自動控制理論課件：第四章 根軌跡法

1、第四章 根軌跡法 閉環(huán)控制系統(tǒng)的性質(zhì)主要由閉環(huán)極點描述，閉環(huán)極點在S平面上的位置十分重要。設(shè)計時，如何調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)使得閉環(huán)極點位于S平面適當?shù)奈恢茫?對于三階以上的系統(tǒng)，由閉環(huán)特征方程求解閉環(huán)極點很麻煩，尤其參數(shù)改變時。本章介紹參數(shù)與系統(tǒng)特征根的關(guān)系。 第四章 根軌跡法4.1 根軌跡概念4.2 根軌跡方程4.3 繪制根軌跡的基本法則4.4 根軌跡的改造4.1 根軌跡概念定義：開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無窮時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在S平面運行的軌跡稱系統(tǒng)的根軌跡。 (一般以開環(huán)增益為變化參數(shù))做法：利用系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點分布來研究閉環(huán)系統(tǒng)的極點的分布，從而得到系統(tǒng)的動態(tài)性能。研究根軌跡的

2、目的：考慮某一參數(shù)變化后，閉環(huán)極點的變化規(guī)律，從而了解系統(tǒng)動態(tài)性能的變化。4.1 根軌跡概念例1. 對于系統(tǒng)其特征方程為：特征方程的根為：wjs-20-1K=1/3K=2/3KKK=2/3-11繪制根軌跡的條件？根據(jù)根軌跡方程得到4.2 根軌跡方程G(s)H(s)+-閉環(huán)傳遞函數(shù)分母方程 (其解為特征根)對于一般的控制系統(tǒng)：則：于是得到繪制根軌跡的條件：根軌跡方程由得幅值條件相角條件Nr = n m時間常數(shù)表達式零極點表達式，其中K為根軌跡增益幅值條件相角條件 由開環(huán)零極點指向軌跡點的向量的方位角。(1) 當k 從 變化時，S平面上系統(tǒng)特征根的變化形成軌跡。每一個k 值，按幅值條件對應(yīng)于根軌跡

3、上的n個點。 (2) 根軌跡 上的點符合相角條件，且 符合相角條件的點一定在根軌跡上。故 相角條件是根軌跡的充要條件。例：開環(huán)極點為：無開環(huán)零點j 0-0.5 -p1-p2試探法(1)在實軸上取S1= -0.1S1j 0-0.5 -p1-p2S1對應(yīng)的 同理 ，實軸上 之間的點都是根軌跡上的點。 (2)在實軸上取S2= -0.25 + j0.25S1對應(yīng)的 同理 ，實軸垂直平分線上的所有點都是根軌跡上的點。 S2j 0-0.5 -p1-p2 -0.251. 根軌跡的分支： 分支數(shù)G0(s)的極點數(shù)2. 根軌跡的起點：起點：G0(s)的極點終點： G0(s)的零點n m時，有（nm) 條分支趨于

4、無窮。4.3 繪制根軌跡的基本法則3. 根軌跡的漸近線：共有（nm）條漸近線與實軸交點與實軸夾角4. 根軌跡的對稱性：關(guān)于實軸對稱。5. 實軸上的根軌跡：凡右邊具有奇數(shù)個零極點的段是根軌跡。j 6.根軌跡的分離點：分離點在兩極點之間，會合點在兩零點之間。分離點(會合點)是閉環(huán)特征方程的重根。解出 S 值，取 k0 時的重根點。特征方程：7.出射角和入射角：(出射角對復(fù)極點入射角對復(fù)零點)出射角和入射角都滿足相角條件。出射角(入射角)：根軌跡在出射點(入射點)的切線與實軸正方向的夾角。設(shè)出射角為 ，入射角為 在-p1點一般例1在-z1點一般出射角入射角例28.根軌跡與虛軸的交點：由s = j 代入閉環(huán)特征方程可得，D(j ) = 0，由方程可得交點的值。例4.6根軌跡的分離點：舍去與虛軸交點：代入實部， k=48實部虛部臨界放大倍數(shù)Routh表：S3 1 8S2 6 kS1 0S0 k 0K=48時，S1行全為0輔助方程：6S2480例4.7取出射角4.4 根軌跡的改造1. 增加開環(huán)極點： 重心向右移2. 增加開環(huán)零點： 重心向左移3. 增