注冊(cè)設(shè)備工程師公共基礎(chǔ)講義 空間解析幾何

1、空間解析幾何 一、向量代數(shù)一、向量代數(shù)二、空間解析幾何二、空間解析幾何1 1、向量的概念、向量的概念定義定義: :既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量. .相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相同方向相同負(fù)向量負(fù)向量:大小相同大小相同,方向相反方向相反向徑向徑: :起點(diǎn)為原點(diǎn)起點(diǎn)為原點(diǎn)零向量零向量:模為模為0的向量的向量,方向不固定方向不固定向量的模向量的模:向量的長(zhǎng)度向量的長(zhǎng)度(大小大小)單位向量單位向量:模為模為1的向量的向量一、向量代數(shù)一、向量代數(shù)（2）向量的分解式：）向量的分解式：,zyxaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxa

2、aazyxkajaiaazyx在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：kajaiazyx,（3）向量的坐標(biāo)表示式：）向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：zyxaaa,2 2、向量的表示法、向量的表示法（1）有向線段）有向線段 (模和方向模和方向余弦余弦）(1)加法：cba 3 3、向量的線性運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算dba ab(2)減法：cba dba (3)(3)向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘法：, 0)1( |aa , 0)2( 0 a , 0)3( |aa 線性運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式線性運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxb

3、abababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式)1coscoscos(222 4 4、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩

4、向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式aprjbbprjaba0baaaa2(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba定義：向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba 幾何意義：右圖三角形面積abba21S為非零向量, 則aa) 1 (0ba,)2(0baba運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (kbabajbabaibabaxyyxzxxz

5、yzzy)()()(向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba zyxzyxbbbaaakjiba bazzyyxxbababa0ba解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj 55510|22c|0ccc .5152 kj22343cos322)2(17例例3. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22c

6、os2bbaa17ba, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBAS ABC21kji222124)(21,4,622222)6(4211421ACAB求三x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o1 1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx二、空間解析幾何二、空間解析幾何 21221221221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式: :點(diǎn)到平面的距離公式：點(diǎn)到平面的距離公式：的距離為到平面點(diǎn)0),(0000DCzByAxzyxM222000CBADCzByAxd（

7、1 1）旋轉(zhuǎn)曲面）旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面一周所成的曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸. .2 2、曲面、曲面.),(對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)與與三三元元方方程程空空間間曲曲面面0zyxFS方程特點(diǎn)方程特點(diǎn): :0),()2(0),() 1 (00),(:2222yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線設(shè)有平面曲線設(shè)有平面曲線（2 2） 柱面柱面定義：定義：平行于定直線并沿定曲線平

8、行于定直線并沿定曲線C C移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線L L所形成的曲面所形成的曲面. .這條定曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫，動(dòng)直線叫柱面的柱面的母線母線. .從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征：zyx),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(3) 二次曲面二次曲面zqypx2222 橢圓拋物面( p , q 同號(hào)) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號(hào))zyx單葉雙曲面單葉雙曲面zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczb

9、yaxzxyo3 3、空間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF（1 1） 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx（2 2） 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程空間平面空間平面一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx4. 4. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zyx點(diǎn)0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A

10、= 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡(jiǎn),得所求平面方程03 zy為直線的方向向量.一般式對(duì)稱式參數(shù)式0022221111

11、DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點(diǎn); 解解: :先在直線上找一點(diǎn).043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji241312zyx與平面062zyx的交點(diǎn) . 提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 1t從而確定交點(diǎn)為（1，2，2）.tztytx2432t面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn ,1111111pzznyymxx