振動波動習題二(1)

1、振動與波動 討論與輔導 簡諧運動定義與判據(jù)簡諧運動定義與判據(jù) 定義：物體運動時，離開平衡位置的位移按定義：物體運動時，離開平衡位置的位移按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時間變化的運余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時間變化的運動。動。 判據(jù)判據(jù) 動力學判據(jù)動力學判據(jù): 受到與對平衡位置的位移成正比受到與對平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用。而反向的合外力作用。 能量判據(jù)：動能與勢能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量能量判據(jù)：動能與勢能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量不變。不變。 運動學判據(jù)：位置隨時間變化符合正弦或余弦運動學判據(jù)：位置隨時間變化符合正弦或余弦形式。形式。2 簡諧運動的判斷（滿足其中一條即可）2）簡諧運動的動力學

2、描述1）物體受線性回復力作用3）簡諧運動的運動學描述kxF-=0dd222=xtx)cos(j=tAx（或物體受線性回復力矩作用 ）kM-=簡諧運動的描述簡諧運動的描述 數(shù)學形式數(shù)學形式x= A cos ( t+j j) 基本特征量基本特征量 角頻率角頻率 振幅振幅A 初相初相j j 能量能量 動力學方程動力學方程2222121)(21kAkxdtdxmEEEpk=02022=xdtxdkmTmk2,=-=0022020arctan,xvvxAj4簡諧運動的合成簡諧運動的合成 同方向的兩個同頻率振動同方向的兩個同頻率振動 合振動振幅決定于兩個振動振幅和相差合振動振幅決定于兩個振動振幅和相差 同

3、方向不同頻率振動同方向不同頻率振動 頻率差很小時存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動頻率差頻率差很小時存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動頻率差 相互垂直的兩個同頻率振動相互垂直的兩個同頻率振動 圓、橢圓或線段圓、橢圓或線段 相互垂直的兩個不同頻率的振動相互垂直的兩個不同頻率的振動 利薩如圖利薩如圖55、阻尼運動與受迫振動220220d xdxxdtdt=22022cosd xdxxhtdtdt=2202arctanj-=-阻尼系數(shù)；0 -振動系統(tǒng)的固有角頻率阻尼運動：過阻尼、欠阻尼以及臨界阻尼運動受迫振動共振現(xiàn)象幅頻特性和相頻特性12222220()4hA =-)cos(212212221j jj j- - = =

4、AAAAA)cos()cos(221121j j j j = = = =tAtAxxx仍為簡諧運動,其中:同相:k=0,1, 2, 3.22112211coscossinsintanj jj jj jj jj jAAAA = = j jj jk212= =- -21AAA = =反相: j jj j)12(12 = =- -k21AAA- -= =k=0,1, 2, 3.8機 械 波一、平面簡諧波波函數(shù)：)(2cos)(cos)cos(),(00 xTtAuxtAkxtAtxy=(1).當x=x0時：)2(cos)(00 xtAty-=(2).當t=t0時：2)cos()(00 xtAxy-=

5、波動方程222221tyuxy=9波速：橫波波速縱波波速G為剪切模量Yu =1Gu =2Y為楊氏模量Tu =弦線中的波速T為弦中的張力波的能量平均能流密度（波的強度）uAI2221=kxtAdVdEw-=222sin=TAwdtTw022211能量密度平均能量密度10駐波特點：txAcos2cos2=(1).相鄰的波節(jié)（腹）之間的距離是/2。任意兩節(jié)點間的距離為n/2。(2).相鄰節(jié)點間各點振動同相，一節(jié)點兩側(cè)各點振動反相。(3).沒有能量的定向傳播，兩波節(jié)之間能量守恒。半波損失形成條件：,.3 , 2 , 1)2(=nnl二、波的干涉j=tAyyycos21j=cos2212221AAAAA

6、式中j=cos22121IIIIIjjj1210202rr -=jn2=j12 =n21AAA=21AAA-=加強減弱 ( n = 0 1 2) 相位差113、波源觀測者同時相對介質(zhì)運動0, 0RsvvSsRSsRRvuuTuuvvvvv-=-=01. 波源靜止，觀察者相對介質(zhì)運動0, 0=Rsvv2、觀測者靜止, 波源相對于介質(zhì)運動 )0, 0(=RsSsSsRvuuTuuuvvv-=-=SRSRRRRvuvuuuTuuv=vvvv1電磁波的多普勒效應：SRccvvv-=SRccvvv-=接近：遠離：三、多普勒效應例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m = 10 g的物體作簡諧振動，振幅為的物體作簡諧振動

7、，振幅為A = 10 cm ,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0時，位移時，位移xo= - 5.0 cm，且，且物體向負物體向負x方向運動，方向運動，試求：試求：（1）t = 0.5 s時物體的位移；時物體的位移；（2）t = 0.5 s時物體的受力情況；時物體的受力情況；（3）從計時開始，第一次到達）從計時開始，第一次到達x = 5.0 cm所需時間；所需時間；（4）連續(xù)兩次到達）連續(xù)兩次到達x = 5.0 cm處的時間間隔。處的時間間隔?！窘饨狻?.10mA=12Ts-= = （1 1）由已知可得簡諧振動的振幅）由已知可得簡諧振動的振幅角頻率角頻率振動表達式為振動表達式為 0.1

8、0cosoxtj= 0t = 時0.10cos0.05moxj= -0.05 sin0oj= -vx0.1O-0.050t =23oj= 由旋轉(zhuǎn)矢量法可得由旋轉(zhuǎn)矢量法可得 振動方程振動方程 0.1cos23xt= 0.5st =時物體的位移時物體的位移 0.1cos230.1cos 0.5230.0866mxt= = = -（2）由（）由（1）得）得 220.010.099km= =故故t t = 0.5 s = 0.5 s時物體受到的恢復力為時物體受到的恢復力為 0.0086NFkx= -=（3）從計時開始，第一次到達）從計時開始，第一次到達x = 5.0 cm所需時間；所需時間；（4）連續(xù)

9、兩次到達）連續(xù)兩次到達x = 5.0 cm處的時間間隔。處的時間間隔。x0.1O-0.050t =0.05153231stj- =第一次到達第一次到達x=5.0cm=5.0cm時的相位為時的相位為 53j= 故故 第一次達到此處所需時間為第一次達到此處所需時間為 2230.67stj=連續(xù)兩次到達連續(xù)兩次到達x = 5.0 cm處的相位差為處的相位差為 23j= 例例2 2 兩輪的軸相互平行相距為兩輪的軸相互平行相距為2 2d d，兩輪的轉(zhuǎn)速相同而，兩輪的轉(zhuǎn)速相同而轉(zhuǎn)向相反?，F(xiàn)將質(zhì)量為轉(zhuǎn)向相反?，F(xiàn)將質(zhì)量為m m的一勻質(zhì)木板放在兩輪上，木的一勻質(zhì)木板放在兩輪上，木板與兩輪之間的摩擦系數(shù)均為板與兩

10、輪之間的摩擦系數(shù)均為 。若木板的質(zhì)心偏離。若木板的質(zhì)心偏離對稱位置后，試證木板將作簡諧振動，并求其振動周對稱位置后，試證木板將作簡諧振動，并求其振動周期期. .2dNA0 xxCABNBmgfAfB【解解】如圖以兩輪位置的中點（對稱位如圖以兩輪位置的中點（對稱位置）為坐標原點建立坐標軸，設置）為坐標原點建立坐標軸，設木板的質(zhì)心位置坐標為木板的質(zhì)心位置坐標為x以以A A處為軸有處為軸有 2()BdNmg dx=()2Bmg dxNd=以以 B處為軸有處為軸有 2()AdNmg dx=-()2Amg dxNd-=ABABmgFffNNxd=-=-= -合()2Bmg dxNd=()2Amg dxN

11、d-=22d xmgmxdtd= -即即 故木板作簡諧振動。故木板作簡諧振動。 gd=22dTg=例例3 3 一勻質(zhì)細桿質(zhì)量為一勻質(zhì)細桿質(zhì)量為m m，長為，長為l l，上端可繞懸掛軸無，上端可繞懸掛軸無摩擦的在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，下端與一勁度系數(shù)為摩擦的在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，下端與一勁度系數(shù)為k k的輕的輕彈簧相聯(lián)，當細桿處于鉛直位置時，彈簧不發(fā)生形變。彈簧相聯(lián)，當細桿處于鉛直位置時，彈簧不發(fā)生形變。求細桿作微小振動是否是簡諧振動。求細桿作微小振動是否是簡諧振動。O【解解】mgf222d(sin )(sincos )23dgFmglmlMMMkllt=- - -很小時很小時 2222d30d2mglk

12、ltml=細桿微小振動是簡諧振動細桿微小振動是簡諧振動取細桿鉛直位置為坐標零點，垂直紙面向外為正方向取細桿鉛直位置為坐標零點，垂直紙面向外為正方向例例4 已知：已知：x = 0點振動曲線如圖，畫出旋轉(zhuǎn)矢量。點振動曲線如圖，畫出旋轉(zhuǎn)矢量。【解解】yt-TTA0設平面波簡諧波向設平面波簡諧波向+x方向傳播，方向傳播，0yA0點初相位為點初相位為- /2畫出：畫出： t = 0 時波形曲線。時波形曲線。 O點振動的點振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示為旋轉(zhuǎn)矢量表示為yx0t = 0 t 00點初相位為點初相位為- /2A-A - - 波向波向+x方向傳方向傳播時，原點向播時，原點向+y方向運動方向運動t = 0 時

13、波形曲線為時波形曲線為yx0t = 0 t 0討論：討論：yt-TTA0設平面波簡諧波向設平面波簡諧波向-x方向傳播，方向傳播，已知：已知：x = 0點振動曲線仍如圖所示，點振動曲線仍如圖所示，0yA0點初相位點初相位仍為仍為- /2試畫出：試畫出： t = 0 時波形曲線。時波形曲線。A-A - - 向向+y方向運動方向運動0點初相位也是點初相位也是- /2例例5 5 一平面簡諧波沿著一平面簡諧波沿著x x軸正向傳播，速度為軸正向傳播，速度為u u，已知，已知t t時刻的波形曲線如圖所示，時刻的波形曲線如圖所示，x x1 1處質(zhì)元位移為處質(zhì)元位移為0 0。試求：。試求：（1 1）原點）原點O

14、 O處質(zhì)元的振動方程；處質(zhì)元的振動方程；（2 2）該簡諧波的波函數(shù)。）該簡諧波的波函數(shù)。xyOx1-Aut t時刻原點處質(zhì)元振動的相位為時刻原點處質(zhì)元振動的相位為- -/2/22otj= -2otj= -11cos()cos()2oouuyAtAttxxj=-則振動的初相為：則振動的初相為：所以振動方程可以寫出：所以振動方程可以寫出：【解解】12utx= -由圖可知由圖可知12uux=（2 2）在）在x x軸上任意選取一點軸上任意選取一點P P，坐標為，坐標為x x，如圖所示。，如圖所示。P P點振動相點振動相位落后于原點位落后于原點O O11222xOPxxxj=1cos()2puxyAtt

15、xu=- -OPxx11cos()cos()22uuxyAttAttxxuj=-=- -時間修正時間修正相位修正相位修正1cos()2ouyAttx=-例例6.一列波長為一列波長為 的平面簡諧波沿的平面簡諧波沿x 軸正方向傳播。軸正方向傳播。 已知在已知在 x = /2 處處 振動表達式為振動表達式為 y =A cos t ,（1）求該平面簡諧波的波函數(shù)）求該平面簡諧波的波函數(shù);（2）若在波線上）若在波線上 處放一反射面處放一反射面,)2( = =LLx,2211uu 求反射波的波函數(shù)。求反射波的波函數(shù)?！窘饨狻浚?）入射波的波函數(shù)）入射波的波函數(shù)/2cos ()xyAtu-=-cos(2)x

16、At=-,2211uu 0Lx2 x畫出示意圖畫出示意圖找任意一點找任意一點 x)2/2cos( - - -= =xtAy反射有半波損失，反射有半波損失，到達到達L處的振動方程為處的振動方程為cos(2)LyAt=-,2211uu 0Lx2 x)2cos( xtAy- - = =已求得入射波的波函數(shù)已求得入射波的波函數(shù)L處反射的振動方程處反射的振動方程cos(2)LyAt=-反射波的波函數(shù)反射波的波函數(shù)cos ()2LLyAtxu-=)(24cosLxxLtAy - -= = 得得(2)合成波即駐波的表達式合成波即駐波的表達式;(3)波腹、波節(jié)的位置。波腹、波節(jié)的位置。例例7.設入射波的表達式

17、為設入射波的表達式為 . 在在 x =0 處發(fā)生反射處發(fā)生反射,反射點反射點 為一固定端為一固定端,設反射波與入射波振幅近似相等，設反射波與入射波振幅近似相等， = = xTtAy2cos1【解解】 （1 ）入射波在）入射波在 x =0 處引起的振動為處引起的振動為反射點為固定端，這點必是波節(jié)，有半波損失，反射點為固定端，這點必是波節(jié)，有半波損失， - -= = xTtAy2cos1有人，反射波的表達式為有人，反射波的表達式為 = =TtAy2cos1對不對？對不對？x0入射波入射波反射波反射波(1)反射波的表達式反射波的表達式;求求:(2)合成波即駐波的表達式合成波即駐波的表達式反射波反射波

18、)cos()(2cos1 - -= = - -= = kxtAxTtAy 入射波入射波)cos(2cos1kxtAxTtAy = = = = 合成波合成波11yyy = =)cos()cos( - - = =kxtAkxtA 絕對值為振幅絕對值為振幅初相為初相為 /2)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 得得若用旋轉(zhuǎn)矢量分析：若用旋轉(zhuǎn)矢量分析：反射波反射波)cos(1 - -= = kxtAy 入射波入射波)cos(1kxtAy = = t =0 時的旋轉(zhuǎn)矢量時的旋轉(zhuǎn)矢量y0kx-kxy1y1AA )2cos(2kxA- -振幅振幅 初相初相 /2)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 所以有所以有（與前相同）（與前相同）(3)波腹、波節(jié)的位置。波腹、波節(jié)的位置。)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 駐波的表達式駐波的表達式波腹的位置波腹的位置;2nkx= =- -AkxA2)2cos(2= =- -, 2 , 1 , 0=