九年級(jí)數(shù)學(xué) 【教學(xué)論文】一元二次方程根的分布范圍的妙解

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)一元二次方程根的分布范圍的妙解一元二次方程根的分布范圍的妙解一元二次方程根的分布問(wèn)題，通常是比較難的一個(gè)問(wèn)題。在學(xué)生解答題目時(shí)會(huì)出現(xiàn)許多錯(cuò)誤的答案。一元二次方程的求實(shí)根時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)增根與失根的問(wèn)題。增根時(shí)，可以用檢驗(yàn)的方法去驗(yàn)證；失根時(shí)，在求解時(shí)使用了減少實(shí)根范圍的條件而導(dǎo)致的，一般不容易發(fā)現(xiàn)，事后也難找出來(lái)。求一元二次方程實(shí)根的問(wèn)題，如果與根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)那就要簡(jiǎn)單一些。在日常教學(xué)中，也用到了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)確定實(shí)根的具體情況。對(duì)于一元二次方程實(shí)根的分布范圍，就有點(diǎn)兒難度。因?yàn)檫@時(shí)的實(shí)根不是具體的數(shù)值，而是一個(gè)指定的取值范圍，那么就必須用到根的判別式與

2、根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)確定。怎樣能解決這樣的問(wèn)題呢？這是學(xué)生難以搞懂的一個(gè)問(wèn)題。下面我們用一種巧妙的解法-“換元法”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a主 0)，下面的三個(gè)結(jié)論是極易證明的。定理有方程 ax2+bx+c=0(a#0)，如果(1) 方程有一根大于 0 而另一根小于 0，那么0，且 V0；反之，如果0，且V0,那么方程 ax2+bx+c=0的兩根中，一根大于 0 而另一根小于 0.(2) 方程的兩根都大于 0,那么0且0；反之，如果0且 V0,0，那么方程ax2+bx+c=0的兩根都大于 0.(3) 方程的兩根都小于 0,那么厶0且0,0；反之，如果厶0且0,

3、0,那么方程 ax2+bx+c=0 的兩根都小于 0.應(yīng)用上述定理中的三個(gè)結(jié)論，便可以解決各種類型的一元二次方程實(shí)根分布范圍的問(wèn)題。當(dāng)然還必須運(yùn)用一定的方法-“換元法”來(lái)輔助完成。例題 1、若方程 mx2-2x-6m-4=0 的兩根，一個(gè)根大于 1 而另一個(gè)根小于 1,求的取值范圍。解：此題求的根的分布范圍與 1 的關(guān)系，可以設(shè) x=y+1,代入原方程得：my2+(2m-2)y-(5m+6)=0.(1)則方程(1)的兩根中一根大于 0,而另一根小于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：V0,解這個(gè)不等式就可求得m的取值范圍是:mV-或m0.例題2、 若方程x2+(m+2)x+4=0的兩根均比 1 大，

4、求 m 的取值范圍。解：因?yàn)閮筛家笥?1,而設(shè) x=y+1，則 y就是大于 0的根代入原方程得：y2+(4+m)y+(m+7)=0(1)則方程(1)的兩根都大于 0,由定理中的結(jié)論(2)得：第2頁(yè)共 10 頁(yè)(4+m)2-4(m+7)N0,4+mVO,m+70.解這個(gè)不等式組，即得的取值范圍是-7VmV-6，或 m2.例題 3、若方程 x2+(m-2)x+(5-m)=0的兩根都小于 2,求的取值范圍。解：因?yàn)閮筛夹∮?2,則設(shè) x=y+2,代入原方程得：y2+(2+m)y+(m+5)=0(1)則方程(1)的兩根都小于 0,由定理中的結(jié)論(3)得：(2+m)2-4(m+5)0,2+m0,m

5、+50.解這個(gè)不等式組，即得 m 的取值范圍是:-5VmS-4 或 m4.例題 4、已知方程 x2+mx+2(m+1)=0有一個(gè)根小于 1而另一根大于 3,求 m 的取值范圍。解：由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可設(shè) x=y+1,代入原方程得：y2+(m+2)y+(3m+3)=0則此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：3m+3V0(1).又由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可以設(shè) x=y+3,代入原方程得：y2+(m+6)y+(5m+11)=0則此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：5m+11V0(2).解由(1)、(2

6、)聯(lián)立的不等式組，即得 m 的取值范圍是:mV-.例題 5、已知方程(1+m)x2-3mx+4m=0 的兩根都大于 2 而小于 5,求的取值范圍。解：方程有實(shí)根，.=9m2-16m(m+1)=-7m2-16m0即-m0.m2或 mV-2(2)又方程的兩根都小于 5,可設(shè) x=y+5,代入原方程得：(l+m)y2+(10+7m)y+14m+25=0則此方程的兩根都小于 5,由定理中的結(jié)論(3)得；00.m-1,或 mV-.(3)解由(1)、(2)、(3)聯(lián)立的不等式組，即得 m 的取值范圍是：-m0.m0(1)又由題意知，原方程的一根大于 0 而另一根小于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：V0,0V

7、mV1(2)又由題意知，原方程的兩根都小于 1,于是可以設(shè) x=y+1，代入原方程得：my2+(4m-2)y+(4m-3)=0則此方程的兩根都小于 0,由定理中的結(jié)論(3)得：00m或 mV0.(3)解由(1)、(2)、(3)聯(lián)立的不等式組，即得的取值范圍是：VmV1.例題 7、若 x=1時(shí)，代數(shù)式 ax2+bx+c的值小于 0；當(dāng) a0,且有 b2-4ac0，試證明ax2+bx+c的一根大于 1 而另一根小于 1.第4頁(yè)共 10 頁(yè)證明：由已知條件知，x=1時(shí)，a*12+b*1+c=a+b+cV0因?yàn)橐C明的根與 1 有關(guān)，所以設(shè) x=y+1，代入所給方程得：ay2+(2a+b)y+(a+b

8、+c)=0(1)b2-4ac0,a0,a+b+cV0,V0由定理中結(jié)論(1)可知，方程(1)的一根大于 0 而另一根小于 0,從而由 X=y+1 知方程 ax2+bx+c=0 的一根大于 1 而另一根小于 1.一元二次方程根的分布問(wèn)題，通常是比較難的一個(gè)問(wèn)題。在學(xué)生解答題目時(shí)會(huì)出現(xiàn)許多錯(cuò)誤的答案。一元二次方程的求實(shí)根時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)增根與失根的問(wèn)題。增根時(shí)，可以用檢驗(yàn)的方法去驗(yàn)證；失根時(shí)，在求解時(shí)使用了減少實(shí)根范圍的條件而導(dǎo)致的，一般不容易發(fā)現(xiàn)，事后也難找出來(lái)。求一元二次方程實(shí)根的問(wèn)題，如果與根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)那就要簡(jiǎn)單一些。在日常教學(xué)中，也用到了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)確定實(shí)

9、根的具體情況。對(duì)于一元二次方程實(shí)根的分布范圍，就有點(diǎn)兒難度。因?yàn)檫@時(shí)的實(shí)根不是具體的數(shù)值，而是一個(gè)指定的取值范圍，那么就必須用到根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)確定。怎樣能解決這樣的問(wèn)題呢？這是學(xué)生難以搞懂的一個(gè)問(wèn)題。下面我們用一種巧妙的解法-“換元法”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a主 0)，下面的三個(gè)結(jié)論是極易證明的。 定理有方程 ax2+bx+c=0(a#0)，如果(1) 方程有一根大于 0 而另一根小于 0，那么0，且 V0；反之，如果0，且 V0,那么方程 ax2+bx+c=0 的兩根中，一根大于 0 而另一根小于 0.(2) 方程的兩根都大于 0,那么0

10、且0；反之，如果0且 V0,0，那么方程第5頁(yè)共 10 頁(yè)ax2+bx+c=0的兩根都大于 0.(3) 方程的兩根都小于 0,那么厶0且0,0；反之，如果厶0且0,0,那么方程 ax2+bx+c=0 的兩根都小于 0.應(yīng)用上述定理中的三個(gè)結(jié)論， 便可以解決各種類型的一元二次方程實(shí)根分布范圍的問(wèn)題。當(dāng)然還必須運(yùn)用一定的方法-“換元法”來(lái)輔助完成。例題 1、若方程 mx2-2x-6m-4=0 的兩根，一個(gè)根大于 1而另一個(gè)根小于 1,求的取值范圍。解：此題求的根的分布范圍與 1 的關(guān)系，可以設(shè) x=y+1,代入原方程得：my2+(2m-2)y-(5m+6)=0.(1)則方程(1)的兩根中一根大于

11、0,而另一根小于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：V0,解這個(gè)不等式就可求得 m 的取值范圍是:mV-或 m0.例題 2、若方程 x2+(m+2)x+4=0的兩根均比 1大，求 m 的取值范圍。解：因?yàn)閮筛家笥?1,而設(shè) x=y+1，則 y就是大于 0的根代入原方程得：y2+(4+m)y+(m+7)=0(1)則方程(1)的兩根都大于 0,由定理中的結(jié)論(2)得：(4+m)2-4(m+7)N0,4+mV0,m+70.解這個(gè)不等式組，即得的取值范圍是-7VmV-6，或 m2.例題 3、若方程 x2+(m-2)x+(5-m)=0的兩根都小于 2,求的取值范圍。解：因?yàn)閮筛夹∮?2,則設(shè) x=y+2

12、,代入原方程得：y2+(2+m)y+(m+5)=0(1)則方程(1)的兩根都小于 0,由定理中的結(jié)論(3)得：(2+m)2-4(m+5)0,2+m0,m+50.解這個(gè)不等式組，即得 m 的取值范圍是:-5VmS-4 或 m4.例題 4、已知方程 x2+mx+2(m+1)=0有一個(gè)根小于 1而另一根大于 3,求 m 的取值范圍。解：由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可設(shè) x=y+1,代入原方程得：y2+(m+2)y+(3m+3)=0則此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：第6頁(yè)共 10 頁(yè)3m+3V0(1).又由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可以設(shè)

13、 x=y+3,代入原方程得：y2+(m+6)y+(5m+11)=0則此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：5m+11V0(2).解由(1)、(2)聯(lián)立的不等式組，即得 m 的取值范圍是:mV-.例題 5、已知方程(1+m)x2-3mx+4m=0 的兩根都大于 2 而小于 5,求的取值范圍。解：方程有實(shí)根，.=9m2-16m(m+l)=-7m2-16m0即-m0.m2 或 mV-2(2)又方程的兩根都小于 5,可設(shè) x=y+5,代入原方程得：(1+m)y2+(10+7m)y+14m+25=0則此方程的兩根都小于 5,由定理中的結(jié)論(3)得；00.m-1,或 mV-.(3

14、)解由(1)、(2)、(3)聯(lián)立的不等式組，即得 m 的取值范圍是：-m0.m0(1)又由題意知，原方程的一根大于 0 而另一根小于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：V0,0VmV1(2)又由題意知，原方程的兩根都小于 1,于是可以設(shè) x=y+1,代入原方程得：my2+(4m-2)y+(4m-3)=0則此方程的兩根都小于 0,由定理中的結(jié)論(3)得：00第9頁(yè)共 10 頁(yè)解由(1)、(2)、(3)聯(lián)立的不等式組，即得的取值范圍是：VmVl.例題 7、若 x=1 時(shí)，代數(shù)式 ax2+bx+c的值小于 0；當(dāng) a0,且有 b2-4ac0，試證明ax2+bx+c的一根大于 1 而另一根小于 1.證明：由

15、已知條件知，x=1時(shí)，a*12+b*1+c=a+b+cV0因?yàn)橐C明的根與 1 有關(guān)，所以設(shè) x=y+1，代入所給方程得：ay2+(2a+b)y+(a+b+c)=0(1)b2-4ac0,a0,a+b+cV0,V0由定理中結(jié)論(1)可知， 方程(1)的一根大于 0 而另一根小于 0,從而由 x=y+1知方程 ax2+bx+c=0的一根大于 1 而另一根小于 1.一元二次方程根的分布問(wèn)題，通常是比較難的一個(gè)問(wèn)題。在學(xué)生解答題目時(shí)會(huì)出現(xiàn)許多錯(cuò)誤的答案。一元二次方程的求實(shí)根時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)增根與失根的問(wèn)題。增根時(shí)，可以用檢驗(yàn)的方法去驗(yàn)證；失根時(shí)，在求解時(shí)使用了減少實(shí)根范圍的條件而導(dǎo)致的，一般不容易發(fā)現(xiàn)，事

16、后也難找出來(lái)。求一元二次方程實(shí)根的問(wèn)題，如果與根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)那就要簡(jiǎn)單一些。在日常教學(xué)中，也用到了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)確定實(shí)根的具體情況。對(duì)于一元二次方程實(shí)根的分布范圍，就有點(diǎn)兒難度。因?yàn)檫@時(shí)的實(shí)根不是具體的數(shù)值，而是一個(gè)指定的取值范圍，那么就必須用到根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)確定。怎樣能解決這樣的問(wèn)題呢？這是學(xué)生難以搞懂的一個(gè)問(wèn)題。下面我們用一種巧妙的解法-“換元法”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a主 0)， 下面的三個(gè)結(jié)論是極易證明的。定理有方程 ax2+bx+c=0(a#0)，如果(1) 方程有一根大于 0 而另一根小于 0,

17、那么0，且 vo；反之，如果0,且V0,那么方程 ax2+bx+c=0的兩根中，一根大于 0而另一根小于 0.(2) 方程的兩根都大于 0,那么0 且0；反之，如果0且 V0,0,那么方程ax2+bx+c=0的兩根都大于 0.(3) 方程的兩根都小于 0,那么厶0且0,0；反之，如果厶0 且0,0,那么方程 ax2+bx+c=0 的兩根都小于 0.應(yīng)用上述定理中的三個(gè)結(jié)論， 便可以解決各種類型的一元二次方程實(shí)根分布范圍的問(wèn)題。當(dāng)然還必須運(yùn)用一定的方法-“換元法”來(lái)輔助完成。例題 1、若方程 mx2-2x-6m-4=0 的兩根，一個(gè)根大于 1而另一個(gè)根小于 1,求的取值范圍。解：此題求的根的分布

18、范圍與 1 的關(guān)系，可以設(shè) x=y+1,代入原方程得：my2+(2m-2)y-(5m+6)=0.(1)則方程(1)的兩根中一根大于 0,而另一根小于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：V0,解這個(gè)不等式就可求得 m 的取值范圍是:mV-或 m0.例題 2、若方程 x2+(m+2)x+4=0 的兩根均比 1 大，求 m 的取值范圍。解：因?yàn)閮筛家笥?1,而設(shè) x=y+1，則 y 就是大于 0的根代入原方程得：y2+(4+m)y+(m+7)=0(1)則方程(1)的兩根都大于 0,由定理中的結(jié)論(2)得：(4+m)2-4(m+7)0,4+mV0,m+70.解這個(gè)不等式組，即得的取值范圍是-7VmV-6

19、，或 m2.例題 3、若方程 x2+(m-2)x+(5-m)=0 的兩根都小于 2,求的取值范圍。解：因?yàn)閮筛夹∮?2,則設(shè) x=y+2,代入原方程得：y2+(2+m)y+(m+5)=0(1)則方程(1)的兩根都小于 0,由定理中的結(jié)論(3)得：(2+m)2-4(m+5)0,2+m0,m+50.解這個(gè)不等式組，即得 m 的取值范圍是:-5VmS-4 或 m4.例題 4、已知方程 x2+mx+2(m+1)=0 有一個(gè)根小于 1 而另一根大于 3,求 m 的取值范圍。解：由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可設(shè) x=y+1,代入原方程得：第 8 頁(yè)共 10 頁(yè)218上y2+(m+2)y+(3m+3)=0則此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：3m+3V0(1).又由方程的一根小于 1 而另一根大于 3,于是可以設(shè) x=y+3,代入原方程得：y2+(m+6)y+(5m+11)=0則此方程有一根小于 0 而另一根大于 0,由定理中的結(jié)論(1)得：5m+11V0(2).解由(1)、(2)聯(lián)立的不等式組，即得 m 的取值范圍是:mV-.例題 5、已知方程(1+m)x2-3mx+4m=0 的兩根都大