同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)課后習(xí)題答案

1、.習(xí)題9-3 1. 化三重積分為三次積分, 其中積分區(qū)域W分別是: (1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0zxy, 0y1-x, 0x1, 于是 . (2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域; 解 積分區(qū)域可表示為 , 于是 . (3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域; 解 曲積分區(qū)域可表示為 , 于是 . 提示: 曲面z=x2+2y2與z=2-x2的交線在xOy面上的投影曲線為x2+y2=1. (4)由曲面cz=xy(c0), , z=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 曲積

2、分區(qū)域可表示為 , 于是 . 提示: 區(qū)域W的上邊界曲面為曲面cz=xy , 下邊界曲面為平面z=0. 2. 設(shè)有一物體, 占有空間閉區(qū)域W=(x, y, z)|0x1, 0y1, 0z1, 在點(diǎn)(x, y, z)處的密度為r(x, y, z)=x+y+z, 計(jì)算該物體的質(zhì)量. 解 . 3. 如果三重積分的被積函數(shù)f(x, y, z)是三個(gè)函數(shù)f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘積, 即f(x, y, z)= f1(x)f2(y)f3(z), 積分區(qū)域W=(x, y, z)|axb, cyd, lzm, 證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積, 即 . 證明 . 4. 計(jì)算, 其中W是由曲面z

3、=xy, 與平面y=x, x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0zxy, 0yx, 0x1, 于是 . 5. 計(jì)算, 其中W為平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所圍成的四面體. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y, z)| 0z1-x-y, 0y1-x, 0x1, 于是 . 提示: . 6. 計(jì)算, 其中W為球面x2+y2+z2=1及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 于是 . 7. 計(jì)算, 其中W是由平面z=0, z=y, y=1以及拋物柱面y=x2所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可表示為 W=(x, y,

4、 z)| 0zy, x2y1, -1x1, 于是 . 8. 計(jì)算, 其中W是由錐面與平面z=h(R0, h0)所圍成的閉區(qū)域. 解 當(dāng)0zh時(shí), 過(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立體W的截面為圓Dz: , 故Dz的半徑為, 面積為, 于是 =. 9. 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W是由曲面及z=x2+y2所圍成的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r1, , 于是 . (2), 其中W是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域. 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r2, , 于是 . 10. 利用球面坐標(biāo)計(jì)算下

5、列三重積分: (1), 其中W是由球面x2+y2+z2=1所圍成的閉區(qū)域. 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0jp, 0r1, 于是 . (2), 其中閉區(qū)域W由不等式x2+y2+(z-a)2a2, x2+y2z2 所確定. 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 11. 選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分: (1), 其中W為柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 別解: 用直角坐標(biāo)計(jì)算 . (2), 其中W是由球面x2+y2+z2=z所圍成的閉區(qū)域; 解 在球面坐標(biāo)下

6、積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (3), 其中W是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所圍成的閉區(qū)域; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (4), 其中閉區(qū)域W由不等式, z0所確定. 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 12. 利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成的立體的體積: (1)z=6-x2-y2及; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2 p, 0r2, rz6-r2, 于是 . (2)x2+y2+z2=2az(a0)及x2+y2=z2(含有z軸的部分); 解 在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . (3)及z=x2+y2; 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 0q2p, 0r1, r2zr, 于是 . (4)及x2+y2=4z . 解 在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域W可表示為 , 于是 . 13.