線(xiàn)性多變量系統(tǒng)(鄭大鐘) 第2篇 復(fù)頻域理論

1、第二部分第二部分 線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論 線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論，是以傳遞矩陣作為系統(tǒng)描述，并在復(fù)頻率域內(nèi)分析和綜合線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的一種理論和方法。 對(duì)于線(xiàn)性定常SISO系統(tǒng)，在初始條件為零時(shí)，定義傳遞函數(shù))()()(susysG對(duì)于線(xiàn)性定常MIMO系統(tǒng)，在初始條件為零時(shí)，定義傳遞矩陣G(s)()()(sUsGsY1122( )( )( )( )( )( )( )( )qpy su sy su sY sU sysus81 矩陣分式描述矩陣分式描述第第8 8章章 傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述 矩陣分式描述實(shí)質(zhì)上就是把有理分式矩陣形式的傳遞函數(shù)矩陣G(

2、s)表示為兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣之“比”。右MFD和左MFD對(duì)于SISO系統(tǒng)，傳遞函數(shù)G(s)=n(s)/d(s)=n(s)d-1(s)=d-1 (s)n(s)設(shè)p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng),其傳遞函數(shù)矩陣 sNsDsDsNsgsgsGLLqp1111)()( sDsN1為G(s)的一個(gè)右矩陣分式描述 sNsDLL1為G(s)的一個(gè)左矩陣分式描述 其中 )(),(),(),(sNsNsDsDLL為多項(xiàng)式矩陣 1/4,1/161/4,1/16例如 122222)2)(1()4)(3()3)(2()2(3)3)(2)(1() 1()4)(1(1)2)(1()2()4)(3(3)3)(2()3)

3、(2)(1()2(11434132114331231321ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssG上式即為G(s)的一個(gè)右MFD 把G(s)按各行通分，可以寫(xiě)出G(s)的左MFD 2/4,2/162/4,2/16MDF的特性 結(jié)論：對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)右MFD，規(guī)定)(detdeg)()(1sDsDsN的次數(shù)對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)左MFD，規(guī)定 )(detdeg)()(1sDsNsDLLL的次數(shù)對(duì)給定一個(gè)G(s)，其右MFD和左MFD在次數(shù)上一般不相等。 結(jié)論：對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其右MFD和左MFD為不唯

4、一，且不同的MFD可能具有不同的次數(shù)。例如 122222222)2()2()2() 1(00)2()2()2()2() 1(sssssssssssssssssG12222)2(00)2() 1() 1(ssssssss結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè) )()(1sDsNW(s)為pp非奇異多項(xiàng)式矩陣，令 為其一個(gè)右MFD)()()(),()()(sWsDsDsWsNsN則 )()(1sDsN也是G(s)的一個(gè)右MFD，且 )(detdeg)(detdegsDsD若W(s)為單模矩陣，則 )(detdeg)(detdegsDsD1222)()2()2()2() 1(0)(0sWsssssWs

5、ss12222)2(00)2() 1() 1(ssssssss11( )(2)0W ss結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè) )()(1sDsN)()(1sNsDLL為其 一個(gè)右MFD和一個(gè)左MFD 則有 最小為最小階左最小為最小階右)(detdeg)()(detdeg)()(11sDMFDsNsDsDMFDsDsNLLL*最小階MFD也不是唯一的 *稱(chēng)最小階MFD為不可簡(jiǎn)約MFD 4/4,4/164/4,4/16結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè) )()(1sNsDLLWL(s)為任一qq非奇異多項(xiàng)式矩陣。 為其一個(gè)左MFD，)()()(),()()(sDsWsDsNsWsNLLLLLL則

6、 )()(1sNsDLL也是G(s)的一個(gè)左MFD，且 )(detdeg)(detdegsDsDLL若WL(s)為單模矩陣，則 )(detdeg)(detdegsDsDLL8.2矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性矩陣分式描述的真性和嚴(yán)真性 設(shè)多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)矩陣G(s)為 為真。，則稱(chēng)而其余元仍滿(mǎn)足使中至少存在一元若為嚴(yán)真。則稱(chēng)若)()(deg)(deg)(deg)(deg),()()(, 2 , 1, 2 , 1),(deg)(deg)()()()()()()()(11111111sGsdsnsdsnsgsGsGpjqisdsnsdsnsdsndsnsdsnsGijiji

7、jijqpqpqqpp1/3,5/161/3,5/16結(jié)論：0)()()()()(0sGLimsGGsGLimsGss為嚴(yán)真非零常陣為真定義 為嚴(yán)真為嚴(yán)真為真為真)()(sGMFDsGMFD真性和嚴(yán)真性的判別準(zhǔn)則 結(jié)論：對(duì)右MFD )()(1sDsND(s)為pp陣且則 pjsDsNsDsNpjsDsNsDsNjcjcjcjc, 2 , 1)()()()(, 2 , 1)()()()(11為嚴(yán)真為真例 242120)(1624737412)(223222sssssssDsssssssssN容易判斷D(s)為列既約，且 sDsNsDsNcccc2211可知 )()(1sDsN為真 2/3,6/1

8、62/3,6/16列既約例 給定12右MFD )()(1sDsN111)(2 , 1)(2ssssDsND(s)為非列既約，盡管 sDsNsDsNcccc2211但 12, 12)()(21ssssDsN非真 結(jié)論：對(duì)左MFD )()(1sNsDLL)(sDL為qq陣且行既約,則 qisDsNsNsDqisDsNsNsDLirLirLLLirLirLL, 2 , 1)()()()(, 2 , 1)()()()(11為嚴(yán)真為真* 若D(s)或DL(s)為非列既約或行既約，則引入一個(gè)單模矩陣，化D(s)或DL(s)為列既約或行既約，進(jìn)行判斷。 3/3,7/163/3,7/16121211121)(

9、)()(1001111111)()()(111)(22222sssssssWsNsNsssssssWsDsDssssW）（）（）（8.3從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述從非真矩陣分式描述導(dǎo)出嚴(yán)真矩陣分式描述 結(jié)論：對(duì)非真右MFD N(s)D-1(s)，D(s) 為pp多項(xiàng)式矩陣，N(s)為qp多項(xiàng)式矩陣,唯一存在qp多項(xiàng)式矩陣Q(s)和R(s)，使)()()()()(11sDsRsQsDsN且R(s)D-1(s)為非真N(s)D-1(s)導(dǎo)出的嚴(yán)真右MFD。 確定嚴(yán)真MFD的算法 Step1：計(jì)算給定N(s)D-1(s)的有理分式矩陣G(s) Step2：通過(guò)多項(xiàng)式除法，得 為嚴(yán)真有理分

10、式矩陣其中)()()()(sGsGsQsGspspStep 3 )()()(sDsGsRspStep4 )()()()()(11sDsRsQsDsN其中R(s)D-1(s)為非真右MFD N(s)D-1(s)的嚴(yán)真部分，Q(s)為多項(xiàng)式矩陣部分。 1/3,8/161/3,8/16結(jié)論：對(duì)非真左MFD，DL-1(s)NL(s)，唯一存在兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣 )()(sRsQLL和使 。導(dǎo)出的嚴(yán)真左為非真且MFDsNsDsRsDsRsDsQsNsDLLLLLLLLL)()()()()()()()()(1111一類(lèi)特殊情形的多項(xiàng)式矩陣除法問(wèn)題 在連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)中，除式矩陣通常為sI-A 結(jié)論：對(duì)p

11、p矩陣sI-A和多項(xiàng)式矩陣N(s)，唯一存在一個(gè)常陣Nr(A)和多項(xiàng)式矩陣Qr(s)滿(mǎn)足 11)()()()()()(ASIANsQASIsNANASIsQsNrrrr其中 101012123121211( )( )( )()nnnrnnnrnnnnnnnnnnnN sN SN SNNAN AN AN IQ sN SN ANSN ANANSN ANAN顯然Nr(A)(sI-A) -1為N(s)(sI-A) -1所導(dǎo)出的嚴(yán)真右MFD 2/3,9/162/3,9/16結(jié)論：對(duì)qq矩陣sI-A和多項(xiàng)式矩陣NL(s)，唯一存在一個(gè)常陣NL(A)和多項(xiàng)式矩陣QL(s)滿(mǎn)足 )()()()(ANsQAsI

12、sNLLL其中 01)(NSNSNsNmmL01)(NINANAANmmL)()()()(11212132211NNANASNNANASNNASNsQmmmmmmmmmmmmmL顯然(sI-A) -1 NL(A) 為 (sI-A) -1 NL(s)所導(dǎo)出的嚴(yán)真左MFD 3/3,10/163/3,10/1684 不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述不可簡(jiǎn)約MFD實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的一類(lèi)最簡(jiǎn)約MFD，通常也稱(chēng)為最小階MFD。 定義：)()(1sDsN右不可簡(jiǎn)約D(s)和N(s)為右互質(zhì) )()(1sNsDLL左不可簡(jiǎn)約DL(s)和NL(s)為左互質(zhì) 不可簡(jiǎn)約MFD的基本特性結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣，其右不可

13、簡(jiǎn)約MFD和左不可簡(jiǎn)約MFD均為不惟一 結(jié)論：設(shè) )()(111sDsN)()(122sDsN為qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個(gè)右不可簡(jiǎn)約MFD，則必存在單模陣U(s)滿(mǎn)足： )()()(21sUsDsD)()()(21sUsNsN1/3,11/161/3,11/16psNsDrank)()(qsNsDrankLL)(),(證明過(guò)程分3步：U(s)存在)()()(112sDsDsUU(s)為多項(xiàng)式矩陣U(s)為單模陣結(jié)論：設(shè) )()(111sNsDLL)()(212sNsDLL為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個(gè)左不可簡(jiǎn)約MFD 則必存在單模陣V(s)，滿(mǎn)足 )()()(21sDsVsDLL)(

14、)()(21sNsVsNLL結(jié)論：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的右不可簡(jiǎn)約MFD滿(mǎn)足廣義惟一性。 傳遞函數(shù)矩陣G(s)的左不可簡(jiǎn)約MFD滿(mǎn)足廣義惟一性。結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任一右不可簡(jiǎn)約MFD N(s)D -1 (s)和任一右可簡(jiǎn)約MFD ，必存在非奇異多項(xiàng)式矩陣T(s)，滿(mǎn)足：)()()(sTsDsD)()()(sTsNsN)()(1sDsN2/3,12/162/3,12/16證明過(guò)程分2步：1）根據(jù)G(s)的某一右不可簡(jiǎn)約MFD N1(s)D1-1(s) ，利用單模陣導(dǎo)出的MFD N2(s)D2-1(s)也是G(s)的MFD 2） N2(s)D2-1(s)是不可簡(jiǎn)約MFD為最大右公因

15、子1021)(00102110102110102112113211212113)()(121)(2113)(22232232222222ssssRssssssssssssssssssssssssssssNsDsssNsssssD例結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有右不可簡(jiǎn)約MFD , 2 , 1),()()(1isDsNsGii必有：1，Ni(s)具有相同 2，Di(s)具有相同不變多項(xiàng)式 detD1(s)=c2 detD2(s)=.結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有左不可簡(jiǎn)約MFD , 2 , 1),()()(1isNsDsGiLiL必有：1，NLi(s)具有相同史密斯形 2，DLi

16、(s)具有相同不變多項(xiàng)式結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣的任一左不可簡(jiǎn)約MFD，和任一右不可簡(jiǎn)約MFD 必有 )(deg(det()(deg(detsDsDL3/3,13/163/3,13/16結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任一左不可簡(jiǎn)約MFD DL -1 (s) NL(s) 和任一左可簡(jiǎn)約MFD ，必存在非奇異多項(xiàng)式矩陣TL(s)，滿(mǎn)足：)()()(sDsTsDLLL)()()(sNsTsNLLL)()(1sNsDLL史密斯形)()()()()()()()(221sVsUsNsUsVsNsUs85確定不可簡(jiǎn)約矩陣分式描述的算法結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)設(shè) )()(1sDsN為任一右可簡(jiǎn)約M

17、FD pp多項(xiàng)式矩陣R(s)為 的一個(gè)最大右公因子且為非奇異，取 )()(sNsD、1( )( )( )N sN s Rs)()(1sDsN為G(s)的一個(gè)右不可簡(jiǎn)約MFD。 結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)設(shè) )()(1sNsDLL為任一左可簡(jiǎn)約MFD RL(s)為 的一個(gè)最大左公因子且為非奇異，取 )()(sNsDLL、為G(s)的一個(gè)左不可簡(jiǎn)約MFD。 )()()(),()()(11sDsRsDsNsRsNLLLLL)()(1sNsDLL1/1,14/161/1,14/161( )( )( )D sD s Rs86規(guī)范矩陣分式描述規(guī)范矩陣分式描述傳遞函數(shù)矩陣的可簡(jiǎn)約MFD和不可簡(jiǎn)約MFD

18、具有不惟一性。其惟一化的途徑是對(duì)MFD分母矩陣限定為規(guī)范形而得到規(guī)范MFD。埃爾米特形MFD稱(chēng)qp的NH(s)DH-1(s)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的列埃爾米特形MFD，是指分母矩陣具有列埃爾米特形 )()()()()()()(21222111sdsdsdsdsdsdsDppppH其中：1） )(sdii為首1多項(xiàng)式 2）若 )(sdii為含S多項(xiàng)式，則ijsdsdijii),(deg)(deg1/2,15/161/2,15/16例如sssss4410400122即 在該行中階次最高)(sdii稱(chēng)qp的 )()(1sNsDLHLH為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的行埃爾米特形MFD，是指分母矩陣 )(sD

19、LH具有行埃爾米特形 )()()()()()()(22211211sdsdsdsdsdsdsDLqqqLLqLLLLH其中：1） )(sdLii為首1多項(xiàng)式 2）若 )(sdLii為含S多項(xiàng)式，則 ijsdsdLjiLii),(deg)(deg結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其所有不可簡(jiǎn)約右MFD具有相同列埃爾米特形MFD 其所有不可簡(jiǎn)約左MFD具有相同行埃爾米特形MFD 2/2,16/162/2,16/16行埃爾米特形和列埃爾米特形是對(duì)稱(chēng)（7.7)波波夫形MFD 結(jié)論類(lèi)似 (7.13)即 在該列中階次最高)(sdii第9章 傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性91史密斯-麥克米倫形稱(chēng)秩為r的有理分式矩陣

20、為史密斯-麥克米倫形，當(dāng)且僅當(dāng)具有形式 00)()(0)()()(11sssssMrr其中，1） )(),(ssii為互質(zhì)，i=1,2,r 2）滿(mǎn)足整除性 1, 2 , 1, )()(, )()(11rissssiiii1/4,1/121/4,1/12200)2() 1()(222ssssssM例如結(jié)論：對(duì)qp有理分式矩陣G(s)，設(shè),min)(pqrsrankG則必存在qq和pp單模矩陣U(s)和V(s)使變換后傳遞函數(shù)矩陣U(s)G(s)V(s)為史密斯-麥克米倫形2/4,2/122/4,2/12證：為多項(xiàng)式矩陣的最小公分母，為設(shè))()()()()(1)()()(sGsdsNsNsdsGs

21、Gsd0)()()()()()(1sssVsNsUsNr可化為史密斯形，即0)()()()(0)()()()()()()()(1)()()()()(111sssssdssdssVsNsUsdsVsGsUsMsdrrr，得：上式除以容易驗(yàn)算整除性，以上證明是史密斯-麥克米倫形一個(gè)構(gòu)造過(guò)程史密斯-麥克米倫形基本特性結(jié)論：有理分式矩陣G(s)的史密斯-麥克米倫形M(s)為惟一結(jié)論：化有理分式矩陣G(s)為史密斯-麥克米倫形M(s)的單模變換陣對(duì)U(s),V(s)不惟一。結(jié)論：嚴(yán)格有理分式矩陣G(s)的史密斯-麥克米倫形M(s)不具有保持嚴(yán)真屬性，M(s)甚至可能為非真。結(jié)論：對(duì)qq非奇異有理分式矩陣

22、G(s)qiiisssG1)()()(det其中a為非零常數(shù)例：導(dǎo)出G(s)的史密斯-麥克米倫形M(s)22222)2()2()2()2() 1()(ssssssssssG解：22222) 1() 1() 1()2() 1(1)(ssssssssssG取)2(00)2() 1()()()()(10) 1(1)(1) 1(01)(22222ssssssVsGsUsMssVssU本例中G(s)是嚴(yán)真的，M(s)非嚴(yán)真。結(jié)論：由史密斯-麥克米倫形寫(xiě)出MFD 對(duì)秩為r的qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-麥克米倫形M(s)為000)()(0)()()()()()(11sssssVsGsUsMrr令 p

23、qsssEr000)(0)()(1ppIsssr)()()(1則M(s)表為右MFD )()()(1ssEsM令 pqsssErL000)(0)()(1qqIsssrL)()()(1則M(s)表為左MFD )()()(1sEssMLL3/4,3/123/4,3/12結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-麥克米倫形為M(s)。單模變換陣對(duì)為U(s),V(s)()()()()(11sEsssEsMLL若取 )()()(1sEsUsN)()()(ssVsD則 )()(1sDsN為G(s)的不可簡(jiǎn)約右MFD 若取 )()()(1sVsEsNLL)()()(sUssDLL則 )()(1sNsDLL

24、為G(s)的不可簡(jiǎn)約左MFD 4/4,4/124/4,4/12證：)()()()()()()()()()(111111sVssEsUssVsEsUsDsN考慮到)()()()()()(1ssEsMsVsGsUMFDsGsDsNsGsDsN的右是說(shuō)明)()()()()()(11由于右互質(zhì))()(ssE0)()()()(sRsEssU為相應(yīng)維數(shù)的單模矩陣其中)()(sRsU)()()()()()()()()()()()()()()(0)(11111sNsDsUsVsUsEssUsVsUsVsUssEsUsR為單模陣即11)()()()()()()(0)(sUsVsUsUsNsDsUsR)()(1s

25、DsN為G(s)的不可簡(jiǎn)約右MFD 92傳遞函數(shù)矩陣的有限零點(diǎn)和有限極點(diǎn)定義：對(duì)秩為r的qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-麥克米倫形M(s)，則G(s)有限極點(diǎn)=M(s)中 的根，i=1,2,rG(s)有限零點(diǎn)=M(s)中 的根, i=1,2,r 0)( si0)(si定義：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè) ),min()(pqrsGrank)()(1sDsN和 )()(1sNsDLL為G(s)的任一不可簡(jiǎn)約右MFD和任一不可簡(jiǎn)約左MFD，則 G(s)有限極點(diǎn)=det(D(s)=0根或 0)(det(sDL的根 G(s)有限零點(diǎn)= rsNrank)(的s值或 rsNrankL)(的s值 1/2

26、,5/121/2,5/122220(1) (2)( )( ) ( ) ( )0(2)sssM sU s G s V sssG(s)有限極點(diǎn):s=-1(二重), s=-2(三重)G(s)有限零點(diǎn):s=0(三重)例如:3(1)00( )( )211(1)(21)1s ssN sD sssss N(s)和D(s)為右互質(zhì), G(s)的有限零點(diǎn)是rankN(s)2的s 值:s=0,s=-1G(s)的有限極點(diǎn)是detD(s)=0的s 值:s=0(三重),s=12/2,6/122/2,6/12定義：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)其狀態(tài)空間描述為(A,B,C)，且(A,B)全能控，(A,C)完全能觀測(cè)，則有

27、： G(s)有限極點(diǎn)= 0)det( AsI的根 G(s)有限零點(diǎn)=使 0CBAsI降秩的s值 結(jié)論：對(duì)qp嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，其能控和能觀測(cè)狀態(tài)空間描述為(A,B,C)，z0為任一零點(diǎn)，則對(duì)滿(mǎn)足關(guān)系式 0000)(0BuXAIzCX的所有非零初始狀態(tài)x0和輸入 tzeutu00)(系統(tǒng)輸出具有阻塞作用，即其能引起的系統(tǒng)輸出y(t)強(qiáng)制恒為零。 表明系統(tǒng)輸出對(duì)與零點(diǎn)相關(guān)一類(lèi)輸入向量函數(shù)具有阻塞作用。93傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)指數(shù) 對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)， ,min)(pqrsrankG12( ) ,pznSG s 有限零點(diǎn)和有限極點(diǎn)的集合。 那么，若對(duì)任一 pzkS導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的rr對(duì)角矩陣

28、 1()()()( )()kkrkkkSMsS則稱(chēng) 1()()krk 為G(s)在 ks的一組結(jié)構(gòu)指數(shù) 1/3,7/121/3,7/12()0,()()0,()|()0,ikkikikkikikk 表示G(S)在s=處有個(gè)零點(diǎn)表示G(S)在s=處有|個(gè)極點(diǎn)表示G(S)在s=處無(wú)零點(diǎn)和極點(diǎn)可把G(s)的史密斯-麥克米倫形寫(xiě)為1( )( )( )( )00knikisdiagMssM s上式表明，一旦定出G(s)各個(gè)極點(diǎn)零點(diǎn)及其結(jié)構(gòu)指數(shù)組，便可構(gòu)造出G(s)的史密斯-麥克米倫形M(s)。例定出22222)2()2()2()2() 1()(SSSSSSSSSsG 的結(jié)構(gòu)指數(shù) 史密斯-麥克米倫形為 2

29、00)2() 1()(222SSSSSsMG(s)極點(diǎn)零點(diǎn)集合 0 , 1, 2pzS1, 2)2(),2(210 , 2)1(),1(212 , 1)0(),0(212/3,8/122/3,8/12)2() 1(00)2() 1(1)2() 1(0) 1()2() 1(1) 1() 1() 1()2() 1(1)2()2()2()2() 1()(2222222222222222222ssssSSssssssSSsssssssSSSSSSSSSSSsG22121012000( )( )( )0000sMsMsMss（s+2）（s+1）（s+2）結(jié)論：G(s)在 k極點(diǎn)重?cái)?shù)= 1()()krk

30、中負(fù)指數(shù)之和絕對(duì)值 結(jié)論：G(s)在 k零點(diǎn)重?cái)?shù)= 1()()krk 中正指數(shù)之和 結(jié)論：傳遞函數(shù)矩陣在非極點(diǎn)零點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)指數(shù)必恒為零。3/3,9/123/3,9/1294傳遞函數(shù)矩陣在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)和零點(diǎn) 確定s=處極點(diǎn)零點(diǎn)的思路對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s), ),min()(pqrsrankG則直接基于G(s)的史密斯-麥克米倫形M(s)不能定義G(s)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)和零點(diǎn)，若引入變換 1S)()(1HG則有G（s）在s=處的極點(diǎn)/零點(diǎn)=H()在=0處的極點(diǎn)/零點(diǎn)。結(jié)論：對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè) ),min()(qprsrankG再基于變換 1S由G(-1)導(dǎo)出H() ),min()

31、(qprrankH引入單模變換陣。導(dǎo)出其史密斯-麥克米倫形 000)()()()()(11rrMG(s)在s=處的極點(diǎn)重?cái)?shù)= )(M中 0)(i的 0根重?cái)?shù)i=1,2,r 則有G(s)在s=處的零點(diǎn)重?cái)?shù)= )(M中 的 0根重?cái)?shù)i=1,2,r 0)(i1/3,10/121/3,10/12由G(s)導(dǎo)出M (s)的過(guò)程中，單模變換會(huì)改變G(s)的嚴(yán)真屬性，從而改變s=處的極點(diǎn)零點(diǎn)（重?cái)?shù)）， s=處的極點(diǎn)、零點(diǎn)不能由史密斯-麥克米倫形M (s)直接確定例：設(shè) 2) 1(111)(SSSSsG1S221) 1(111)()(GH史密斯-麥克米倫形 22) 1(11) 1(1)(M基于此，可以定出G(

32、s)在s=處極點(diǎn)重?cái)?shù)=2G(s)在s=處零點(diǎn)重?cái)?shù)=1 2/3,11/122/3,11/12無(wú)窮遠(yuǎn)處的結(jié)構(gòu)指數(shù)對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s) ),min()(pqrsrankG則G(s)在s=處結(jié)構(gòu)指數(shù) 1( )( )r)(M在=0處結(jié)構(gòu)指數(shù) 1(0)(0)r3/3,12/123/3,12/12結(jié)論：G(s)在 s 極點(diǎn)重?cái)?shù)= 中負(fù)指數(shù)之和絕對(duì)值 結(jié)論：G(s)在 零點(diǎn)重?cái)?shù)= 中正指數(shù)之和 1(0)(0)rs 1(0)(0)r第10章 傳遞函數(shù)矩陣的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)101實(shí)現(xiàn)的基本概念和基本屬性定義101實(shí)現(xiàn)對(duì)真或嚴(yán)真連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，稱(chēng)一個(gè)狀態(tài)空間描述 xAxBuyCxEu或簡(jiǎn)寫(xiě)為(A,B,C,

33、E)是其傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，如果兩者為外部等價(jià)即成立關(guān)系式：C (sIA) -1 B+E=G(s) 結(jié)論101實(shí)現(xiàn)維數(shù)傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)(A,B,C,E)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度可由其維數(shù)表征。一個(gè)實(shí)現(xiàn)的維數(shù)規(guī)定為其系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)，即有 實(shí)現(xiàn)維數(shù)=dimA 結(jié)論102不惟一性傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)(A,B,C,E)滿(mǎn)足強(qiáng)不惟一性。即對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)，不僅其實(shí)現(xiàn)結(jié)果為不惟一，而且其實(shí)現(xiàn)維數(shù)也為不惟一。 結(jié)論103最小實(shí)現(xiàn)最小實(shí)現(xiàn)定義為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有實(shí)現(xiàn)(A,B,C,E)中維數(shù)最小的一類(lèi)實(shí)現(xiàn)。實(shí)質(zhì)上，最小實(shí)現(xiàn)就是外部等價(jià)于G(s)的一個(gè)結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)狀態(tài)空間模型。 1/

34、5,1/391/5,1/39結(jié)論104實(shí)現(xiàn)間關(guān)系對(duì)傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其不同實(shí)現(xiàn)間一般不存在代數(shù)等價(jià)關(guān)系，但其所有最小實(shí)現(xiàn)間必有代數(shù)等價(jià)關(guān)系。 結(jié)論105實(shí)現(xiàn)物理本質(zhì)物理直觀上，傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)就是對(duì)具有“黑箱”形式的真實(shí)系統(tǒng)在狀態(tài)空間領(lǐng)域?qū)ふ乙粋€(gè)外部等價(jià)的內(nèi)部假想結(jié)構(gòu)，內(nèi)部假想結(jié)構(gòu)對(duì)真實(shí)系統(tǒng)的可否完全表征性依賴(lài)于系統(tǒng)的是否能控和能觀測(cè)。結(jié)論106實(shí)現(xiàn)形式傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)形式取決于其真性或嚴(yán)真性屬性。當(dāng)G(s)為嚴(yán)真，其實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)地具有形式(A,B,C)即E=0；當(dāng)G(s)為真，其實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)地具有形式(A,B,C,E)即E0，且有G(s)limsE結(jié)論107其他實(shí)現(xiàn)構(gòu)造設(shè)狀態(tài)

35、空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，dimA=n，則對(duì)任一nn非奇異陣T，狀態(tài)空間描述(TAT-1，TB，CT-1，E)必也為G(s)的一個(gè)同維實(shí)現(xiàn)。2/5,2/392/5,2/39能控類(lèi)實(shí)現(xiàn)和能觀測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)是兩類(lèi)基本的典型實(shí)現(xiàn)定義102能控類(lèi)實(shí)現(xiàn) 稱(chēng)狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)能控類(lèi)實(shí)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng) C(sIA) -1 B+E=G(s) (A,B)能控且有指定形式 定義103能觀測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)稱(chēng)狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)能觀測(cè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng) C(sIA) -1 B+E=G(s) (A,C)能觀測(cè)且有指定形式 最小實(shí)

36、現(xiàn)是傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一類(lèi)最為重要的實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)是G(s)的所有實(shí)現(xiàn)中結(jié)構(gòu)為最簡(jiǎn)的實(shí)現(xiàn)，即從外部等價(jià)的角度實(shí)現(xiàn)中不包含任何多余的部分，因此通常也稱(chēng)最小實(shí)現(xiàn)為不可簡(jiǎn)約實(shí)現(xiàn)。 結(jié)論108設(shè)(A,B,C)為嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，則其為最小實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是(A,B)完全能控，(A,C)完全能觀測(cè) 最小實(shí)現(xiàn)判據(jù)3/5,3/393/5,3/39結(jié)論1010實(shí)現(xiàn)最小維數(shù) 對(duì)嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，其冪級(jí)數(shù)表達(dá)式為：1iihG(s)is, 2 , 1,ihi為馬爾柯夫(Markov)參數(shù)矩陣，并基此組成漢克爾(Hankel)矩陣 543432321hhhhhhhhhH則G(s)的狀態(tài)

37、空間實(shí)現(xiàn)的最小維數(shù)為 nmin=rankH 結(jié)論109最小實(shí)現(xiàn)廣義惟一性嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的最小實(shí)現(xiàn)為不惟一但滿(mǎn)足廣義惟一性。即若(A,B,C)和 ),(CBA為G(s)的任意兩個(gè)n維最小實(shí)現(xiàn)，則必可基此構(gòu)造出一個(gè)nn非奇異常陣T使成立： 11,ATAT BT B CCT4/5,4/394/5,4/39結(jié)論1011實(shí)現(xiàn)最小維數(shù) 對(duì)qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，rankG(s) =r，其史密斯麥克米倫形為 11( )( )0( )( ) ( ) ( )( )( )00rrssM sU s G s V sss其中，U(s)和V(s)為qq和pp單模陣。那么，G(s)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的最小維數(shù)為 r

38、iisn1min)(deg5/5,5/395/5,5/3910.2標(biāo)量傳遞函數(shù)的典型實(shí)現(xiàn)不失一般性，考慮真標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)，并通過(guò)嚴(yán)真化先將其表為常數(shù)e和嚴(yán)真有理分式n(s)/d(s)之和，即有 為實(shí)常數(shù)和其中,)()()()()(1101100111011101110111nnnnnnnnnnnnsssnssssdsdsnesssssesg那么，對(duì)g(s)的各類(lèi)典型實(shí)現(xiàn)就歸結(jié)為對(duì)嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/d(s)導(dǎo)出相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)，而常數(shù)e為各類(lèi)實(shí)現(xiàn)中的輸入輸出直接傳遞系數(shù)。1/5,6/391/5,6/39幾點(diǎn)討論 真標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn) 實(shí)現(xiàn)形式惟一性 維數(shù)非最小性 (Ac，b

39、c，cc)為最小實(shí)現(xiàn)條件 ：結(jié)論1012能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn) 標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的嚴(yán)真部分n(s)/d(s)的能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)具有形式：110110,100,1010nCCncCbA2/5,7/392/5,7/39n(s)與d(s)互質(zhì)結(jié)論1018能觀測(cè)規(guī)范形實(shí)現(xiàn) 標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的嚴(yán)真部分n(s)/d(s)的能觀測(cè)規(guī)范形實(shí)現(xiàn)具有形式：100,1100011001100cbAnn幾點(diǎn)討論 真標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的能觀測(cè)規(guī)范形實(shí)現(xiàn) 實(shí)現(xiàn)形式惟一性 維數(shù)非最小性 (Ac，bc，cc)為最小實(shí)現(xiàn)條件： 結(jié)論10.24對(duì)偶性 嚴(yán)真標(biāo)量傳遞函數(shù)n(s)/ d(s)的能控規(guī)范形實(shí)現(xiàn)（Ac，bc，cc）和能觀

40、測(cè)規(guī)范形實(shí)現(xiàn)（A0，b0，c0）滿(mǎn)足對(duì)偶關(guān)系，即有A0= AcT，b0= ccT，c0= bcT 3/5,8/393/5,8/39n(s)與d(s)互質(zhì)結(jié)論10.25并聯(lián)形實(shí)現(xiàn) 設(shè)傳遞函數(shù)g(s)及其嚴(yán)真部分n(s)/ d(s)，極點(diǎn)為1(1重)，2（2重），m(m重)， miin1kiki,表 mikkiikisfsdsn11)()()(則嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/ d(s)的并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)為 mmmmpA111111111m, 1100100pbm mmmmpffffc1111114/5,9/394/5,9/391112213314425521213121122213451000001000000

41、010001000001xxxxxxuxxxxxxyfffffxxx 2212222111211231132231)()()()()()()(sfsfsfsfsfsssBsg幾點(diǎn)解釋 并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)為約當(dāng)型規(guī)范形實(shí)現(xiàn) 并聯(lián)形實(shí)現(xiàn)在構(gòu)成上的難點(diǎn)： 對(duì)極點(diǎn)中包含共軛復(fù)數(shù)情形的處理：非奇異復(fù)變換實(shí)數(shù)化 求留數(shù)fik，i=1m, k=1,i 表n(s)/ d(s)為 )()()(1)()(111iininnszsssdsn則嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/ d(s) 的串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)為 1001,111122111111112221TnnnTnnnnnnTczzzbzzzA幾點(diǎn)解釋 (1)串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單直觀，便

42、于分析(2)串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)在構(gòu)成上的難點(diǎn)：確定極點(diǎn)與零點(diǎn)(3)對(duì)極零點(diǎn)中包含共軛復(fù)數(shù)情形的處理：非奇異復(fù)變換實(shí)數(shù)化 5/5,10/395/5,10/39串聯(lián)形實(shí)現(xiàn)10.3基于有理分式矩陣描述的典型實(shí)現(xiàn)：能控形實(shí)現(xiàn)和能觀測(cè)形實(shí)現(xiàn)考慮以有理分式矩陣描述給出的真qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)G(s)=(gij(s)，i=1,q j=1,q 進(jìn)而，表G(s)為“嚴(yán)真qp傳遞函數(shù)矩陣”和“qp常陣E”之和，即G(s)=(gij(s)=(eij)+(gijsp(s)=E+Gsp(s) 且有E=G()。再表Gsp(s)諸元即G(s)諸元的最小公分母d(s)為d(s)=sl+l-1sl-1+1s+0基此，嚴(yán)真qp傳遞函

43、數(shù)矩陣Gsp(s)可進(jìn)而表為)(1)()(1)(0111PsPsPsdsPsdsGllsp其中，Pk(k=0,1,l-1)為qp常陣 1/3,11/391/3,11/39結(jié)論10.35能控形實(shí)現(xiàn)對(duì)以有理分式矩陣描述給出的嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣Gsp(s)，其能控形實(shí)現(xiàn)具有形式 11011000,00llpqcpplpcplpppplplpcPPPCIBIIIIIA而真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的能控形實(shí)現(xiàn)為 ),(ECBACCC2/3,12/392/3,12/39第一步應(yīng)證明)()(sGBAsICccc第二步證明系統(tǒng)能控lpIIIrankBABABrankpppcncccc1其中，Pk(k=0,1,l-1

44、)為qp常陣 )(1)()(1)(0111PsPsPsdsPsdsGllsp1110( )lld sss結(jié)論10.36能觀測(cè)形實(shí)現(xiàn) 對(duì)以有理分式矩陣描述給出的嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣Gsp(s)，其能觀測(cè)形實(shí)現(xiàn)具有形式 qlqlqqqqICPPPBIIIIIA00,00011001100而真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的能觀測(cè)形實(shí)現(xiàn)為 ),(000ECBA3/3,13/393/3,13/3910.4基于矩陣分式描述的典型實(shí)現(xiàn)：控制器形實(shí)現(xiàn)和觀測(cè)器形實(shí)現(xiàn) 右MFD的控制器形實(shí)現(xiàn)不失一般性，考慮qp右MFD )()(1sDsN)(sN和D(s)為qp和pp的多項(xiàng)式矩陣，設(shè)D(s)為列既約 首先，對(duì)真 )()(1s

45、DsN導(dǎo)出其嚴(yán)真右MFD。)()()(sNsEDsN其中，qp常陣E為“商陣”，qp多項(xiàng)式矩陣N(s)為“余式陣”。)()()()(11sDsNEsDsN下面的問(wèn)題就是，對(duì)qp嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s),D(s)列既約構(gòu)造其控制器形實(shí)現(xiàn)。1/22,14/391/22,14/39(1)控制器形實(shí)現(xiàn)的定義定義10.4控制器形實(shí)現(xiàn)對(duì)qp嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，表列次數(shù)ciD(s)=kci,i=1,2,p，稱(chēng)一個(gè)狀態(tài)空間描述 xCyuBxAxccc為其控制器形實(shí)現(xiàn)，其中picicnkA1dim如果滿(mǎn)足：Cc(sIAc) -1 Bc= N(s)D-1(s) (AC,B

46、C)為完全能控且具有特定形式2/22,15/392/22,15/39cpckkCSSsS1)(11)(111sSsSscpckkCDhc為D(s)的列次系數(shù)，且detDhc0 DLc為D(s)的低次系數(shù)陣 NLc為N(s)的低次系數(shù)陣 結(jié)論10.37構(gòu)造(AC,BC,CC)的結(jié)構(gòu)圖對(duì)qp嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，表列次數(shù)ciD(s)=kci,i=1,2,p， 再引入列次表達(dá)式：D(s)=DhcSc(s)+DLcC(s) N(s)=NLcC(s)其中3/22,16/393/22,16/39nkpici12)2()254(0)(,0)(2232ssssssDssssN00

47、101000012104425400011011)()(232LcLchcccNDDsssssssS，11( )2ccksD22( ) 3ccksD)()()()()()()()()()()()()()()( )()()(1111111111sUDsSsDDIsSsNsUsSsSsDDIDsNsUsDsSDsNsusDsNsYhcCCLChcCCLCCCCLChchcCLCCLCChcCLC那么，基此可導(dǎo)出構(gòu)造(AC,BC,CC)的結(jié)構(gòu)圖 稱(chēng)c(s)Sc-1(s)為核心右MFD 1hcD)()(1sSsccLcNLchcDD1-uyu0y0圖10.5結(jié)論10.38構(gòu)造(AC,BC,CC)的思路

48、給定qp嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，則在圖10.5所示構(gòu)造(AC,BC,CC)的結(jié)構(gòu)圖基礎(chǔ)上，對(duì)(AC,BC,CC)的構(gòu)造可分為兩步進(jìn)行：首先，對(duì)核心右MFD之c(s)Sc-1(s)構(gòu)造實(shí)現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0),稱(chēng)其為N(s)D-1(s)的核實(shí)現(xiàn)。進(jìn)而，用核實(shí)現(xiàn)置換圖10.5所示結(jié)構(gòu)圖中的核心右MFD，再通過(guò)結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)導(dǎo)出N(s)D-1(s)的控制器形實(shí)現(xiàn)。4/22,17/394/22,17/39(p1)(pp)(qn)(q1)(pp)(pn)(np) (pp)(3)核實(shí)現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0)的構(gòu)造 先來(lái)引入積分鏈組模型。相對(duì)于qp右MFD N(s)D-1(

49、s)，D(s)列既約，列次數(shù)ciD(s)=kci,i=1,2,p，其積分鏈組的組成如圖所示。圖中，為使組成表達(dá)整齊起見(jiàn)，已經(jīng)非實(shí)質(zhì)性地假定列次數(shù)滿(mǎn)足非降性，即成立kc1kc2kcp。 chuchy1ckcpk) 1( pck積分鏈組的輸入uch取為 )()(2)(121cpcckpkkchu積分鏈組的輸出ych取為各個(gè)積分鏈的輸出構(gòu)成的向量 pkpkchcpcy)1(1)1(115/22,18/395/22,18/39()()(1)(1)11111cicicikkkiiiiisssss111111111111( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )1( ) ( )( )( )1cc

50、cpcpcccpcpkkchckkppkkchkkppssssusS ssssssSSsSsysSsSsS 121( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )cpchcccchsssssyssss Ss us 6/22,19/396/22,19/391( )( )ccs Ss積分鏈組模型的矩陣分式描述為。結(jié)論10.40積分鏈組的狀態(tài)空間描述 相對(duì)于qp右MFD N(s)D-1(s)的積分鏈組模型，取狀態(tài)Xch輸出Ych和輸入uch為 1(1)11(1)ccpkchchkppxy7/22,20/397/22,20/39000:chcchcchchcchxA xB uyC

51、 x則 其 狀 態(tài) 空 間 描 述 為12()1()2cccpkkchkpu100101001010cpckkcA 其中，ncIC 08/22,21/398/22,21/390100100cB（4）控制器形實(shí)現(xiàn)的構(gòu)造結(jié)論10.42控制器形實(shí)現(xiàn) 對(duì)真qp右MFD，其嚴(yán)真右MFD為N(s)D-1(s)，D(s)列既約，列次數(shù)ciD(s)=kci,i=1,2,p，再引入列次表達(dá)式：D(s)=DhcSC(s)+DLcc(s) N(s)=NLcc(s)且知核MFDc(s)Sc-1(s)的實(shí)現(xiàn)為(Ac0,Bc0,Cc0)，則嚴(yán)真N(s)D-1(s)的控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)的系數(shù)矩陣為Ac= Ac

52、0Bc0Dhc-1DLc，Bc= Bc0Dhc-1，Cc=NLc 而真右MFD的控制器形實(shí)現(xiàn)為(AC,BC,CC,E) Bc0Cc0NLcD-1hcD-1hcDLcAc0u0u0yy9/22,22/399/22,22/39例101 定出給定22右MFD N(s)D-1(s)的控制器形實(shí)現(xiàn)(Ac,Bc,Cc)，其中 2)2()254(0)(,0)(2232ssssssDssssN容易判斷，D(s)為列既約，且N(s)D-1(s)為嚴(yán)真，進(jìn)而，定出列次數(shù) kc1=c1D(s)=2，kc2=c2D(s)=3 00101000012104425400,0110LcLchcNDD基此，又可定出25400

53、21044,011011LchchcDDD10/22,23/3910/22,23/39核實(shí)現(xiàn) 5000,00101,0100010000100ICBAccc可導(dǎo)出控制器形實(shí)現(xiàn) 0010100001,00000100100110001010100000100254000000121044254002104400101010001000010010100LcchcccLchccccNCDBBDDBAA11/22,24/3911/22,24/39控制器形實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)結(jié)論10.43控制器形實(shí)現(xiàn) 對(duì)嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，由核實(shí)現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0)的結(jié)構(gòu)所決定，其控制器

54、形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)具有形式：0101*0000*0000*0101*1ckcA1ckcpk無(wú)特殊形式LccpcNCB 0000*0000*1ckcpk12/22,25/3912/22,25/39(2)控制器形實(shí)現(xiàn)和列次表達(dá)式在系數(shù)陣間的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)論10.44對(duì)應(yīng)關(guān)系 對(duì)嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，控制器形實(shí)現(xiàn)系數(shù)矩陣(AC,BC,CC)和D(s)列次表達(dá)式系數(shù)陣之間具有直觀關(guān)系 Ac的第i個(gè)*行Dhc-1DLc的第i行Bc的第i個(gè)*行Dhc-1的第i行其中，i=1,2,p。 例102 定出給定22右MFD N(s)D-1(s)的控制器形實(shí)現(xiàn)(Ac,Bc,Cc)，

55、其中 2)2()254(0)(,0)(2232ssssssDssssN容易判斷，D(s)為列既約，且N(s)D-1(s)為嚴(yán)真，進(jìn)而，定出列次數(shù) kc1=c1D(s)=2，kc2=c2D(s)=3 00101000012104425400,0110LcLchcNDD13/22,26/3913/22,26/39基此，又可定出2540021044,011011LchchcDDD0010100001,00000100100100000100254000000121044LccccNCBA結(jié)論10.45不完全能觀測(cè)屬性 對(duì)嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約的控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,C

56、C)，(AC,BC)為完全能控，但(AC,CC)一般為不完全能觀測(cè)。14/22,27/3914/22,27/39結(jié)論10.46系數(shù)矩陣間關(guān)系 對(duì)嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系數(shù)矩陣之間具有關(guān)系：為左互質(zhì)為右互質(zhì)其中ccccccccBAsIsDssNIsDIBIsCBAsI,)(),(0)()(0000)(015/22,28/3915/22,28/39證明：11111()( )( )( )( )()( )( )LCccLCcLCcccNsIABN s DsNs DsNsIABs Ds 考慮到的任意性，有()( )(

57、 )cccsIAsB D s上式可寫(xiě)為 容易看出，需證明的關(guān)系式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等11)(111sSsSscpckkC( ),( )( )( )ccD srankpsssD s 顯然，說(shuō)明，右互質(zhì), cccc由于系統(tǒng)完全能控，ranksI-A ,B =n, s說(shuō)明sI-A ,B 為左互質(zhì)結(jié)論10.47系數(shù)矩陣行列式間關(guān)系 對(duì)嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系數(shù)矩陣行列式之間具有關(guān)系：det(sI-Ac)=(detDhc) -1 detD(s)dim(Ac)=deg(det D(s) 結(jié)論10.48實(shí)現(xiàn)和N(s)關(guān)系 對(duì)嚴(yán)真

58、右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC)和MFD分子矩陣N(s)之間具有關(guān)系 N(s)00I0nscccCBAsI結(jié)論10.49聯(lián)合能控能觀測(cè)條件 對(duì)嚴(yán)真右MFD N(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實(shí)現(xiàn)(AC,BC,CC) 聯(lián)合能控和能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，對(duì)所有s，qp矩陣N(s)為列滿(mǎn)秩即rankN(s)=p 左MFD的觀測(cè)形實(shí)現(xiàn) 考慮真qp左MFD )()(),()(1sDsNsNsDLLL和為多項(xiàng)式矩陣，)(sDL為行既約。為對(duì)真 )()(1sNsDLL導(dǎo)出嚴(yán)真左MFD，引入矩陣左除法可以得到 )()()()(sNsEsDsNLL

59、LL)()()()(11sNsDEsNsDLLLLL其中，DL-1 (s)NL(s)為嚴(yán)真左MFD。下面的問(wèn)題就是，對(duì)qp嚴(yán)真左MFDDL-1 (s)NL(s)，DL(s)行既約，構(gòu)造觀測(cè)器形實(shí)現(xiàn) 定義10.5觀測(cè)器形實(shí)現(xiàn)對(duì)qp嚴(yán)真左MFD DL-1 (s)NL(s)，DL(s)行既約，表行次數(shù)rjDL(s)=krj，j=1，2，q，則稱(chēng)一個(gè)狀態(tài)空間描述 000011100000dim()( )( )(,)qrjLjLLXA XB uyC XAknC sIABDs NsA C為其觀測(cè)器形實(shí)現(xiàn)，其中如果滿(mǎn)足為完全能觀測(cè)且具有特定形式16/22,29/3916/22,29/39(2)核實(shí)現(xiàn)(A00

60、 B00 C00)對(duì)嚴(yán)真DL-1 (s)NL(s),行次數(shù)rjDL(s)=krj，j=1，2，q,引入行次數(shù)表達(dá)式 DL(s)=Sr(s)Dhr+r(s)DLrNL(s)= r(s) NLr其中11)()(1111ssssssssSrqrrqrkkrkkrDhr為DL(s)的行次系數(shù)矩陣，且detDhr0DLr為DL(s)的低次系數(shù)陣NLr為N(s)的低次系數(shù)陣 qjLrjnk117/22,30/3917/22,30/39結(jié)論10.51核實(shí)現(xiàn)對(duì)qp左MFD DL-1 (s)NL(s)，其核心MFD Sr-1 (s)r(s)的實(shí)現(xiàn)即DL-1 (s)NL(s)的核實(shí)現(xiàn)為00000000000XCy