八年級（上冊）一次函數(shù)經(jīng)典例題

1、. .PAGE20 / NUMPAGES20一次函數(shù)復習課知識點1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念若兩個變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函數(shù)，y=x，y=-x都是正比例函數(shù).說明 （1）一次函數(shù)的自變量的取值圍是一切實數(shù)，但在實際問題中要根據(jù)函數(shù)的實際意義來確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義一樣，即自變量x的次數(shù)為1，一次項系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為

2、任意常數(shù).（3）當b=0，k0時，y= kx仍是一次函數(shù).（4）當b=0，k=0時，它不是一次函數(shù).知識點2 函數(shù)的圖象把一個函數(shù)的自變量x與所對應(yīng)的y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標在直角坐標系描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點、連線知識點 3一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時，只要描出適合關(guān)系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（-，0）.但也不

3、必一定選取這兩個特殊點.畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.知識點4 一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的性質(zhì)（1）k的正負決定直線的傾斜方向；k0時，y的值隨x值的增大而增大；kO時，y的值隨x值的增大而減?。?）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越?。ㄖ本€緩）；（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；當b0時，直線與y軸交于正半軸上；當b0時，直線與y軸交于負半軸上；當b=0時，直線經(jīng)過原點，是正比例函數(shù)（4）由于k，b的符號不同，直線所經(jīng)過的象限也不同；如圖11

4、18（l）所示，當k0，b0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）；如圖1118（2）所示，當k0，bO時，直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）；如圖1118（3）所示，當kO，b0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）；如圖1118（4）所示，當kO，bO時，直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k一樣，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個單位得到的知識點5 正比例函數(shù)y=kx（k0）的性質(zhì)（1

5、）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點；（2）當k0時，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當k0時，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小知識點6 點P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系（1）如果點P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；（2）如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對對應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標的點P（1，2）必在函數(shù)的圖象上例如：點P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點P（2，1）不滿足解析式y(tǒng)=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點P（2，1）不在

6、直線y=x+l的圖象上知識點7 確定正比例函數(shù)與一次函數(shù)表達式的條件（1）由于正比例函數(shù)y=kx（k0）中只有一個待定系數(shù)k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點）就可求得k的值（2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k0）中有兩個待定系數(shù)k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值知識點8 待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù)例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù)知識點9 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式的

7、一般步驟（1）設(shè)函數(shù)表達式為y=kx+b；（2）將已知點的坐標代入函數(shù)表達式，解方程（組）；（3）求出k與b的值，得到函數(shù)表達式例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函數(shù)的關(guān)系式解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為ykx+b（k0），由題意可知，解此函數(shù)的關(guān)系式為y=說明 本題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，具體步驟如下：第一步，設(shè)（根據(jù)題中要求的函數(shù)“設(shè)”關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根據(jù)題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個方程（或方程組），求出待定系數(shù)k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“設(shè)”的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中）；

8、第四步，寫（寫出函數(shù)關(guān)系式）.思想方法小結(jié) （1）函數(shù)方法函數(shù)方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進而解決有關(guān)問題的方法函數(shù)的實質(zhì)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，靈活運用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學問題（2）數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時，能起到事半功倍的作用知識規(guī)律小結(jié) （1）常數(shù)k，b對直線y=kx+b(k0）位置的影響當b0時，直線與y軸的正半軸相交；當b=0時，直線經(jīng)過原點；當b0時，直線與y軸的負半軸相交當k，b異號時，即-0時，直線與x軸正半軸相交；當b=0時，即-=0時，直

9、線經(jīng)過原點；當k，b同號時，即-0時，直線與x軸負半軸相交當kO，bO時，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當k0，b=0時，圖象經(jīng)過第一、三象限；當bO，bO時，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當kO，b0時，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當kO，b=0時，圖象經(jīng)過第二、四象限；當bO，bO時，圖象經(jīng)過第二、三、四象限（2）直線y=kx+b（k0）與直線y=kx(k0)的位置關(guān)系直線y=kx+b(k0)平行于直線y=kx(k0)當b0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b；當bO時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（

10、k10 ，k20）的位置關(guān)系k1k2y1與y2相交；y1與y2相交于y軸上同一點（0，b1）或（0，b2）；y1與y2平行；y1與y2重合.典例講解基本題本節(jié)有關(guān)基本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念與它們之間的關(guān)系，以與構(gòu)成一次函數(shù)與正比例函數(shù)的條件例1 下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.基礎(chǔ)應(yīng)用題本節(jié)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用主要包括：（1）會確定函數(shù)關(guān)系式與求函數(shù)值；（2）會畫一次函數(shù)（正比例函數(shù)）圖象與根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；（3）利用一次函數(shù)的圖象和性

11、質(zhì)解決實際問題；（4）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式例3 一根彈簧長15cm，它所掛物體的質(zhì)量不能超過18kg，并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長05cm，寫出掛上物體后，彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x(kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù)學生做一做 烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米時，則火車離庫爾勒的距離s（千米）與行駛時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系式是.例4 某物體從上午7時至下午4時的溫度M（）是時間t（時）的函數(shù)：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時），則上午10時此物體的

12、溫度為例5 已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當x=4時，求y的值；（3）當y=4時，求x的值例6 若正比例函數(shù)y=（1-2m）x的圖象經(jīng)過點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當x1x2時，y1y2，則m的取值圍是（ ）AmOBm0CmDmM學生做一做 某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15萬元，計劃今后每年增加2萬元（1）寫出年產(chǎn)值y（萬元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）求5年后的產(chǎn)值例7 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數(shù)表達式例8 求圖象經(jīng)過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表

13、達式綜合應(yīng)用題本節(jié)知識的綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識的綜合應(yīng)用；（2）與不等式知識的綜合應(yīng)用；（3）與實際生活相聯(lián)系，通過函數(shù)解決生活中的實際問題例8 已知y+a與x+b（a，b為是常數(shù)）成正比例（1）y是x的一次函數(shù)嗎？請說明理由；（2）在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？例9 某移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先交50元月租費，然后每通話1分，再付費04元；“神州行”使用者不交月租費，每通話1分，付話費06元（均指市通話）若1個月通話x分，兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元（1）寫出y1，y2與x之間的關(guān)系；（2）一個月通話多少分時，兩種通訊方式的費用一樣？（3）某人預

14、計一個月使用話費200元，則選擇哪種通訊方式較合算？例10 已知y+2與x成正比例，且x=-2時，y=0（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）觀察圖象，當x取何值時，y0？（4）若點（m，6）在該函數(shù)的圖象上，求m的值；（5）設(shè)點P在y軸負半軸上，（2）中的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且SABP=4，求P點的坐標例11 已知一次函數(shù)y=（3-k）x-2k2+18.（1）k為何值時，它的圖象經(jīng)過原點？（2）k為何值時，它的圖象經(jīng)過點（0，-2）?（3）k為何值時，它的圖象平行于直線y=-x？（4）k為何值時，y隨x的增大而減??？例12 判斷三點A（3，1），B（0，

15、-2），C（4，2）是否在同一條直線上探索與創(chuàng)新題主要考查學生運用知識的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學問題中的廣泛應(yīng)用例13 老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學們討論下列問題：（1）x從0開始逐漸增大時，y=2x+8和y=6x哪一個的函數(shù)值先達到30？這說明了什么？（2）直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？甲生說：“y=6x的函數(shù)值先達到30，說明y=6x比y=2x+8的值增長得快”乙生說：“直線y=-x與y=-x+6是互相平行的”你認為這兩個同學的說確嗎？例14 某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學生去旅游，用旅行社說：“如果老師買全票，其他人全部半價優(yōu)惠”乙旅行社說：“

16、所有人按全票價的6折優(yōu)惠”已知全票價為240元（1）設(shè)學生人數(shù)為x，甲旅行社的收費為y甲元，乙旅行社的收費為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費；（2）就學生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠學生做一做 某公司到果園基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對購買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回，已知該公司租車從基地到公司的運輸費為5000元（1）分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值圍；（2）當購買量在什么圍時，選擇哪種購買方案付款少？并說明

17、理由例15 一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值圍是-3x6，相應(yīng)函數(shù)值的取值圍是-5y-2，則這個函數(shù)的解析式為.中考試題預測例1 某地舉辦乒乓球比賽的費用y（元）包括兩部分：一部分是租用比賽場地等固定不變的費用b（元），另一部分與參加比賽的人數(shù)x（人）成正比例，當x=20時y=160O；當x=3O時，y=200O（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）動果有50名運動員參加比賽，且全部費用由運動員分攤，那么每名運動員需要支付多少元？例2 已知一次函數(shù)y=kx+b，當x=-4時，y的值為9；當x=2時，y的值為-3（1）求這個函數(shù)的解析式。（2）在直角坐標系畫出這個函數(shù)的圖象例3 如圖1127

18、所示，大拇指與小拇指盡量開時，兩指尖的距離稱為指距某項研究表明，一般情況下人的身高h是指距d的一次函數(shù)，下表是測得的指距與身高的一組數(shù)據(jù)指距d/cm20212223身高h/cm160169178187（1）求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量d的取值圍）（2）某人身高為196cm，一般情況下他的指距應(yīng)是多少？例4 汽車由駛往相距400千米的，如果汽車的平均速度是100千米時，那么汽車距的路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)關(guān)系用圖象（如圖1128所示）表示應(yīng)為（ ）例5 已知函數(shù)：（1）圖象不經(jīng)過第二象限；（2）圖象經(jīng)過點（2，-5）.請你寫出一個同時滿足（1）和（2）的函數(shù)關(guān)系式：例6 人在運動時的心跳速率通常和人的年齡有關(guān)如果用a表示一個人的年齡，用b表示正常情況下這個人運動時所能承受的每分心跳的最高次數(shù)，另么b=08（220-a）（1）正常情況下，在運動時一個16歲的學生所能