數(shù)學(xué)建模第7章

1、7.1 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型7.2 減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)節(jié)食與運(yùn)動(dòng)7.3 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型7.4 按年齡分組的種群增長(zhǎng)按年齡分組的種群增長(zhǎng)第七章第七章 差分方程模型差分方程模型7.1 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問問 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降價(jià)格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲價(jià)格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價(jià)格的

2、變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩數(shù)量與價(jià)格在振蕩蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點(diǎn)的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP

3、00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線點(diǎn)附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模

4、型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價(jià)格上漲幅度價(jià)格上漲幅度)(001yyxxkk 價(jià)格上漲價(jià)格上漲1單位單位, (下時(shí)段下時(shí)段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量考察考察 , 的含義的含義 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手

5、段控制價(jià)格不變以行政手段控制價(jià)格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平

6、衡點(diǎn)為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣7.2 減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背背景景 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持 通過控制

7、飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分分析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假設(shè)模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體

8、重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當(dāng)于相當(dāng)于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至體重維持不變?，F(xiàn)欲

9、減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo) 2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數(shù)

10、確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段第一階段10

11、周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動(dòng)情

12、況的兩階段減肥計(jì)劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) t=24

13、(每周每周跳舞跳舞8小時(shí)或自行車小時(shí)或自行車10小時(shí)小時(shí)), 14周即可。周即可。2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運(yùn)動(dòng)每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)間(小時(shí)小時(shí))()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(3）達(dá)到目標(biāo)體重）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案千克后維持不變

14、的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)保持某常數(shù)C，使體重，使體重w不變不變wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運(yùn)動(dòng)不運(yùn)動(dòng))(1680075028. 08000千卡C 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前內(nèi)容同前)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長(zhǎng)模型的阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時(shí)刻的數(shù)

15、量時(shí)刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點(diǎn)是平衡點(diǎn)kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)brrx111*(1)的平衡點(diǎn)的平

16、衡點(diǎn) x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)bx11*穩(wěn)定性

17、穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不穩(wěn)定不穩(wěn)定另一平衡另一平衡點(diǎn)為點(diǎn)為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果數(shù)值計(jì)算結(jié)果bx11*b 3.57, 不存在任何收斂子序列不存在任何收斂子序列混沌

18、現(xiàn)象混沌現(xiàn)象4倍周期收斂倍周期收斂)1 (1kkkxbxx的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b7.4 按年齡分組的種群增長(zhǎng)按年齡分組的種群增長(zhǎng) 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律假設(shè)與建模假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記個(gè)年齡組，記i=1,2, , n 時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象 第第i 年齡組年齡組1雌性個(gè)體在雌性個(gè)體在1時(shí)

19、段內(nèi)的時(shí)段內(nèi)的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為時(shí)段內(nèi)的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假設(shè)假設(shè)與與建模建模xi(k)時(shí)段時(shí)段k第第i 年齡組的種群數(shù)量年齡組的種群數(shù)量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年齡組的分布按年齡組的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)() 1(11kxbkxinii(設(shè)至少設(shè)至少1個(gè)個(gè)bi0)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識(shí)nkk, 3 , 2,1 L矩陣存在矩陣存在正單特征根正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列