0，末尾的末尾的0不能省略不能省略。v6.53769cm，可疑數(shù)后的數(shù)字無意義，不能，可疑數(shù)后的數(shù)字無意義，不能在報告中出現(xiàn)；在報告中出現(xiàn)；v估計數(shù)為零，也不能舍去，如估計數(shù)為零，也不能舍去，如6.50cm，不能，不能寫成寫成6.5cm。v可疑數(shù)字的位置由使用該種儀器測量時的絕可疑數(shù)字的位置由使用該種儀器測量時的絕對誤差確定。對誤差確定。v可靠數(shù)字在測量儀器的刻度上獲得，可疑數(shù)可靠數(shù)字在測量儀器的刻度上獲得，可疑數(shù)字在測量儀器的刻度之間估計讀數(shù)。例如上字在測量儀器的刻度之間估計讀數(shù)。例如上頁圖。頁圖。2.2.有效位數(shù)有效位數(shù)v有效數(shù)字：有意義數(shù)碼的個數(shù)。有效數(shù)字：

22、有意義數(shù)碼的個數(shù)。 如如6.53cm， 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字v “0”在有效數(shù)字中在有效數(shù)字中v中間或末尾的中間或末尾的“0”應算有效位數(shù)應算有效位數(shù) 如如2.008cm 4位位 3.6120Kg 5位位 8.0200103g 5位位v注意：注意：不能在數(shù)字的末尾隨便加不能在數(shù)字的末尾隨便加“0”或減或減“0”。 數(shù)學數(shù)學6.42=6.420=6.4200 物理實驗物理實驗6.426.4206.4200v有效數(shù)字前面的有效數(shù)字前面的“0”不算有效位數(shù)不算有效位數(shù) 0.0089m 2位位 0.0375cm 3位位v 單位換算有效位數(shù)不變單位換算有效位數(shù)不變5.03cm=0.0503m=50.3

23、mm 仍仍3位位 注意：大換小易出問題注意：大換小易出問題5.03cm50300mv數(shù)據過大或過小時，常用數(shù)據過大或過小時，常用科學計數(shù)法科學計數(shù)法（數(shù)量級表示法）（數(shù)量級表示法） 10n 單位單位 12.3m=1.23104mm 電阻值為電阻值為30000 保留保留3位有效數(shù)字時寫成位有效數(shù)字時寫成3.00104v 數(shù)顯儀器所顯示的數(shù)字，全部屬于有效數(shù)字。數(shù)顯儀器所顯示的數(shù)字，全部屬于有效數(shù)字。有效位數(shù)與測量工具精度及被測物大小有關有效位數(shù)與測量工具精度及被測物大小有關v對同一被測物：對同一被測物：高精度儀器，測量有效位數(shù)多高精度儀器，測量有效位數(shù)多 低精度儀器，測量有效位數(shù)少低精度儀器，測

24、量有效位數(shù)少 如如測量同一個長約測量同一個長約2的物體的物體用用mm刻度的米尺測得數(shù)據為刻度的米尺測得數(shù)據為2.01 3位位 用用20分度的游標卡尺測得數(shù)據為分度的游標卡尺測得數(shù)據為2.020 4位位 v對同一精度儀器：對同一精度儀器：被測物體大，有效位數(shù)多被測物體大，有效位數(shù)多 被測物體小，有效位數(shù)少被測物體小，有效位數(shù)少3.3.直接測量的有效數(shù)字記錄直接測量的有效數(shù)字記錄v讀數(shù)的一般規(guī)則：讀至儀器誤差所在位置。讀數(shù)的一般規(guī)則：讀至儀器誤差所在位置。 例：米尺測長度例：米尺測長度 當物體長度在當物體長度在35mm與與36mm之間時，讀數(shù)為之間時，讀數(shù)為35.mm；當讀數(shù)正好為；當讀數(shù)正好為3

25、5mm時，讀數(shù)為時，讀數(shù)為35.0mm。 例：用例：用0.1級量程為級量程為100mA電流表測電流電流表測電流 當指針在當指針在82mA與與83mA之間時，讀為之間時，讀為82.mA；當指針正好為當指針正好為82mA時，讀為時，讀為82.0mA。mA1 . 0%1 . 0100儀v對于對于1.0級量程為級量程為100mA電流表電流表mA1%0 . 1100儀當指針在當指針在82mA與與83mA之間時，讀為之間時，讀為82mA或或83mA；當指針正好為；當指針正好為82mA時，讀為時，讀為82mA。注意要點注意要點v測量數(shù)據的末位是欠準數(shù)，并與儀器誤差位對齊，測量數(shù)據的末位是欠準數(shù)，并與儀器誤差

26、位對齊，即使估讀的是即使估讀的是“0”也必須記下，也必須記下， 儀器誤差在哪一位發(fā)生，欠準位數(shù)記錄到哪一位，儀器誤差在哪一位發(fā)生，欠準位數(shù)記錄到哪一位，不能多記，也不能少記。不能多記，也不能少記。 如用米尺測某一物體長度如用米尺測某一物體長度3.00cm 不同儀器測量，誤差位不同，對同一物理量，有效不同儀器測量，誤差位不同，對同一物理量，有效位數(shù)越多，表明測量結果越精確位數(shù)越多，表明測量結果越精確v連續(xù)可讀儀器：連續(xù)可讀儀器： 要估讀要估讀誤差位一般在估讀位誤差位一般在估讀位 非連續(xù)可讀儀器：非連續(xù)可讀儀器：不估讀不估讀誤差位一般在最小刻度位誤差位一般在最小刻度位 數(shù)字儀器：數(shù)字儀器：全部讀全

27、部讀4.4.有效數(shù)字的運算法則有效數(shù)字的運算法則v近似計算近似計算v加減法加減法 間接測量的計算結果也只能保留間接測量的計算結果也只能保留12欠準數(shù)，物理欠準數(shù)，物理實驗通常只取實驗通常只取1位位 例例 12.53+0.3421=12.8721=12.87v結論：結論：和或差的結果的欠準位置（即末位）與參與和或差的結果的欠準位置（即末位）與參與運算的各量中欠準位置最高者相同。運算的各量中欠準位置最高者相同。 例例 32.1+26.653.926=54.8v推論：推論：和差計算時，選擇具有同等精度的儀器最為和差計算時，選擇具有同等精度的儀器最為合理合理 乘除法乘除法 例例 4.11811.2=4

28、6.1 2 1 2=46.1v結論：結論：積或商的結果的有效位數(shù)一般與參積或商的結果的有效位數(shù)一般與參與運算的各量中有效位數(shù)最少者相同與運算的各量中有效位數(shù)最少者相同 例例 5.34820.537643=0.00291v推論：推論：各量參與乘除運算時，應按使測量各量參與乘除運算時，應按使測量值有效位數(shù)相同的原則來選擇儀器。值有效位數(shù)相同的原則來選擇儀器。v如測載玻片體積如測載玻片體積 V=abc 厚厚2mm 寬寬20mm 長：長：200mmv 乘方、開方乘方、開方 一般與其底的有效位數(shù)相同一般與其底的有效位數(shù)相同 9.863=959 =3.676v 自然數(shù)（自然數(shù)（1，2，3）、無理數(shù)）、無理

29、數(shù)， ， 等等 可看成無窮多位可看成無窮多位 計算時取的值應比最少位數(shù)多取計算時取的值應比最少位數(shù)多取1位，這樣使位，這樣使結果更準確。結果更準確。368.492366. 621. 8345. 2142. 3124.2364422HDMN運算過程中，可以比上述規(guī)則多取一位，等計算出運算過程中，可以比上述規(guī)則多取一位，等計算出不確定度以后，再根據不確定度的所在位來確定最不確定度以后，再根據不確定度的所在位來確定最后結果的可疑位。后結果的可疑位。 有效數(shù)字的修約有效數(shù)字的修約v四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶v補充：數(shù)字修約的國家標準補充：數(shù)字修約的國家標準v規(guī)定：要修約的數(shù)大于規(guī)定：要修約的數(shù)大于5

30、時入，小于時入，小于5時舍，正時舍，正好等于好等于5時則視擬保留的最后一位是奇數(shù)時入，時則視擬保留的最后一位是奇數(shù)時入，偶數(shù)時舍。偶數(shù)時舍。 四則混合運算四則混合運算v按運算規(guī)則分級進行，每進行一級運算，按運算規(guī)則分級進行，每進行一級運算，按規(guī)定取舍按規(guī)定取舍v注意：不能按完計算器再取注意：不能按完計算器再取 例：例：524.50.05= 101.441.00+20.02= v524.50.05=1104v101.441.00+20.02 =101+1.26103 =0.101103+1.26103 =1.36103三三. .測量結果的不確定度測量結果的不確定度v不確定度的概念及其估算方法不確

31、定度的概念及其估算方法v測量結果的表達測量結果的表達v各種測量結果的評定各種測量結果的評定1.1.不確定度的概念不確定度的概念 在真值未知因而誤差也未知的條件下，根據測量數(shù)在真值未知因而誤差也未知的條件下，根據測量數(shù)據和測量條件按一定的理論方法對測量可能的誤差據和測量條件按一定的理論方法對測量可能的誤差范圍作出判斷。范圍作出判斷。v不確定度：測量的可能誤差范圍表明了測量結果不確定度：測量的可能誤差范圍表明了測量結果（近真值）的可疑程度。（近真值）的可疑程度。v由于測量誤差存在而對被測量值不能肯定的程度。由于測量誤差存在而對被測量值不能肯定的程度。v是指測量值（近真值）附近的一個小范圍，是被測是

32、指測量值（近真值）附近的一個小范圍，是被測量真值在某個量值范圍內的評定。量真值在某個量值范圍內的評定。v是測量質量的表征是測量質量的表征，不確定度小，測量結果可信賴，不確定度小，測量結果可信賴程度高；不確定度大，測量結果可信賴程度低程度高；不確定度大，測量結果可信賴程度低。v不確定度比以前評定方法更科學、更全面不確定度比以前評定方法更科學、更全面 標準偏差：只包含統(tǒng)計誤差標準偏差：只包含統(tǒng)計誤差 不確定度：除包含統(tǒng)計誤差，還包含非統(tǒng)計不確定度：除包含統(tǒng)計誤差，還包含非統(tǒng)計誤差誤差v分類：分類：A類不確定度類不確定度：統(tǒng)計方法估算：統(tǒng)計方法估算 B類不確定度類不確定度：非統(tǒng)計方法估算：非統(tǒng)計方法

33、估算 如天平稱質量：天平的變動性為如天平稱質量：天平的變動性為A類不確定度類不確定度（隨機誤差），砝碼的準確性、標尺刻度的準（隨機誤差），砝碼的準確性、標尺刻度的準確性為確性為B類不確定度（儀器誤差）。類不確定度（儀器誤差）。v國際標準化組織（國際標準化組織（ISO）1993 測量不確定度測量不確定度表示指南表示指南v中國國家技術規(guī)范中國國家技術規(guī)范 JJF1059-1999 測量不測量不確定度評定與表示確定度評定與表示2.A 2.A 、B B類不確定度及合成不確定度類不確定度及合成不確定度 A A 類不確定度類不確定度v如隨機誤差，可通過統(tǒng)計方法估算出，如隨機誤差，可通過統(tǒng)計方法估算出，v設

34、對某物理量設對某物理量 進行了進行了n次重復測量，可證算術平次重復測量，可證算術平均值均值 是是 的最佳估計值，即的最佳估計值，即近真值近真值xxxniixnx11 對有限次，具隨機性，當測量次數(shù)對有限次，具隨機性，當測量次數(shù)n無限多時，無限多時，結果服從一定的統(tǒng)計規(guī)律結果服從一定的統(tǒng)計規(guī)律正態(tài)分布，如圖正態(tài)分布，如圖 222)(21)(uxexpx代表某一物理量的實測值；代表某一物理量的實測值；p(x)為測量值的概率分為測量值的概率分布；布；為數(shù)學期望值，橫軸上任一點為數(shù)學期望值，橫軸上任一點x-即為測量值即為測量值相應的隨機誤差分量；標準差相應的隨機誤差分量；標準差決定全部測量值的離決定全

35、部測量值的離散程度。圖中陰影區(qū)域（散程度。圖中陰影區(qū)域（-，+）的面積是隨機）的面積是隨機誤差在誤差在范圍內的概率即范圍內的概率即測量誤差落在該區(qū)間內的測量誤差落在該區(qū)間內的概率：概率：p68.3 v正態(tài)分布特點：正態(tài)分布特點：v單峰性：單峰性：小誤差出現(xiàn)概率比大誤差出現(xiàn)的概率大小誤差出現(xiàn)概率比大誤差出現(xiàn)的概率大v對稱性：對稱性：以以為對稱軸。具有抵償性，為對稱軸。具有抵償性， 取多次測量取多次測量的平均值有利于消減隨機誤差的平均值有利于消減隨機誤差v歸一性：歸一性： p(x) 函數(shù)具有歸一性。函數(shù)具有歸一性。 1)(dxxpuudxxp683. 0)(22954. 0)(uudxxp3399

36、7. 0)(uudxxp值越大，曲線越扁平。無論值越大，曲線越扁平。無論的值是多少，在區(qū)的值是多少，在區(qū)間（間（-，+）對）對p(x)積分的值等于積分的值等于0.683，即，即x值出現(xiàn)在該區(qū)間的幾率或稱該區(qū)間的置信概率為值出現(xiàn)在該區(qū)間的幾率或稱該區(qū)間的置信概率為68.3%。v 的不確定度：的不確定度： ix1)()(12nxxxSniii貝塞爾公式貝塞爾公式 實驗標準差實驗標準差ixS表測量結果的分散性表測量結果的分散性 式中偏差式中偏差 xxxii偏差不等于誤差，但同樣反映誤差；誤差不可計算，偏差不等于誤差，但同樣反映誤差；誤差不可計算，但偏差可計算，用偏差代替誤差。但偏差可計算，用偏差代替

37、誤差。 多次測量的平均值比單次測量更準確多次測量的平均值比單次測量更準確v 的不確定度（即的不確定度（即A類不確定度）：類不確定度）： x) 1()()()(21nnxxnxsxsniii為平均值的實驗標準差。為平均值的實驗標準差。)(xsn0)(xs時，時，n應充分多，一般應充分多，一般n5 ，對學生實驗，對學生實驗n3)(xSuA記為記為B B類不確定度類不確定度v不能用統(tǒng)計方法估算，一般由系統(tǒng)效應導致，它的不能用統(tǒng)計方法估算，一般由系統(tǒng)效應導致，它的來源比較多。來源比較多。v要完整、準確評定要完整、準確評定B類不確定度相當復雜，由于某些類不確定度相當復雜，由于某些儀器是非標準儀器，沒定期

38、校正、沒在規(guī)定條件下儀器是非標準儀器，沒定期校正、沒在規(guī)定條件下使用、同學們的經驗所限等，定量評定使用、同學們的經驗所限等，定量評定B類不確定度類不確定度很困難。很困難。v對一些簡單實驗，儀器誤差視為對一些簡單實驗，儀器誤差視為B類不確定度的主要類不確定度的主要來源。來源。v從儀器的極限誤差估計從儀器的極限誤差估計B類不確定度類不確定度v學生實驗儀器未按規(guī)定按期校驗，誤差可能大學生實驗儀器未按規(guī)定按期校驗，誤差可能大于出廠誤差，而且誤差要從最不利情況考慮，于出廠誤差，而且誤差要從最不利情況考慮，作為近似取作為近似取K=1 KUB儀K：13 儀BU儀器誤差的確定儀器誤差的確定 v由儀器的準確度表

39、示由儀器的準確度表示 如數(shù)字儀器，測量周期如數(shù)字儀器，測量周期0.01sv由儀器的準確度級別來計算由儀器的準確度級別來計算（電學儀器）（電學儀器） 指針式電表：指針式電表： %aAm儀Am：量程：量程 a：準確度級別：準確度級別 電阻箱：電阻箱： %aR示儀：測量值：測量值 示R例：電流表（例：電流表（0.5級）級） mA2 . 0%5 . 030儀電壓表（電壓表（0.1級）級） V008. 0%1 . 05 . 7儀v未給出儀器誤差時（非電表）未給出儀器誤差時（非電表） 連續(xù)可讀儀器：連續(xù)可讀儀器： 最小分度最小分度 非連續(xù)可讀儀器：非連續(xù)可讀儀器： 最小分度最小分度 例：溫度計：最小分度例

40、：溫度計：最小分度=1， 米尺：最小分度米尺：最小分度=1mm， 千分尺：最小分度千分尺：最小分度=0.01mm， 游標卡尺：游標卡尺：50分度分度 最小分度最小分度=0.02mm 電子秒表：最小分度電子秒表：最小分度=0.01s， 21儀儀mm5 . 0儀C5 . 0儀mm005. 0儀mm02. 0儀s01. 0儀合成不確定度合成不確定度 vA、B兩類不確定度互不相關兩類不確定度互不相關 標準不確定度標準不確定度 形式為方和根形式為方和根反映測量結果的可信賴程度反映測量結果的可信賴程度2222)()(儀xSuuxuBAc3.3.測量結果的表達測量結果的表達v測量某物體體積測量某物體體積V=

41、242.6cm3 35 . 0)(cmVuc按國家標準，測量結果可表示為：按國家標準，測量結果可表示為：a V=242.6cm3, 35 . 0)(cmVucb V=242.6（5）cm3c V=242.6（0.5）cm3d V=（242.60.5）cm3國內物理學界習慣用國內物理學界習慣用d種表達方式種表達方式本課規(guī)定實驗報告一律采用本課規(guī)定實驗報告一律采用d種方式種方式 ncuxx10)(單位單位注意注意v意義：意義： 測量結果的標準表達式，給出了一個范測量結果的標準表達式，給出了一個范圍圍 ，表示待測量的真值落，表示待測量的真值落在在 之間的概率為之間的概率為68.3%，不要，不要誤認為

42、真值為誤認為真值為 或或 ，也不要誤認，也不要誤認為真值一定在為真值一定在 之間。之間。v近真值、不確定度、單位三要素缺一不可近真值、不確定度、單位三要素缺一不可)(cux)(cux )(cux )(cux )(cux )(cux)(cux )(cuxv規(guī)定規(guī)定 只取只取1位或位或2位有效位數(shù)位有效位數(shù)。（學生實驗只。（學生實驗只取取1位即可，多余位數(shù)按四舍五入）位即可，多余位數(shù)按四舍五入） 如如 v 與與 的的三個一致三個一致：單位一致、數(shù)量級一致，：單位一致、數(shù)量級一致，近真值與不確定度的末位一致（即近真值與不近真值與不確定度的末位一致（即近真值與不確定度二者的末位對齊）確定度二者的末位對

43、齊） 所以所以 的末位數(shù)由的末位數(shù)由 決定決定cu00624. 0cu006. 0cuxcuxcu取取例子例子vL=76.240mm =2mm L=（762）mmv改錯：改錯：mmd321002043. 010126.4378Lummd210)2 . 01 .4378(mm310)02. 081.437(或或mmd321002043. 010126.4378相對不確定度相對不確定度 v常用于比較不同測量結果的好壞，常用于比較不同測量結果的好壞，E越小測越小測量結果質量越好。量結果質量越好。v規(guī)定：規(guī)定：取取2位有效數(shù)位有效數(shù)v注意：注意：不帶單位，常用百分數(shù)表示不帶單位，常用百分數(shù)表示v評價測

44、量結果好壞，只能看相對不確定度的評價測量結果好壞，只能看相對不確定度的大小大小%100)(xxuEcv單純從單純從 、 不能衡量測量結果好壞不能衡量測量結果好壞gm2011cu2cu%10%100111muEc%25. 0%100222muEc2m的測量質量較好。的測量質量較好。 例：例：guc21gm20002guc52v可從可從E求求 ：cuExuc評價測量結果，有時用評價測量結果，有時用百分偏差百分偏差表示表示%100公公xxxBB：規(guī)定取：規(guī)定取2位有效位數(shù)、不帶單位、百分數(shù)。位有效位數(shù)、不帶單位、百分數(shù)。表示測量值偏離公認值的程度，表示測量值偏離公認值的程度，B越小，越小，測量的準確

45、度越高。測量的準確度越高。：已知的準確度較高的公認值，如：已知的準確度較高的公認值，如公x成都g3.3.各種測量結果的估計方法單次測量單次測量v有些測量較準確，隨機效應影響很小或最終結果中有些測量較準確，隨機效應影響很小或最終結果中該物理量影響較小，上述情況只需進行單次測量，該物理量影響較小，上述情況只需進行單次測量，以儀器誤差作為測量的不確定度以儀器誤差作為測量的不確定度例：用例：用20分度的游標卡尺單次測量某物的長分度的游標卡尺單次測量某物的長L，測量，測量值為值為3.750cm。此單次測量的結果應寫為：。此單次測量的結果應寫為：L=（3.7500.005）cm 儀測 xx0 xS單位單位

46、多次直接測量多次直接測量v計算近真值計算近真值 ：v xniixnx11中間過程可多保留一位中間過程可多保留一位A類不確定度：類不確定度： ) 1()()(12nnxxxSnii可簡寫為可簡寫為 xsvB類不確定度：類不確定度：v標準不確定度：標準不確定度：v測量結果的表達式：測量結果的表達式： 儀)(xu可簡寫為可簡寫為 Bu22)(BAcusxu可簡寫為可簡寫為 22Bxxusunxux10)(單位單位 例子例子v例例1 用毫米刻度的米尺，測某物體長度用毫米刻度的米尺，測某物體長度5次，其測次，其測量值分別為：量值分別為：L（cm）=53.27，53.23，53.29，53.24，53.2

47、1，試計算合成不確定度，并寫出測量，試計算合成不確定度，并寫出測量結果。結果。v解：解：計算計算 計算計算A類不確定度類不確定度L5125.5351iiLL01. 04504. 001. 004. 002. 002. 0) 15(5)(2222251iiLxxS 計算計算B類不確定度類不確定度 標準不確定度標準不確定度 測量結果測量結果 L=（53.250.05）cm 例例2 書書P19例子例子cmuB05. 0儀05. 0005. 0001. 02222BLLuSu間接測量間接測量v函數(shù)關系函數(shù)關系 N=F（x，y，z） 其中其中x，y，z為已測得的數(shù)據為已測得的數(shù)據v間接測量的間接測量的

48、與與 由直接測量結果通過函數(shù)式由直接測量結果通過函數(shù)式計算出來計算出來v計算并寫出各直接測定量的測量結果計算并寫出各直接測定量的測量結果v計算間接測量的近真值計算間接測量的近真值) y (， zxFN xuxxyuyyzuzzNcuv間接測量的標準不確定度間接測量的標準不確定度 上式為不確定度的傳播公式，各直接測量的上式為不確定度的傳播公式，各直接測量的u乘函數(shù)對各自變量的偏導，再求方和根。乘函數(shù)對各自變量的偏導，再求方和根。v注意：注意：最基本式子，可計算所有最基本式子，可計算所有 ,方和根形方和根形式式v偏導數(shù)的求法偏導數(shù)的求法 ：例例Nu322zxyN 322zyxN34zxyyN426

49、zxyzN222zyxNuzFuyFuxFuv當函數(shù)式為積商（或含和差的積商形式）或當函數(shù)式為積商（或含和差的積商形式）或較復雜的函數(shù)，為運算方便，也較復雜的函數(shù)，為運算方便，也可先求相對可先求相對不確定度不確定度v測量結果：測量結果： 單位單位NENNENuNuNN222lnlnlnzyxNuzFuyFuxFE例子例子v例例1 已知電阻已知電阻 ， ，求它們的串聯(lián)電阻求它們的串聯(lián)電阻R及合成不確定度及合成不確定度v解：解： 5 . 02 .501R5 . 08 .1492RRu0 .2008 .1492 .5021RRR11RR12RR7 . 05 . 05 . 0222221RRRuuuR

50、=（200.00.7） 00mmm已知已知 m=（27.060.02）g m0=（17.030.02）g 0=（0.99970.0003）g/cm3 利用下列函數(shù)關系求利用下列函數(shù)關系求的測量結果的測量結果 。 300/697. 29997. 003.1706.2706.27cmgmmm 0020002000,mmmmmmmmmmm 2002002ccccumummumu 2020022000mummmmummmcc =（2.6970.006） g/cm3 32222/006. 003.1706.2702. 09997. 006.2703.1706.2702. 09997. 003.17cmg

51、v例例3 用物距象距法求凸透鏡的焦距用物距象距法求凸透鏡的焦距 已知：已知： 求：求： 解：解： 若用傳播基本公式，數(shù)學計算相當復雜，先對若用傳播基本公式，數(shù)學計算相當復雜，先對函數(shù)取自然對數(shù)函數(shù)取自然對數(shù)cm05. 012.40cmv06. 007.68?fufcmvvf24.2507.6812.4007.6812.40)ln(lnlnlnvvf)(11lnvvvf)(11lnvvvvvfcmEfuff02. 0105 . 824.254cmf)02. 024.25(42222105 . 8)()(lnlnvvfuvvuvvuvfufE復現(xiàn)性測量復現(xiàn)性測量v復現(xiàn)性測量：復現(xiàn)性測量：改變測量條

52、件所做的多次測量改變測量條件所做的多次測量 例：已測得同一電阻兩端施加不同電壓例：已測得同一電阻兩端施加不同電壓U 時產時產生的電流生的電流 I ，求電阻的阻值，求電阻的阻值R （R = U / I）。 可求各次測量對應的可求各次測量對應的 ，再求，再求 。v復現(xiàn)性測量是改變測量條件做的多次測量，其復現(xiàn)性測量是改變測量條件做的多次測量，其A類不確定度已經包含某些未定系統(tǒng)誤差類不確定度已經包含某些未定系統(tǒng)誤差v測量結果測量結果iR )(RSRRRv注意：注意：復現(xiàn)性測量不須考慮復現(xiàn)性測量不須考慮v如復擺為復現(xiàn)性測量如復擺為復現(xiàn)性測量 BuLTg224)(2smsggg 例子例子 例：用伏安法測電

53、阻，得出以下數(shù)據，求測量結果例：用伏安法測電阻，得出以下數(shù)據，求測量結果次數(shù)次數(shù)1 12 23 34 4V V（v v）1.501.502.002.002.502.503.003.00I I（A A）0.1560.1560.1980.1980.2440.2440.3110.311計算計算R R值：值：R R1 1= R= R2 2= = R R3 3= R= R4 4= =629156050111.IV1010198000222.IV2510244050233.IV659311000344.IV近真值：近真值： = 9.91= 9.91A A類不確定度：類不確定度： S SR R = 0.2

54、= 0.2測量結果：測量結果： R=(9.9R=(9.90.2)0.2)65. 925.1010.1062. 9(41R34)91. 965. 9 ()91. 925.10()91. 910.10()91. 962. 9 (2222各種實際測量中各種實際測量中不確定度的計算或估算不確定度的計算或估算v單次直接測量：只估算單次直接測量：只估算B類不確定度類不確定度v多次直接測量：多次直接測量： u按照合成不確定度計算按照合成不確定度計算v間接測量：通過計算解析式的全微分方和間接測量：通過計算解析式的全微分方和根求得根求得 v復現(xiàn)性測量：只算復現(xiàn)性測量：只算A類不確定度類不確定度四四. .常用數(shù)據

55、處理方法常用數(shù)據處理方法v物理實驗中常用的數(shù)據處理方法有：列表法、作物理實驗中常用的數(shù)據處理方法有：列表法、作圖法、圖解法、最小二乘法等。見圖法、圖解法、最小二乘法等。見P26v列表法：列表法： 要求：要把原始數(shù)據和必要的中間運算過程的結要求：要把原始數(shù)據和必要的中間運算過程的結果列入表中；果列入表中； 必須標明每個符號所代表的物理意義，并寫明單必須標明每個符號所代表的物理意義，并寫明單位；位； 表中的數(shù)據要正確的反映測量結果的有效數(shù)字表中的數(shù)據要正確的反映測量結果的有效數(shù)字v作圖法：作圖法： 作圖規(guī)則：作圖一定用坐標紙，測量數(shù)據作圖規(guī)則：作圖一定用坐標紙，測量數(shù)據中的可靠數(shù)字在圖上也應是可靠

56、的，即圖紙中的可靠數(shù)字在圖上也應是可靠的，即圖紙上一小格對應數(shù)據中可靠數(shù)字的最后一位，上一小格對應數(shù)據中可靠數(shù)字的最后一位，而誤差位在小格之間估計。而誤差位在小格之間估計。 標明坐標軸和圖名標明坐標軸和圖名 標點標點 連線：光滑，連線：光滑，注意剔除注意剔除“壞點壞點”v用數(shù)學表達式來描述一種物理現(xiàn)象，是最為用數(shù)學表達式來描述一種物理現(xiàn)象，是最為精確和簡明的方式。獲得經驗公式的方法很精確和簡明的方式。獲得經驗公式的方法很多，常用以下兩種：多，常用以下兩種：v圖解法：圖解法：直觀簡便、但主觀隨意性較大直觀簡便、但主觀隨意性較大v線性回歸線性回歸最小二乘法及其相關系數(shù)最小二乘法及其相關系數(shù) r 定義：由數(shù)理統(tǒng)計的方法處理數(shù)據，通過計定義：由數(shù)理統(tǒng)計的方法處理數(shù)據，通過計算確定其函數(shù)關系的方法。算確定其函數(shù)關系的方法。 是較準確的計算方法，介紹用最小二乘法是較準確的計算方法，介紹用最小二乘法進行一元線形回歸。進行一元線形回歸。圖解法圖解法 實驗曲線作出后，可由曲