Lingo軟件編程求解規(guī)劃問題數(shù)學(xué)建模

1、用Lingo軟件編程求解規(guī)劃問題什么是規(guī)劃問題？求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為規(guī)劃問題。決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素. 主要解決最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃、最優(yōu)分配、最優(yōu)設(shè)計(jì)、最優(yōu)決策、最佳管理等最優(yōu)化問題。線性規(guī)劃非線性規(guī)劃實(shí)數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃0-1規(guī)劃例1加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或50桶牛奶桶牛奶 時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 每天：每天：一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn) A1,A2兩種奶制品，1 桶牛奶可以在甲車間用12 小時(shí)加工成 3 公斤 A1，或者在乙車間

2、用 8 小時(shí)加工成 4 公斤 A2。根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的 A1,A2全部能售出，且每公斤 A1獲利 24 元，每公斤 A2獲利 16 元。現(xiàn)在加工廠每天能得到 50 桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動(dòng)時(shí)間 480 小時(shí)，并且甲車間每天至多能加工 100 公斤 A1，乙車間的加工能力沒有限制。試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大.并進(jìn)一步討論以下3個(gè)附加問題： 1） 若用35元可以買到1桶牛奶，應(yīng)否作這項(xiàng)投資？若投資，每天最多購買多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間，付給臨時(shí)工人的工資最多是每小時(shí)幾元？ 3） 由于市場需求變化，每公斤A1的獲利增加到30元，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？

3、例1加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或50桶牛奶桶牛奶 時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 每天：每天：x1桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利獲利 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動(dòng)時(shí)間勞動(dòng)時(shí)間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,21xx線性規(guī)線性規(guī)劃模型劃模型(LP)例1加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃00100

4、3480812502112121xxxxxxx216472xxz求 的最大值？-10010203040506070-10010203040506070Linear programx1x2O 3x1=100 x1+x2=50 12x1+8x2=480z=72x1+64x2=720001003480812502112121xxxxxxx216472xxz求 的最大值？用Lingo軟件求解Lingo結(jié)果中其它項(xiàng)的意思！更多信息例1加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃 例例 1 1 求 f = 2xexsin在 0 x8 中的最小值與最大值 max=sin(x)*2*exp(-x);x0;Lingo軟件LINGO H

5、elp: LINGO is a simple tool for utilizing the power of linear and nonlinear optimization to formulate large problems concisely, solve them, and analyze the solution. Optimization helps you find the answer that yields the best result; attains the highest profit, output, or happiness; or the one that

6、achieves the lowest cost, waste, or discomfort. Often these problems involve making the most efficient use of your resourcesincluding money, time, machinery, staff, inventory, and more.Lingo 是一個(gè)可以簡潔地闡述、解決和分析復(fù)雜問題的簡便工具。其特點(diǎn)是程序執(zhí)行速度很快，易于輸入、修改、求解和分析一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。lingo軟件擅長于解決運(yùn)籌問題，即最有問題，常見的是線性規(guī)劃。軟件擅長于解決運(yùn)籌問題，即最有問

7、題，常見的是線性規(guī)劃。而而matlab則功能比較多，主要是以矩陣為基礎(chǔ)的運(yùn)算，也能解決運(yùn)籌問題。則功能比較多，主要是以矩陣為基礎(chǔ)的運(yùn)算，也能解決運(yùn)籌問題。 matlab 的功能更強(qiáng)大一些的功能更強(qiáng)大一些 ，也比較難學(xué)，東西多，也比較難學(xué)，東西多l(xiāng)ingo主要用于優(yōu)化問題，主要用于優(yōu)化問題，matlab功能強(qiáng)大，幾乎什么都能做，但是碰到循環(huán)時(shí)速度較慢，而且對機(jī)器要求較高，功能強(qiáng)大，幾乎什么都能做，但是碰到循環(huán)時(shí)速度較慢，而且對機(jī)器要求較高，lingo主要用以解線性規(guī)劃，方程之類，使用比主要用以解線性規(guī)劃，方程之類，使用比matlab簡單，解決線性問題速度也不錯(cuò)，簡單，解決線性問題速度也不錯(cuò)，有些

8、東西不能做。不過現(xiàn)在國外有將有些東西不能做。不過現(xiàn)在國外有將2者結(jié)合的。者結(jié)合的。matlab都能解，就是麻煩點(diǎn)都能解，就是麻煩點(diǎn)LINGO是使建立和求解線性、非線性和整數(shù)最佳化模型更快更簡單更有效率的綜合工是使建立和求解線性、非線性和整數(shù)最佳化模型更快更簡單更有效率的綜合工具。具。LINGO提供強(qiáng)大的語言和快速的求解引擎來闡述和求解最佳化模型。提供強(qiáng)大的語言和快速的求解引擎來闡述和求解最佳化模型。原則上還是lingo要快，特別是變量較多的時(shí)候，但是這里面不能比較非線性規(guī)劃，因?yàn)榉蔷€性規(guī)劃的求解速度不僅取決于問題的規(guī)模，還要看非線性程度以及初始. 簡單的模型表示LINGO可以將線性、非線性和整

9、數(shù)問題迅速得予以公式表示，并且容易閱讀、了解和修改。 方便的數(shù)據(jù)輸入和輸出選擇LINGO建立的模型可以直接從數(shù)據(jù)庫或工作表獲取資料。同樣地， LINGO可以將求解結(jié)果直接輸出到數(shù)據(jù)庫或工作表。 強(qiáng)大的求解引擎LINGO內(nèi)建的求解引擎有線性、非線性(convex and nonconvex)、二次、二次限制和整數(shù)最佳化。 Model Interactively or Create Turn-key ApplicationsLINGO提供完全互動(dòng)的環(huán)境供您建立、求解和分析模型。LINGO也提供DLL和OLE界面可供使用者由撰寫的程序中呼叫。0 Global Optimum（全局最優(yōu)）1 Infea

10、sible（不可行）2 Unbounded（無界）3 Undetermined（不確定）4 Feasible（可行）5 Infeasible or Unbounded（通常需要關(guān)閉“預(yù)處理”選項(xiàng)后重新求解模型，以確定模型究竟是不可行還是無界）6 Local Optimum（局部最優(yōu)）7 Locally Infeasible（局部不可行，盡管可行解可能存在，但是LINGO并沒有找到一個(gè)）8 Cutoff（目標(biāo)函數(shù)的截?cái)嘀当贿_(dá)到）9 Numeric Error（求解器因在某約束中遇到無定義的算術(shù)運(yùn)算而停止） LP:線性規(guī)劃 linear programming QP 二次規(guī)劃 NLPNONLINE

11、AR PROGRAMMING ILP 線性整數(shù) IQP 二次整數(shù) PILP 線性純整數(shù) PIQP 二次純整數(shù) NLP 非線性 NLPNONLINEAR PROGRAMMING INLP 整數(shù)非線性 PINLP 純整數(shù)非線性例2軍隊(duì)供給問題corps需求量3537223241324338擁有量B1B2B3B4B5B6B7B8depot60A16267425955A24953858251A35219743343A47673927141A52395726552A655228143軍隊(duì)有某種先進(jìn)武器302臺(tái)分別放在6個(gè)補(bǔ)給站(depot)中，現(xiàn)由于戰(zhàn)爭需要，8個(gè)軍團(tuán)(corps)分別需要此種武器數(shù)目如

12、表中所示，并且給出了從各補(bǔ)給站送一臺(tái)武器到任一軍團(tuán)的費(fèi)用，問如何運(yùn)輸可使成本最小？capacity (i)V(i)demand (j)d(j)cost (i , j)c(i,j)number (i , j)n(i,j)例2軍隊(duì)供給問題corps需求量3537223241324338擁有量B1B2B3B4B5B6B7B8depot60A16267425955A24953858251A35219743343A47673927141A52395726552A655228143capacity (i)V(i)demand (j)d(j)cost (i , j)c(i,j)number (i , j)n

13、(i,j) .8 , 1 ,6 , 1 ,8 , 1,6 , 1 . . min61816181jjdNiiVNjiNNtsCNTCiijjijijijijij例2軍隊(duì)供給問題用Lingo軟件求解結(jié)果Lingo軟件 集合段（集合段（SETS ENDSETS） 目標(biāo)與約束段目標(biāo)與約束段 數(shù)據(jù)段（數(shù)據(jù)段（DATA ENDDATA） 初始段（初始段（INIT ENDINIT）LINGO模型的構(gòu)成：模型的構(gòu)成：4個(gè)段個(gè)段Lingo 是一個(gè)可以簡潔地闡述、解決和分析復(fù)雜問題的簡便工具。其特點(diǎn)是程序執(zhí)行速度很快，易于輸入、修改、求解和分析一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。Lingo軟件集合概念概念 集是相聯(lián)系的對象的集合

14、，比如工廠、消費(fèi)者群體、交通工具集是相聯(lián)系的對象的集合，比如工廠、消費(fèi)者群體、交通工具和雇工等等；和雇工等等； 集是集是 LINGO 建模語言的基礎(chǔ)，是程序設(shè)計(jì)最強(qiáng)有力的基本構(gòu)建模語言的基礎(chǔ)，是程序設(shè)計(jì)最強(qiáng)有力的基本構(gòu)件目標(biāo)與約束段；件目標(biāo)與約束段； 借助于集，能夠用一個(gè)單一的、長的、簡明的復(fù)合公式表示一借助于集，能夠用一個(gè)單一的、長的、簡明的復(fù)合公式表示一系列相似的約束，從而可以快速方便地表達(dá)規(guī)模較大的模型；系列相似的約束，從而可以快速方便地表達(dá)規(guī)模較大的模型； 集有成員和屬性。集有成員和屬性。 集部分集部分是LINGO模型的一個(gè)可選部分。在LINGO模型中使用集之前，必須在集部分事先定義。

15、集部分以關(guān)鍵字“sets:”開始，以“endsets”結(jié)束。 一個(gè)模型可以沒有集部分，或有一個(gè)簡單的集部分，或有多個(gè)集部分。一個(gè)集部分可以放置于模型的任何地方，但是一個(gè)集及其屬性在模型約束中被引用之前必須定義了它們。 Lingo軟件基本集合元素的列舉setname /member_list/ : attribute_list;sets: students/John Jill, Rose Mike/: sex, age; endsets 一個(gè)原始集是由一些最基本的對象組成的。 集、集成員和集屬性 集成員無論用何種字符標(biāo)記,它的索引都是從1開始連續(xù)計(jì)數(shù)。 在attribute_ list可以指定一

16、個(gè)或多個(gè)集成員的屬性，屬性之間必須用逗號隔開。 定義一個(gè)原始集，用下面的語法： setname/member_list/:attribute_list;注意：用“”表示該部分內(nèi)容可選。下同，不再贅述。 Setname是你選擇的來標(biāo)記集的名字，最好具有較強(qiáng)的可讀性。集名字必須嚴(yán)格符合標(biāo)準(zhǔn)命名規(guī)則：以拉丁字母或下劃線（_）為首字符，其后由拉丁字母（AZ）、下劃線、阿拉伯?dāng)?shù)字（0，1，9）組成的總長度不超過32個(gè)字符的字符串，且不區(qū)分大小寫。注意：該命名規(guī)則同樣適用于集成員名和屬性名等的命名。Member_list是集成員列表。采取顯式羅列和隱式羅列兩種方式。 類型類型隱式列舉格式隱式列舉格式示例示

17、例示例集合的元素示例集合的元素?cái)?shù)字型數(shù)字型 1.n1.51, 2, 3, 4, 5字符字符-數(shù)字型數(shù)字型stringM.stringNCar101.car208Car101, car102, , car208星期型星期型 dayM.dayNMON.FRIMON, TUE, WED, THU, FRI月份型月份型 monthM.monthNOCT.JANOCT, NOV, DEC, JAN年份年份-月份型月份型monthYearM.monthYearNOCT2001.JAN2002OCT2001, NOV2001, DEC2001, JAN2002Lingo軟件基本集合元素的隱式列舉集成員不放在

18、集定義中，而在隨后的數(shù)據(jù)部分來定義。 sets: students:sex,age; endsets data: students,sex,age= John 1 16 Jill 0 14 Rose 0 17 Mike 1 13; enddata 注意：開頭用感嘆號（!），末尾用分號（;）表示注釋，可跨多行。Lingo軟件派生集setname(parent_set_list) /member_list/: attribute_list;一個(gè)派生集是用一個(gè)或多個(gè)其它集來定義的。也就是說，它的成員來自于其它已存在的集。稠密集：稠密集：派生集成員由父集成員所有組合構(gòu)成； 稀疏集：稀疏集：其成員為父集

19、成員所有組合構(gòu)成的集合的一個(gè)子集。顯式：links (depot, corps)/d1 c2,d2 c3,d3 c6,d4 c3,d5 c1,d6 c8/:cost, number;過濾：links (depot, corps) |capacity( &1) #ge# demand ( &2):cost;派生集的成員列表有兩種方式生成：顯式羅列；設(shè)置成員資格過濾器。 sets: product/A B/; machine/M N/; week/1.2/; allowed(product,machine,week):x;endsetsLINGO生成了三個(gè)父集的所有組合共八組作為allowed集的

20、成員。列表如下：編號 成員1 (A,M,1)2 (A,M,2)3 (A,N,1)4 (A,N,2)5 (B,M,1)6 (B,M,2)7 (B,N,1)8 (B,N,2)例例sets: !學(xué)生集：性別屬性sex，1表示男性，0表示女性；年齡屬性age. ; students/John,Jill,Rose,Mike/:sex,age; !男學(xué)生和女學(xué)生的聯(lián)系集：友好程度屬性friend，0，1之間的數(shù)。 ; linkmf(students,students)|sex(&1) #eq# 1 #and# sex(&2) #eq# 0: friend; !男學(xué)生和女學(xué)生的友好程度大于0.5的集; li

21、nkmf2(linkmf) | friend(&1,&2) #ge# 0.5 : x;endsetsdata: sex,age = 1 16 0 14 0 17 0 13; friend = 0.3 0.5 0.6;enddata用豎線（|）來標(biāo)記一個(gè)成員資格過濾器的開始。#eq#是邏輯運(yùn)算符，用來判斷是否“相等”，可參考4. &1可看作派生集的第1個(gè)原始父集的索引，它取遍該原始父集的所有成員；&2可看作派生集的第2 個(gè)原始父集的索引，它取遍該原始父集的所有成員；&3，&4，以此類推。 集合集合 派生集合派生集合 基本集合基本集合 稀疏集合稀疏集合 稠密集合稠密集合 元素列表法元素列表法 元素

22、過濾法元素過濾法 直接列舉法直接列舉法 隱式列舉法隱式列舉法Lingo軟件集合setname /member_list/ : attribute_list;setname(parent_set_list) /member_list/: attribute_list;Lingo軟件數(shù)據(jù)段與初始段數(shù)據(jù)段：數(shù)據(jù)段：輸入集成員和數(shù)據(jù)，提供了模型相對靜止部分和數(shù)據(jù)分離的可能性。 object_list = value_list; 對象列數(shù)值列；初始段：初始段：為決策變量設(shè)置初始值。在初始部分輸入的值僅被 LINGO 求解器當(dāng)作初始點(diǎn)來用，并且僅僅并且僅僅對非線性模型有用對非線性模型有用。和數(shù)據(jù)部分指定變

23、量的值不同，LINGO求解器可以自由改變自由改變初始部分初始化的變量的值。以“init:”開始，以“endinit”結(jié)束。初始部分的初始聲明規(guī)則和數(shù)據(jù)部分的數(shù)據(jù)聲明規(guī)則相同。 sets: set1/A,B,C/: X,Y; endsets data: X,Y=1 4 2 5 3 6; enddatadata: X=1,2,3; Y=4,5,6;enddata和數(shù)據(jù)部分指定變量的值不同，LINGO求解器可以自由改變初始部分初始化的變量的值。 例例 init: X, Y = 0, .1; endinit Y=log(X); X2+Y2=1;優(yōu)先級優(yōu)先級運(yùn)算符運(yùn)算符最高最高#NOT# （負(fù)號）（負(fù)號

24、）* /+ （減法）（減法）#EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE# #AND# #OR#最低最低(=)三類運(yùn)算符：三類運(yùn)算符： 算術(shù)運(yùn)算符算術(shù)運(yùn)算符 邏輯運(yùn)算符邏輯運(yùn)算符 關(guān)系運(yùn)算符關(guān)系運(yùn)算符Lingo軟件運(yùn)算符與優(yōu)先級主要用于集循環(huán)函數(shù)的條件表達(dá)式中形成模型的一個(gè)約束條件，指定一個(gè)表達(dá)式的左邊是否等于、小于等于、或者大于等于右邊。針對數(shù)值進(jìn)行操作#not# 否定該操作數(shù)的邏輯值，not是一個(gè)一元運(yùn)算符#eq#若兩個(gè)運(yùn)算數(shù)相等，則為true；否則為flase#ne# 若兩個(gè)運(yùn)算符不相等，則為true；否則為flase#gt# 若左邊的運(yùn)算符嚴(yán)格大于右邊的運(yùn)算符，則為true

25、；否則為flase#ge# 若左邊的運(yùn)算符大于或等于右邊的運(yùn)算符，則為true；否則為flase#lt# 若左邊的運(yùn)算符嚴(yán)格小于右邊的運(yùn)算符，則為true；否則為flase#le# 若左邊的運(yùn)算符小于或等于右邊的運(yùn)算符，則為true；否則為flase#and# 僅當(dāng)兩個(gè)參數(shù)都為true時(shí)，結(jié)果為true；否則為flase#or# 僅當(dāng)兩個(gè)參數(shù)都為false時(shí)，結(jié)果為false；否則為trueLingo軟件函數(shù)abs(x)返回 x 的絕對值sin(x)返回 x 的正弦值，x 采用弧度制cos(x)返回 x 的余弦值tan(x)返回 x 的正切值exp(x)返回常數(shù) e 的 x 次方log(x)返

26、回 x 的自然對數(shù)lgm(x)返回 x 的 gamma 函數(shù)的自然對數(shù)sign(x)如果 x=0 時(shí)，返回不超過 x 的最大整數(shù)；當(dāng) x0 時(shí)，返回不低于 x 的最大整數(shù)。smax(x1,x2,xn)返回 x1，x2，xn 中的最大值smin(x1,x2,xn)返回 x1，x2，xn 中的最小值數(shù)學(xué)函數(shù)Lingo軟件函數(shù)變量定界函數(shù)bin(x)限制 x 為 0 或 1bnd(L,x,U)限制 LxUfree(x)取消對變量 x 的默認(rèn)下界為 0 的限制，即 x 可以取任意實(shí)數(shù)gin(x)限制 x 為整數(shù)min和max返回指定的集成員的一個(gè)表達(dá)式的最小值或最大值。qrand(seed)產(chǎn)生服從(

27、0,1)區(qū)間的擬隨機(jī)數(shù)。qrand只允許在模型的數(shù)據(jù)部分使用，它將用擬隨機(jī)數(shù)填滿集屬性。通常，聲明一個(gè)mn的二維表，m表示運(yùn)行實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，n表示每次實(shí)驗(yàn)所需的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)。在行內(nèi)，隨機(jī)數(shù)是獨(dú)立分布的；在行間，隨機(jī)數(shù)是非常均勻的。這些隨機(jī)數(shù)是用“分層取樣”的方法產(chǎn)生的。例例4.5 model:data: M=4; N=2; seed=1234567;enddatasets: rows/1.M/; cols/1.N/; table(rows,cols): x;endsetsdata: X=qrand(seed);enddataend如果沒有為函數(shù)指定種子，那么LINGO將用系統(tǒng)時(shí)間構(gòu)造種子。dat

28、a: N=6;enddatasets: number/1.N/:x;endsetsdata: x = 5 1 3 4 6 10;enddata minv=min(number(I) | I #le# 5: x); end 輸入和輸出函數(shù)輸入和輸出函數(shù) 1file函數(shù)函數(shù) 該函數(shù)用從外部文件中輸入數(shù)據(jù)，可以放在模型中任何地方。該函數(shù)的語法格式為file(filename)。這里filename是文件名，可以采用相對路徑和絕對路徑兩種表示方式。 例例 以例1.2來講解file函數(shù)的用法。注意到在例1.2的編碼中有兩處涉及到數(shù)據(jù)。第一個(gè)地方是集部分的6個(gè)warehouses集成員和8個(gè)vendors

29、集成員；第二個(gè)地方是數(shù)據(jù)部分的capacity，demand和cost數(shù)據(jù)。為了使數(shù)據(jù)和我們的模型完全分開，我們把它們移到外部的文本文件中。修改模型代碼以便于用file函數(shù)把數(shù)據(jù)從文本文件中拖到模型中來。修改后（修改處代碼黑體加粗）的模型代碼如下：model:!6發(fā)點(diǎn)8收點(diǎn)運(yùn)輸問題;sets: warehouses/ file(1_2.txt) /: capacity; vendors/ file(1_2.txt) /: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目標(biāo)函數(shù); min=sum(links: cost*volum

30、e);!需求約束; for(vendors(J): sum(warehouses(I): volume(I,J)=demand(J);!產(chǎn)量約束; for(warehouses(I): sum(vendors(J): volume(I,J)= required(J);end例 Lingo與Excel的連接corps需求量3537223241324338擁有量B1B2B3B4B5B6B7B8depot60A16267425955A24953858251A35219743343A47673927141A52395726552A655228143capacity (i)V(i)demand (j)d

31、(j)cost (i , j)c(i,j)number (i , j)n(i,j) .8 , 1 ,6 , 1 ,8 , 1,6 , 1 . . min61816181jjdNiiVNjiNNtsCNTCiijjijijijijij3、ole函數(shù) 是從 EXCEL 中引入或輸出數(shù)據(jù)的接口函數(shù)，它是基于傳輸?shù)?OLE 技術(shù)。OLE傳輸直接在內(nèi)存中傳輸數(shù)據(jù)，并不借助于中間文件。例3Lingo與Excel的連接OLE 可以同時(shí)讀集成員和集屬性（讀寫）OLE 只能讀一維或二維的 Ranges絕對路徑 ole(data.xls);相對路徑 ole(D:data.xls);例題00100348081250

32、2112121xxxxxxx216472xxz求 的最大值？用Lingo軟件求解Lingo結(jié)果中其它項(xiàng)的意思！更多信息例1加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 280.0000 Variable Value Reduced Cost DESKS 2.000000 0.000000 TABLES 0.000000 5.000000 CHAIRS 8.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.0000 1.000000 2 2

33、4.00000 0.000000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 10.00000 5 5.000000 0.000000 “Reduced Cost”列出最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的變量的系數(shù)，表示當(dāng)變量有微小變動(dòng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)的變化率。 其中基變量的reduced cost值應(yīng)為0， 對于非基變量 Xj, 相應(yīng)的 reduced cost值表示當(dāng)某個(gè)變量Xj 增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)減少的量( max型問題)。本例中：變量tables對應(yīng)的reduced cost值為5，表示當(dāng)非基變量tables的值從0變?yōu)?1時(shí)（此時(shí)假定其他非基變量保持不變,但為了滿足約束條件，基變量顯然會(huì)發(fā)生變化），最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值 = 280 - 5 = 275。“Value”給出最優(yōu)解中各變量的值：造2個(gè)書桌（desks）, 0個(gè)餐桌（tables）, 8個(gè)椅子（chairs）。所以desks、chairs是基變量（非0），tables是非基變量（0）。 靈敏度的分析靈敏度分析的結(jié)果是Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficie