現(xiàn)金流量與時間價值

1、現(xiàn)金流量與時間價值2.1 現(xiàn)金流量一、現(xiàn)金流量的概念在進行工程經(jīng)濟分析時，可把所考察的對象視為一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)可以是一個工程項目、一個企業(yè)，也可以是一個地區(qū)、一個國家。而投入的資金、花費的成本、獲取的收入，均可看成是以貨幣形式體現(xiàn)的該系統(tǒng)的資金流出或資金流入。這種在考察對象一定時期各時點上實際發(fā)生的資金流出或資金流入，稱為現(xiàn)金流量，其中流出系統(tǒng)的資金稱為現(xiàn)金流出（CO），流入系統(tǒng)的資金稱為現(xiàn)金流入（CI），現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出之差稱之為凈現(xiàn)金流量（NCFNet Cash Flow）。工程經(jīng)濟分析的任務(wù)就是要根據(jù)所考察系統(tǒng)的預(yù)期目標(biāo)和所擁有的資源條件，分析該系統(tǒng)的現(xiàn)金流量情況，選擇合適的技術(shù)方案

2、，以獲得最佳的經(jīng)濟效果。現(xiàn)金流量的內(nèi)涵和構(gòu)成隨工程經(jīng)濟分析的范圍和經(jīng)濟評價方法的不同而不同。在對工程項目進行財務(wù)評價時，使用從項目的角度出發(fā)、按現(xiàn)行財稅制度和市場價格確定的財務(wù)現(xiàn)金流量，有關(guān)現(xiàn)金流量構(gòu)成參見第八章有關(guān)表格。在對工程項目進行國民經(jīng)濟評價時，使用從國民經(jīng)濟角度出發(fā)，按資源優(yōu)化配置原則和影子價格確定的國民經(jīng)濟效益費用流量。二、現(xiàn)金流量圖在工程經(jīng)濟的研究中往往要考察企業(yè)的某一項活動，例如，采購一部機器的經(jīng)濟效果如何。在這種情況下，為了便于考察，需要把該項活動用某種方法從整個企業(yè)中分離出來，正像在力學(xué)中畫出一個自由體的圖形一樣。例如為了考察采購一部機器的經(jīng)濟效果，就必須把有關(guān)這部機器的收

3、入和支出都計算出來，然后可以看出投資的回收情況。對于一個經(jīng)濟系統(tǒng)，其現(xiàn)金流量的流向（支出或收入）、數(shù)額和發(fā)生時點都不盡相同，為了正確地進行經(jīng)濟效果評價，我們有必要借助現(xiàn)金流量圖來進行分析。所謂現(xiàn)金流量圖就是一種反映經(jīng)濟系統(tǒng)資金運動狀態(tài)的圖式，即把經(jīng)濟系統(tǒng)的現(xiàn)金流量繪入一時間坐標(biāo)圖中，表示出各現(xiàn)金流入、流出與相應(yīng)時間的對應(yīng)關(guān)系，如圖2-1所示。圖2-1 現(xiàn)金流量圖現(xiàn)以圖2-1說明現(xiàn)金流量圖的作圖方法和規(guī)則：1、以橫軸為時間軸，向右延伸表示時間的延續(xù)，軸上每一刻度表示一個時間單位，可取年、半年、季或月等；零表示時間序列的起點。2、相對于時間坐標(biāo)的垂直箭頭線代表不同時點的現(xiàn)金流量，在橫軸上方的箭線表

4、示現(xiàn)金流入，即表示效益；在橫軸的下方的箭頭線表示現(xiàn)金流出，即表示費用或損失。3、現(xiàn)金流量的方向（流入與流出）是對特定的系統(tǒng)而言的。貸款方的流入就是借款方的流出；反之亦然。通常工程項目現(xiàn)金流量的方向是針對資金使用者的系統(tǒng)而言的。4、在現(xiàn)金流量圖中，箭頭線長短與現(xiàn)金流量數(shù)值大小本應(yīng)成比例。但由于經(jīng)濟系統(tǒng)中各時點現(xiàn)金流量的數(shù)額常常相差懸殊而無法成比例繪出，故在現(xiàn)金流量圖繪制中，箭頭線長短只是示意性地體現(xiàn)各時點現(xiàn)金流量數(shù)額的差異，并在各箭頭線上方（或下方）注明其現(xiàn)金流量的數(shù)值即可。5、箭頭線與時間軸的交點即為現(xiàn)金流量發(fā)生的時點。在考察不同投資方案的經(jīng)濟效果時，利用現(xiàn)金流量圖把各個方案的現(xiàn)金出入情況表示

5、出來，是一種很方便的方法。從上述可知，要正確繪制現(xiàn)金流量圖，必須把握好現(xiàn)金流量的三要素，即現(xiàn)金流量的大?。ㄙY金數(shù)額）、方向（資金流入或流出）和作用點（資金的發(fā)生時點）。2.2 資金的時間價值2.2.1 資金時間價值概念 從宏觀上看，時間與資金的關(guān)系致為密切，所謂經(jīng)濟效率就充分體現(xiàn)了這一辯證關(guān)系。一、研究資金時間價值的必要性既然我們通常用貨幣單位來計量工程的得失，我們在經(jīng)濟分析時就主要著眼于方案在整個壽命期內(nèi)的貨幣收入和支出情況，即現(xiàn)金流量。能不能把方案壽命期內(nèi)不同時期發(fā)生的現(xiàn)金流量相加（代數(shù)和）來代表方案的經(jīng)濟效果呢？先讓我們看兩個例子。例如，有一個總公司面臨兩個投資方案A、B，壽命期都是4年

6、，初始投資也相同，均為10000元。實現(xiàn)利潤的總數(shù)也相同，但每年數(shù)字不同，具體數(shù)據(jù)見下表。如果其他條件都相同，我們應(yīng)該選用那個方案呢？從直覺和常識，我們會覺得方案A優(yōu)于方案B，為什么？表2-1 投資方案比較表 單位：元年末A方案 B方案0-10000 -100001+7000 +10002+5000 +30003+3000 +50004+1000 +7000是什么樣的認(rèn)識使我們作出上述明確的判斷的呢？在例子中，方案A的得益比方案B早，這就是說，貨幣的支出和收入的經(jīng)濟效益不僅與貨幣量的大小有關(guān)，而且與發(fā)生的時間有關(guān)。同樣1元錢今年到手與明年到手的“價值”是不同的。先到手的資金可以用來投資而產(chǎn)生新

7、的價值。因此，今年的1元錢要比明年1元更值錢。這種貨幣的時間價值在銀行的利息中可以體現(xiàn)出來，如果年利率為5%，則明年可以到手1.05元，就是說，今年1元等值于明年的1.05元。換一種說法，明年的1元相當(dāng)于今年的元。我們的銀行付給利息外，還鼓勵人民存款以支持國家的社會主義建設(shè)，體現(xiàn)了這種貨幣的時間價值的存在。承認(rèn)貨幣的時間價值并不是否定勞動創(chuàng)造價值的原理。雖然從形式上看貨幣會產(chǎn)生新的價值，但這樣計算只是承認(rèn)這樣一種事實：勞動只有與生產(chǎn)資料相結(jié)合才能創(chuàng)造新的價值。講貨幣的時間價值就是承認(rèn)生產(chǎn)資料的重要性，這并不意味著否定勞動創(chuàng)造價值的學(xué)說。由于貨幣的時間價值的存在，使不同時間上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直

8、接加以比較，這就使方案的經(jīng)濟評價變得比較復(fù)雜了。以圖2-2為例，比較方案E與方案F。從現(xiàn)金流量的絕對數(shù)看，方案E比方案F好；但從貨幣的時間價值看，方案F似乎有它的好處，如何比較這兩個方案的優(yōu)劣就構(gòu)成了本教材要討論的重要內(nèi)容。這種考慮了貨幣時間價值的經(jīng)濟分析方法，使方案的評價和選擇變得更現(xiàn)實和可靠。圖2-2 方案E與F的現(xiàn)金流量圖（單位：元）二、資金的時間價值的概念在工程經(jīng)濟分析中，無論是技術(shù)方案所發(fā)揮的經(jīng)濟效益還是所消耗的人力、物力和自然資源，最后基本上都是以貨幣形態(tài)，即資金的形式表現(xiàn)出來的。資金運動反映了物化勞動和活勞動的運動過程，而這個過程也是資金隨時間運動的過程。因此，在工程經(jīng)濟分析時，

9、不僅要著眼于方案資金量的大小（資金收入和支出的多少），而且也要考慮資金發(fā)生的時點。因為今天可以用來投資的一筆資金，即使不考慮通貨膨脹的因素，也比將來同等數(shù)量的資金更有價值。這是由于當(dāng)前可用的資金能夠立即用來投資，帶來收益。由此看來，資金是時間的函數(shù)，資金隨時間的推移而增值，其增值的這部分資金就是原有資金的時間價值。資金時間價值的實質(zhì)是資金作為生產(chǎn)要素，在擴大再生產(chǎn)及資金流通過程中，隨時間的變化而產(chǎn)生增值。資金的增值過程是與生產(chǎn)和流通過程相結(jié)合的，離開了生產(chǎn)過程和流通領(lǐng)域，資金是不可能實現(xiàn)增值的。資金的增值過程可表示如下：圖2-3 資金的增值過程示意在產(chǎn)品生產(chǎn)前，首先需用一筆資金（G），購買廠房

10、和設(shè)備作為該企業(yè)生產(chǎn)資料的固定資產(chǎn)，同時還需墊支流動資金采購生產(chǎn)所需要的原材料、輔助材料、燃料等勞動對象和招聘工人所需支出的工資；然后在生產(chǎn)過程中，資金以物化形式出現(xiàn)（W），勞動者運用生產(chǎn)資料對勞動對象進行加工生產(chǎn)勞動，生產(chǎn)制作新的產(chǎn)品，這里生產(chǎn)出來的新產(chǎn)品（P）比原先投入的資金（G）具有更高的價值（）；最后這些新產(chǎn)品（P）必須在生產(chǎn)后的流通領(lǐng)域（商品市場）里作為商品出售給用戶，才能轉(zhuǎn)化為具有新增價值的資金（），使物化的資金（P）轉(zhuǎn)化為貨幣形式的資金（），這時的，從而使生產(chǎn)過程中勞動者創(chuàng)造的資金增值部分得以實現(xiàn)。這樣就完成了“”形式表示的、完整的資金增值過程。資金在生產(chǎn)過程和流通領(lǐng)域之間如此不

11、斷地周轉(zhuǎn)循環(huán)，這種循環(huán)過程不僅在時間上是連續(xù)的，而且在價值上是不斷增值的。因此整個社會生產(chǎn)就是價值創(chuàng)造過程，也是資金增值過程。由于資金時間價值的存在，使不同時點上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接加以比較。因此，要通過一系列的換算，在同一時點上進行對比，才能符合客觀的實際情況。這種考慮了資金時間價值的經(jīng)濟分析方法，使方案的評價和選擇變得更現(xiàn)實和可靠。它也就構(gòu)成了工程經(jīng)濟學(xué)要討論的重要內(nèi)容之一。2.2.2 資金時間價值計算 時間與資金的關(guān)系具體量化，是有效應(yīng)用資金的前提。一、利息與利率1、利息在借貸過程中，債務(wù)人支付給債權(quán)人的超過原借款本金的部分，就是利息。即：（2-1）式中：I為利息；F為還本付息總額；P

12、為本金。在工程經(jīng)濟分析中，利息常常被看成是資金的一種機會成本。這是因為如果一筆資金投入在某一工程項目中，就相當(dāng)于失去了在銀行產(chǎn)生利息的機會，也就是說，使用資金是要付出一定的代價的，當(dāng)然投資于項目是為了獲得比銀行利息更多的收益。從投資這的角度來著，利息體現(xiàn)為對放棄現(xiàn)期消費的損失所作的必要補償。比如資金一旦用于投資，就不能用于現(xiàn)期消費，而犧牲現(xiàn)期消費又是為了能在將來得到更多的消費。所以，利息就成了投資分析中平衡現(xiàn)在與未來的杠桿，投資這個概念本身就包含著現(xiàn)在和未來兩方面的含義。事實上，投資就是為了在未來獲得更大的回收而對目前的資金進行某種安排，很顯然，未來的回收應(yīng)當(dāng)超過現(xiàn)在的投資，正是這種預(yù)期的價值

13、增長才能刺激人們從事投資。因此，在工程經(jīng)濟學(xué)中，利息是指占用資金所付的代價或者是放棄近期消費所得的補償。2、利率在經(jīng)濟學(xué)中，利率的定義是從利息的定義中衍生出來的。也就是說，在理論上先承認(rèn)了利息，再以利息來解釋利率。在實際計算中，正好相反，常根據(jù)利率計算利息，利息的大小用利率來表示。利率就是在單位時間內(nèi)（如年、半年、季、月、周、日等），所得利息額與借款金之比通常用百分?jǐn)?shù)表示。即：（2-2）式中：為利率；為單位時間內(nèi)的利息；P為借款本金。用于表示計算利息的時間單位稱為計算周期，計息周期通常為年、半年、季、月、周或日。3、利息和利率在工程經(jīng)濟活動中的作用（1）利息和利率是以信用方式動員和籌集資金的動

14、力。以信用方式籌集資金的一個重要特點是自愿性，而自愿性的動力在于利息和利率。比如一個投資者，他首先要考慮的是投資某一項目所得到的利息（或利潤）是否比把這筆資金投入其他項目所得的利息（或利潤）多。如果多，他就可能給這個項目投資；反之，他就可能不投資這個項目。（2）利息促進企業(yè)加強經(jīng)濟核算，節(jié)約使用資金。企業(yè)借款需付利息，增加支出負(fù)擔(dān)，這就促使企業(yè)必須精打細(xì)算，把借入資金用到刀刃上，減少借入資金的占用以少付利息，同時可以使企業(yè)自覺壓縮庫存限額，減少多環(huán)節(jié)占壓資金。（3）利息和利率是國家管理經(jīng)濟的重要杠桿。國家在不同的時期制定不同的利率政策，對不同地區(qū)不同部門規(guī)定不同的利率標(biāo)準(zhǔn)，就會對整個國民經(jīng)濟產(chǎn)

15、生影響。如對于限制發(fā)展的部門和企業(yè)，利率規(guī)定得高一些；對于提倡發(fā)展的部門和企業(yè)，利率規(guī)定得低一些。從而引導(dǎo)部門和企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營服從國民經(jīng)濟發(fā)展的總方向。同樣，資金占用時間短，收取低息；資金占用時間長收取高息。對產(chǎn)品適銷對路、質(zhì)量好、信譽高的企業(yè)，在資金供應(yīng)上給予低息支持；反之，收取較高利息。（4）利息與利率是金融企業(yè)經(jīng)營發(fā)展的重要條件。金融機構(gòu)作為企業(yè)，必須獲取利潤。由于金融機構(gòu)的存放款利率不同，其差額成為金融機構(gòu)業(yè)務(wù)收入。此差額扣除業(yè)務(wù)費后就是金融機構(gòu)的利潤，金融機構(gòu)獲取利潤才能刺激金融企業(yè)的經(jīng)營發(fā)展。二、單利計算利息計算有單利和復(fù)利之分。當(dāng)計息周期在一個以上時，就需要考慮“單利”與“復(fù)利”

16、的區(qū)別。復(fù)利是對單利而言，是以單利為基礎(chǔ)來進行計算的。所以要了解復(fù)利的計算，必須先了解單利的計算。所謂單利是指在計算利息時，僅考慮最初的本金，而不計入在先前利息周期中所累積增加的利息，即通常所說的“利不生利”的計息方法。其計算式如下：（2-3）式中：為第計息期的利息額；P為本金；為計息期單利利率。設(shè)代表n個計息期所付或所收的單利總利息，則有下式：（2-4）由式（2-4）可知，在以單利計息的情況下，總利息與本金、利率以及計息周期數(shù)是成正比的關(guān)系。而n期末單利本利和F等于本金加上利息，即：（2-5）式中：稱之為單利終值系數(shù)。同樣，本金可由本利和F減去利息求得，即：式中：稱之為單利現(xiàn)值系數(shù)。在利用式

17、（2-5）計算本利和F時，要注意式中n和反映的周期要匹配。如為年利率，則n應(yīng)為計息的年數(shù)；若為月利率，n即應(yīng)為計息的月數(shù)。由上例可見，單利的年利息額都僅由本金所產(chǎn)生，其新生利息，不再加入本金產(chǎn)生利息，此即“利不生利”。這不符合客觀的經(jīng)濟發(fā)展規(guī)律，沒有反映資金隨時都在“增值”的概念，即沒有完全反映資金的時間價值。因此，在工程經(jīng)濟分析中單利使用較少，通常只適用于短期投資及不超過一年的短期貸款。三、復(fù)利計算在計算利息時，某一計息周期的利息是由本金加上先前周期所累積利息總額來計算的，這種計息方式稱為復(fù)利，也即通常所說的“利生利”、“利滾利”。其表達式如下：（2-7）式中：為計息期利率；為第（t-1）年

18、末復(fù)利本利和。第t年末復(fù)利本利和的表達式如下：復(fù)利計息有間斷復(fù)利和連續(xù)復(fù)利之分。按期（年、半年、季、月、周、日）計算復(fù)利的方法稱為間斷復(fù)利（即普通復(fù)利）；按瞬時計算復(fù)利的方法稱為連續(xù)復(fù)利。2.2.3 復(fù)利計算 一、復(fù)利的概念在計算利息時，某一計息周期的利息是由本金加上先前周期所累積利息總額來計算的，這種計息方式稱為復(fù)利，也即通常所說的“利生利”、“利滾利”。其表達式如下：（2-7）式中：為計息期利率；為第（t-1）年末復(fù)利本利和。第t年末復(fù)利本利和的表達式如下：（2-8）復(fù)利計息有間斷復(fù)利和連續(xù)復(fù)利之分。按期（年、半年、季、月、周、日）計算復(fù)利的方法稱為間斷復(fù)利（即普通復(fù)利）；按瞬時計算復(fù)利的

19、方法稱為連續(xù)復(fù)利。二、一次支付的情形一次支付又稱整付，是指所分析系統(tǒng)的現(xiàn)金流量，無論是流入還是流出，均在一個時點上一次發(fā)生，如圖2-4所示。一次支付情形的復(fù)利計算式是復(fù)利計算的基本公式。在圖2-4中：為計息期利率；為計息期數(shù)；P為現(xiàn)值（即現(xiàn)在的資金價值或本金Present Value），或資金發(fā)生在（或折算為）某一特定時間序列起點時的價值；F為終值，（期末的資金值或本利和，F(xiàn)uture Value），或資金發(fā)生在（或折算為）某一特定時間序列終點的價值。圖2-4 一次支付現(xiàn)金流量圖1、 終值計算（已知P，求F）現(xiàn)有一項資金P，按年利率計算，年以后的本利和為多少？根據(jù)復(fù)利的定義即可求得本利和F的計

20、算公式。其計算過程如表2-2所示：表2-2 終值計算過程表計息期期初金額（1）本期利息額（2）期末本利和123n由表中可以看出，幾年末的本利和F與本金的關(guān)系為： （2-9）式中：稱之為一次支付終值系數(shù)，用表示。故式（2-9）又可寫成：（2-10）在這類符號中，括號內(nèi)斜線上的符號表示所求的未知數(shù)，斜線下的符號表示已知數(shù)。整個符號表示在已知，和P的情況下求解F的值。為了計算方便，通常按照不同的利率，和計息期計算出的值，并列于表中。在計算F時，只要從復(fù)利表中查出相應(yīng)的復(fù)利系數(shù)再乘以本金即為所求。2、 現(xiàn)值計算（已知F，求P）由式（2-9）即可求出現(xiàn)值P：（2-11）式中稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)，用符號表

21、示，并按不同的利率和利息可列于表中。一次支付現(xiàn)值系數(shù)這個名稱描述了它的功能，即未來一筆資金乘上該系數(shù)就可求出其現(xiàn)值。工程經(jīng)濟分析中，一般是將未來值折現(xiàn)到零期。計算現(xiàn)值P的過程叫“折現(xiàn)”或“貼現(xiàn)”，其所使用的利率常稱為折現(xiàn)率、貼現(xiàn)率或收益率，貼現(xiàn)率、折現(xiàn)率反映了利率在資金時間價值計算中的作用，而收益率反映了利率的經(jīng)濟涵義。故或也可叫折現(xiàn)系數(shù)或貼現(xiàn)系數(shù)。式（2-11）常寫成：（2-12）在工程項目多方案比較中，由于現(xiàn)值評價常常是選擇現(xiàn)在為同一時點，把方案預(yù)計的不同時期的現(xiàn)金流量折算成現(xiàn)值，并按現(xiàn)值之代數(shù)和大小作出決策。因此，在工程經(jīng)濟分析時應(yīng)當(dāng)注意以下兩點：（1）正確選取折現(xiàn)率。折現(xiàn)率是決定現(xiàn)值大

22、小的一個重要因素，必須根據(jù)實際情況靈活選用。（2）注意現(xiàn)金流量的分布情況。從收益方面來看，獲得的時間越早、數(shù)額越大，其現(xiàn)值也越大。因此，應(yīng)使建設(shè)項目早日投產(chǎn)，早日達到設(shè)計生產(chǎn)能力，早獲收益、多獲收益，才能達到最佳經(jīng)濟效益。從投資方面看，投資支出的時間越晚、數(shù)額越小，其現(xiàn)值也越小。因此，因合理分配各年投資額，在不影響項目正實施的前提下，盡量減少建設(shè)初期投資額，加大建設(shè)后期投資比重。三、多次支付的情形在工程經(jīng)濟實踐中，多次支付是最常見的支付情形。多次支付是指現(xiàn)金流量在多個時點發(fā)生，而不是集中在某一個時點上。如果用表示第t期末發(fā)生的現(xiàn)金流量大小，可正可負(fù)，用逐個折現(xiàn)的方法，可將多次現(xiàn)金流量換算成現(xiàn)值

23、。即：（2-13）或：P（2-14）同理，也可將多次現(xiàn)金流量換算成終值：或（2-15）在上面式子中，雖然那些系數(shù)都可以計算或查復(fù)利表得到，但如果較大較多時，計算也是比較麻煩的。如果多次現(xiàn)金流量有如下特征，則可大大簡化上述計算公式。1、等額系列現(xiàn)金流量?，F(xiàn)金流量序列是連續(xù)的，且數(shù)額相等，即：=A=常數(shù)（2-16）2、等差系列現(xiàn)金流量?，F(xiàn)金流量序列是連續(xù)的，且相鄰現(xiàn)金流量相差同個常數(shù)G，且現(xiàn)金流量序列是連續(xù)遞增或連續(xù)遞減，即：（2-17）3、等比系列現(xiàn)金流量?，F(xiàn)金流量序列是連續(xù)，緊后現(xiàn)金流量較緊前現(xiàn)金流量按同一比率j連續(xù)遞增，即： （2-18）下面就分別說明這三種典型系列現(xiàn)金流量的復(fù)利計算。四、等

24、額系列現(xiàn)金流量其現(xiàn)金流量如圖2-5所示。圖2-5 等額系列現(xiàn)金流量示意圖（a）年金與終值關(guān)系；（b）年金與現(xiàn)值關(guān)系A(chǔ)為年金，發(fā)生在（或折算為）某一特定時間序列各計息期末（不包括零期）的等額資金序列的價值。1、 終值計算（已知A，求F）由式（2-15）展開得：（2-19）式中：稱為等額系列終值系數(shù)或年金終值系數(shù)，用符號表示。則式（2-19）又可寫成：等額系列終值系數(shù)可從附表復(fù)利因子中查得。2、 現(xiàn)值計算（已知A，求P）由式（2-11）和式（2-19）得：式中：稱為等額系列現(xiàn)值系數(shù)或年金現(xiàn)值系數(shù)，用符號表示。則式（2-21）又可寫成：等額系列現(xiàn)值系數(shù)同樣可從附表復(fù)利因子中查得。3、 資金回收計算（

25、已知P，求A）由式（2-21）可知，等額系列資金回收計算是等額系列現(xiàn)值計算的逆運算，故由式（2-21）即可得：（2-23）式中：稱為等額系列資金回收系數(shù)，用符號表示。則式（2-23）又可寫成：（2-24）等額系列資金回收系數(shù)可從附表復(fù)利因子中查得。4、 償債基金計算（已知F，求A）償債基金計算是等額系列終值計算的逆運算，故用式（2-19）即可得：（2-25）式中：稱為等額系列償債基金系數(shù)，用符號表示。則式（2-25）又可寫成：等額系列償債基金系數(shù)同樣可從附表復(fù)利因子中查得。五、等差系列現(xiàn)金流量在許多工程經(jīng)濟問題中，現(xiàn)金流量每年均有一定數(shù)量的增加或減少，如房屋隨著其使用期的延伸，維修費將逐年有所

26、增加。如果逐一年的遞增或遞減是等額的，則稱之為等差系列現(xiàn)金流量。其現(xiàn)金流量如圖2-6所示。圖2-6 等差系列遞增現(xiàn)金流量示意圖 圖2-6（a）為一等差遞增系列現(xiàn)金流量，可化簡為兩個支付系列。一個是等額系列現(xiàn)金流量，圖2-6（b），年金是；另一個是由組成的等額遞增系列現(xiàn)金流量，圖2-6（c）。圖2-6（b）支付系列用等額系列現(xiàn)金流量的有關(guān)公式計算，問題的關(guān)鍵是圖2-6（c）支付系列如何計算。這就是等差系列現(xiàn)金流量需要解決的。1、 等差終值計算（已知G，求F）根據(jù)圖2-5（c），可列出F與G的計算式如下： （1）式（11）兩邊同乘以（1i）得：（2）由（2）-（1）得：整理得：（2-27）式中：稱

27、為等差系列終值系數(shù)，用符號表示。則式（2-27）可寫成：2、 等差現(xiàn)值計算（已知G，求P）由P與F的關(guān)系得：（2-29）式中：稱為等差系列現(xiàn)值系數(shù)，用符號表示。則式（2-29）可寫成：（2-30）等差系列現(xiàn)值系數(shù)可從附表定差因子中查得。3、 等差年金計算（已知G，求A）由A與F的關(guān)系得：整理得：（2-31）式中：稱為等差年金換算系數(shù)，用符號表示。則式（2-31）可寫成：（2-32）等差年金換算系數(shù)可從附表定差因子中查得。根據(jù)上述公式，即可方便地得出圖2-6等差系列現(xiàn)金流量的年金為：（2-33）“減號”為等差遞減系列現(xiàn)金流量，如圖2-7所示。圖2-7 等差系列遞減現(xiàn)金流量示意圖若計算原等差系列現(xiàn)

28、金流量的現(xiàn)值P和終值F，則按式2-29和式2-30進行。（2-34）（2-35）六、等比系列金流量等比系列現(xiàn)金流量如圖2-8所示。圖2-8 等比系列現(xiàn)金流量示意圖將等比系列通式分別代入式（2-13）和式（2-15），化簡，即可求得等比系列現(xiàn)值和終值。1、 等比系列現(xiàn)值 化簡得： （2-36）或（2-37）式中：稱為等比系列現(xiàn)值系數(shù)。2、 等比系列終值由得：（2-38）或稱為等比系列終值系數(shù)。七、復(fù)利計算小結(jié)1、復(fù)利系數(shù)之間的關(guān)系（1）倒數(shù)關(guān)系： =1/ =1/ =1/（2）積關(guān)系： = =（3）其他關(guān)系： =+ = =3、 復(fù)利計算公式使用注意事項（1）本期末即等于下期初。0點就是第一期初，也

29、叫零期；第一期末即等于第二期初；余類推。（2）P是在第一計息期開始時（0期）發(fā)生。（3）F發(fā)生在考察期期末，即期末。（4）各期的等額支付A，發(fā)生在各期期末。（5）當(dāng)問題包括P與A時，系列的第一個A與P隔一期。即P發(fā)生在系列A的前一期。（6）當(dāng)問題包括A與F時，系列的最后一個A是與F同時發(fā)生。（7）發(fā)生在第一個G的前兩期；發(fā)生在第一個G的前一期。2.2.4 名義利率與實際利率 在復(fù)利計算中，利率周期通常以年為單位，它可以與計息周期相同，也可以不同。當(dāng)利率周期與計息周期不一致時，就出現(xiàn)了名義利率和實際利率的概念。例如每半年計息一次，每半年計息期的利率為3%，3%是實際計息用的利率，也是資金在計息期

30、所發(fā)生的實際利率，如上例為3%2=6%，6%就稱為年名義利率。在實際計息中不用這個利率，它只是習(xí)慣上的表示形式。例如每月計息一次，月利率為1%，習(xí)慣上稱為“年利率為12%，每月計息一次”，通常說的年利率都是名義利率，如果后面不對計息期加以說明，則表示一年一次，此時的年利率也就是年有效利率。前述已知，單利與復(fù)利的區(qū)別在于復(fù)利法包括了利息的利息。實質(zhì)上名義利率和實際利率的關(guān)系與單利和復(fù)利的關(guān)系一樣，所不同的是名義利率和實際利率是用在計息周期小于利率周期時。一、名義計息周期所謂名義利率r是指計息周期利率i乘以一個計息周期內(nèi)的計息周期數(shù)m所得的利率周期利率。即：（2-40）二、實際利率若用計息周期利率

31、來計算利率周期利率，并將利率周期內(nèi)的利息再生因素考慮進去，這時所得的利率周期利率稱為利率周期實際利率（又稱有效利率）。根據(jù)利率的概念即可推導(dǎo)出實際利率的計算式。已知名義利率r，一個利率周期內(nèi)計息m次，則計息周期利率為，在某個利率周期初有資金P。根據(jù)一次支付終值公式可得該利率周期的F，即：根據(jù)利息的定義可得該利率周期的利息I為：再根據(jù)利率的定義可得該利率周期的實際利率為：（2-41）現(xiàn)設(shè)年名義利率：r=10%，則年、半年、季、月、日的年實際利率如表2-3所示：表2-3 實際利率與名義利率關(guān)系表年名義利率（r）休息期年計息次數(shù)（m）計息期利率（）年實際利率（）10年11010半年2510.25季4

32、2.510.38月120.83310.47日3650.027410.52從表中可以看出，每年計息期m越多，與r相差越大。所以，在工程經(jīng)濟分析中，如果各方案的計息期不同，就不能簡單地使用名義利率來評價，而必須換算成實際利率進行評價，否則會得出不正確的結(jié)論。三、連續(xù)復(fù)利前面介紹了間斷計息的情形，當(dāng)每期計息時間趨于無限小，則一年（計算周期常為一年）內(nèi)計息次數(shù)趨于無限大，即此時可視為計息沒有時間間隔而成為連續(xù)計息。則年有效利率為：e是自然對數(shù)的底，其值為2.71828。將連續(xù)復(fù)利引入普通的利息公式得：一次支付連續(xù)復(fù)利終值公式：（2-42）連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值公式：（2-43）等額支付：連續(xù)復(fù)利終值公式：（2-

33、44）連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值公式：（2-45）連續(xù)復(fù)利資金回收公式：（2-46）連續(xù)復(fù)利償債基金公式：（2-47）上面介紹了連續(xù)復(fù)利的幾個基本公式。從理論上講，整個社會的資金是在不停地運動，每時每刻都通過生產(chǎn)和流通在增值，因而應(yīng)該采用連續(xù)復(fù)利法。然而在實際使用中都采用間斷復(fù)利法。盡管如此，這種連續(xù)復(fù)利的概念對投資決策、制定其數(shù)學(xué)模型極為重要。因為在高深的數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)是一個必要的前提，故以連續(xù)性為出發(fā)點去對技術(shù)方案作更進一步的分析還是可取的。比如用連續(xù)復(fù)利計算的利息高于普通復(fù)利，故資金成本偏高，可以提醒決策者予以注意。2.3 等值計算 一、等值計算前述已知，資金有時間價值。即使金額相同，因其發(fā)生在不同時點，其價值就不相同；反之，不同時點絕對值不等的資金在時間價值的作用下卻可能具有