chap函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性與曲線的凹凸性1、函數(shù)單調(diào)性判別法2、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)一、函數(shù)單調(diào)性的判別法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在那末函數(shù)那末函數(shù)，內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)可內(nèi)可上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證),(,21baxx ,21xx 且且

2、)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加注意注意: :函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)

3、在這一區(qū)函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性間上的單調(diào)性).,(: D又又機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立仍然成立.問(wèn)題問(wèn)題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)

4、區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)方法方法: :.,)()(0)(數(shù)的符號(hào)數(shù)的符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)的定義區(qū)間的定義區(qū)間來(lái)劃分函數(shù)來(lái)劃分函數(shù)不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程xfxfxf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)

5、21 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間例例3 3解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,()., 0 32xy 機(jī)動(dòng) 目錄 上

6、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4 4證證.)1ln(,0成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增加但在但在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)

7、用重要應(yīng)用.應(yīng)用：應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1x 123xx1( )23f xxx211( )fxxx21(1)x xx1,)( )f x1230 xx例例5 證明：當(dāng)證明：當(dāng)時(shí)，時(shí)，證證 令令，則，則( )f x1,)在在上連續(xù)，在上連續(xù)，在(1,)( )0fx 內(nèi)內(nèi)因此在因此在上上單調(diào)增加，從而當(dāng)單調(diào)增加，從而當(dāng)1x ( )(1)f xf(1)0f時(shí)，時(shí)，由于由于( )(1)0f xf故故，即，即123xx亦即亦即 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 問(wèn)題問(wèn)題:如何

8、研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)的圖形是凹的內(nèi)的圖形是凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點(diǎn)兩點(diǎn)內(nèi)任意內(nèi)任意如果對(duì)如果對(duì)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的在

9、在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對(duì)如果對(duì)baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹且在且在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理2 2.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連

10、續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 6.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 于是，曲線的凹區(qū)間為于是，曲線的凹區(qū)間為 (, 0，凸區(qū)間為，凸區(qū)間為0, + ) 。當(dāng)當(dāng)x 0, 所以曲線在所以曲線在(, 0上是凹弧；上是凹??；當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，時(shí)，y 0, 所以曲線在

11、所以曲線在0, + )上是凸弧。上是凸弧。解解. )0(,92,313232 xxxyxy例例7 求曲線求曲線的凹凸區(qū)間。的凹凸區(qū)間。3xy 例例6中，點(diǎn)（中，點(diǎn)（0，0）是曲線）是曲線y = x3上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)，上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)，因此是曲線的拐點(diǎn)，在該點(diǎn)處，因此是曲線的拐點(diǎn)，在該點(diǎn)處，y =0；例例7中，（中，（0，0）點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，在該點(diǎn)處）點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，在該點(diǎn)處y 不存在。不存在。 因此，曲線因此，曲線y = f (x)的拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)只能是使的拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)只能是使f (x) = 0的的點(diǎn)或點(diǎn)或f (x)不存在的點(diǎn)。不存在的點(diǎn)。 定義定義注意：拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)注意：拐點(diǎn)是曲線

12、上的點(diǎn))(,(00 xfx連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。符號(hào)相同，則點(diǎn)符號(hào)相同，則點(diǎn)(x0 , f (x0)不是拐點(diǎn)。不是拐點(diǎn)。求連續(xù)曲線的拐點(diǎn)的方法如下：求連續(xù)曲線的拐點(diǎn)的方法如下：（i）求出所有使函數(shù)）求出所有使函數(shù)f (x) 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f (x) = 0的點(diǎn)的點(diǎn)和和f (x)不存不存 在的點(diǎn)；在的點(diǎn)；（ii）對(duì)于（）對(duì)于（i）中所求出）中所求出x0，若，若f (x)在在x0兩側(cè)符號(hào)相反，兩側(cè)符號(hào)相反，則點(diǎn)則點(diǎn)(x0 , f (x0)是曲線的拐點(diǎn)；若是曲線的拐點(diǎn)；若f (x)在在x0的兩側(cè)的兩側(cè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8 8.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸