自動(dòng)控制理論：第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合

1、第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9.2控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解9.3控制系統(tǒng)的能控性和能觀性9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9.1.1 基本概念 圖 9-1 所示的 電路中，由電路原理可知，回路中的電流 和電容上的電壓 的變化規(guī)律滿足如下方程 圖9-1 RLC電路在知道i和uc的初始值及t=0時(shí)的輸入量u的情況下求解微分方程（9-1）就可以求出i和uc的變化規(guī)律 和 表征了電路的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為該電路的狀態(tài)變量，1. 狀態(tài)變量 定義：足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量 一個(gè)用n階微分方程描述的系統(tǒng)，有n個(gè)獨(dú)立變量，當(dāng)這n個(gè)獨(dú)立變量的時(shí)間響應(yīng)都求

2、出時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)到狀態(tài)也就都知道了。因此， n階微分方程有n個(gè)獨(dú)立變量。 同一個(gè)系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取不是惟一的。 對(duì)于一般的物理系統(tǒng)，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)等于儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2狀態(tài)向量 把描述系統(tǒng)的 個(gè)狀態(tài)變量 看作向量 的分量，則 稱為 維狀態(tài)向量，記作3 狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸所張成的n維空間， 系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中是一個(gè)點(diǎn)，隨時(shí)間推移，狀態(tài)在變化規(guī)律在狀態(tài)空間中繪出一條軌跡，稱為狀態(tài)軌線。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式4 狀態(tài)方程 由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組 式 可以改寫為 若將狀態(tài)變量用一般符號(hào) 表示，即令 ，并寫成向量矩陣的

3、形式，則狀態(tài)方程變?yōu)?.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式或式中 對(duì)圖9-1所示系統(tǒng)，在以 作輸入時(shí)，從式 中消去中間變量 ，得二階微分方程為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 若改選 和 為狀態(tài)變量，即令 ， 則得一階微分方程組為 寫成矩陣形式 在同一系統(tǒng)中，狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式5 輸出方程 輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量間的函數(shù)關(guān)系式， 在圖9-1中， 為輸出，用 表示，則有用矩陣表示為其中9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式6 狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程與輸出方程組合起來，稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。它構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的完整描述。 一般情況下，設(shè)單輸

4、入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ，則一般形式的狀態(tài)方程為9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 輸出方程除了是狀態(tài)變量的函數(shù)外，有時(shí)還有輸入變量的直接傳遞，其一般形式為 用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 對(duì)于一個(gè) 維輸入、 維輸出的多輸入、多輸出系統(tǒng)其狀態(tài)空間表達(dá)式為式中9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，可以用圖9-2的方框圖表示圖9-2 狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式9.1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 狀態(tài)空的建立方法有： 1: 可根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)理直接建立 2：可由經(jīng)典控制理論已建立起來的數(shù)學(xué)模型，即結(jié)構(gòu)圖、傳

5、遞函數(shù)和微分方程來導(dǎo)出。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1、從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 例9-1 建立如圖9-3所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出系統(tǒng)的狀態(tài)圖。 根據(jù)牛頓第二定理有 或表示成 選擇位移 和速度 為狀態(tài)變量，令 則圖9-3 機(jī)械位移系統(tǒng)9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 用向量矩陣表示的狀態(tài)空間表達(dá)式為 狀態(tài)圖： 為了更直觀地反映各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，狀態(tài)空間表達(dá)式常用狀態(tài)圖表示。繪制方法如下： （1）有多少了狀態(tài)變量，畫多少個(gè)積分器； （2）根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器，最后用箭頭連接起來。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 該機(jī)械系統(tǒng)的

6、狀態(tài)如圖9-4所示。圖9-4 機(jī)械系統(tǒng)狀態(tài)圖9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 2、從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 例9-2 在圖9-5所示系統(tǒng)中，若選取 作為狀態(tài)變量，試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式，并寫成矩陣形式。圖9-59.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式由結(jié)構(gòu)圖得整理可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為寫成向量矩陣形式 3、由微分方程（或傳遞函數(shù)）求狀態(tài)空間表達(dá)式 （1）微分方程中不含有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（或傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)）：若系統(tǒng)微分方程為 對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 如果選取 為一組狀態(tài)向量，即 則有 記成向量矩陣形式為9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-6所示圖9-6

7、 狀態(tài)圖9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 一般情況下，由 階微分方程描述的系統(tǒng)為相應(yīng)的傳遞函數(shù)為若選 為狀態(tài)變量，那么9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 如上述這樣選擇的一組狀態(tài)變量稱為相變量，得出的表達(dá)式 稱為能控標(biāo)準(zhǔn)型。系統(tǒng)矩陣 稱為友矩陣 9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（2）輸入方程中含有輸入信號(hào)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（或傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)） 從三階推廣到 n 階系統(tǒng)，系統(tǒng)微分方程為 對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為 只有當(dāng)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的次數(shù)小于或等于分母多項(xiàng)的次數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式才存在。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 當(dāng) 的分子次數(shù)等于分母次數(shù)時(shí)，首先應(yīng)用綜合除法把 變成嚴(yán)格有理分

8、式，即式中， 是直接聯(lián)系輸入、輸出的前饋系數(shù)。式中則由 可導(dǎo)出能控和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式。9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 串聯(lián)分解：將 分解為兩部分相串聯(lián)如圖9-7所示。 為中間變量， ， 則應(yīng)滿足若選狀態(tài)分量 ，則狀態(tài)方程為圖9-7 N(s)/D(s)的串聯(lián)分解輸出方程為若 ，則或可表示為9.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合據(jù)此可得系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-8所示。圖9-8 N(s)/D(s)串聯(lián)分解的狀態(tài)圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 并聯(lián)分解：1） 只含單實(shí)極點(diǎn)（或微分方程含有互不相等的特征根）

9、：設(shè) 可分解為則傳遞函數(shù)可展開成部分分式之和，即 式中 為極點(diǎn) 的留數(shù)，且有第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合若令狀態(tài)變量則展開得其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-9(a)所示第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合若令狀態(tài)變量 則 取拉氏反變換有其向量矩陣形式為其狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-10(b)所示。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合圖9-9 對(duì)角形動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2） 含有重極點(diǎn)（或微分方程含有重特征根）：當(dāng)傳遞函數(shù)不僅含有單實(shí)極點(diǎn)，還含有重實(shí)極點(diǎn)，其 矩陣可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè) 可分解為式中 為三重極點(diǎn)， 為單實(shí)極點(diǎn)。傳遞函數(shù)可展成下列部分分式之和第九章

10、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合若狀態(tài)變量第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合取拉氏反變換，有或表示為相應(yīng)的狀態(tài)變量方框如圖9-10所示。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合圖9-10 約當(dāng)動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合4、多輸入、多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng)，當(dāng)已知微分方程或傳遞函數(shù)時(shí)要求其狀態(tài)空間表達(dá)式，可先畫出每個(gè)方程的狀態(tài)圖，然后把互相牽連的信號(hào)線加上，選每個(gè)積分器的輸出為狀態(tài)變量，根據(jù)狀態(tài)圖，就可直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 以雙輸入、雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)微分方程為把最高階導(dǎo)數(shù)

11、項(xiàng)留在左邊，其余移項(xiàng)到右邊后得第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合對(duì)每一個(gè)方程積分故得狀態(tài)結(jié)構(gòu)如圖9-11所示第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合取每個(gè)積分器輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，則式 的一種實(shí)現(xiàn)為或表示為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.1.4 傳遞函數(shù)矩陣1、傳遞函數(shù)陣 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中， 為 維狀態(tài)向量， 為 維輸入向量， 為 維輸出向量， 為滿足矩陣運(yùn)算的矩陣。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合對(duì)式 進(jìn)行拉氏變換，并設(shè)初始條件為零，則有式中 為狀態(tài)向量對(duì)輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣，是一個(gè) 型矩陣第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 為輸出向量對(duì)輸入向

12、量的傳遞函數(shù)矩陣，簡稱傳遞函數(shù)矩陣，是一個(gè) 型矩陣式中各元素 都是標(biāo)量函數(shù)，表征第 個(gè)輸入對(duì)第 個(gè)輸出的傳遞關(guān)系。當(dāng) 時(shí)，意味著不同標(biāo)號(hào)輸入與輸出有相互關(guān)聯(lián)，稱為有耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點(diǎn)。 同一系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達(dá)式不惟一，但傳遞函數(shù)矩陣是不變的第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合2、組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣復(fù)雜的控制系統(tǒng)，可能由多個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連接而成。討論兩個(gè)子系統(tǒng) 和 構(gòu)成的組合系統(tǒng)。 設(shè)系統(tǒng) 為傳遞函數(shù)矩陣為 設(shè)系統(tǒng) 為傳遞函數(shù)矩陣為第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合（1）并聯(lián)連接：如圖9-12(a)所示，兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)連接時(shí)，并聯(lián)連接系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)

13、的傳遞函數(shù)矩陣為故子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的代數(shù)和。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合（2）串聯(lián)連接：串聯(lián)連接如圖9-12(b)所示。這時(shí) ， 在前， 在后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為假定 和 之間無負(fù)載效應(yīng)，系統(tǒng)的輸出為故即系統(tǒng)串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣等于子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣之積。注意，傳遞函數(shù)相乘，先后次序不能顛倒。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合（3）反饋連接：設(shè) 的系統(tǒng)方程為設(shè) 的系統(tǒng)方程為如圖9-12(c)所示，由圖可得即9.2.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 線性定常齊次狀態(tài)方程是指輸入向量為零時(shí)的狀態(tài)方程 設(shè)初始時(shí)刻 ，系統(tǒng)的初始狀態(tài)

14、 ，狀態(tài)方程是一階微分方程組，它的求解方法與標(biāo)量一階微分方程相類似。 一階向量齊次微分方程的解為其中 可以展開成9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，簡稱矩陣指數(shù)。由于 是由 轉(zhuǎn)移而來，對(duì)于線性定常系統(tǒng)， 又有狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣之稱，并記為 ，即 如果初始時(shí)刻 ，初始狀態(tài)為 ，則齊次狀態(tài)方程的解為9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式9.2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì) 重寫 根據(jù)式 ，可以推出 具有如下性質(zhì)：（1） ，或 本性質(zhì)說明狀態(tài)向量從時(shí)刻 又轉(zhuǎn)移到時(shí)刻 ，狀態(tài)向量不變。（2） ，或（3） ，或9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（4） ，或 這個(gè)性質(zhì)說明，轉(zhuǎn)移矩陣的逆意味著時(shí)間的逆轉(zhuǎn)，利用這個(gè)

15、性質(zhì)，可以在已知 的情況下，求出 。（5）對(duì)于 方陣 和 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，有 ； 否則，若 ，則 ，注意：這與標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是不同的。9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式9.2.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法 或 的求法，較常用的有四種方法，1、冪級(jí)數(shù)法 此法具有步驟簡便和編程容易的優(yōu)點(diǎn)，適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。用手工計(jì)算不易得到閉式解。9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式2、拉普拉斯變換法 將 兩端取拉氏變換，有若 存在，則取拉氏反變換，有由于微分方程的解是惟一的，所以9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式3、應(yīng)用凱萊哈密頓定理計(jì)算 （1）凱萊哈密頓定理：方陣 滿足自身的特征方程 即由上式可得也就是說 是 的線性組合。在

16、 的冪級(jí)數(shù)表示法中，消去 及以上的冪次項(xiàng)后得9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（2） 的計(jì)算方法 1） 的特征值互異時(shí)，因?yàn)樘卣髦?與 是可以互換的所以 也滿足式 ，即或于是9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式2） A 的特征值均相同：設(shè) A 的特征值為 ，則上式對(duì) 求導(dǎo)，有重復(fù)以上步驟，最后有9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 由上面的 個(gè)方程對(duì) 求解后得3）當(dāng) A 的特征根既有互異特征值，又有重特征值時(shí) 可根據(jù) 和 求得。9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式4、通過線性變換把 化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型來求（1）若 A 陣有 n 個(gè)不相等的實(shí)根，則9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式那么（2）若A

17、可化為約旦型矩陣9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 可求得 那么9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合（3）若 A可化為模態(tài)型矩陣M，則式中第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合所以于是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣9.2.4 線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解 非齊次狀態(tài)方程是指輸入向量不等于零時(shí)的狀態(tài)方程即求解（9-74）可用積分法和拉氏變換法。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合1、積分法 設(shè)初始時(shí)刻 t0=0，初始狀態(tài)為x(0)。將式(9-74) 改寫成上式兩邊左乘 后得即對(duì)上式在0 到 t 時(shí)間內(nèi)積分，有第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合整理后可得若 t0 0 ，初

18、始狀態(tài)為X(t0)，則有2、拉氏變換法 對(duì)式(9-74 )進(jìn)行變換，有由于 一定存在，所以直接對(duì) 兩邊去拉氏反變換，得9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 式 (9-74)與式 (9-75) 是等價(jià)的。很明顯，式(9-74) 的解x(t) 由兩部分組成：第一部分是由初始狀態(tài)引起的，稱為零輸入響應(yīng)；第二部分是由輸入向量引起的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。 正是由于第二部分的存在我們才可能通過選擇輸入向量，使?fàn)顟B(tài)向量的狀態(tài)滿足期望的要求。9.2 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式9.3.1 能控性與能觀性問題的提出 用狀態(tài)空間模型描述控制系統(tǒng)時(shí)，存在系統(tǒng)的狀態(tài)變量是否能受輸入的控制，即能控性問題； 系統(tǒng)的輸出能否反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即能觀

19、性問題。 系統(tǒng)的能控性與能觀性問題是卡爾曼首先提出的。它是現(xiàn)代控制中的兩個(gè)重要概念，是最優(yōu)控制和最優(yōu)估計(jì)的基礎(chǔ)。9.3 控制系統(tǒng)的能控性與能觀性9.3.2 能控性定義及其判別準(zhǔn)則1、能控性定義（1）線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義： 線性定常連續(xù)系統(tǒng) 如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t) 能在有限時(shí)間區(qū)間t0 , t1 內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(t0)，轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(t1)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。9.3 控制系統(tǒng)的能控性與能觀性第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 上述定義可以在二階系統(tǒng)的狀態(tài)平面上來說明。 如圖9-14所示假定狀

20、態(tài)平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下，被驅(qū)動(dòng)到任一指定狀態(tài)P1, P2, , Pn，那么狀態(tài)平面的 P 點(diǎn)是能控狀態(tài)。 若能控狀態(tài)充滿整個(gè)狀態(tài)空間，即對(duì)于任意初始狀態(tài)都能找到相應(yīng)的控制輸入，使得在有限的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全能控。圖9-14 系統(tǒng)能控性示意圖第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合（2）離散時(shí)間系統(tǒng)能控性定義： 離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 其能控性定義為：若存在控制作用序列u(k), u(k+1) , u(l-1) ,能將第k步的某個(gè)狀態(tài)x(k) 在第l步上達(dá)到零狀態(tài)，即x(l) =0，那么就稱此狀態(tài)是能控的。 若系統(tǒng)在lk 步上所有的狀態(tài)x(k)

21、都是能控的，那么此系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的，稱為能控系統(tǒng)。2、能控性判別準(zhǔn)則（1）線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判別準(zhǔn)則： 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 從能控性的定義可以看出，判別一個(gè)線性系統(tǒng)能控性的問題，實(shí)際上是根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和任意給定的初始狀態(tài)，看能否找到任意的控制向量，把初始狀態(tài)x(t0)在有限的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即 =0 。x(t1)第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 式(9-91)狀態(tài)方程的解為 設(shè) 上式化為 或 根據(jù)凱萊哈密頓定理，可以將 展開為 將式(9-93) 代入式(9-92) ，可得第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合設(shè)則式(9-94) 化為 要是系統(tǒng)能控，則對(duì)任意給定的初始狀態(tài)x(0)，都能從（9-95）式中解出fk 來。因此必須保證矩陣 的逆存在。也就是矩陣 S的秩為 n 。因此系統(tǒng)能控充分要條件是： 矩陣S 稱為能控性判別陣。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合（2）線性定常離散系統(tǒng)能控性判別：離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 根據(jù)能控性定義，在有限采樣周期內(nèi)，若能找到階梯控制信號(hào)，使得任意一個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，那么系統(tǒng)狀態(tài)是完全能控的。 能控的充要條件是系數(shù)矩陣滿秩。第九章 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9.3.3 線性系統(tǒng)能觀性定義及判據(jù)1、能觀性