數(shù)值積分課件(《計(jì)算方法》)

1、數(shù)值計(jì)算方法2022-7-41第7章 數(shù)值積分 l1 插值型求積公式插值型求積公式 l2 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式l3 龍貝格龍貝格(Romberg)求積方求積方法法數(shù)值計(jì)算方法2022-7-42 1 插值型求積公式插值型求積公式 l在一元函數(shù)的積分學(xué)中,我們已經(jīng)熟知,若函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x) ,則可用牛頓萊布尼茲公式 ( )( )( )baf xF bF a(71)來(lái)求定積分。數(shù)值計(jì)算方法2022-7-43 公式(71)雖然在理論上或在解決實(shí)際問(wèn)題中都起了很大的作用,但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問(wèn)題。因?yàn)槎ǚe分的計(jì)算常常會(huì)碰到以下三種情況:l (1)被積函數(shù)f

2、(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡(jiǎn)單的函數(shù),例如 2sin1, , lnxxexx其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。數(shù)值計(jì)算方法2022-7-44l (2)被積函數(shù)f(x)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無(wú)法求出原函數(shù)。 41badxx 其被積函數(shù) 的原函數(shù)就比較復(fù)雜,從數(shù)值計(jì)算角度來(lái)看,計(jì)算量太大。411xl(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜。例如定積分 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-45 圖 7.1 l 如圖7.1,若用左矩形近似地代替曲邊梯形,則得到左矩形公式 (72)( )() ( )baf x dxb a f a數(shù)值計(jì)算方法2022

3、-7-46l同樣可得到右矩形公式：( )() ( )baf x dxba f b(73) 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-47圖 7.2l 如圖7.2,若用梯形的面積近似地代替曲邊梯形的面積,則得到計(jì)算定積分的梯形公式 ( ) ( )( )2babaf x dxf af b(74) 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-48l 如圖7.3,若用拋物線代替曲線f(x),則可得到拋物線公式(或辛普生公式)( ) ( )4 ()( )2babaabf x dxf aff bb(75) 圖7.3 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-49此外此外,眾所周知的眾所周知的梯形公式梯形公式:l I(f)(b-a)f(a)+f(b)/2和

4、和 Simpson公式公式:l I(f)(b-a)f(a)+4f(a+b)/2)+f(b)/6則分別可以看作用則分別可以看作用 a, b, c=(a+b)/2, 三點(diǎn)三點(diǎn)高度的加權(quán)平均值高度的加權(quán)平均值 f(a)+f(b)/2 和和 f(a)+4f(c)+f(b)/6作為作為平均高度平均高度f(wàn)()的近似值的近似值.數(shù)值計(jì)算方法2022-7-410 更一般地更一般地,取區(qū)間取區(qū)間a,b內(nèi)內(nèi)n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) xi,(i=0,1, 2,n) 處的高度處的高度f(wàn)(xi) (i=0,1,n)通過(guò)通過(guò)加權(quán)平均加權(quán)平均的方法的方法近似地得出平均高度近似地得出平均高度f(wàn)(),這類求積方法稱為這類求積方法稱為機(jī)械

5、求機(jī)械求積積:)()()(0ibaniixfabdxxf數(shù)值計(jì)算方法2022-7-411 或?qū)懗苫驅(qū)懗?數(shù)值積分公式數(shù)值積分公式求積系數(shù)求積系數(shù) 求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn) )()(0kbankkxfAdxxf(1)數(shù)值計(jì)算方法2022-7-412記記)2()()(0knkknxfAfI)3(, )()()()()(0bankkknxfAdxxffIfIfR稱稱(2)為數(shù)值求積公式為數(shù)值求積公式,(3)為求積公式余項(xiàng)為求積公式余項(xiàng)(誤差誤差). 構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論解決的問(wèn)構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論解決的問(wèn)題有題有(i) 確定求積系數(shù)確定求積系數(shù)Ak和求積節(jié)點(diǎn)和求積節(jié)點(diǎn)xk ；(ii)求積

6、公式的誤差估計(jì)和收斂性求積公式的誤差估計(jì)和收斂性 為了構(gòu)造形如式為了構(gòu)造形如式(2)的求積公式的求積公式,需要提供一需要提供一種種判定求積方法精度高低準(zhǔn)則判定求積方法精度高低準(zhǔn)則數(shù)值計(jì)算方法2022-7-413求積公式的代數(shù)精度求積公式的代數(shù)精度定義定義1 稱求積公式稱求積公式(2)具有具有m次次代數(shù)精度代數(shù)精度,如果它滿如果它滿足如下兩個(gè)條件足如下兩個(gè)條件: (i)對(duì)所有次數(shù)對(duì)所有次數(shù) m次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式 ,有有 (ii)存在存在m+1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 ,使得使得)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR)(1xPm0)()()(111mnmmPIPIPR定義定義1中的條件中的條件(i

7、),(ii)等價(jià)于等價(jià)于:0)()()0(, 0)()()()(1mknkkxRiimkxIxIxRi數(shù)值計(jì)算方法2022-7-414插值型求積公式插值型求積公式 在積分區(qū)間在積分區(qū)間a,b 上上取取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)xi，i=0,1,2,n,作作f(x)的的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式次代數(shù)插值多項(xiàng)式（拉格朗（拉格朗日插值公式）日插值公式）:則有則有 為插值余項(xiàng)為插值余項(xiàng)于是有于是有njjjnxfxlxL0)()()()()()(xRxLxfnn)()!1()()(1)1(xwnfxRnn數(shù)值計(jì)算方法2022-7-415取取稱稱(4)式為插值型求積公式式為插值型求積公式,其中其中求積系數(shù)求積系數(shù)Ak由

8、由(5) 式確定式確定. bajnjbajbanbanbadxxRxfdxxldxxRdxxLdxxf)()()()()()(0(4)(5) babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak0()()nbikaikiikxxAdxxx由由 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 決定，決定，與與 f(x) 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。數(shù)值計(jì)算方法2022-7-416數(shù)值計(jì)算方法2022-7-417推論推論1 求積系數(shù)滿足求積系數(shù)滿足:0(1)0 ( )() ( )( )()()(1)!nbbkknaaknnbxkakR ff x dxA f xf xLx dxfxxdxn誤誤 差差定理定理1 形如形如 的求積公式至少有的求積公式至少

9、有 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 該該公式為公式為插值型插值型（即：（即： ） nkkkxfA0)( bakkdxxlA)(abAnjj0數(shù)值計(jì)算方法2022-7-418l 現(xiàn)用第六章介紹的插值多項(xiàng)式Pn(x)來(lái)代替被積函數(shù)f(x),即有 1.1 1.1 牛頓牛頓柯特斯公式柯特斯公式(NewtonCotes)(NewtonCotes) ( )( )bbaaf x dxx dx( )( )bbnaaf x dxP x dx取節(jié)點(diǎn)為等距,即 a=x0 x1xn=b l 建立數(shù)值積分公式最基本的思想是選取一個(gè)既簡(jiǎn)單又有足夠精度的函數(shù)(x), 用(x)代替被積函數(shù)f(x),于是有 數(shù)值計(jì)算方法2022-7

10、-419l 利用拉格朗日插值多項(xiàng)式10,0,1,2,10,1,2,kkibahxx knnxxihin( )( )( )nnf xpxRx(76) 其中 000(1)1( )( )()( )( )( )( , )(1)!nnnkniiiiikikk innnxxP xl x yyxxfR xxa bn (77) 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-420l 這里yi=f(xi),對(duì)式(76)兩邊積分得 (1)1000( )( )( )1( )( )(1)!( )bbbnnaaannbbnkinaaikikk iniinif x dxpx dxR x dxxxdx yfx dxxxna yRf 數(shù)值計(jì)算方

11、法2022-7-421為牛頓牛頓柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)(Newton-Cotes)求積公式求積公式,Rn(f)為牛頓柯特斯求積公式的余項(xiàng)。0(1)1 7-81( )( )( ) 7-9(1)!nbkiakikk ibnnnaxxadxxxRffx dxn （）（）我們稱 0( ) 7-10nbiiaif x dxa y（）數(shù)值計(jì)算方法2022-7-422( )000()nnbnnkiiakkikk ik ixxbaskadxdsba cxxnik令 x=x0+sh , 0sn dx=hds=(b-a)/nds(711) 0,1,2,in()00001(1)()!()!nnni

12、kkininnkkiskCdsniksk dsinin數(shù)值計(jì)算方法2022-7-423(1)12(1)00( )( )( )(1)!( )(),( , )(1)!nbnannnnjfR fwx dxnhfsj dsa bnNewton-Cotes公式的誤差為公式的誤差為:與與x有關(guān)有關(guān)注意注意:由由(7-11)式確定的式確定的Cotes系數(shù)只與系數(shù)只與i和和n有關(guān)有關(guān),與與f(x)和積分區(qū)間和積分區(qū)間a,b無(wú)關(guān)無(wú)關(guān),且且滿足滿足:( )01nniiC(7-9)數(shù)值計(jì)算方法2022-7-424l 稱Ci(n)為柯特斯求積系數(shù)。很顯然,當(dāng)n=1時(shí),可算得1(1)001(1)101(1)212Csd

13、sCsds 此時(shí)式(710)為 ( ) ( )( )2babaf x dxf af b(712) 這是梯形公式梯形公式。數(shù)值計(jì)算方法2022-7-425 l 當(dāng)n=2時(shí),可得2(2)002(2)102(2)2011(1)(2)4614(2)2611(1)46CssdsCs sdsCs sds 于是 ( ) ( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b(713) 這是拋物線拋物線(Simpson)公式公式。數(shù)值計(jì)算方法2022-7-426l 當(dāng)n=3時(shí),3(3)003(3)103(3)203(3)3011(1)(2)(3)18813(2)(3)6813(1)(3)6811(1)

14、(2)188CsssdsCs ssdsCs ssdsCs ssds 代入(710)式得到求積公式 0123( ) ( ) 3 ( ) 3 ( )( ) 7-148bab af x dxf xf xf xf x（）數(shù)值計(jì)算方法2022-7-427類似地可分別求出n=4,5,時(shí)的柯特斯系數(shù),從而建立相應(yīng)的求積公式。具體結(jié)果見(jiàn)表71。 l 從表中可以看出,當(dāng)n7時(shí),柯特斯系數(shù)為正;從n8開(kāi)始,柯特斯系數(shù)有正有負(fù)。因此,當(dāng)n8時(shí),誤差有可能傳播擴(kuò)大,牛頓 柯特斯求積公式不宜采用。l 柯特斯系數(shù)Ci (n) 僅與n和i有關(guān),與被積函數(shù)f(x)無(wú)關(guān),且滿足 ( )01nniiC(715) 事實(shí)上,式(71

15、0)對(duì)f(x)=1是準(zhǔn)確成立的。數(shù)值計(jì)算方法2022-7-428 表 71 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-429l 定理定理 當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), Newton-Cotes公式公式(8)至少具有至少具有n+1次代數(shù)精度次代數(shù)精度.證明證明 只需驗(yàn)證當(dāng)只需驗(yàn)證當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式公式對(duì)對(duì)f(x)=xn+1的余項(xiàng)為零的余項(xiàng)為零.由于由于f(x)=xn+1,所以所以f(n+1)(x)=(n+1)! .由式由式(7-9)得得 nnjndtjthfR002)()(引進(jìn)變換引進(jìn)變換t=u+n/2,因?yàn)橐驗(yàn)閚為偶數(shù)為偶數(shù),故故n/2為整數(shù)為整數(shù),于是有于是有 2202)

16、2()(nnnjndujnuhfR據(jù)此可斷定據(jù)此可斷定R(f)=0,因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù)因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù).數(shù)值計(jì)算方法2022-7-430Newton-Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性公式的數(shù)值穩(wěn)定性 現(xiàn)在討論現(xiàn)在討論舍入誤差舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響.設(shè)設(shè)用公式用公式 近似計(jì)算積分近似計(jì)算積分 時(shí)時(shí),其中計(jì)算函數(shù)值其中計(jì)算函數(shù)值f(xj)有誤差有誤差j (j=0,1,2,n).設(shè)設(shè)計(jì)算計(jì)算Cj(n)沒(méi)有誤差沒(méi)有誤差,中間計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差也中間計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差也不考慮不考慮,則在式則在式(10 )的計(jì)算中的計(jì)算中,由由j引起的誤差為引起的誤差為njjnj

17、nxfCabfI0)()()()(badxxffI)()(10)數(shù)值計(jì)算方法2022-7-431njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()()()()()(如果如果Cj(n)都是正數(shù)都是正數(shù),并設(shè)并設(shè)|max0jnj)(|)(|0)(abCabenjnjn故故en是有界的是有界的,即由即由j引起的誤差受到控制引起的誤差受到控制,不超過(guò)不超過(guò)的的(b-a)倍倍,保證了保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性.而當(dāng)而當(dāng)n7時(shí)時(shí),Cj(n)將出現(xiàn)將出現(xiàn)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù),njnjC0)(|保證數(shù)值穩(wěn)定性保證數(shù)值穩(wěn)定性. 因此高階公式不宜采用因此高階公式不宜采用,有實(shí)用有實(shí)

18、用價(jià)值的僅僅是幾種價(jià)值的僅僅是幾種低階的求積公式低階的求積公式.將隨將隨n增大增大,因而因而不能不能則有則有數(shù)值計(jì)算方法2022-7-432解解 利用梯形公式10.5xdx10.510.5(0.51)20.4267767xdx利用拋物線公式10.510.5(0.540.751)60.43093403xdx例1 試分別用梯形公式和拋物線公式計(jì)算積分:原積分的準(zhǔn)確值 31120.50.520.430964413xdxx數(shù)值計(jì)算方法2022-7-433l 現(xiàn)對(duì)牛頓柯特斯求積公式所產(chǎn)生的誤差作一個(gè)分析。由式(79),牛頓柯特斯求積公式的余項(xiàng)為 (1)11( )( )( )(1)!bnnnaRffx d

19、xn 1.2 1.2 誤差估計(jì)誤差估計(jì)l 易知,牛頓柯特斯求積公式(710)對(duì)任何不高于n次的多項(xiàng)式多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的。這是因?yàn)?f(n+1)()0 故 Rn(f)0數(shù)值計(jì)算方法2022-7-434l 牛頓牛頓柯特斯求積公式的代數(shù)精確度至少為柯特斯求積公式的代數(shù)精確度至少為n n。通常在基點(diǎn)個(gè)數(shù)相等的情況下,代數(shù)精確度愈高,求積公式就愈精確。l 一般說(shuō)來(lái),若某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立(即Rn(f)0),而對(duì)于某一次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立,則稱這一求積公式的代數(shù)精確度代數(shù)精確度為m。l 定理定理1 (梯形公式的誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間a, b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形

20、求積公式的誤差為31()( )( ),( , ) 7-1612b aR ffa b （）數(shù)值計(jì)算方法2022-7-435由于 1(x)=(x-a)(x-b)11( )( )()()2baRffxa xb dx證 由式(79)知,梯形公式的余項(xiàng)為 l 1(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)不變號(hào),f()是x的函數(shù)且在a,b上連續(xù),故根據(jù)積分第二中值定理知,存在某一(a, b)使131( )( )()()21()( )12baRffxaxb dxbaf 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-436l 定理定理2 2 (拋物線公式的誤差)設(shè)f(x)在a, b上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),則拋物線公式的誤差為(717) 5(4)2(

21、)( )( ),( , )2880baRffa b 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-437(1)(1)0111,22CCn = 1:)()(2)(bfafabdxxfba Trapezoidal RuledxbxaxffRbax)(!2)( /* 令令 x = a+th, h = b a, 用中用中值定理值定理 */1, , )(1213abhbafh 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba Simpsons Rule代數(shù)精度代數(shù)精度 = 32,),(,)(901)4(5abhbafhfR n = 4:

22、 Cotes Rule, 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5,)(9458)6(7 fhfR 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-438復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象, ,高階高階Newton-Cotes公式會(huì)出現(xiàn)公式會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定數(shù)值不穩(wěn)定, ,低階低階Newton-Cotes公式有時(shí)又不能滿足精度公式有時(shí)又不能滿足精度要求要求. .解決這個(gè)矛盾的辦法是將積分區(qū)間解決這個(gè)矛盾的辦法是將積分區(qū)間 a, ,b 分成若干小區(qū)間分成若干小區(qū)間, ,在每個(gè)小區(qū)間上在每個(gè)小區(qū)間上用低階求積公式計(jì)算用低階求積公式計(jì)算, ,然后將它們加起來(lái)然后將它們加起來(lái), ,這就是這就是復(fù)合求積方法復(fù)合求

23、積方法. .數(shù)值計(jì)算方法2022-7-4392 復(fù)合求積公式 l 2.1 復(fù)合梯形公式 對(duì)于定積分(71),將積分區(qū)間a, b分成n個(gè)相等的子區(qū)間xi,x i+1,這里步長(zhǎng)1, 0,1,1iibahxxinn在每一個(gè)子區(qū)間 xi,x i+1 上使用梯形公式,則 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-440 復(fù)化梯形公式積分法復(fù)化梯形公式積分法數(shù)值計(jì)算方法2022-7-441相加后得 1311( ) ( )()( )212( ,)iixiiixiiihhf x dxf xf xfx x(718) 110311100( )( ) ( )()( )212iinbxaxinniiiiif x dxf x dxhh

24、f xf xf(719) 若f(x)在a,b上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在某一(a,b)使得10( )()niiffn數(shù)值計(jì)算方法2022-7-442因而 331032( )()1212()()12niihnhffbafn 于是得到復(fù)合梯形公式 1013( )12( ) ()()2()2()( )( )12nbniainhf x dxf xf xf xbaRffn (721)其余項(xiàng)為 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-443例2 若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分 10 xe dx3()12()()( )12nbaRffn 則 當(dāng)0 x1時(shí),有 因?yàn)?又 解 由余項(xiàng)(721)式( )12( )( )( ),

25、 1, ( )( )12xnf xf xfxeb afxeeRfn 問(wèn)積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字?數(shù)值計(jì)算方法2022-7-444l 由于原積分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此要使近似積分值有五位有效數(shù)字,只需取n滿足 4224110122610enne 兩邊取對(duì)數(shù)得 整理后得到 lg2lg4lg4lglglg1.82662bneebn0811.67n 取 n=68.數(shù)值計(jì)算方法2022-7-445l 類似復(fù)合梯形公式的做法,把區(qū)間a,b分成n個(gè)相等的子區(qū)間x2i,x2i+2(i=0,1,n-1),設(shè)每個(gè)子區(qū)間上的中點(diǎn)為x2i+1(i=0,1,n-1),且 1,0,1,212iibah

26、xx inn2225(4)22122222( ) ()4 ()()( ),390(,)iixiiiixiiihhf x dxf xf xf xfxx(722) 2.2 復(fù)合拋物線公式l 在每一個(gè)子區(qū)間 x2i ,x2i+2 上利用拋物線公式得數(shù)值計(jì)算方法2022-7-446 復(fù)化復(fù)化Simpson公式積分法公式積分法數(shù)值計(jì)算方法2022-7-447l相加后得 22210511(4)2212200( )( ) ()4 ()()( )390iinbxaxinniiiiiif x dxf x dxhhf xf xf xf(723) 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-448l 若f(4)(x)在a, b上連續(xù)

27、,則5551(4)(4)(4)40()( )( )( ), 90902880 ( , )niiihnhbafffna b 從而得到復(fù)合拋物線公式 1202212200( ) ()()4()2()3nnbniiaiihf x dxf xf xf xf x(724) l 其余項(xiàng)為 5( )(4)24()( )( )2880nbaRffn (725)數(shù)值計(jì)算方法2022-7-449 圖 7.4 復(fù)合拋物線公式框圖數(shù)值計(jì)算方法2022-7-450sin( )xfxx的數(shù)據(jù)表,分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式計(jì)算 10sinxIdxxl 例3 已知函數(shù) x f (x)0 11/8 0.99739782

28、/8 0.98961583/8 0.97672674/8 0.95885105/8 0.93615566/8 0.90885167/8 0.87719251 0.8414709 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-451l 解 用復(fù)合梯形公式,這里10.1258h 10sin0.125 (0)2 (0.125)(0.25)2(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)0.94569086xdxfffxffff數(shù)值計(jì)算方法2022-7-452l 用復(fù)合拋物線公式可得10sin0.125 (0)4 (0.125)(0.375)3(0.625)(0.875)2 (0.25)(0.5)(0.75)(1)0

29、.946083305xdxfffxffffff 比較上面兩個(gè)結(jié)果比較上面兩個(gè)結(jié)果T8和和S4,它們都需要提供它們都需要提供9個(gè)個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值工作量基本相同點(diǎn)上的函數(shù)值工作量基本相同,然而精度卻差別很大然而精度卻差別很大. 同積分的同積分的準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值I(f)=0.9460831比較比較,復(fù)化梯形法復(fù)化梯形法的結(jié)果的結(jié)果T8=0.9456909只有只有兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字, 而復(fù)化而復(fù)化Simpson法的結(jié)果法的結(jié)果S4=0.9460832卻有卻有六位有效數(shù)字六位有效數(shù)字.數(shù)值計(jì)算方法2022-7-453 復(fù)化梯形公式：復(fù)化梯形公式：,(0,., )ibahxaihinn在每個(gè)在每個(gè) 上用梯

30、形公式：上用梯形公式：,1iixx111( ) ( )(),0,.,12iixiiiixxxf x dxf xf xin11( )2()( )2nkihf af xf b110( ) ( )()2nbiiaihf x dxf xf x= Tn1321002() ()()1212()( ),( , )12niniiifhhR ffbanhba fa b /*中值定理中值定理*/數(shù)值計(jì)算方法2022-7-454,(0,1,.,2 )2jbahxaj hjnn222121( ) ()4 ()()3njjjjhI ff xf xf x22jx21jx2 jx222121( ) ()4 ()()3nnj

31、jjjhSff xf xf x 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式：公式：121211( ) ( )4()2()( )3nnbjjajjhf x dxf af xf xf b數(shù)值計(jì)算方法2022-7-4552.3 變步長(zhǎng)公式l 前面介紹的復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式的步長(zhǎng)都是預(yù)先確定的。它的主要缺點(diǎn)是事先很難估計(jì)出n的大小(或步長(zhǎng)h的大小),使結(jié)果達(dá)到預(yù)先給定的精度。在實(shí)際計(jì)算中,我們常常借助于計(jì)算機(jī)來(lái)完成積分步長(zhǎng)h的自動(dòng)選擇,即采用變步長(zhǎng)求積公式。具體地講,就是將步長(zhǎng)逐次折半,反復(fù)利用復(fù)合求積公式,直到滿足精度要求為止。 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-456l 下面介紹變步長(zhǎng)復(fù)合拋物線公式(變步長(zhǎng)復(fù)

32、合梯形公式留給讀者作為練習(xí))。 121221220 ()4 ()()3mmmkkkkhSf xf xf x(726) 其中 2mmbah再把每個(gè)子區(qū)間分成兩半,用 21122mmmbahh 逐次將區(qū)間a,b分成2,4,2m等分,并按復(fù)合拋物線公式逐次計(jì)算積分得到S1,S2,Sm,而數(shù)值計(jì)算方法2022-7-457 作步長(zhǎng),按復(fù)合拋物線公式計(jì)算出積分的近似值S2m。對(duì)于相鄰兩次的積分近似值Sm、S2m,考察 222mmmmmSSdSSS當(dāng)S2m1 當(dāng)S2m1 (727) 設(shè)預(yù)先給定的精度為,若 d 則以S2m作為所要求的積分近似值,否則繼續(xù)將區(qū)間分半,利用復(fù)合拋物線公式求積分,直到滿足預(yù)給的精度

33、為止。數(shù)值計(jì)算方法2022-7-458 圖 7.5 變步長(zhǎng)復(fù)合拋物線公式數(shù)值計(jì)算方法2022-7-459 圖7.5 變步長(zhǎng)復(fù)合拋物線公式數(shù)值計(jì)算方法2022-7-4603 龍貝格(Romberg)積分方法 l我們已經(jīng)知道,當(dāng)被積函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)時(shí),要使得復(fù)合梯形公式或復(fù)合拋物線公式比較精確地代替定積分( )baf x dxl可將分點(diǎn)(即基點(diǎn))加密,也就是將區(qū)間a,b細(xì)分,然后利用復(fù)合梯形公式或復(fù)合拋物線公式求積。數(shù)值計(jì)算方法2022-7-461l若用Tm表示把a(bǔ),b作m等分并按復(fù)合梯形公式求積的結(jié)果,將每一小段再對(duì)分,令新的小段的長(zhǎng)h=h/2,則T2m與Tm之間有如下關(guān)系: 21

34、12(21) mmmkTThf akh(528) 其中 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-462l 另外,若用Sm表示把a(bǔ),b分成m(偶數(shù))個(gè)小段按復(fù)合拋物線公式計(jì)算的結(jié)果,那么只要把Sm中的m改為2m,h改為h就有20122221201222212024222(4224)3(244442)3(222)3MmmmmmmmmhSffffffhffffffhfffff 從Tm的定義可得到關(guān)系式 22441mmmTTS(529) 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-463l我們?cè)倥e一個(gè)計(jì)算上半單位圓面積的例子(它的準(zhǔn)確面積為/2)?，F(xiàn)用內(nèi)接正多邊形的逼近方法來(lái)計(jì)算。 l如圖5.6,圖(a) 、 圖(b)是用同樣的內(nèi)接

35、正多邊形計(jì)算上半單位圓的面積。圖(a)是用梯形方法計(jì)算其面積,圖(b)是用三角形方法計(jì)算其面積。 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-464 圖 5.6 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-465l 設(shè)正多邊形邊數(shù)為n=2k,則由圖(b)利用三角形公式算得面積為 ( )201235111133524(1)350112sincossin2sin242112()()23! 25! 222()()23!25!222()()23!25!2kkkkkkkkkkkkkkkknnTnnnT同理 數(shù)值計(jì)算方法2022-7-466l 如果組合一下,就會(huì)得到更精確的結(jié)果,即 (1)( )( )00154441225!(2 )kkkk

36、TTT同理 (2)(1)(1)00151 4441225!(2)kkkkTTT數(shù)值計(jì)算方法2022-7-467l 再以類似方法組合得 2(1)( )( )11164411()2(2 )kkkkTTTO 這樣繼續(xù)下去,其值越來(lái)越接近上半單位圓面積/2。這種方法可以用到計(jì)算定積分 ( )baf x dx數(shù)值計(jì)算方法2022-7-468l 為了推廣公式(529)和上述計(jì)算上半單位圓面積的組合方法,我們引進(jìn)龍貝格求積算法。l 龍貝格求積算法本來(lái)是利用所謂外推法構(gòu)造出的一種計(jì)算積分的方法。為了避免從外推引入而帶來(lái)理論上的麻煩,我們將直接從構(gòu)造一個(gè)T數(shù)表開(kāi)始。l 首先將a,b依次作20,21,22,等分,

37、記,0,1,2,2iibahi數(shù)值計(jì)算方法2022-7-469l 按復(fù)合梯形公式(520)算得的值相應(yīng)地記為T(k)0(k=0,1,2,);把按式(529)算得的S2m依次記為T(k)1(k=0,1,2,崐),而這每一個(gè)S2m又理解為由T2m與Tm的線性組合得到的改進(jìn)值,即(1)( )( )0014,0,1,2,41kkkTTTk 我們可按照類似的方法繼續(xù)進(jìn)行改進(jìn),也即由S2m與Sm的線性組合得到改進(jìn)值,依次記為T(k)2(k=0,1,2,),即 2(1)( )( )10224,0,1,2,41kkkTTTk數(shù)值計(jì)算方法2022-7-470l 這樣就可構(gòu)造出一個(gè)數(shù)表 (5-30)數(shù)值計(jì)算方法2022-7-471l 其中除第0列(即最左一列)的T(k)0是按復(fù)合梯形公式計(jì)算外,其余各列都按下述規(guī)則(對(duì)m) (1)( )( )111,2