高數(shù)1-1函數(shù).

1、第一章 函數(shù)與極限第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素元素.,21naaaA所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無(wú)限集無(wú)限集,Ma ,Ma 列舉法：列舉法：描述法：描述法：*A A：表示：表示A不含不含0：表示：表示A中元素都為正中元素都為正數(shù)集分類(lèi)數(shù)集分類(lèi):N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN )(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定

2、空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.不含任何元素的集合稱(chēng)為不含任何元素的集合稱(chēng)為空集空集.,的的子子集集是是就就說(shuō)說(shuō)則則必必若若BABxAx .BA 記作記作.,相等相等與與就稱(chēng)集合就稱(chēng)集合且且若若BAABBA )(BA 例如例如,2 , 1 A,0232 xxxC.CA 則則.,的真子集的真子集是是則稱(chēng)則稱(chēng)且且若若BABABA BA 記作記作集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算1.并：;BxAxxBA 或或2.交：;BxAxxBA 且且3.差：;/BxAxxBA 且且全集（基本集）：I余集（補(bǔ)集）：cAAI 集合的運(yùn)算律集合的運(yùn)算律1.交換律：2.結(jié)合律：3.分配律：4.摩根律：ABBAABBA ,)

3、;()(),()(CBACBACBACBA );()()(),()()(CBCACBACBCACBA ;)(,)(CCCCCCBABABABA 2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱(chēng)為閉區(qū)間稱(chēng)為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxabbxax bxax 稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間稱(chēng)為半開(kāi)區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定

4、義區(qū)間長(zhǎng)度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度)稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度稱(chēng)為區(qū)間的長(zhǎng)度.3.3.絕對(duì)值絕對(duì)值: : 00aaaaa)0( a運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì):;baab ;baba .bababa )0( aaxaxa)0( aaxaxax或絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式:,aax),(aax4.4.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a. 0)( axxaU,鄰域鄰域的的稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aa

5、xx ,鄰域的右稱(chēng)為點(diǎn)數(shù)集aaxx,鄰域的左稱(chēng)為點(diǎn)數(shù)集aaxxaa a axx5.5.常量與變量常量與變量: : 在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱(chēng)為在某過(guò)程中數(shù)值保持不變的量稱(chēng)為常量常量,注意注意常量與變量是相對(duì)常量與變量是相對(duì)“過(guò)程過(guò)程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱(chēng)為而數(shù)值變化的量稱(chēng)為變量變量.常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示變量等表示變量.因變量因變量自變量自變量.)(,000處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱(chēng)為函數(shù)的值域稱(chēng)為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)

6、集函數(shù)值全體組成的數(shù)集DxxfyyW 變量變量y按照一定法則總有按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是是x的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作定定義義 設(shè)設(shè)x和和y是是兩兩個(gè)個(gè)變變量量, ,D是是一一個(gè)個(gè)給給定定的的數(shù)數(shù)集集，數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域)(xfy 如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)Dx ,()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則.xyDW約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例如

7、，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D定義定義: :.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)則叫與多值函數(shù)例如，例如，222ayx (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò)表示不超過(guò)

8、的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 階梯曲線階梯曲線-2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyoxCQxQxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg0,0,)(5xxxxxxf）絕對(duì)值函數(shù)：（xy 在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)式子來(lái)表示的函數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為分段函數(shù)分段函數(shù).在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，經(jīng)常會(huì)遇到分段函數(shù)的情形。在自然科學(xué)

9、和工程技術(shù)中，經(jīng)常會(huì)遇到分段函數(shù)的情形。:,的函數(shù)關(guān)系是與體積相當(dāng)小時(shí)，壓強(qiáng)當(dāng)體積例如VpV020,VVVVVVVkp都是常量其中, k范德瓦爾斯方程三、函數(shù)的運(yùn)算三、函數(shù)的運(yùn)算2211),(;),(DxxgyDxxfy設(shè)21DDD且:) 1 (gf 和（差）Dxxgxfxgf),()()(:)2(gf 積Dxxgxfxgf),()()(:) 3(gf商, 0)(,)()()(DxxgxDxxgxfxgf四、反函數(shù)四、反函數(shù)0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)o0 x0yDxyW)(1yfx反函數(shù)o)(:11DfDf 映射設(shè)函數(shù))(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(x

10、y 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).xy 五、復(fù)合函數(shù)五、復(fù)合函數(shù),uy 設(shè),12xu21xy定義定義:,自變量x,中間變量u,因變量y注意注意: :1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如;22xu)2arcsin(2xy2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例如,uy ,cotvu .2xv 例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx求設(shè)解解1)(),(1)(,

11、)()(xxxexfx,1)(10時(shí)當(dāng)x, 0 x或, 12)( xx;20 x, 0 x或, 11)(2 xx; 1x,1)(20時(shí)當(dāng)x, 0 x或, 12)( xx;2x, 0 x或, 11)(2 xx; 01x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122xxxxxexexfxx六、函數(shù)的特性六、函數(shù)的特性1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:,)(成立有Mxf.)(上有上界在則稱(chēng)函數(shù)Xxf, 0,.)(XxMDXDxf若的定義域?yàn)樵O(shè),)(成立有Mxf.)(上有下界在則稱(chēng)函數(shù)XxfM-Myxoy=f(x)X有界有界無(wú)界無(wú)界M-MyxoX0 xMxfXxM)(,011使，如果.)(上無(wú)界在

12、則稱(chēng)Xxf,)(成立有Mxf, 0XxM如果.)(上有界在則稱(chēng)函數(shù)Xxf有界既有上界，又有下界2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf區(qū)間的定義域?yàn)樵O(shè)函數(shù),2121時(shí)當(dāng)及上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間xxxxI;)(上是單調(diào)增加的在區(qū)間則稱(chēng)函數(shù)Ixf恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI),()(21xfxf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調(diào)減少的在區(qū)間則稱(chēng)函數(shù)Ixf,)(DIDxf區(qū)間的定義域?yàn)樵O(shè)函數(shù),2121時(shí)當(dāng)及上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間xxxxI恒有),()(21xfxf)(xfcxf)(是常數(shù)）（c)(xf)(xfc0c0c)(1xf)(2xf)(1xf)(2xf定

13、理定理1 1 （1）單調(diào)函數(shù)與函數(shù)（2）單調(diào)函數(shù)與函數(shù)當(dāng)時(shí)，依同向變化；時(shí)，依同反向變化。與則兩函數(shù)的和也和它們依同向變化。與那么這兩個(gè)函數(shù)的乘積與它們依同向變化。是常數(shù)）（c當(dāng)（3）若兩個(gè)單調(diào)函數(shù)依同向變化，（4）若兩個(gè)正值（或負(fù)值）單調(diào)函數(shù)依同向變化，依同向（或反向）變化。)(xf)(1xf)(xf)(xf)(1xf)(ufy )(xgu )(xgfy （5）單調(diào)函數(shù)與函數(shù)在不等于零的同號(hào)區(qū)間里依反向變化。和它的反函數(shù)依同向變化。和單調(diào)函數(shù)依同向（或反向）變化，那么復(fù)合函數(shù)是單調(diào)遞增（或遞減）的。（6）單調(diào)函數(shù)（7）如果單調(diào)函數(shù)3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)設(shè),DxD)()(x

14、fxf;)(為偶函數(shù)稱(chēng)xf偶函數(shù)偶函數(shù)xy)( xfy ox-x)( xf)( xf有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱(chēng)稱(chēng)xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 定理定理2 2 （1）兩個(gè)奇（或偶）函數(shù)的代數(shù)和仍是奇（或偶）函數(shù)。（2）奇（或偶）函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè) 偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。（3）如果奇函數(shù)的反函數(shù)存在，且定義在對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的 數(shù)集上，那么這個(gè)反函數(shù)也是奇函數(shù)。（4）奇（或偶）函數(shù)的倒數(shù)函數(shù)（分母不為零）仍為奇 （或偶）函數(shù)。)(ufy )(xgu S)(xg)(uf)(xgfy )(xg)(u

15、f)(xgfy 是函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，定義在對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的數(shù)集上：是奇函數(shù)，則當(dāng)是奇（或偶）函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)是奇（或偶）函數(shù)；是偶函數(shù)，則不論是奇函數(shù)或偶函數(shù)，復(fù)合函數(shù)都是偶函數(shù)。（5）設(shè)函數(shù))(xgfy 若若4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)如果存在一個(gè)不為零的如果存在一個(gè)不為零的)()(xflxf 且且為周為周則稱(chēng)則稱(chēng))(xf.)( ,DlxDxl 使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱(chēng)為稱(chēng)為期函數(shù)期函數(shù)xfl.恒成立恒成立 周期函數(shù)的一切周

16、期所組成的數(shù)集一定是一個(gè)無(wú)界的無(wú)窮數(shù)集。 Rxtan)(2Zkkxx 但是，周期函數(shù)的定義域不一定就是 例如，周期函數(shù)的定義域就是有些周期函數(shù)可能找不到最小正周期 例如，常量函數(shù)cxf)( )(xfDTcxfk)()0,(kck為常數(shù)，且DT)(/xfk)0(kk為常數(shù)，且, 0)(Dxxfx)(baxf), 0(DbaxaaT /定理定理3 3 設(shè)是定義在集合上的周期函數(shù)，它的最小正周期是，則有任然是上的周期函數(shù)，求最小正周期仍為（2）函數(shù)是在集合上的周期函數(shù)，最小正周期仍為（3）函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)。 （1）函數(shù)T)(ufE)(xgu DDxExg)()(xgfE定理定理4 4

17、如果是定義在集合上的函數(shù)，而是定義在集合上的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，那么復(fù)合函數(shù)是集合上的周期函數(shù)。)(1xf)(2xfD1T2T21TTD1T2T定理定理5 如果和都是定義在集合上的周期函數(shù)，它們的正周期分別為和，若是有理數(shù)，那么它們的和、上的周期函數(shù)。與的公倍數(shù)是它們的和、差與積的一個(gè)周期。 差與積也是定義在例例3 3解解,01)(cQxQxxD設(shè).)().21(),57(的性質(zhì)的性質(zhì)并討論并討論求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1單值函數(shù)單值函數(shù), 有界函數(shù)有界函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù),周期函數(shù)周期函數(shù)(無(wú)最小正周期無(wú)最小正周期)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),七、

18、基本初等函數(shù)七、基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4、三角函數(shù)、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc

19、 5、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arc初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子一個(gè)式子表示表示的函數(shù)的函數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為初等函數(shù)初等函數(shù).雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:D偶函數(shù)偶函數(shù).1、雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)xey21 xey 21xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D有界函數(shù)