chapter13(電磁場邊值關(guān)系電磁場的能量和能流)

1、 第三節(jié) 電磁場邊值關(guān)系 麥克斯韋方程組可以應(yīng)用于任何連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部。在兩介質(zhì)分界面上，由于一般出現(xiàn)面電荷電流分布，使物理量發(fā)生躍變，微分形式的麥?zhǔn)戏匠探M不再適用。1 在場作用下，介質(zhì)界面上一般出現(xiàn)面束縛電荷和電流分布，這些電荷電流的存在又使得界面兩側(cè)場量發(fā)生躍變。 因此，我們要用另一種形式描述界面兩側(cè)的場強(qiáng)以及界面上電荷電流的關(guān)系。2圖(b): 束縛電荷激發(fā)的場子與外場E0疊加后得到總電場。兩邊的電場E1和E2在界面上發(fā)生躍變。圖(a): 介質(zhì)與真空分界的情形，在外場E0的作用下，介質(zhì)界面上產(chǎn)生面束縛電荷，這些束縛電荷本身激發(fā)的電場在介質(zhì)內(nèi)與E0反向，在真空中與E0同向。3 邊值關(guān)系就是描述兩

2、側(cè)場量與界面上電荷電流的關(guān)系。由于場量躍變的原因是面電荷電流激發(fā)附加的電磁場，而積分形式的麥?zhǔn)戏匠炭梢詰?yīng)用于任意不連續(xù)分布的電荷電流所激發(fā)的場，因此研究邊值關(guān)系的基礎(chǔ)是積分形式的麥?zhǔn)戏匠探M。4一、法向分量的躍變麥?zhǔn)戏匠探M的積分形式為If 為通過曲面S 的總自由電流，Qf為閉合曲面內(nèi)的總自由電荷。把這組方程應(yīng)用到界面上可以得到兩側(cè)場量的關(guān)系。5把總電場的麥?zhǔn)戏匠虘?yīng)用到兩介質(zhì)邊界上的一個(gè)扁平狀柱體。上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面，Qf和Qp分別為柱體內(nèi)的總自由電荷和總束縛電荷，它們等于相應(yīng)的電荷面密度f 和p乘以底面積S。當(dāng)柱體的厚度趨于零時(shí)，對(duì)側(cè)面的積分趨于零，對(duì)上下底面積分得(E2nE

3、1n) 。6通過薄層右側(cè)面進(jìn)入介質(zhì)2的正電荷為P2dS ，由介質(zhì)1通過薄層左側(cè)進(jìn)入薄層的正電荷為P2dS ，因此，薄層內(nèi)出現(xiàn)的凈余電荷為(P2 P1)dS ，以P表示束縛電荷面密度，有7由此n為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線兩式相加極化矢量的躍變與束縛電荷面密度相關(guān)，Dn的躍變與自由電荷面密度相關(guān)，En的躍變與總電荷面密度相關(guān)。利用實(shí)際上主要應(yīng)用關(guān)于Dn的邊值關(guān)系式8Dn的躍變式可以較簡單的由麥?zhǔn)戏匠探M的積分形式直接得出由于側(cè)面的積分趨于零，得在扁平狀區(qū)域上應(yīng)用9對(duì)于磁場B，在邊界上的扁平狀區(qū)域上應(yīng)用積分形式的麥?zhǔn)戏匠?0二、切向分量的躍變 面電荷分布使界面兩側(cè)電場法向分量發(fā)生躍變，我們可以

4、證明面電流分布使界面兩側(cè)磁場切向分量生躍變。我們先說明表面電流分布的概念。1 面電流分布面電流實(shí)際上是在靠近表面的相當(dāng)多分子層內(nèi)電流的平均宏觀效應(yīng)11定義電流線密度，其大小等于垂直通過單位橫截線的電流。如圖界面的一部分，其上有面電流，其線密度為，l為橫截線，垂直流過l段的電流為12由于存在面電流，在界面兩側(cè)的磁場強(qiáng)度發(fā)生躍變。如圖，在界面兩旁取一狹長形回路，回路的一長邊在介質(zhì)1中，另一長邊在介質(zhì)2中。長邊l與面電流正交。2 切向分量的躍變?cè)讵M長形回路上應(yīng)用麥?zhǔn)戏匠?3取回路上下邊深入到足夠多分子層內(nèi)部，使面電流完全通過回路內(nèi)部。從宏觀來說回路短邊的長度仍可看作趨于零,因而有其中t表示沿l的切向

5、分量。通過回路內(nèi)的總自由電流為14由于回路所圍面積趨于零，而D/t為有限量，因而代入得15上式可以用矢量形式表示。設(shè)l為界面上任一線元，t為l方向上的單位矢量。 流過了l的自由電流為對(duì)于狹長形回路用得16由于l為界面上任一矢量，因此上式再用n矢乘, 注意到磁場切向分量的邊值關(guān)系/表示投射到界面上的矢量17此式表示界面兩側(cè)E的切向分量連續(xù)?？傻秒妶銮邢蚍至康倪呏店P(guān)系：同理，應(yīng)用18以后在公式中出現(xiàn)的和, 除特別聲明者外，都代表自由電荷面密度和自由電荷線密度，不再寫出角標(biāo)f。總括我們得到的邊值關(guān)系為這組方程和麥?zhǔn)戏匠谭e分式一一對(duì)應(yīng)。邊值關(guān)系表示界面兩側(cè)的場以及界面上電荷電流的制約關(guān)系，它們實(shí)質(zhì)上是

6、邊界上的場方程。19例 無窮大平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)(如圖)，極板上面電荷密度f，求電場和束縛電荷分布。由對(duì)稱性可知電場沿垂直于平板的方向，把邊值關(guān)系應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場強(qiáng)為零，故得同樣，把邊值關(guān)系應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得解20由這兩式得束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處， f=0由得21在介質(zhì)1與下板分界處在介質(zhì)2與上板分界處容易驗(yàn)證由得介質(zhì)整體是電中性的22第四節(jié) 電磁場的能量和能流1. 場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的一般形式 能量是按一定的形式分布于場內(nèi)的，而由于場在運(yùn)動(dòng)，場能量不是固定地分布于空間中，而是隨著場 在空間中傳播 因此，我們需要引入兩個(gè)物理量來描述。

7、23場的能量密度w(x,t), 它是場內(nèi)單位體積的能量。場的能流密度S, S在數(shù)值上等于單位時(shí)間垂直流過單位橫截面的能量其方向代表能量傳輸方向.24能量守恒的積分形式:通過界面 流入V內(nèi)的能量場對(duì)電荷系統(tǒng)所作的功率V內(nèi)場的能量增加率 場和電荷之間,場的一區(qū)域與另一區(qū)域之間，都有可能發(fā)生能量轉(zhuǎn)移。在轉(zhuǎn)移過程中總能量是守恒的。25相應(yīng)的微分形式:當(dāng)V 時(shí)結(jié)論: 場對(duì)電荷所做的總功率等于場的總能量減小率, 因此場和電荷的總能量守恒.262. 電磁場能量密度和能流密度表達(dá)式由洛倫茲力公式得:27得比較28分兩種情況討論(1) 真空中電荷分布情況 因此這時(shí)相互作用的物質(zhì)是電磁場和自由電荷, 能量在兩者之

8、間傳播. 在真空中29場對(duì)自由電荷所作的功率密度為JE，它或者變?yōu)殡姾傻?動(dòng)能，或者變?yōu)榻苟鸁?。場?duì)介質(zhì)中束縛電荷所作的功轉(zhuǎn)化為極化能和磁化能而儲(chǔ)備在介質(zhì)中，也可能有一部分轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)（介質(zhì)損耗）。當(dāng)外場變化時(shí)，極化能和磁化能亦發(fā)生變化，如果不計(jì)及介質(zhì)損耗，則這種變化是可逆的。 (2) 介質(zhì)內(nèi)的電磁能量和能流 這時(shí)相互作用的系統(tǒng)包括三個(gè)方面： 電磁場、自由電荷、介質(zhì)。30一般介質(zhì)中場能量的改變量線性介質(zhì)積分得:介質(zhì)的極化和磁化狀態(tài)由介質(zhì)電磁性質(zhì)方程確定，一定的宏觀電磁場對(duì)應(yīng)于一定的介質(zhì)極化和磁化狀態(tài)，因此我們把極化能和磁化能歸入場能中一起考慮，成為介質(zhì)中的總電磁能量。31 3. 電磁能量的

9、傳輸在恒定電流或低頻交流電情況下，電磁能量在場中傳播。在電路中，物理系統(tǒng)的能量包括導(dǎo)線內(nèi)部電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和導(dǎo)線周圍空間中的電磁場能量。導(dǎo)線內(nèi)的電流密度為:32導(dǎo)體內(nèi)自由電子的平均漂移速度是很小的，相應(yīng)的動(dòng)能也很小，而在恒定的情況下，整個(gè)回路上，電流都有相同的值，因此，電子運(yùn)動(dòng)的能量并不是供給負(fù)載上消耗的能量。在傳輸過程中，一部分能量進(jìn)入導(dǎo)線內(nèi)部變?yōu)榻苟鸁釗p耗；在負(fù)載電阻上,電磁能量從場中流人電阻內(nèi)，供給負(fù)載所消耗的能量。334.例 同軸傳輸線內(nèi)導(dǎo)線半徑為a，外導(dǎo)線半徑為b，兩導(dǎo)線間為均勻絕緣介質(zhì)(如圖)。導(dǎo)線載有電流I，兩導(dǎo)線間的電壓為U。(1) 忽略導(dǎo)線的電阻，計(jì)算介質(zhì)中的能流S和傳輸功率;(2)計(jì)及內(nèi)導(dǎo)線的有限電導(dǎo)率,計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)線表面進(jìn)入導(dǎo)線內(nèi)的能流,證明它對(duì)于導(dǎo)線的損耗功率.34(1) 以距對(duì)稱軸為r的半徑作一圓周(arb),應(yīng)用安培環(huán)路定律,由對(duì)稱性得導(dǎo)線表面上一般帶有電荷，設(shè)內(nèi)導(dǎo)線單位長度的電荷(電荷線密度)為高斯定理對(duì)稱性 解： 35式中ez為沿導(dǎo)線軸向單位矢量兩導(dǎo)線間的電壓因而能流密度36把S對(duì)兩導(dǎo)線間圓環(huán)狀截面積積分得傳輸功率 UI即為通常在電路問題中的傳輸功率表達(dá)式